第25講蝴蝶問題一、解答題1．在平面直角坐標系中，已知圓，點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點，設點的軌跡為曲線。(1)求曲線的方程；(2)若，設過點的直線與曲線分別交于點，其中，求證：直線必過軸上的一定點。(其坐標與無關)2．已知橢圓的左?右頂點分別為點，，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點，直線，的交于點，求證：點在直線上.3．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，離心率為，點P為橢圓上一點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，過點C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．4．已知橢圓E：的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓E上.（1）求橢圓E的方程；（2）設不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：．5．已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）設不過原點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，線段的中點為，直線與橢圓交于，證明：.6．如圖，為坐標原點，橢圓（）的焦距等于其長半軸長，為橢圓的上、下頂點，且（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于異于的兩點，直線交于點．求證：點的縱坐標為定值3．7．已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）設為橢圓右頂點，過橢圓的右焦點的直線與橢圓交于，兩點（異于），直線，分別交直線于，兩點.求證：，兩點的縱坐標之積為定值.8．已知橢圓經過點，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經過點且斜率存在的直線交橢圓于兩點，點與點關于坐標原點對稱．連接．求證：存在實數，使得成立．9．已知點在橢圓：上，為坐標原點，直線：的斜率與直線的斜率乘積為（1）求橢圓的方程；（2）不經過點的直線：（且）與橢圓交于，兩點，關于原點的對稱點為（與點不重合），直線，與軸分別交于兩點，，求證：.10．橢圓（）的左、右焦點分別為，在橢圓上，的周長為，面積的最大值為2.（1）求橢圓的方程；（2）直線（）與橢圓交于，連接，并延長交橢圓于，連接，探索與的斜率之比是否為定值并說明理由.11．已知橢圓的方程為，在橢圓上，橢圓的左頂點為，左、右焦點分別為，的面積是的面積的倍．（1）求橢圓的方程；（2）直線（）與橢圓交于，，連接，并延長交橢圓于，，連接，指出與之間的關系，并說明理由．12．已知橢圓C的方程為，在橢圓上，離心率，左、右焦點分別為、．（1）求橢圓C的方程；（2）直線與橢圓C交于A，B兩點，連接并延長交橢圓C于D、E兩點，連接，求的值．13．如圖，B，A是橢圓的左、右頂點，P，Q是橢圓C上都不與A，B重合的兩點，記直線BQ，AQ，AP的斜率分別是，，.（1）求證：；（2）若直線PQ過定點，求證：.14．已知橢圓：的焦距為4，且點在橢圓上，直線經過橢圓的左焦點，與橢圓交于兩點，且其斜率為，為坐標原點，為橢圓的右焦點.（1）求橢圓的方程；（2）設，延長分別與橢圓交于兩點，直線的斜率為，求證：為定值.15．已知橢圓的離心率為，半焦距為，且，經過橢圓的左焦點，斜率為的直線與橢圓交于，兩點，為坐標原點．（I）求橢圓的標準方程．（II）設，延長，分別與橢圓交于，兩點，直線的斜率為，求證：為定值．第25講蝴蝶問題一、解答題1．在平面直角坐標系中，已知圓，點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點，設點的軌跡為曲線。(1)求曲線的方程；(2)若，設過點的直線與曲線分別交于點，其中，求證：直線必過軸上的一定點。(其坐標與無關)【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）由橢圓的定義可直接求出求曲線的方程；（2）先求出直線的方程，再分別與橢圓聯立方程組，求出兩點的坐標并寫出直線的方程【詳解】（1）∵在線段的垂直平分線上，∴∴由橢圓的定義知點的軌跡是以為焦點，6為長軸長的橢圓，∴曲線的方程為：。（2）點的坐標為直線方程為：，即，直線方程為：，即。分別與橢圓聯立方程組，同時考慮到，解得：.當時，直線方程為：令，解得：。此時必過點；當時，直線方程為：，與軸交點為。所以直線必過軸上的一定點?！军c睛】本題主要考查利用定義法求橢圓的標準方程及圓錐曲線中的定點問題，計算量大，第二問難度大，是高考壓軸題。2．已知橢圓的左?右頂點分別為點，，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點，直線，的交于點，求證：點在直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由題知，解方程即可得，，故橢圓的方程是.（2）先討論斜率不存在時的情況易知直線，的交點的坐標是.當直線斜率存在時，設直線方程為，，，進而聯立方程結合韋達定理得，，直線的方程是，直線的方程是，進而計算得時的縱坐標，并證明其相等即可.【詳解】解：（1）因為，橢圓離心率為，所以，解得，.所以橢圓的方程是.（2）①若直線的斜率不存在時，如圖，因為橢圓的右焦點為，所以直線的方程是.所以點的坐標是，點的坐標是.所以直線的方程是，直線的方程是.所以直線，的交點的坐標是.所以點在直線上.②若直線的斜率存在時，如圖.設斜率為.所以直線的方程為.聯立方程組消去，整理得.顯然.不妨設，，所以，.所以直線的方程是.令，得.直線的方程是.令，得.所以分子..所以點在直線上.【點睛】本題第二問解題的關鍵在于分類討論直線斜率不存在和存在兩種情況，當直線斜率存在時，設，，寫出直線的方程是和直線的方程是，進而計算得時的縱坐標相等即可.考查運算求解能力，是中檔題.3．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，離心率為，點P為橢圓上一點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，過點C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．【答案】（1）＋＝1；（2）.【分析】(1)由橢圓的離心率,和點P在橢圓上求出橢圓的標準方程;(2)由橢圓的對稱性可知直線l的斜率一定存在，設其方程為y＝kx＋1,設M(x1，y1)，N(x2，y2),聯立方程組消去y,再將k1＝2k2用坐標表示,利用點在橢圓上和韋達定理求出直線l的斜率.【詳解】(1)因為橢圓的離心率為，所以a＝2c.又因為a2＝b2＋c2，所以b＝c.所以橢圓的標準方程為＋＝1.又因為點P為橢圓上一點，所以＋＝1，解得c＝1.所以橢圓的標準方程為＋＝1.(2)由橢圓的對稱性可知直線l的斜率一定存在，設其方程為y＝kx＋1.設M(x1，y1)，N(x2，y2)．聯立方程組消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.所以由根與系數關系可知x1＋x2＝－，x1x2＝－.因為k1＝，k2＝，且k1＝2k2，所以＝.即＝.①又因為M(x1，y1)，N(x2，y2)在橢圓上，所以＝(4－)，＝(4－)．②將②代入①可得：＝，即3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0.所以3＋10＋12＝0，即12k2－20k＋3＝0.解得k＝或k＝，又因為k>1，所以k＝.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系,考查橢圓的標準方程和橢圓的幾何性質,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.4．已知橢圓E：的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓E上.（1）求橢圓E的方程；（2）設不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據a=2b，再將點代入橢圓方程，解方程組即可求解.（2）設直線l的方程為，將直線與橢圓聯立，利用韋達定理可得M點坐標為，從而求出直線OM方程，將直線與橢圓聯立，求出點，根據兩點間的距離公式即可求解.【詳解】（1）由已知，a=2b.又橢圓過點，故，解得.所以橢圓E的方程是.（2）設直線l的方程為，，由方程組得，①，方程①的判別式為，由，即，解得.由①得.所以M點坐標為，直線OM方程為，由方程組，得.所以.又.所以.【點睛】關鍵點點睛：本題考查了直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是求出M點坐標，考查了計算能力.5．已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）設不過原點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，線段的中點為，直線與橢圓交于，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據b=1，，結合解方程組即可求解；（2）設直線l的方程為，將直線與橢圓聯立，利用韋達定理可得中點，從而求出直線OM方程，將直線與橢圓聯立，求出點，根據兩點間的距離公式即可求解.【詳解】（1）根據題意：，所以橢圓G的方程為.（2）設直線l的方程為：由消去得：即，需即，設，中點，則，，那么直線的方程為:即，由，不妨令，那么，，所以|MC|·|MD|=|ME|·|MF|.【點睛】關鍵點點睛：本題考查了直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理可得中點，從而求出直線OM方程，將直線與橢圓再次聯立，求出點，考查了分析問題、解決問題能力，以及計算能力.6．如圖，為坐標原點，橢圓（）的焦距等于其長半軸長，為橢圓的上、下頂點，且（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于異于的兩點，直線交于點．求證：點的縱坐標為定值3．【答案】（1）；（2）3【分析】（1）由得，再根據焦距等于其長半軸長可求，故可得橢圓的方程.（2）設直線方程為，，【詳解】解：（1）由題意可知：,，又，有，故橢圓的方程為：．（2）由題意知直線的斜率存在，設其方程為，用的橫坐標表示的縱坐標，再聯立的方程和橢圓的方程，消去得，利用韋達定理化簡的縱坐標后可得所求的定值.設（），聯立直線方程和橢圓方程得，消去得，,，且有，又，，由得，故，整理得到，故．故點的縱坐標為3．【點睛】求橢圓的標準方程，關鍵是基本量的確定，方法有待定系數法、定義法等.直線與圓錐曲線的位置關系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯立方程組并消元得到關于或的一元二次方程，再把要求解的目標代數式化為關于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關系式，該關系中含有或，最后利用韋達定理把關系式轉化為若干變量的方程（或函數），從而可求定點、定值、最值問題.7．已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）設為橢圓右頂點，過橢圓的右焦點的直線與橢圓交于，兩點（異于），直線，分別交直線于，兩點.求證：，兩點的縱坐標之積為定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【分析】（Ⅰ）求出后可得橢圓方程.（Ⅱ）當直線的斜率不存在，計算可得兩點的縱坐標之積為.當直線的斜率存在時，可設直線的方程為，，則，聯立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達定理化簡后可得定值.【詳解】解：（Ⅰ）因為以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切，所以半徑等于原點到直線的距離，，即.由離心率，可知，且，得.故橢圓的方程為.（Ⅱ）由橢圓的方程可知.若直線的斜率不存在，則直線方程為，所以.則直線的方程為，直線的方程為.令，得，.所以兩點的縱坐標之積為.若直線的斜率存在，設直線的方程為,由得，依題意恒成立.設，則.設，由題意三點共線可知，所以點的縱坐標為.同理得點的縱坐標為.所以綜上，兩點的縱坐標之積為定值.【點睛】求橢圓的標準方程，關鍵是基本量的確定，方法有待定系數法、定義法等.直線與圓錐曲線的位置關系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯立方程組，消元后得到關于或的一元二次方程，再把要求解的目標代數式化為關于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關系式，該關系式中含有或，最后利用韋達定理把關系式轉化為若干變量的方程（或函數），從而可求定點、定值、最值等問題.8．已知橢圓經過點，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經過點且斜率存在的直線交橢圓于兩點，點與點關于坐標原點對稱．連接．求證：存在實數，使得成立．【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由點可得,由,根據即可求解；（2）設直線的方程為,聯立可得,設,由韋達定理可得,再根據直線的斜率公式求得；由點B與點Q關于原點對稱,可設,可求得,則,即可求證.【詳解】解:（1）由題意可知,,又,得,所以橢圓的方程為（2）證明:設直線的方程為，聯立,可得,設,則有,因為,所以,又因為點B與點Q關于原點對稱,所以,即,則有,由點在橢圓上,得,所以,所以,即，所以存在實數,使成立【點睛】本題考查橢圓的標準方程,考查直線的斜率公式的應用,考查運算能力.9．已知點在橢圓：上，為坐標原點，直線：的斜率與直線的斜率乘積為（1）求橢圓的方程；（2）不經過點的直線：（且）與橢圓交于，兩點，關于原點的對稱點為（與點不重合），直線，與軸分別交于兩點，，求證：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【分析】（Ⅰ）根據橢圓的中點弦所在直線的斜率的性質，得到，得到，再結合橢圓所過的點的坐標滿足橢圓方程，聯立方程組，求得，進而求得橢圓的方程；（Ⅱ）將直線方程與橢圓方程聯立，消元，利用韋達定理得到兩根和與兩根積，將證明結果轉化為證明直線，的斜率互為相反數，列式，可證.【詳解】（Ⅰ）由題意，，即①又②聯立①①解得所以，橢圓的方程為：.（Ⅱ）設，，，由，得，所以，即，又因為，所以，，，，解法一：要證明，可轉化為證明直線，的斜率互為相反數，只需證明，即證明.∴∴，∴.解法二：要證明，可轉化為證明直線，與軸交點、連線中點的縱坐標為，即垂直平分即可.直線與的方程分別為：，，分別令，得，而，同解法一，可得，即垂直平分.所以，.【點睛】該題考查的是有關解析幾何的問題，涉及到的知識點有橢圓方程的求解，用到的結論有橢圓中點弦所在直線的斜率的特征，再者就是直線與橢圓相交的綜合題，認真審題是正確解題的關鍵，注意正確的等價轉化.10．橢圓（）的左、右焦點分別為，在橢圓上，的周長為，面積的最大值為2.（1）求橢圓的方程；（2）直線（）與橢圓交于，連接，并延長交橢圓于，連接，探索與的斜率之比是否為定值并說明理由.【答案】（I）；（II）.【分析】利用的周長為，面積的最大值為列出方程求出a，b即可得到橢圓方程．設，則直線AD：，代入C：，結合，代入化簡得，設，利用韋達定理通過斜率關系，化簡求解即可．【詳解】，，得，所以橢圓C的方程為：．設，則直線AD：，代入C：得，因為，代入化簡得，設，則，所以，，直線，同理可得，．所以，所以：．【點睛】本題考查橢圓的簡單性質，橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力．11．已知橢圓的方程為，在橢圓上，橢圓的左頂點為，左、右焦點分別為，的面積是的面積的倍．（1）求橢圓的方程；（2）直線（）與橢圓交于，，連接，并延長交橢圓于，，連接，指出與之間的關系，并說明理由．【答案】(1);(2)見解析.【解析】【分析】（1）由題意可求得，，從而可得橢圓的方程．（2）設，則，可得直線的方程為，與橢圓方程聯立后消元可得二次方程，然后根據二次方程根與系數的關系得到點的坐標．同理可得點的坐標，最后通過計算可得．【詳解】（1）由的面積是的面積的倍，可得，即，又，所以，由在橢圓上，可得，所以，可得，，所以橢圓的方程為．（2）設，則，故直線的方程為，由消去整理得，又，代入上式化簡得，設，，則，所以，．又直線的方程為，同理可得，．所以kDE所以．【點睛】在解答直線和圓錐曲線位置關系的問題時，一般要遇到大量的運算，所以在解題時為了減少運算量要注意合理運用“設而不求”、“整體代換”等方法的運用，以減少運算，提高解題的效率，盡量避免出現計算中的錯誤．12．已知橢圓C的方程為，在橢圓上，離心率，左、右焦點分別為、．（1）求橢圓C的方程；（2）直線與橢圓C交于A，B兩點，連接并延長交橢圓C于D、E兩點，連接，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由在橢圓上，得到，再根據和，求得的值，即可求解；（2）設，得到直線，聯立方程組，結合，求得，，同理求得，，結合斜率公式，化簡，即可求解.【詳解】（1）由在橢圓上，可得，又由離心率，可得，且，解得，所以橢圓C的方程為．（2）設，則，直線，代入，得，因為，代入化簡得，設，，則，所以，，直線：，同理可得，化簡得，故，即，，所以又，所以．【點睛】直線與圓錐曲線的綜合問題的求解策略：對于直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用問題，通常聯立直線方程與圓錐曲線方程，應用一元二次方程根與系數的關系，以及弦長公式等進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力．13．如圖，B，A是橢圓的左、右頂點，P，Q是橢圓C上都不與A，B重合的兩點，記直線BQ，AQ，AP的斜率分別是，，.（1）求證：；（2）若直線PQ過定點，求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）設，代入斜率公式求；（2）設直線的方程是，與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系表示，再根據（1）的結論證明.【詳解】（1）設；（2）設直線的方程是，設與橢圓方程聯立，得：，，，，,由（1）可知，兩式消去，解得：.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，定值和定點，意在考查轉化與化歸的思想和計算能力，屬于中檔題型，第二問中設而不求的基本方法也使得求解過程變得簡單，在解決圓錐曲線與動直線問題中，韋達定理，弦長公式都是解題的基本工具.14．已知橢圓：的焦距為4，且點在橢圓上，直線經過橢圓的左焦點，與橢圓交于兩點，且其斜率為，為坐標原點，為橢圓的右焦點.