專題6三角函數第一部分近3年高考真題一、選擇題1．（2021·北京高考真題）函數，試判斷函數的奇偶性及最大值（）A．奇函數，最大值為2 B．偶函數，最大值為2C．奇函數，最大值為 D．偶函數，最大值為2．（2021·全國高考真題）若，則（）A． B． C． D．3．（2021·全國高考真題（文））函數的最小正周期和最大值分別是（）A．和 B．和2 C．和 D．和24．（2021·全國高考真題（文））若，則（）A． B． C． D．5．（2021·全國高考真題（理））把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則（）A． B．C． D．6．（2021·全國高考真題（文））（）A． B． C． D．7．（2021·全國高考真題）下列區間中，函數單調遞增的區間是（）A． B． C． D．8．（2020·天津高考真題）已知函數．給出下列結論：①的最小正周期為；②是的最大值；③把函數的圖象上所有點向左平移個單位長度，可得到函數的圖象．其中所有正確結論的序號是（）A．① B．①③ C．②③ D．①②③9．（2020·北京高考真題）2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（Day）．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統數學中的“割圓術”相似．數學家阿爾·卡西的方法是：當正整數充分大時，計算單位圓的內接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，將它們的算術平均數作為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達式是（）．A． B．C． D．10．（2020·全國高考真題（理））設函數在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為（）A． B．C． D．11．如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，是銳角，大小為β.圖中陰影區域的面積的最大值為A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ12.設函數=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結論：①在（）有且僅有3個極大值點②在（）有且僅有2個極小值點③在（）單調遞增④的取值范圍是[)其中所有正確結論的編號是（）A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④13.已知函數是奇函數，將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖像對應的函數為.若的最小正周期為，且，則（）A． B． C． D．14.函數f(x)=在[—π，π]的圖像大致為（）A． B．C． D．15．（2020·海南高考真題）下圖是函數y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=（）A． B． C． D．二、填空題16．（2021·北京高考真題）若點與點關于軸對稱，寫出一個符合題意的___．17．（2021·全國高考真題（文））已知函數的部分圖像如圖所示，則_______________.18．（2021·全國高考真題（理））已知函數的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數x為________．19．（2020·浙江高考真題）已知圓錐的側面積（單位：）為2π，且它的側面積展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：）是_______．20．（2020·海南高考真題）某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2．21．（2020·全國高考真題（理））關于函數f（x）=有如下四個命題：①f（x）的圖象關于y軸對稱．②f（x）的圖象關于原點對稱．③f（x）的圖象關于直線x=對稱．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號是__________．三、解答題22．（2021·浙江高考真題）設函數.（1）求函數的最小正周期；（2）求函數在上的最大值.23．（2020·浙江高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．24．（2020·全國高考真題（文））△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，證明：△ABC是直角三角形．第二部分模擬訓練1．古希臘的數學家畢達哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發現了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示.若實數滿足，則（）A． B． C． D．2．已知函數，的部分圖象如圖所示，的圖象過，兩點，將的圖象向左平移個單位得到的圖象，則函數在上的最小值為（）A． B． C． D．3．如圖所示，扇形的半徑為，圓心角為，是扇形弧上的動點，四邊形是扇形的內接矩形，則的最大值是（）A． B． C． D．4．某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示.圖中的為矩形，弧為一段圓弧，其尺寸如圖所示，則截面（圖中陰影部分）的面積為（）A． B．C． D．5．定義在上的函數滿足：，函數，若，則______．6．已知函數，.下列有關的說法中，正確的是______(填寫你認為正確的序號).①不等式的解集為或；②在區間上有四個零點；③的圖象關于直線對稱；④的最大值為；⑤的最小值為；7．已知函數.（1）求函數在區間上的值域；（2）若方程在區間上至少有兩個不同的解，求的取值范圍.專題6三角函數第一部分近3年高考真題一、選擇題1．（2021·北京高考真題）函數，試判斷函數的奇偶性及最大值（）A．奇函數，最大值為2 B．偶函數，最大值為2C．奇函數，最大值為 D．偶函數，最大值為【答案】D【解析】由題意，，所以該函數為偶函數，又，所以當時，取最大值.故選：D.2．（2021·全國高考真題）若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】將式子進行齊次化處理得：．故選：C．3．（2021·全國高考真題（文））函數的最小正周期和最大值分別是（）A．和 B．和2 C．和 D．和2【答案】C【解析】由題，，所以的最小正周期為，最大值為.故選：C．4．（2021·全國高考真題（文））若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，解得，，.故選：A.5．（2021·全國高考真題（理））把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解法一：函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應當得到的圖象，根據已知得到了函數的圖象，所以，令,則,所以,所以；解法二：由已知的函數逆向變換，第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，即為的圖象，所以.故選：B.6．（2021·全國高考真題（文））（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，.故選：D.7．（2021·全國高考真題）下列區間中，函數單調遞增的區間是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數的單調遞增區間為，對于函數，由，解得，取，可得函數的一個單調遞增區間為，則，，A選項滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數的一個單調遞增區間為，且，，CD選項均不滿足條件.故選：A.8．（2020·天津高考真題）已知函數．給出下列結論：①的最小正周期為；②是的最大值；③把函數的圖象上所有點向左平移個單位長度，可得到函數的圖象．其中所有正確結論的序號是（）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【解析】因為，所以周期，故①正確；，故②不正確；將函數的圖象上所有點向左平移個單位長度，得到的圖象，故③正確.故選：B.9．（2020·北京高考真題）2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（Day）．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統數學中的“割圓術”相似．數學家阿爾·卡西的方法是：當正整數充分大時，計算單位圓的內接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，將它們的算術平均數作為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達式是（）．A． B．C． D．【答案】A【解析】單位圓內接正邊形的每條邊所對應的圓周角為，每條邊長為，所以，單位圓的內接正邊形的周長為，單位圓的外切正邊形的每條邊長為，其周長為，，則.故選：A.10．（2020·全國高考真題（理））設函數在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖可得：函數圖象過點，將它代入函數可得：又是函數圖象與軸負半軸的第一個交點，所以，解得：所以函數的最小正周期為故選：C11．如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，是銳角，大小為β.圖中陰影區域的面積的最大值為A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ【答案】B【解析】觀察圖象可知，當P為弧AB的中點時，陰影部分的面積S取最大值，此時∠BOP=∠AOP=π-β,面積S的最大值為+S△POB+S△POA=4β+.故選B.12.設函數=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結論：①在（）有且僅有3個極大值點②在（）有且僅有2個極小值點③在（）單調遞增④的取值范圍是[)其中所有正確結論的編號是（）A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D【解析】當時，，∵f（x）在有且僅有5個零點，∴，∴，故④正確，由，知時，令時取得極大值，①正確；極小值點不確定，可能是2個也可能是3個，②不正確；因此由選項可知只需判斷③是否正確即可得到答案，當時，，若f（x）在單調遞增，則，即，∵，故③正確．故選D．13.已知函數是奇函數，將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖像對應的函數為.若的最小正周期為，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為為奇函數，∴；又，，又∴，故選C．14.函數f(x)=在[—π，π]的圖像大致為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得是奇函數，其圖象關于原點對稱．又．故選D．15．（2020·海南高考真題）下圖是函數y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由函數圖像可知：，則，所以不選A,當時，，解得：，即函數的解析式為：.而故選：BC.二、填空題16．（2021·北京高考真題）若點與點關于軸對稱，寫出一個符合題意的___．【答案】（滿足即可）【解析】與關于軸對稱，即關于軸對稱，，則，當時，可取的一個值為.故答案為：（滿足即可）.17．（2021·全國高考真題（文））已知函數的部分圖像如圖所示，則_______________.【答案】【解析】由題意可得：，當時，，令可得：，據此有：.故答案為：.18．（2021·全國高考真題（理））已知函數的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數x為________．【答案】2【解析】由圖可知，即，所以；由五點法可得，即；所以.因為，；所以由可得或；因為，所以，方法一：結合圖形可知，最小正整數應該滿足，即，解得，令，可得，可得的最小正整數為2.方法二：結合圖形可知，最小正整數應該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數為2.故答案為：2.19．（2020·浙江高考真題）已知圓錐的側面積（單位：）為2π，且它的側面積展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：）是_______．【答案】【解析】設圓錐底面半徑為，母線長為，則，解得.故答案為：20．（2020·海南高考真題）某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2．【答案】【解析】設，由題意，，所以，因為,所以，因為，所以，因為與圓弧相切于點，所以，即為等腰直角三角形；在直角中，，，因為，所以，解得；等腰直角的面積為；扇形的面積，所以陰影部分的面積為.故答案為：.21．（2020·全國高考真題（理））關于函數f（x）=有如下四個命題：①f（x）的圖象關于y軸對稱．②f（x）的圖象關于原點對稱．③f（x）的圖象關于直線x=對稱．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號是__________．【答案】②③【解析】對于命題①，，，則，所以，函數的圖象不關于軸對稱，命題①錯誤；對于命題②，函數的定義域為，定義域關于原點對稱，，所以，函數的圖象關于原點對稱，命題②正確；對于命題③，，，則，所以，函數的圖象關于直線對稱，命題③正確；對于命題④，當時，，則，命題④錯誤.故答案為：②③.三、解答題22．（2021·浙江高考真題）設函數.（1）求函數的最小正周期；（2）求函數在上的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由輔助角公式得，則，所以該函數的最小正周期;（2）由題意，，由可得，所以當即時，函數取最大值.23．（2020·浙江高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．【答案】（I）；（II）【解析】（I）由結合正弦定理可得：△ABC為銳角三角形，故.（II）結合(1)的結論有：.由可得：，，則，.即的取值范圍是.24．（2020·全國高考真題（文））△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，證明：△ABC是直角三角形．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）因為，所以，即，解得，又，所以；（2）因為，所以，即①，又②，將②代入①得，，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形．第二部分模擬訓練1．古希臘的數學家畢達哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發現了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示.若實數滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據題中的條件可得.故選：A．2．已知函數，的部分圖象如圖所示，的圖象過，兩點，將的圖象向左平移個單位得到的圖象，則函數在上的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圖象知，，∴，則，∴，將點的坐標代入得，，即，又，∴，則，將的圖象向左平移個單位得到函數，∴在上的最小值為，故選：A3．如圖所示，扇形的半徑為，圓心角為，是扇形弧上的動點，四邊形是扇形的