專題8.2空間幾何體的表面積和體積練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·湖南高一期末）已知圓柱及其展開圖如圖所示，則其體積為（）A． B． C． D．2.（2021·寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高一月考）已知圓柱的上、下底面的中心分別為，過(guò)直線的平面截該圓柱所得的面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A． B． C． D．3．（2021·浙江高二期末）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B．C． D．4．（2021·遼寧高一期末）已知一平面截一球得到直徑為的圓面，球心到這個(gè)面的距離是，則該球的體積為（）A． B． C． D．5．（2020·浙江省高考真題）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）A． B． C．3 D．66.（2018·全國(guó)高考真題（文））已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過(guò)直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A． B． C． D．7.（2020·江蘇省高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm.9.（2019·北京高考真題（文））某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，那么該幾何體的體積為__________．10．（2019·全國(guó)高考真題（理））中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_________．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1.（2021·浙江高一期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無(wú)深，袤七尺．問(wèn)積幾何?”這里的“羨除”，是指由三個(gè)等腰梯形和兩個(gè)全等的三角形圍成的五面體．在圖1所示羨除中，，，，，等腰梯形和等腰梯形的高分別為和，且這兩個(gè)等腰梯形所在的平面互相垂直．按如圖2的分割方式進(jìn)行體積計(jì)算，得該“羨除”的體積為（）A． B． C． D．2.（2021·河北巨鹿中學(xué)高一月考）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、塌、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺傳名錄.已知某蹴鞠（近似看作球體）的表面上有四個(gè)點(diǎn)、、、，滿足為正三棱錐，是的中點(diǎn)，且，側(cè)棱，則該蹴鞠的表面積為（）A． B． C． D．3．【多選題】（2021·江蘇高一期末）已知圓臺(tái)上、下底面的圓心分別為，，半徑為，，圓臺(tái)的母線與下地面所成角的正切值為，為上一點(diǎn)，則（）A．圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為B．當(dāng)圓錐的圓錐的體積相等時(shí)，C．圓臺(tái)的體積為D．當(dāng)圓臺(tái)上、下底面的圓周都在同一球面上，該球的表面積為4．（2020·全國(guó)高考真題（文））已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．5．（2020屆浙江省杭州市高三3月模擬）在《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”.現(xiàn)有一“陽(yáng)馬”，底面，，，則該“陽(yáng)馬”的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)等于______；外接球表面積等于______.6．（2020·山東省仿真聯(lián)考3）在三棱錐中，平面，，，，是上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角的最大值為，則________，三棱錐的外接球的表面積為________．7.（廣東省汕尾市2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知某圓柱的軸截面是一個(gè)正方形，且該圓柱表面積（底面和側(cè)面面積之和）為，其外接球的表面積為，則該圓柱的表面積與其外接球的表面積的比值________.8．（2021·重慶市楊家坪中學(xué)高一月考）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為在一正三棱柱中挖去一個(gè)圓柱后的剩余部分（圓柱的上下兩底面圓與三棱柱的底面各邊相切），圓柱底面直徑為，高為.打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為______.（取，，精確到0.1）.9．（2021·上海高二期末）五月五是端午，門插艾，香滿堂，吃粽子，蘸白糖，粽子古稱“角黍”，是我國(guó)南北各地的節(jié)令食品，因各地風(fēng)俗不同，粽子的形狀和食材也會(huì)不同，有一種各面都是正三角形的正四面體形粽子，若該正四面體粽子的棱長(zhǎng)為8cm，則現(xiàn)有1立方米體積的食材，最多可以包成這種粽子_______個(gè).10．（2021·浙江高二期末）在四面體中，，，，，若四面體的外接球半徑為，則四面體的體積的最大值為___________．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國(guó)高考真題）正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（）A． B． C． D．2.（2020·天津高考真題）若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．3.（2021·全國(guó)高考真題（理））已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．4.（2020·全國(guó)高考真題（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（）

A． B． C． D．5.（2018·全國(guó)高考真題（文））設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．6.（2019·全國(guó)高考真題（理））已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為（）A． B． C． D．專題8.2空間幾何體的表面積和體積練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·湖南高一期末）已知圓柱及其展開圖如圖所示，則其體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】結(jié)合展開圖求出圓柱的底面半徑與高，進(jìn)而結(jié)合體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)底面半徑為，高為，根據(jù)展開圖得，則，所以圓柱的體積為，故選：D.2.（2021·寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高一月考）已知圓柱的上、下底面的中心分別為，過(guò)直線的平面截該圓柱所得的面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)圓柱的軸截面面積求出圓柱的底面半徑和母線長(zhǎng)，利用圓柱的表面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為，因?yàn)檫^(guò)直線的平面截該圓柱所得的面是面積為8的正方形，所以，解得，即圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)，所以圓柱的表面積為.故選：B.3．（2021·浙江高二期末）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出幾何體的體積．【詳解】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為底面為直角梯形，高為1的四棱錐體；如圖所示：所以：．故選：D．4．（2021·遼寧高一期末）已知一平面截一球得到直徑為的圓面，球心到這個(gè)面的距離是，則該球的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由球的截面性質(zhì)求得球半徑后可得體積．【詳解】由題意截面圓半徑為，所以球半徑為，體積為．故選：B．5．（2020·浙江省高考真題）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）A． B． C．3 D．6【答案】A【解析】由三視圖可知，該幾何體是上半部分是三棱錐，下半部分是三棱柱，且三棱錐的一個(gè)側(cè)面垂直于底面，且棱錐的高為1，棱柱的底面為等腰直角三角形，棱柱的高為2，所以幾何體的體積為：.故選：A6.（2018·全國(guó)高考真題（文））已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過(guò)直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，可得截面是邊長(zhǎng)為的正方形，結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為，所以其表面積為，故選B.7.（2020·江蘇省高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm.【答案】【解析】正六棱柱體積為圓柱體積為所求幾何體體積為故答案為：9.（2019·北京高考真題（文））某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，那么該幾何體的體積為__________．【答案】40.【解析】如圖所示,在棱長(zhǎng)為4的正方體中,三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為正方體去掉棱柱之后余下的幾何體,幾何體的體積.10．（2019·全國(guó)高考真題（理））中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_________．【答案】共26個(gè)面.棱長(zhǎng)為.【解析】由圖可知第一層與第三層各有9個(gè)面，計(jì)18個(gè)面，第二層共有8個(gè)面，所以該半正多面體共有個(gè)面．如圖，設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為，則，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交正方體棱于，由半正多面體對(duì)稱性可知，為等腰直角三角形，，，即該半正多面體棱長(zhǎng)為．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1.（2021·浙江高一期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無(wú)深，袤七尺．問(wèn)積幾何?”這里的“羨除”，是指由三個(gè)等腰梯形和兩個(gè)全等的三角形圍成的五面體．在圖1所示羨除中，，，，，等腰梯形和等腰梯形的高分別為和，且這兩個(gè)等腰梯形所在的平面互相垂直．按如圖2的分割方式進(jìn)行體積計(jì)算，得該“羨除”的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圖可知，中間部分為棱柱，兩側(cè)為兩個(gè)全等的四棱錐，再由柱體和錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】按照?qǐng)D中的分割方式，中間為直三棱柱，直三棱柱的底面為直角三角形，兩條直角邊長(zhǎng)分別為、，直三棱柱的高為，所以，直三棱柱的體積為.兩側(cè)為兩個(gè)全等的四棱錐，四棱錐的底面為直角梯形，直角梯形的面積為，四棱錐的高為，所以，兩個(gè)四棱錐的體積之和為，因此，該“羨除”的體積為.故選：A.2.（2021·河北巨鹿中學(xué)高一月考）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、塌、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺傳名錄.已知某蹴鞠（近似看作球體）的表面上有四個(gè)點(diǎn)、、、，滿足為正三棱錐，是的中點(diǎn)，且，側(cè)棱，則該蹴鞠的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】若，為中點(diǎn)易得，再應(yīng)用余弦定理、勾股定理求得，即為直三棱錐，即可求外接球半徑，進(jìn)而求表面積.【詳解】如下圖，若為中點(diǎn)，則，又，∴，又為正三棱錐且側(cè)棱，∴，若，則，，在中，，即，可得，，∴，即為直三棱錐，易得外接球半徑，∴該蹴鞠的表面積為.故選：A3．【多選題】（2021·江蘇高一期末）已知圓臺(tái)上、下底面的圓心分別為，，半徑為，，圓臺(tái)的母線與下地面所成角的正切值為，為上一點(diǎn)，則（）A．圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為B．當(dāng)圓錐的圓錐的體積相等時(shí)，C．圓臺(tái)的體積為D．當(dāng)圓臺(tái)上、下底面的圓周都在同一球面上，該球的表面積為【答案】BCD【解析】轉(zhuǎn)化求解圓臺(tái)的母線長(zhǎng)判斷Q；利用比例關(guān)系判斷B；求解體積判斷C；取得球的表面積判斷D．【詳解】解：圓臺(tái)上、下底面的圓心分別為，，半徑為2，4，圓臺(tái)的母線與下底面所成角的正切值為3，為上一點(diǎn)，，母線，與圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為6矛盾，所以A錯(cuò)誤；，，B正確；，C正確；設(shè)球心到上底面的距離為，則，解得，，，D正確；故選：BCD．4．（2020·全國(guó)高考真題（文））已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【答案】【解析】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.故答案為：.5．（2020屆浙江省杭州市高三3月模擬）在《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”.現(xiàn)有一“陽(yáng)馬”，底面，，，則該“陽(yáng)馬”的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)等于______；外接球表面積等于______.【答案】3【解析】如圖，底面，底面為長(zhǎng)方形，且，，所以.最長(zhǎng)棱為:3.該幾何體可以通過(guò)補(bǔ)體得長(zhǎng)方體,所以其外接球的半徑為.則其外接球的表面積為，故答案為：3；.6．（2020·山東省仿真聯(lián)考3）在三棱錐中，平面，，，，是上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角的最大值為，則________，三棱錐的外接球的表面積為________．【答案】6【解析】設(shè)直線與平面所成的角為，三棱錐外接球的球心為，半徑為，如圖所示，則，所以，則的最小值為，的最小值是，即點(diǎn)到的距離為，所以．因?yàn)椋裕裕裕裕〉耐饨訄A的圓心為，則圓的半徑．連接，作于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，故三棱錐的外接球的表面積．故答案為：6；.7.（廣東省汕尾市2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知某圓柱的軸截面是一個(gè)正方形，且該圓柱表面積（底面和側(cè)面面積之和）為，其外接球的表面積為，則該圓柱的表面積與其外接球的表面積的比值________.【答案】【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，則，上下底面圓圓心連線的中點(diǎn)即為該圓柱外接球的球心，可得外接球的半徑，再由圓柱的表面積公式和球的表面積公式分別計(jì)算、即可得比值.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，因?yàn)閳A柱的軸截面是一個(gè)正方形，所以，所以圓柱表面積，其外接球的球心在上下底面圓圓心連線的中點(diǎn)位置，可知球心到上底面圓的距離為，由勾股定理可得：外接球的半徑，所以外接球的表面積，所以該圓柱的表面積與其外接球的表面積的比值，故答案為：.8．（2021·重慶市楊家坪中學(xué)高一月考）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為在一正三棱柱中挖去一個(gè)圓柱后的剩余部分（圓柱的上下兩底面圓與三棱柱的底面各邊相切），圓柱底面直徑為，高為.打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為______.（取，，精確到0.1）.【答案】【解析】由正三棱柱的性質(zhì)，結(jié)合已知求其底面面積，再由棱柱的體積公式求其體積，并求圓柱的體積為，則模型體積為，即可求制作該模型所需原料的質(zhì)量.【詳解】由題意，正三棱柱底面(等邊三角形)如上圖有且，，，∴，則，故底面面積，∴正三棱柱的體積.而圓柱的體積為，∴制作該模型所需原料的質(zhì)量為克.故答案為：9．（2021·上海高二期末）五月五是端午，門插艾，香滿堂，吃粽子，蘸白糖，粽子古稱“角黍”，是我國(guó)南北各地的節(jié)令食品，因各地風(fēng)俗不同，粽子的形狀和食材也會(huì)不同，有一種各面都是正三角形的正四面體形粽子，若該正四面體粽子的棱長(zhǎng)為8cm，則現(xiàn)有1立方米體積的食材，最多可以包成這種粽子_______個(gè).【答案】16572【解析】根據(jù)題意，利用棱錐的體積公式求得正四面體粽子的體積，進(jìn)而求得答案.【詳解】如圖所示，正四面體的棱長(zhǎng)為，設(shè)底面正三角形的中心為，連接，則平面，連接，則，所以，所以一個(gè)粽子的體積為：，由，又由所以1立方米體積的食材，最多可以包成這種粽子個(gè).故答案為：.10．（2021·浙江高二期末）在四面體中，，，，，若四面體的外接球半徑為，則四面體的體積的最大值為___________．【答案】【解析】根據(jù)題意可以將此四面體放入一個(gè)長(zhǎng)方體中，則易求四面體高與底面長(zhǎng)的關(guān)系，再根據(jù)體積公式寫出其體積表達(dá)式，最后利用基本不等式即可.【詳解】如圖所示，不妨將四面體放入下圖中的長(zhǎng)方體中，則長(zhǎng)方體的寬為，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，高為.因?yàn)樗拿骟w的外接球半徑為，所以此長(zhǎng)方體外接球半徑為，則，解得，所以四面體的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以四面體的體積最大值為.故答案為:練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國(guó)高考真題）正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由四棱臺(tái)的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺(tái)的體積公式即可得解.【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以該棱臺(tái)的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺(tái)的體積.故選：D.2.（2020·天津高考真題）若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】