第三章剛體的轉動教學基本要求

一

理解描寫剛體定軸轉動的物理量，并掌握角量與線量的關系。

二

理解轉動慣量，轉動動能和力矩的功的概念，掌握剛體繞定軸轉動的動能定理，能在有剛體繞定軸轉動的問題中正確地應用機械能守恒定律。

四

理解剛體角動量概念，掌握質點在平面內運動以及剛體繞定軸轉動情況下的角動量守恒定律的應用。

三

理解力矩的概念，掌握剛體定軸轉動的轉動定律。

剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發生變化的物體.（任意兩質點間距離保持不變的特殊質點組）剛體的運動形式：平動、轉動.

剛體平動質點運動

平動：若剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同，或者說剛體內任意兩點間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線.

轉動：剛體中所有的點都繞同一直線做圓周運動.轉動又分定軸轉動和非定軸轉動.

剛體的平面運動.

剛體的一般運動質心的平動繞質心的轉動+一剛體轉動的角速度和角加速度1）每一質點均作圓周運動，圓面為轉動平面；2）任一質點運動均相同，但不同；3）運動描述僅需一個坐標.定軸轉動的特點

轉動平面

角坐標<0q0>q約定沿逆時針方向轉動沿逆時針方向轉動參考軸角位移角加速度

剛體定軸轉動（一維轉動）的轉動方向可以用角速度的正負來表示.角速度矢量

方向:右手螺旋方向角量與線量的關系二轉動動能三轉動慣量

物理意義：轉動慣性的量度.

質量離散分布剛體的轉動慣量轉動慣性的計算方法

質量連續分布剛體的轉動慣量：質量元

對質量線分布的剛體：：質量線密度

對質量面分布的剛體：：質量面密度

對質量體分布的剛體：：質量體密度：質量元

質量連續分布剛體的轉動慣量O′O

解設棒的線密度為，取一距離轉軸OO′

為處的質量元

例1一質量為、長為

的均勻細長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉動慣量.O′O如轉軸過端點垂直于棒

平行軸定理

質量為

的剛體，如果對其質心軸的轉動慣量為，則對任一與該軸平行，相距為

的轉軸的轉動慣量COCOOR

例2一質量為、半徑為的均勻細圓環和薄圓盤，求通過盤中心O

并與圓面垂直的軸的轉動慣量.OR

解設細圓環線密度為，在環上取長度為的一段圓弧：dlm對圓盤：設圓盤面密度為，在盤上取半徑為，寬為的圓環圓環質量圓環對軸的轉動慣量而所以ORO例3）求一質量為m的均勻實心球對其一條直徑為軸的轉動慣量。解：一球繞Z軸旋轉，離球心Z高處切一厚為dz的薄圓盤。其半徑為其體積：其質量：其轉動慣量：YXZORrdZZYXZORrdZZAm1,lm2,Rω

例4系統由一個細桿和一個小球組成，求繞過A點的軸轉動時的轉動慣量。竿子長些還是短些較安全？

飛輪的質量為什么大都分布于外輪緣？

轉動慣量的大小取決于剛體的總質量、形狀大小、質量分布及轉軸的位置.總結注意：2）方向：的方向3）單位：米.牛頓o

m1）大小定義：力對某點O的力矩等于力的作用點的矢徑與力F的矢量積.

一、力對某點的力矩

有兩種情況,B）力的方向沿矢徑的方向（）有心力的力矩為零A）4）當時P*O:力臂

剛體繞Oz

軸旋轉,力作用在剛體上點P,

且在轉動平面內,為由點O到力的作用點P的徑矢.

對轉軸Z的力矩

二剛體的力矩O討論

1）若力不在轉動平面內，把力分解為平行和垂直于轉軸方向的兩個分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和

其中對轉軸的力矩為零，故對轉軸的力矩3）剛體內作用力和反作用力的力矩互相抵消O例1，均勻細桿，在平面內以角速度ω轉動，求M摩擦力。解力是連續的

其中：所以rωF例2，現有一圓盤在平面內以角速度ω轉動，求摩擦力產生的力矩（μ、m、R）。ω解取細圓環為質元O三轉動定律2）剛體質量元受外力，內力

1）單個質點與轉軸剛性連接外力矩內力矩O

剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外力矩成正比

，與剛體的轉動慣量成反比.

轉動定律轉動慣量OT’例1:一質量m1為的物體繞在一半徑為r質量為m2的圓盤上,開紿時靜止,求重物的加速度、繩中的張力和t時刻重物下降多高?(繩的質量與軸上的磨擦力不計).rm2m1m1grm2gTT’N已知:m1、m2、r求：a、T、h解：建立轉動軸的正方向，加速度的正方向.T隔離物體分析力：列方程：a+

+m1g-T=m1a….(1)T’r=I…(2)…(3)a=r…(4)…(5)T=T’T’rm2m1m1grm2gTT’NTa+

+m1g-T=m1a….(1)T’r=I

…(2)…(3)a=r…(4)…(5)T=T’T=T’=I

rm1g-=m1aI

rm1g-=m1r

I

r

=m1grm1r2+Im1grm1r2+m2r212=2m1g(2m1+m2)r=a=r=2m1g2m1+m2由(2)式:代入(1)式:所以:a=r

m1gt22m1+m2=注意:a等于常數且初速為零!T=T’=I

r2m1g(2m1+m2)r=

T=m1m2g2m1+m2所以:2m1g2m1+m2==m1gm1g-T=m1a….(1)T’r=I

…(2)…(3)a=r…(4)…(5)T=T’求：解：以為研究對象。受力分析：例2質量分別為m1。m2的物體通過輕繩掛在質量為m3半徑為的圓盤形滑輪上。求物體m1。m2運動的加速度以及繩子張力,（繩子質量不計）已知：建立軸的正向：（力矩投影的正方向）m1m2列方程：+解上面五式得：m1m2討論：當時+m1m2例3一靜止剛體受到一等于M0（N.m)的不變力矩的作用,同時又引起一阻力矩M1，M1與剛體轉動的角速度成正比,即|M1|=

k(