專題9幾何概型例1．某人向直角邊長分別為6和8的一個直角三角形中投擲一個點，求此點落在此直角三角形內切圓的內部的概率是A． B． C． D．例2．某游樂場制作了如圖所示的游戲盤，其中為等腰三角形，，為的中點，分別以，為圓心，，為半徑畫弧，交于另一點．向游戲盤內投飛鏢（不考慮投不中的情況），則飛鏢落入陰影部分的概率為A． B． C． D．例3．為了估計無理數的值，采用如下做法：在直角坐標系中，作出函數的圖象，在軸上分別取，兩點，過點作軸的垂線交函數的圖象于點，再過點作軸的垂線，與過點垂直于軸的直線交于點．然后隨機地向矩形內投入粒豆子，若落在曲線上方有粒豆子，則無理數的估計值為A． B． C． D．例4．如圖，點的坐標為，點的坐標為，函數，若在矩形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于A． B． C． D．例5．《定理匯編》是一本十分重要的書籍，其中有一些定理是關于鞋匠刀形的，即由在同一直線上的三個半圓圓，圓，圓圍成的圖形被阿基米德稱為鞋匠刀形，其半徑分別為，，，如圖所示，在大半圓內隨機取一點，此點取自陰影部分的概率為，則的值為A． B． C． D．例6．《易經》包含著很多哲理，在信息學、天文學中都有廣泛的應用，《易經》的博大精深對今天的幾何學和其他學科仍有深刻的影響．如圖就是《易經》中記載的幾何圖形八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，圖中八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田．已知正八邊形的邊長為，代表陰陽太極圖的圓的半徑為，在正八邊形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是A． B． C． D．例7．如圖是數學界研究的弓月形的一種，，，是以為直徑的圓的內接正六邊形的三條鄰邊，四個半圓的直徑分別是，，，，在整個圖形中隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是A． B． C． D．例8．歐幾里得是希臘論證幾何學的集大成者，在其所著的《幾何原本》中命題：在直角三角形中以斜邊為邊的正方形面積等于以兩直角邊為邊的正方形面積之和（兩直角邊的平方和等于斜邊的平方），這其實就是大家熟知的勾股定理，如圖是《幾何原本》中證明的圖示，在中，，，，若在四邊形中任取一點，則該點落在四邊形中的概率是A． B． C． D．例9．已知正方形中，點為邊的中點，若在正方形內部隨機取一個點，則點取自內部的概率為A． B． C． D．例10．《周髀算經》中提出了“方屬地，圓屬天”，也就是人們常說的“天圓地方”．我國古代銅錢的鑄造也蘊含了這種“外圓內方”“天地合一”的哲學思想．現將銅錢抽象成如圖所示的圖形，其中圓的半徑為，正方形的邊長為，若在圓內隨機取點，得到點取自陰影部分的概率是，則圓周率的值為A． B． C． D．例11．在區間上隨機地取一個數，則事件“”發生的概率為A． B． C． D．例12．魏晉時期數學家劉徽在他的著作《九章算術注》中，稱一個正方體內兩個互相垂直的內切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”（如圖），劉徽通過計算得知正方體的內切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應為．在某一球內任意取一點，則此點取自球的一個內接正方體的“牟合方蓋”的概率為A． B． C． D．例13．趙爽是我國古代數學家、天文學家，趙爽為《周碑算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的）．類比“趙爽弦圖”，可類似地構造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設，若在大等邊三角形內隨機取一點，則此點取自小等邊三角形內的概率是A． B． C． D．例14．《九章算術》中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為8步和15步，問其內切圓的直徑為多少步？”現若向此三角形內隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓內的概率是A． B． C． D．例15．關于圓周率，數學發展史上出現過許多很有創意的求法，如著名的浦豐實驗和查理斯實驗．受其啟發，我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值：先請100名同學每人隨機寫下一個，都小于1的正實數對；再統計兩數能與1構成鈍角三角形三邊的數對的個數；最后再根據統計數估計的值，假如某次統計結果是，那么本次實驗可以估計的值為A． B． C． D．例16．圓周率是圓的周長與直徑的比值，一般用希臘字母表示．早在公元480年左右，南北朝時期的數學家祖沖之就得出精確到小數點后7位的結果，他是世界上第一個把圓周率的數值計算到小數點后第7位的人，這比歐洲早了約1000年．生活中，我們也可以通過如下隨機模擬試驗來估計的值：在區間內隨機取個數，構成個數對，設，能與1構成鈍角三角形三邊的數對有對，則通過隨機模擬的方法得到的的近似值為A． B． C． D．例17．從區間，內隨機抽取個數，，，，，構成個數對，，，，，其中兩數的平方和不小于1的數對共有個，則用隨機模擬的方法得到圓周率的近似值為A． B． C． D．例18．關于圓周率，數學發展史上出現過許多很有創意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗．受其啟發，某同學通過下面的隨機模擬方法來估計的值：先用計算機產生2000個數對，其中，都是區間上的均勻隨機數，再統計，能與1構成銳角三角形三邊長的數對的個數；最后根據統計數來估計的值．若，則的估計值為A．3.12 B．3.13 C．3.14 D．3.15例19．關于圓周率，數學發展史上出現過許多很有創意的求法，如著名的浦豐實驗和查理斯實驗．受其啟發，我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值：先請120名同學每人隨機寫下一個、都小于1的正實數對；再統計、兩數能與1構成鈍角三角形三邊的數對的個數；最后再根據統計數估計的值，假如統計結果是，那么可以估計的值約為A． B． C． D．例20．如圖是一個圓形射擊靶的示意圖，靶心為圓心，半徑為2分米．一名運動員在練習射擊的時候，在靶上畫了一個標志勝利的“”形軸對稱圖案，其中，點，在圓形靶的邊緣上，點與靶的邊緣的最短距離為1分米．該運動員朝靶上任意射擊一次，沒有脫靶，則命中靶中“”形圖案的概率為．例21．如圖所示，點在以為直徑的半圓弧上運動，則的最小內角不小于的概率為．例22．已知直線與曲線，在曲線上隨機取一點，則點到直線的距離不大于的概率為．例23．已知集合，，點的坐標為，則當時，且滿足的概率為．專題9幾何概型例1．某人向直角邊長分別為6和8的一個直角三角形中投擲一個點，求此點落在此直角三角形內切圓的內部的概率是A． B． C． D．【解析】解：由勾股定理可得斜邊長為，設其內切圓的半徑為，則由等面積法，可得，則．，．往該直角三角形中隨機投擲一個點，則該點落在此三角形內切圓內的概率為．故選：．例2．某游樂場制作了如圖所示的游戲盤，其中為等腰三角形，，為的中點，分別以，為圓心，，為半徑畫弧，交于另一點．向游戲盤內投飛鏢（不考慮投不中的情況），則飛鏢落入陰影部分的概率為A． B． C． D．【解析】解：設，則，，以為直徑的半圓的面積，，故陰影部分的面積為，故所求概率，故選：．例3．為了估計無理數的值，采用如下做法：在直角坐標系中，作出函數的圖象，在軸上分別取，兩點，過點作軸的垂線交函數的圖象于點，再過點作軸的垂線，與過點垂直于軸的直線交于點．然后隨機地向矩形內投入粒豆子，若落在曲線上方有粒豆子，則無理數的估計值為A． B． C． D．【解析】解：如圖示：矩形的面積，矩形內曲線的圖象下方的面積，則，故，故選：．例4．如圖，點的坐標為，點的坐標為，函數，若在矩形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于A． B． C． D．【解析】解：由已知得陰影部分的面積，故此點取自陰影部分的概率為：，故選：．例5．《定理匯編》是一本十分重要的書籍，其中有一些定理是關于鞋匠刀形的，即由在同一直線上的三個半圓圓，圓，圓圍成的圖形被阿基米德稱為鞋匠刀形，其半徑分別為，，，如圖所示，在大半圓內隨機取一點，此點取自陰影部分的概率為，則的值為A． B． C． D．【解析】解：由題意得：，故，故，，故，故選：．例6．《易經》包含著很多哲理，在信息學、天文學中都有廣泛的應用，《易經》的博大精深對今天的幾何學和其他學科仍有深刻的影響．如圖就是《易經》中記載的幾何圖形八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，圖中八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田．已知正八邊形的邊長為，代表陰陽太極圖的圓的半徑為，在正八邊形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是A． B． C． D．【解析】解：由圖象得，正八邊形分割成8個全等的等腰三角形，頂角為，設等腰三角形的腰為，由正弦定理可得，解得：，故三角形的面積，故此點取自黑色部分的概率是，故選：．例7．如圖是數學界研究的弓月形的一種，，，是以為直徑的圓的內接正六邊形的三條鄰邊，四個半圓的直徑分別是，，，，在整個圖形中隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是A． B． C． D．【解析】解：根據題意，設，則，則整個圖形的面積，陰影部分的面積，故在整個圖形中隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率；故選：．例8．歐幾里得是希臘論證幾何學的集大成者，在其所著的《幾何原本》中命題：在直角三角形中以斜邊為邊的正方形面積等于以兩直角邊為邊的正方形面積之和（兩直角邊的平方和等于斜邊的平方），這其實就是大家熟知的勾股定理，如圖是《幾何原本》中證明的圖示，在中，，，，若在四邊形中任取一點，則該點落在四邊形中的概率是A． B． C． D．【解析】解：由題意得：，，故，故四邊形的面積，四邊形的面積，設該點落在四邊形中為事件，則（A），故選：．例9．已知正方形中，點為邊的中點，若在正方形內部隨機取一個點，則點取自內部的概率為A． B． C． D．【解析】解：如圖所示：，設正方形的邊長為1，則正方形的面積為1，的面積為，在正方形內部隨機取一個點，則點取自內部的概率，故選：．例10．《周髀算經》中提出了“方屬地，圓屬天”，也就是人們常說的“天圓地方”．我國古代銅錢的鑄造也蘊含了這種“外圓內方”“天地合一”的哲學思想．現將銅錢抽象成如圖所示的圖形，其中圓的半徑為，正方形的邊長為，若在圓內隨機取點，得到點取自陰影部分的概率是，則圓周率的值為A． B． C． D．【解析】解：圓形錢幣的半徑為，面積為；正方形邊長為，面積為．在圓形內隨機取一點，此點取自黑色部分的概率是，則．故選：．例11．在區間上隨機地取一個數，則事件“”發生的概率為A． B． C． D．【解析】解：在區間上，由，得，則對應的概率．故選：．例12．魏晉時期數學家劉徽在他的著作《九章算術注》中，稱一個正方體內兩個互相垂直的內切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”（如圖），劉徽通過計算得知正方體的內切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應為．在某一球內任意取一點，則此點取自球的一個內接正方體的“牟合方蓋”的概率為A． B． C． D．【解析】解：設球的直徑為，則球的內接正方體的棱長為，正方體的內切球的半徑，正方體的內切球的體積，又由已知，，此點取自球的內接正方體的“牟合方蓋”的概率為，故選：．例13．趙爽是我國古代數學家、天文學家，趙爽為《周碑算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的）．類比“趙爽弦圖”，可類似地構造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設，若在大等邊三角形內隨機取一點，則此點取自小等邊三角形內的概率是A． B． C． D．【解析】解：顯然小三角形面積，中，，，所以所求概率為，故選：．例14．《九章算術》中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為8步和15步，問其內切圓的直徑為多少步？”現若向此三角形內隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓內的概率是A． B． C． D．【解析】解：直角三角形的斜邊長為，設內切圓的半徑為，則，解得．內切圓的面積為，豆子落在內切圓內部的概率．故選：．例15．關于圓周率，數學發展史上出現過許多很有創意的求法，如著名的浦豐實驗和查理斯實驗．受其啟發，我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值：先請100名同學每人隨機寫下一個，都小于1的正實數對；再統計兩數能與1構成鈍角三角形三邊的數對的個數；最后再根據統計數估計的值，假如某次統計結果是，那么本次實驗可以估計的值為A． B． C． D．【解析】解：符合條件的變量需滿足是個邊長為1的正方形；而滿足構成鈍角三角形，則需，弓形面積：，．故選：．例16．圓周率是圓的周長與直徑的比值，一般用希臘字母表示．早在公元480年左右，南北朝時期的數學家祖沖之就得出精確到小數點后7位的結果，他是世界上第一個把圓周率的數值計算到小數點后第7位的人，這比歐洲早了約1000年．生活中，我們也可以通過如下隨機模擬試驗來估計的值：在區間內隨機取個數，構成個數對，設，能與1構成鈍角三角形三邊的數對有對，則通過隨機模擬的方法得到的的近似值為A． B． C． D．【解析】解：依題意，試驗的全部結果構成以1為邊長的正方形，其面積為1，，能與1構成鈍角三角形時，由余弦定理及三角形知識，得：，構成如圖所求陰影面積，其面積為，由幾何概型概率計算公式得：，解得．故選：．例17．從區間，內隨機抽取個數，，，，，構成個數對，，，，，其中兩數的平方和不小于1的數對共有個，則用隨機模擬的方法得到圓周率的近似值為A． B． C． D．【解析】解：由題意，兩數的平方和小于1，對應的區域的面積為，從區間，1】隨機抽取個數，，，，，，，，構成個數對，，，，，，，對應的區域的面積為．．故選：．例18．關于圓周率，數學發展史上出現過許多很有創意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗．受其啟發，某同學通過下面的隨機模擬方法來估計的值：先用計算機產生2000個數對，其中，都是區間上的均勻隨機數，再統計，能與1構成銳角三角形三邊長的數對的個數；最后根據統計數來估計的值．若，則的估計值為A．3.12 B．3.13 C．3.14 D．3.15【解析】解：由題意知，2000對都小于的正實數對滿足，面積為1；兩個數能與1構成銳角三角形三邊的數對，滿足且，，面積為；因為統計兩數能與構成銳角三角形三邊的數對的個數，由幾何概型的概率知，化簡得，解得，估計的近似值為3，13．故選：．例19．關于圓周率，數學發展史上出現過許多很有創意的求法，如著名的浦豐實驗和查理斯實驗．受其啟發，我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值：先請120名同學每人隨機寫下一個、都小于1的正實數對；再統計、兩數能與1構