第8題積事件與相互獨立事件的概率一、原題呈現【原題】有6個相同的球,分別標有數字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次,每次取1個球,甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”,則（）A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立【答案】B【解析】由題意可得故選B.【就題論題】本題涉及相互獨立事件的判斷,同學們習慣根據相互獨立立事件的概率計算公式,求相互獨立立事件的概率,本題反過來利用概率計算的結果判斷事件是否相互獨立,高考全國卷選擇題中首次考查此類問題,故該題背景新穎,但思路不難想到,與第7題相比較,該題難度略低于第7題.二、考題揭秘【命題意圖】本題考查用概率判斷相互獨立事件,考查數據分析與邏輯推理的核心素養.難度：中等.【考情分析】概率與統計是高考重點,該模塊涉及知識點比較多,高考命題沒有固定的熱點,一般情況下會有2道客觀題,一道解答題.【得分秘籍】(1)“獨立”與“互斥”的區別兩事件互斥是指兩個事件不可能同時發生,兩事件相互獨立是指一個事件發生與否對另一事件發生的概率沒有影響(如有放回的抽取模型)．兩事件相互獨立通常不互斥,兩事件互斥通常不獨立．若事件A,B互斥,則,若事件A,B不互斥,則,若事件A,B相互獨立,則(2)理解事件中常見詞語的含義：=1\*GB3①A,B中至少有一個發生的事件為A∪B；=2\*GB3②A,B都發生的事件為AB；=3\*GB3③A,B都不發生的事件為eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))；=4\*GB3④A,B恰有一個發生的事件為Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\o(A,\s\up6(－))B；=5\*GB3⑤A,B至多一個發生的事件為Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\o(A,\s\up6(－))B∪eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)).(3)條件概率的求法解決條件概率問題的步驟：第一步,判斷是否為條件概率,若題目中出現“在……條件下”“在……前提下”等字眼,一般為條件概率．題目中若沒有出現上述字眼,但已知事件的出現影響所求事件的概率時,也需注意是否為條件概率．若為條件概率,則進行第二步：計算概率,這里有兩種思路．思路一：縮減樣本空間法計算條件概率．如求P(A|B),可分別求出事件B,AB包含的基本事件的個數,再利用公式P(A|B)＝eq\f(n（AB）,n（B）)計算．思路二：直接利用條件概率的計算公式計算條件概率,即先分別計算出P(AB),P(B),再利用公式P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)計算．為了求一些復雜事件的條件概率,往往可以先把它分解為兩個(或若干個)互斥事件的和,利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)進行計算,其中B,C互斥.(4)正確理解獨立重復試驗與相互獨立事件間的關系獨立重復試驗是指在相同條件下可重復進行的、各次之間相互獨立的一種試驗,在這種試驗中每一次試驗只有兩種結果,即要么發生、要么不發生,且任何一次試驗中事件發生的概率都是一樣的.在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗,若Ai(i＝1,2,…,n)是第i次試驗的結果,則P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).在n次獨立重復試驗中,事件A發生k次的概率為(每次試驗中事件A發生的概率為p)Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k,事件A發生的次數是一個隨機變量X,其分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2,…,n),此時稱隨機變量X服從二項分布,記為X～B(n,p).此時有.獨立重復試驗是相互獨立事件的特例(概率公式也是如此),就像對立事件是互斥事件的特例一樣．一般地,有“恰好”等字眼的用獨立重復試驗的概率公式計算更簡單,就像有“至少”或“至多”等字眼的題目用對立事件的概率公式計算更簡單一樣．(5)對于復雜概率的計算一般要先設出事件,準確地確定事件的性質,把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨立事件、獨立重復試驗四類事件中的某一種；其次判斷事件是A＋B還是AB事件,確定事件至少有一個發生,還是同時發生,分別運用相加或相乘事件公式；最后選用相應的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨立事件、n次獨立重復試驗的概率公式求解．【易錯警示】混淆事件A+B與事件AB要弄清n次獨立重復試驗中恰好發生k次p)n－k與Pk＝(1－p)k－1p的區別．(3)處理復雜事件的概率、分布列問題一般采取“大化小”的解決策略,即將“大”的分布列或期望問題化為“小”的隨機變量概率問題；再將“大”的概率問題化為“小”的獨立事件概率問題,一般是P(A＋B)＝P(A)＋P(B),P(A)＝1－P(),P(AB)＝P(A)P(B)這三個公式的聯用．注意分清每一個事件是由哪幾個基本事件構成的,做到不重不漏．三、以例及類（以下所選試題均來自新高考Ⅰ卷地區2020年1-6月模擬試卷）一、單選題1．（2021湖南省“五市十校教研教改共同體”高三下學期5月大聯考）有一批種子的發芽率為0.9,出芽后的幼苗成活率為0.8.在這批種子中,隨機抽取一粒,則這粒種子能成長為幼苗的概率是()A．0.72 B．0.8C．0.86 D．0.9【答案】A【解析】設“種子發芽”為事件A,“種子成長為幼苗”為事件AB(發芽,并成活而成長為幼苗),則P(A)＝0.9.又種子發芽后的幼苗成活率為P(B|A)＝0.8,所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.故選A2．（2021山東省濟南市實驗中學高三二模）市場調查發現,大約的人喜歡在網上購買兒童玩具,其余的人則喜歡在實體店購買兒童玩具.經工商局抽樣調查發現,網上購買的兒童玩具合格率為,而實體店里的兒童玩具的合格率為.現工商局12345電話接到一個關于兒童玩具不合格的投訴,則這個兒童玩具是在網上購買的可能性是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】工商局12345電話接到一個關于兒童玩具不合格的投訴,則這個兒童玩具是在網上購買的可能性是.故選B3．（2021江蘇省南通學科基地2021屆高三下學期高考全真模擬）人的眼皮單雙是由遺傳基因決定的,其中顯性基因記作,隱性基因記作.成對的基因中,只要出現了顯性基因,就一定是雙眼皮,也就是說,“雙眼皮”的充要條件是“基因對是,或”.人的卷舌與平舌(指是否能左右卷起來)也是由一對基因對決定的,分別用,表示顯性基因?隱性基因,基因對中只要出現了顯性基因,就一定是卷舌的生物學上已經證明：控制不同性狀的基因遺傳時互不干擾,若有一對夫妻,兩人決定眼皮單雙和舌頭形態的基因都是,不考慮基因突變,那么他們的孩子是雙眼皮且卷舌的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】父母決定眼皮單雙的基因均為,遺傳給孩子的基因可能為,,,,所以孩子為雙眼皮的概率為.同理孩子卷舌的概率也為.根據相互獨立事件的概率公式知孩子是雙眼皮且卷舌的概率為.故選D.4．（2021湖南省長郡十五校高三下學期第二次聯考）十二生肖作為中國民俗文化的代表,是中國傳統文化的精髓,很多人把生肖作為春節的吉祥物,以此來表達對新年的祝福.某課外興趣小組制作了一個正十二面體模型（如圖）,并在十二個面分別雕刻了十二生肖的圖案,作為春節的吉祥物.2021年春節前,其中2個興趣小組成員將模型隨機拋出,希望能拋出牛的圖案朝上（即牛的圖案在最上面）,2人各拋一次,則恰好出現一次牛的圖案朝上的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為1人拋一次拋出牛的圖案朝上的概率是,所以2人各拋一次,則恰好出現一次牛的圖案朝上的概率為,故選C.5．（2021湖南師范大學附屬中學高三下學期三模）2020年1月,教育部出臺《關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》（簡稱“強基計劃”）,明確從2020年起強基計劃取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通過強基計劃的概率分別為,那么三人中恰有兩人通過的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】記甲、乙、丙三人通過強基計劃分別為事件,顯然為相互獨立事件,則“三人中恰有兩人通過”相當于事件,且互斥,所求概率.故選C.6．（2021河北省秦皇島市高三二模）某地病毒爆發,全省支援,需要從我市某醫院某科室的名男醫生(含一名主任醫師)?名女醫生(含一名主任醫師)中分別選派名男醫生和名女醫生,則在有一名主任醫師被選派的條件下,兩名主任醫師都被選派的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設事件A表示“有一名主任醫師被選派”,事件B表示“兩名主任醫師都被選派”,則“在有一名主任醫師被選派的條件下,兩名主任醫師都被選派”的概率為.故選A.7．（2021河北省張家口市高三一模）某大學進行“羽毛球”、“美術”、“音樂”三個社團選拔．某同學經過考核選拔通過該校的“羽毛球”“美術”、“音樂”三個社團的概率依次為,已知三個社團中他恰好能進入兩個的概率為,假設該同學經過考核通過這三個社團選拔成功與否相互獨立,則該同學一個社團都不能進入的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題知,三個社團中他恰好能進入兩個的概率為,則,所以,所以,所以該同學一個社團都不進入的概率．故選D．8．（2021廣東省汕頭市高三二模）交通事故已成為世界性的嚴重社會問題,加強中小學生交通安全教育具有重要的現實意義.為此,某校舉行了一場交通安全知識競賽,一共有3道難度相當的必答題目,李明同學答對每道題目的概率都是0.6,則李明同學至少答對2道題的概率是（）A．0.36 B．0.576 C．0.648 D．0.904【答案】C【解析】解法一：3道題中至少答對2道題有答對2道和答對3題這兩種情況,則3道題中至少答對2道題的概率為.解法二：設3道題中至少答對2道題為事件,則.故選C.9．（2021福建省漳州市高三2月月考）投壺是從先秦延續至清末的中國傳統禮儀和宴飲游戲晉代在廣泛開展投壺活動中,對投壺的壺也有所改進,即在壺口兩旁增添兩耳因此在投壺的花式上就多了許多名目,如“貫耳(投入壺耳)”.每一局投壺,每一位參賽者各有四支箭,投入壺口一次得分.投入壺耳一次得分,現有甲?乙兩人進行投壺比賽(兩人投中壺口?壺耳是相互獨立的),甲四支箭已投完,共得分,乙投完支箭,目前只得分,乙投中壺口的概率為,投中壺耳的概率為.四支箭投完,以得分多者贏請問乙贏得這局比賽的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意,若乙要贏得這局比賽,按照乙第三支箭的情況可分為兩類：（1）第三支箭投中壺口,第四支箭必須投入表耳,其概率為；（2）第三支箭投入壺耳,第四支箭投入壺口?壺耳均可,其概率為,所以乙贏得這局比賽的概率為.故選A.10．（2021河北省高三下學期仿真模擬）某迷宮有三個通道,進入迷宮的每個人都要經過一扇智能門.首次到達此門,系統會隨機（即等可能）為你打開一個通道.若是號通道,則需要小時走出迷宮；若是號、號通道,則分別需要小時、小時返回智能門.再次到達智能門時,系統會隨機打開一個你未到過的通道,直至走出迷宮為止.則你走出迷宮的時間超過小時的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】記事件走出迷宮的時間超過小時,事件包括個基本事件.一是進入號通道,回來后進入號通道的概率為；二是進入號通道,回來后進入號通道的概率為；三是進入號通道,回來后進入號通道的概率為.故.故選A.11．（2021湖北省武漢市高三下學期五月供題）A同學和B同學參加某市青少年圍棋比賽并進入決賽,決賽采取“3局2勝”制,若A同學每局獲勝的概率均為,且每局比賽相互獨立,則在A先勝一局的條件下,A最終能獲勝的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在A先勝一局的條件下,A最終能獲勝有兩種情況：（1）第二局甲再次取勝,概率為；（2）第二局甲敗,第三局甲勝,概率為,故A最終能獲勝的概率為.故選B.12．（2021湖南省高三下學期三模）在一次“概率”相關的研究性活動中,老師在每個箱子中裝了10個小球,其中9個是白球,1個是黑球,用兩種方法讓同學們來摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一個小球；方法二：在10箱中各任意摸出兩個小球．將方法一、二至少能摸出一個黑球的概率分別記為和,則（）A． B． C． D．以上三種情況都有可能【答案】B【解析】方法一：每箱中的黑球被選中的概率為,所以至少摸出一個黑球的概率．方法二：每箱中的黑球被選中的概率為,所以至少摸出一個黑球的概率．,則．故選B.二、多選題13．（2021江蘇省淮安市高三下學期5月模擬）甲?乙兩人進行圍棋比賽,共比賽局,且每局甲獲勝的概率和乙獲勝的概率均為.如果某人獲勝的局數多于另一人,則此人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為,則（）A． B．C． D．的最大值為【答案】BC【解析】由題意知：要使甲贏得比賽,則甲至少贏局,,而,∴,故C正確；A：,錯誤；B：,正確；D：當時,,由A知,顯然的最大值不是,錯誤.故選BC14．（2021湖南省長沙市長郡中學高三下學期月考）一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球,給出下列4個結論,其中正確的有（）A．從中任取3球,恰有一個白球的概率是B．從中有放回的取球6次,每次任取一球,則取到紅球次數的方差為C．現從中不放回的取球2次,每次任取1球,則在第一次取到紅球后,第二次再次取到紅球的概率為D．從中有放回的取球3次,每次任取一球,則至少有一次取到紅球的概率為【答案】ABD【解析】A.恰有一個白球的概率,故A正確；B.每次任取一球,取到紅球次數X～B,其方差為,故B正確；C．設A＝{第一次取到紅球},B＝{第二次取到紅球}．則P(A)＝,P(A∩B)＝,所以P(B|A)＝,故C錯誤；D．每次取到紅球的概率P＝,所以至少有一次取到紅球的概率為,故D正確．故選ABD.15．（2021湖北省高三下學期4月調研）四張外觀相同的獎券讓甲,乙,丙,丁四人各隨機抽取一,其中只有一張獎券可以中獎,則（）A．四人中獎概率與抽取順序無關B．在甲未中獎的條件下,乙或丙中獎的概率為C．事件甲或乙中獎與事件丙或丁中獎互斥D．事件甲中獎與事件乙中獎互相獨立【答案】ABC【解析】對于A,根據題意,每個人中獎的概率都為,與抽獎的順序無關,故A正確；對于B,記“甲未中獎”為事件A,“乙或丙中獎”為事件B,則,在甲未中獎的條件下,乙或丙中獎的概率,,故B正確；對于C,事件甲或乙中獎與事件丙或丁中獎不可能同時發生,故它們互斥,故C正確；對于D,設“甲中獎”為事件M,“乙中獎”為事件N,則,由于只有一張獎券可以中獎,事件M,N不可能同時發生,故,,不相互獨立,故D不正確.故選ABC.三、填空題16．（2012廣東省部分學校高三下學期5月聯考）三分損益法是古代中國發明制定音律時所用的生律法.三分損益包含“三分損一"“三分益一"兩層含義,三分損一是指將原有長度作3等分而減去其1份,即原有長度生得長度；而三分益一則是指將原有長度作3等分而增添其1份,即原有長度生得長度,兩種方法可以交替運用?連續運用,各音律就得以輾轉相生,假設能發出第一個基準音的樂器的長度為243,每次損益的概率為,則經過5次三分損益得到的樂器的長度為128的概率為___________.【答案】【解析】設5次三分損益中有次三分損一,所以,解得故所求概率為.17．（2021湖北省恩施高中、龍泉中學、宜昌一中高三下學期4月聯考）已知紅箱內有個紅球、個白球,白箱內有個紅球、個白球,所有小球大小、形狀完全相同．第一次從紅箱內取出一球后再放回去,第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內取出一球,然后再放回去,依次類推,第次從與第次取出的球顏色相同的箱子內取出一球,然后再放回去．則第次取出的球是紅球的概率為___________．【答案】【解析】設第次取出紅球的概率為,則取出白球的概率為,考慮第次取出紅球的概率為.①若第次取出的球為紅球,則第次在紅箱內取出紅球的概率為；②若第次取出的球為白球,則第次在白箱內取出紅球的概率為.所以,,且,所以,,,因此,.四、解答題18．（2021福建省廈門市高三5月二模）足球比賽中規定,若雙方在進行了90分鐘激戰和加時賽仍然無法分出勝負,則采取點球大戰的方式決定勝負,點球大戰規則如下：兩隊應各派5名隊員,雙方輪流踢,如果在踢滿5輪前,一隊的進球數已多于另一隊踢滿5次時可能射中的球數,則不需再踢,若5輪之后雙方進球數相同,則繼續點球,直到出現某一輪結束時,一方踢進且另一方未踢進時比賽結束,現有甲乙兩支球隊進行點球大戰,每支球隊每次點球進球的概率均為,每輪點球中,兩隊進球與否互不影響,各輪結果也互不影響.（1）最少進行幾輪