專題21空間幾何體及其表面積與體積

1.（2021年全國高考甲卷數學試題）在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E,F,G.該正方體

截去三棱錐A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應的側視圖是（）

【答案】D

【分析】由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示,

故選：D

2.（2021年北京卷數學試題）定義：24小時內降水在平地上積水厚度（mm）來判斷降雨程度.其中小雨

中雨（10mm—25mm）,大雨（25mm-50mmj,暴雨（50mm-小明用一個圓錐形容器接了24小時雨

水，如圖，則這天降雨屬于哪個等級（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答窠】B

【解析】

【分析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.

【詳解】由題意，一個半徑為皆=100（mm）的圓面內的降雨充滿一個底面半徑為管x端=50（mm）,

高為150（mm）的圓錐,

所卜|如心后方-^X502X150

所以私水厚度仁%k=3mm）,屬于中雨.

故選：B.

3.（2021年北京卷數學試題）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）

C.3+>/3D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根據三視圖可得如圖所示的幾何體（三棱錐），根據三視圖中的數據可計算該幾何體的表面積.

【詳解】根據三視圖可得如圖所示的幾何休-正三棱錐O-A5C，

其側面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，

由三視圖可得該正三棱錐的側棱長為1,

故其表面積為3x：xlxl+乎＞、（返）,

故選：A.

4.（2021年全國高考甲卷數學（理）試題）已如A,B,。是半徑為1的球O的球面上的三個點，且

AC1BC^C=BC=\,則三棱錐O-45C的體積為（）

A&口6c&D6

121244

【答案】A

【分析】???AC_LBC,AC=3C=1,.?.△ABC為等腰直角三角形，.?.45=夜，

則△A5C外接圓的半徑為也，又球的半徑為1,

2

設。到平面48c的距離為d，

所以%ABC=!S.C，d=—X—X1X1X

3322[2

故選：A.

5.（2021年全國新高考I卷數學試題）已知圓錐的底面半徑為0,其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的

母線長為（）

A.2B.20C.4D.4及

【答案】B

【分析】設圓錐的母線長為/,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則加=2乃x&，解得/=2五.

故選：B.

32萬

6.（2021年天津卷）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為一丁，兩個

3

圓錐的高之比為1:3,則這兩個圓錐的體積之和為（）

A.3aB.4乃C.97rD.12乃

【答窠】B

【解析】

【分析】作出圖形，計算球體的半徑，可計算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計算出圓錐的底面圓半徑，

再利用錐體體積公式可求得結果.

【詳解】如下圖所示，設兩個圓錐的底面圓圓心為點。，

設圓錐AO和圓錐的高之比為3:1,^AD=3BD,

設球的半徑為R,則如眩=絲，可得R=2,所以，AB=AD+BD=4BD=4,

33

所以，BD=1，AD=3,

-CD1AB,則NC4O+ZAC。=N3C￡>+ZAC。=90，所以，NCAD=NBCD，

又因為NADC=/BDC，所以，AACD^ACBD,

ADCD

所以,CD=dADBD，

~CD~~BD=>/3

因此，這兩個圓錐的體積之和為g4xCZ）2.（4O+8O）=g4x3x4=4萬.

故選：B.

7.（2021年浙江卷試題）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

m

側視圖

3V2

B.3r1D.35/2

2

【答案】A

【解析】

【分析】根據三視圖可得如圖所示的幾何體，根據棱柱的體積公式可求其體積.

【詳解】幾何體為如圖所示的四棱柱A8CO-，其高為1，底面為等腰梯形43c

該等腰梯形的上底為血，下底為2加，腰長為1，故梯形的高為

故匕BCD-A4Gq=]X（&+2夜）X^^xl=5,

故選：A.

8.（2021年全國高考乙卷數學（文）試題）以圖①為正視圖，在圖②?④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖,

組成某三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

圖①圖②圖③

【答案】③④（答案不唯一）

【分析】選擇側視圖為③，俯視圖為④,

如圖所示，長方體ABC。—A8c中，AB=BC=2,BBi=l,

旦尸分別為棱4C，BC的中點，

則正視圖①，側視圖③，俯視圖④對應的幾何體為三棱錐七一4）「.

故答案為：③④.

9.（2021年全國高考甲卷數學（文）試題）已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30萬則該圓錐的側面積為

【答窠】394

【分析】W=i^62/z=30^

3

.*.7?=—

2

10.（2021年全國新高考2卷數學試題）北斗三號全球衛星導航系統是我國航天事業的重要成果.在衛星導航

系統中，地球靜止同步衛星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度是指衛星到地

球表面的距離）.將地球看作是一個球心為O,半徑「為6400km的球，其上點A的緯度是指OA與赤道平

面所成角的度數.地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛星點的緯度最大值為a,記衛星信號

覆蓋地球表面的表面積為S=24，（1—cosa）（單位：km2）?則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【答案】C

【解析】

【分析】由題意結合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計算即可求得最終結果.

【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：

164（X）

2+（1-cosa）=1-cosa=-640。+36000a（）42=42%?

44/~2~2?.一

故選：C.

11.（2021年全國新高考2卷數學試題）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側棱長為2,則其體積為（）

A.20+126B.280C.乎D.

33

【答案】D

【解析】

【分析】由四棱臺的幾何特征算出該幾何體