專題9.5拋物線練基礎練基礎1.（2020·全國高考真題（理））已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y軸的距離為9，則p=（）A．2 B．3 C．6 D．92．（2020·北京高三二模）焦點在x軸的正半軸上，且焦點到準線的距離為4的拋物線的標準方程是（）A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝8y D．y2＝8x3.（全國高考真題）設為拋物線的焦點，曲線與交于點，軸，則（）A． B． C． D．4．（2020·全國高考真題（文））設為坐標原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標為（）A． B． C． D．5.（2019·四川高三月考（文））若拋物線的準線為圓的一條切線，則拋物線的方程為（）A. B. C. D.6.（2019·北京高考真題（文））設拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為__________．7.（2019·山東高三月考（文））直線與拋物線相交于，兩點，當時，則弦中點到軸距離的最小值為______.8.（2021·沙灣縣第一中學（文））設過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，且直線AB的傾斜角為，則線段AB的長是____，焦點F到A，B兩點的距離之積為_________.9．（2021·全國高三專題練習）已知拋物線頂點在原點，焦點在坐標軸上，又知此拋物線上的一點到焦點的距離為，則的值為__________；拋物線方程為__________.10.（2019·廣東高三月考（理））已知為拋物線的焦點，直線與相交于兩點.若，求的值；點，若，求直線的方程.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·吉林長春市·高三（理））已知是拋物線上的一點，是拋物線的焦點，若以為始邊，為終邊的角，則等于（）A． B． C． D．2.（2017·全國高考真題（文））過拋物線的焦點，且斜率為的直線交于點（在軸上方），為的準線，點在上且，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.3．（2020·廣西南寧三中其他（理））已知拋物線的焦點為，是拋物線的準線上的一點，且的縱坐標為正數，是直線與拋物線的一個交點，若，則直線的方程為（）A． B．C． D．4.（2020·浙江高三月考）如圖，已知拋物線和圓，直線經過的焦點，自上而下依次交和于A，B，C，D四點，則的值為（）A． B． C．1 D．25．【多選題】（2022·全國高三專題練習）已知拋物線與雙曲線有相同的焦點，點在拋物線上，則下列結論正確的有（）A．雙曲線的離心率為2 B．雙曲線的漸近線為C． D．點P到拋物線的焦點的距離為46．【多選題】（2021·海南鑫源高級中學）在下列四個命題中，真命題為（）A．當a為任意實數時，直線(a-1)x-y+2a+1=0恒過定點P，則過點P且焦點在y軸上的拋物線的標準方程是B．已知雙曲線的右焦點為(5，0)，一條漸近線方程為2x-y=0，則雙曲線的標準方程為C．拋物線y=ax2(a≠0)的準線方程D．已知雙曲線，其離心率，則m的取值范圍(-12，0)7．（2021·全國高二課時練習）已知點為拋物線上一點，若點到兩定點，的距離之和最小，則點的坐標為______．8．（2021·全國高二課時練習）拋物線的焦點為，已知點，為拋物線上的兩個動點，且滿足，過弦的中點作拋物線準線的垂線，垂足為，則的最大值為______.9．（2020·山東濟南外國語學校高三月考）拋物線：的焦點坐標是________；經過點的直線與拋物線相交于，兩點，且點恰為的中點，為拋物線的焦點，則________.10.（2019·四川高考模擬（文））拋物線：的焦點為，拋物線過點.（Ⅰ）求拋物線的標準方程與其準線的方程；（Ⅱ）過點作直線與拋物線交于，兩點，過，分別作拋物線的切線，證明兩條切線的交點在拋物線的準線上.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（）A．1 B．2 C． D．42．（2021·天津高考真題）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．33．（2020·北京高考真題）設拋物線的頂點為，焦點為，準線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（）．A．經過點 B．經過點C．平行于直線 D．垂直于直線4.（2021·全國高考真題）已知為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準線方程為______.5．（2020·山東海南省高考真題）斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則=________．6．（2020·浙江省高考真題）如圖，已知橢圓，拋物線，點A是橢圓與拋物線的交點，過點A的直線l交橢圓于點B，交拋物線于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求拋物線的焦點坐標；（Ⅱ）若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點，求p的最大值．專題9.5拋物線練基礎練基礎1.（2020·全國高考真題（理））已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y軸的距離為9，則p=（）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【解析】設拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得.故選：C.2．（2020·北京高三二模）焦點在x軸的正半軸上，且焦點到準線的距離為4的拋物線的標準方程是（）A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝8y D．y2＝8x【答案】D【解析】根據題意，要求拋物線的焦點在x軸的正半軸上，設其標準方程為，又由焦點到準線的距離為4，即p＝4，故要求拋物線的標準方程為y2＝8x，故選：D.3.（全國高考真題）設為拋物線的焦點，曲線與交于點，軸，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由拋物線的性質可得，故選D.4．（2020·全國高考真題（文））設為坐標原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為直線與拋物線交于兩點，且，根據拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點坐標為，故選：B.5.（2019·四川高三月考（文））若拋物線的準線為圓的一條切線，則拋物線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵拋物線的準線方程為，垂直于x軸．而圓垂直于x軸的一條切線為，則，即．故拋物線的方程為．故選：C．6.（2019·北京高考真題（文））設拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為__________．【答案】(x-1)2+y2=4.【解析】拋物線y2=4x中，2p=4，p=2，焦點F（1,0），準線l的方程為x=-1，以F為圓心，且與l相切的圓的方程為(x-1)2+y2=22,即為(x-1)2+y2=4.7.（2019·山東高三月考（文））直線與拋物線相交于，兩點，當時，則弦中點到軸距離的最小值為______.【答案】【解析】由題意，拋物線的焦點坐標為（0，），根據拋物線的定義如圖，所求d=故答案為：．8.（2021·沙灣縣第一中學（文））設過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，且直線AB的傾斜角為，則線段AB的長是____，焦點F到A，B兩點的距離之積為_________.【答案】88【分析】由題意可得直線AB的方程為，然后將直線方程與拋物線方程聯立方程組，消去后，利用根與系數的關系，結合拋物線的定義可求得答案【詳解】解：由題意得，則直線AB的方程為，設，由，得，所以，所以，因為，所以，故答案為：8，89．（2021·全國高三專題練習）已知拋物線頂點在原點，焦點在坐標軸上，又知此拋物線上的一點到焦點的距離為，則的值為__________；拋物線方程為__________.【答案】答案見解析答案見解析【分析】由于拋物線的開口方向未定，根據點在拋物線上這一條件，拋物線開口向下，向左、向右均有可能，以此分類討論，利用焦半徑公式列方程可得的值，根據點在拋物線上可得的值.【詳解】根據點在拋物線上，可知拋物線開口向下，向左、向右均有可能，當拋物線開口向下時，設拋物線方程為（），此時準線方程為，由拋物線定義知，解得.所以拋物線方程為，這時將代入方程得.當拋物線開口向左或向右時，可設拋物線方程為（），從知準線方程為，由題意知，解此方程組得，，，，綜合（1）、（2）得，；，；，；，；，.故答案為：，，，，；，，，，.10.（2019·廣東高三月考（理））已知為拋物線的焦點，直線與相交于兩點.若，求的值；點，若，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意，可得，設，聯立方程組，整理得，則，，又由.（2）由題意，知，，，由，可得又，，則，整理得，解得，所以直線的方程為.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·吉林長春市·高三（理））已知是拋物線上的一點，是拋物線的焦點，若以為始邊，為終邊的角，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設點，取，可得，求出的值，利用拋物線的定義可求得的值.【詳解】設點，其中，則，，取，則，可得，因為，可得，解得，則，因此，.故選：D.2.（2017·全國高考真題（文））過拋物線的焦點，且斜率為的直線交于點（在軸上方），為的準線，點在上且，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設直線與軸相交于點，與直線相交于點，，設，因為，所以，所以，解得：，設，由焦半徑公式得：，所以，，所以，所以點到直線的距離為.3．（2020·廣西南寧三中其他（理））已知拋物線的焦點為，是拋物線的準線上的一點，且的縱坐標為正數，是直線與拋物線的一個交點，若，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】過點作于，因為，由拋物線的定義得，所以在中，，所以，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故選B.4.（2020·浙江高三月考）如圖，已知拋物線和圓，直線經過的焦點，自上而下依次交和于A，B，C，D四點，則的值為（）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】因為拋物線的焦點為，又直線經過的焦點，設直線，由得，設，則由題意可得：，同理，所以.故選C5．【多選題】（2022·全國高三專題練習）已知拋物線與雙曲線有相同的焦點，點在拋物線上，則下列結論正確的有（）A．雙曲線的離心率為2 B．雙曲線的漸近線為C． D．點P到拋物線的焦點的距離為4【答案】ACD【分析】由雙曲線方程寫出離心率、漸近線及焦點，即可知A、B、C的正誤，根據所得拋物線方程求，即知D的正誤.【詳解】雙曲線的離心率為，故A正確；雙曲線的漸近線為，故B錯誤；由有相同焦點，即，即，故C正確；拋物線焦點為，點在上，則，故或，所以P到的焦點的距離為4，故D正確．故選：ACD．6．【多選題】（2021·海南鑫源高級中學）在下列四個命題中，真命題為（）A．當a為任意實數時，直線(a-1)x-y+2a+1=0恒過定點P，則過點P且焦點在y軸上的拋物線的標準方程是B．已知雙曲線的右焦點為(5，0)，一條漸近線方程為2x-y=0，則雙曲線的標準方程為C．拋物線y=ax2(a≠0)的準線方程D．已知雙曲線，其離心率，則m的取值范圍(-12，0)【答案】ACD【分析】求出直線定點設出拋物方程即可判斷A；根據漸近線方程與焦點坐標求出即可判斷B；根據拋物線方程的準線方程公式即可判斷C；利用雙曲線離心率公式即可判斷D．【詳解】對A選項，直線(a-1)x-y+2a+1=0恒過定點為，則過點且焦點在y軸上的拋物線的標準方程設為，將點代入可得，所以，故A正確；對B選項，知，又，解得，所以雙曲線的標準方程為，故B錯；對C選項，得，所以準線方程，正確；對D選項，化雙曲線方程為，所以，解得，故正確．故選：ACD7．（2021·全國高二課時練習）已知點為拋物線上一點，若點到兩定點，的距離之和最小，則點的坐標為______．【答案】【分析】過點作拋物線準線的垂線，垂足為，根據拋物線的定義可得，易知當，，三點共線時取得最小值且為，進而可得結果.【詳解】過點作拋物線準線的垂線，垂足為，由拋物線的定義，知點到焦點的距離與點到準線的距離相等，即，所以，易知當，，三點共線時，取得最小值，所以，此時點的坐標為．故答案為：8．（2021·全國高二課時練習）拋物線的焦點為，已知點，為拋物線上的兩個動點，且滿足，過弦的中點作拋物線準線的垂線，垂足為，則的最大值為______.【答案】【分析】設，，根據中位線定理以及拋物線定義可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最大值．【詳解】設，，作垂直拋物線的準線于點，垂直拋物線的準線于點.由拋物線的定義，知，.由余弦定理得.又，∴，當且僅當時，等號成立，∴，∴，即的最大值為.故答案為：．9．（2020·山東濟南外國語學校高三月考）拋物線：的焦點坐標是________；經過點的直線與拋物線相交于，兩點，且點恰為的中點，為拋物線的焦點，則________.【答案】9【解析】拋物線：的焦點．

過作準線交準線于，過作準線交準線于，過作準線交準線于，

則由拋物線的定義可得．

再根據為線段的中點，，∴，

故答案為：焦點坐標是，．10.（2019·四川高考模擬（文））拋物線：的焦點為，拋物線過點.（Ⅰ）求拋物線的標準方程與其準線的方程；（Ⅱ）過點作直線與拋物線交于，兩點，過，分別作拋物線的切線，證明兩條切線的交點在拋物線的準線上.【答案】（Ⅰ）拋物線的標準方程為，準線的方程為；（Ⅱ）詳見解析.【解析】（Ⅰ）由，得，所以拋物線的標準方程為，準線的方程為.（Ⅱ）根據題意直線的斜率一定存在，又焦點，設過點的直線方程為，聯立，得，.設，，則，.∴.由得，，過，的拋物線的切線方程分別為，即，兩式相加，得，化簡，得，即，所以，兩條切線交于點，該點顯然在拋物線的準線：上.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】首先確定拋物線的焦點坐標，然后結合點到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點坐標為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.2．（2021·天津高考真題）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】設公共焦點為，進而可得準線為，代入雙曲線及漸近線方程，結合線段長度比值可得，再由雙曲線離心率公式即可得解.【詳解】設雙曲線與拋物線的公共焦點為，則拋物線的準線為，令，則，解得，所以,又因為雙曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.3．（2020·北京高考真題）設拋物線的頂點為，焦點為，準線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（）．A．經過點 B．經過點C．平行于直線 D．垂直于直線【答案】B【解析】如圖