21.3實際問題與一元二次方程教學設計一、內容和內容解析1.內容本節課是人教版《義務教育教科書?數學》九年級上冊（以下統稱“教材”）第二十一章“一元二次方程”21.3實際問題與一元二次方程第2課時，內容包括：利用一元二次方程解決幾何問題和數字問題。2.內容解析本節課學習如何利用一元二次方程解決幾何問題和數字問題。想要解決幾何問題，就要根據圖形的性質構建一元二次方程，從而將實際問題轉化為數學問題，再次體現數學建模思想，在此過程中培養學生分析問題和運用一元二次方程解決實際問題的能力。數字問題大致可分為三類，即一般數目關系問題，連續數問題、數字排列問題。解答這類題的關鍵是：掌握其基本的數量關系和連續數及一般數的表示方法。利用一元二方程解數字問題，關鍵是找到其基本的數量關系，以及數字之間的規律，然后利用其基本的數量關系和連續數及一般數的表示方法來進行求解。基于以上分析，確定本節課的教學重點為：找出實際問題中的等量關系，正確列出一元二次方程。二、目標和目標解析1.目標1）根據實際問題中的數量關系，正確列出一元二次方程。2）通過列方程解應用題體會一元二次方程在實際生活中的應用，經歷將實際問題轉化為數學問題的過程，提高數學應用意識。2.目標解析達成目標1)的標志是：通過審題，根據“幾何問題”中圖形的性質構建一元二次方程，根據“數字問題”中基本的數量關系構建一元二次方程。找等量關系，正確列出方程并求解，從而解決實際問題。達成目標2）的標志是：對用方程解決實際問題的步驟（審、設、列、解、驗、答）進行回顧、總結和深化，體會一元二次方程是解決實際問題的一種數學模型。三、教學問題診斷分析九年級學生已具備一定的建模思想，也接觸了一些實際問題，了解將實際問題轉化為數學問題的一般步驟，積累了一定的解題經驗和方法。學生解決“幾何問題”的困難是：根據圖形的性質構建一元二次方程。學生解決“數字問題”的困難是：讀懂圖意，找到其基本的數量關系。基于以上分析，確定本節課的教學難點為：發現實際問題的等量關系。四、教學過程設計（一）復習舊知，引入新課【提問】回顧列方程解決實際問題的基本步驟?師生活動：教師提問，學生回答。【提問】計算下列圖形面積?師生活動：教師提問，學生回答。【設計意圖】先回顧常見圖形的面積計算公式及列方程解決實際問題的相關知識，為本節課學生學習利用一元二次方程解決幾何問題和數字問題做好鋪墊。（二）探究新知【問題】要設計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度？師生活動：學生獨立思考，嘗試給出答案。教師在學生活動過程中可提出如下提示性問題：【提問1】本題要解決什么問題？（幾何問題）【提問2】上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是多少？如何表示？（封面的長寬之比是9∶7，中央的矩形的長寬之比也應是9∶7。設中央的矩形的長和寬分別是9acm和7acm，由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是：12(27-9a):12【設計意圖】將學生放置在實際問題的背景下，針對具體情景分析其中的數量關系。學生理解的難點就是探究上、下邊襯與左、右邊襯的寬度比。因此在此設問，以幫助學生理解。【提問3】本題中的等量關系是什么？你能解決這個問題嗎?師生活動：學生獨立思考，給出答案。等量關系:中央矩形的長×設上、下邊襯的寬均為9ycm，左、右邊襯的寬均為7ycm，由題意得(27-18y)(21-14y)=34×解方程得y1=6+33所以9y=1.8cm，7y=1.4cm答：上、下邊襯的寬度為1.8cm，左、右邊襯的寬度為1.4cm【設計意圖】通過找等量關系，讓學生經歷完整的解題過程，提高分析問題和解決問題的能力。【問題】如果換一種設未知數的方法，是否可以更簡單地解決上面問題？請你試一試。師生活動：學生獨立思考，嘗試給出答案。教師在學生活動過程中可提出如下提示性問題：【提問4】中央矩形的長與寬還可以怎么表示？你能解決這個問題嗎?師生活動：學生獨立思考，給出答案。設正中央的矩形長和寬分別為9xcm，7xcm由題意得9x×7x=34則x1=33故上、下邊襯的寬度為27?9x2左、右邊襯的寬度為21?7x2答：上、下邊襯的寬度為1.8cm，左、右邊襯的寬度為1.4cm【設計意圖】通過不同的列式情況，提高學生分析和解決問題的能力。【問題】如圖,在一塊長為92m,寬為60m的矩形耕地上挖三條水渠,水渠的寬都相等,水渠把耕地分成面積均為885m2的6塊小矩形，水渠應挖多寬？【提問1】你能用幾種方法表示水渠的面積？1.設水渠寬為xm，將所有耕地的面積拼在一起，變成一個新的矩形，它的長為(92–2x)m,寬(60-x)m.新矩形的面積為5310m2。（利用“圖形經過移動，它的面積大小不會改變”的道理）2.設水渠寬為xm，水渠的總面積為92x+2×60x-2x2，耕地總面積-水渠面積=5310m2。【提問2】你能解決這個問題嗎?解法1：設水渠的寬應挖xm.(92-2x)（60-x）=6×885解得x1=105(舍去），x2=1答：水渠應挖1米寬解法2：設水渠的寬應挖xm.92×60-92x-2×60x+2x2=6×885解得x1=105(舍去），x2=1答：水渠應挖1米寬【設計意圖】通過不同的列式情況，提高學生分析和解決問題的能力。（三）典例分析例1等腰梯形的面積為160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求這個梯形的高。解：設這個梯形的高為xcm，則上底為(x+4)cm，下底為(x+20)cm.根據題意得12整理，得x2+12x-160=0解得x1=8,x2=－20(不合題意，舍去)答：這個梯形的高為8cm.師生活動：請學生板演，然后師生共同糾錯，使學生明確自己的錯誤與薄弱環節，在后續的解題過程中做到有的放矢，對癥下藥。[針對訓練]1.如圖，準備在一塊長為30米，寬為24米的長方形花圃內修建四條寬度相等，且與各邊垂直的小路，四條小路圍成的中間部分恰好是一個正方形，且邊長是小路寬度的4倍，若四條小路所占面積為80平方米，則小路的寬度為_____米．答案：設小路的寬度為x，由題意得x30+4x+x24+4x=80，由2.如圖，某農戶準備建一個長方形養雞場，養雞場的一邊靠墻，若墻長為18m，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長35m，圍成長方形的養雞場四周不能有空隙．（1）要圍成養雞場的面積為150m2，則養雞場的長和寬各為多少？（2）圍成養雞場的面積能否達到200m2？請說明理由．【詳解】解：1）設養雞場的寬為xm，根據題意得：x（35﹣2x）＝150，解得：x1＝10，x2＝7.5，當x1＝10時，35﹣2x＝15＜18，當x2＝7.5時35﹣2x＝20＞18，（舍去），則養雞場的寬是10m，長為15m．2）設養雞場的寬為xm，根據題意得：x（35﹣2x）＝200，整理得：2x2﹣35x+200＝0，△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，因為方程沒有實數根，所以圍成養雞場的面積不能達到200m2。【設計意圖】檢測“幾何問題”的掌握情況。（四）歸納小結【設計意圖】通過歸納，明確“幾何問題”的常見思路和類型，以及解決此類問題的一般過程和方法。（五）探究講解【問題】通過列方程式，算出周瑜去世時的年齡。師生活動：學生獨立思考，嘗試給出答案。教師在學生活動過程中可提出如下提示性問題：【提問】你能將題干內容轉化為數學語言嗎？周瑜三十歲當東吳都督，去世時的年齡是兩位數（不小于30歲），十位數字比個位數字小三，個位數字的平方等于他去世時的年齡。【提問2】本題中的等量關系是什么？你能解決這個問題嗎?等量關系：周瑜去世時的年齡=年齡個位數字的平方。【詳解】解：設周瑜去世時的年齡的個位數字為x，則十位數字為x?3，依題意得：10x?3解得x1=5，當x=5時，25<30，（不合題意，舍去），當x=6時，36>30（符合題意），答：周瑜去世時的年齡為36歲。【設計意圖】通過找等量關系，讓學生經歷完整的解題過程，提高分析問題和解決問題的能力。【問題】一個兩位數的個位數字與十位數字的和為9，并且個位數字與十位數字的平方和為45，求這個兩位數.師生活動：學生獨立思考，嘗試給出答案。【詳解】設個位數字為x，則十位數字為9?x.得x1=3∴這個兩位數為36或63.【設計意圖】通過找等量關系，讓學生經歷完整的解題過程，提高分析問題和解決問題的能力。（六）典例分析典例2一個兩位數是一個一位數的平方，把這個一位數放在這個兩位數的左邊所成的三位數，比把這個一位數放在這個兩位數的右邊所成的三位數大252，求這個兩位數．【詳解】設一位數為x，則兩位數為x2則根據題意可得：100x+x2整理得：x2分解得：x?4x?7解得：x1=4，答：這個兩位數為16或49．師生活動：請學生板演，然后師生共同糾錯，使學生明確自己的錯誤與薄弱環節，在后續的解題過程中做到有的放矢，對癥下藥。[針對訓練]1兩個連續奇數的積為255，若設其中較小的奇數為x，則可列方程為_________________，這兩個數分別為_______________．【詳解】設其中較小的奇數為x，則較大的奇數為x+2，根據題意，得xx+2解得，x當x=?17時，x+2=?15；當x=15時，x+2=17．故答案為：xx+2=255，?17,?15或[能力提升]1．第十四屆國際數學教育大會（ICME—14）會徽的主題圖案有著豐富的數學元素，展現了我國古代數學的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計數符號寫出的八進制數3745，八進制是以8作為進位基數的數字系統，有0~7共8個基本數字，八進制數3745換算成十進制數是3×83+7×(1)八進制數3747換算成十進制數是______；(2)小華設計了一個n進制數234，換算成十進制數是193，求n的值．【詳解】（1）3×（2）由題意，得2n解得n1=9，2閱讀材料，回答下列問題：反序數：有這樣一對數，一個數的數字排列完全顛倒過來變成另一個數，簡單的說，就是順序相反的兩個數，我們把這樣的一對數稱為“反序數”，比如：12的反序數是21，456的反序數是654．用方程知識解決問題：若一個兩位數，其十位上的數字比個位上的數字大3，這個兩位數與其反序數之積為1300，求這個兩位數．【詳解】解：設這個兩位數的個位數字為x，則十位數字為x+3，根據題意得：10x+3∴10x+30+x10x+x+3=1300，即∴121x∴x解得x=2或x=?5（舍去），∴10x+3∴這個兩位數為52．3如圖，某中學課外興趣小組準備圍建一個矩形花園ABCD，其中一邊靠墻，另外三邊用總長為60m的籬笆圍成，與墻平行的一邊BC上要預留2m寬的入口（如圖中MN所示，不用籬笆），已知墻長為28m．(1)當矩形的長BC為多少米時，矩形花園的面積為300平方米；(2)能否圍成500平方米的矩形花園?若能求出BC長；若不能，說明理由．【詳解】（1）設矩形花園BC的長為x米，則其寬為12（60﹣x+2依題意列方程得：12（60﹣x+2）x＝300，解這個方程得：x1＝12，x2＝50，∵28＜50，∴x2＝50（不合題意，舍去），∴x＝12．答：當矩形的長BC為12米時，矩形花園的面積為300平方米；（2）設矩形花園BC的長為x米，則其寬為12（60﹣x+2）米，依題意列方程得：12（60﹣x+2）x＝△＝622﹣4000＝﹣156＜0，則該方程無解，即不能圍成500平方米的矩形花園．答：不能圍成500平方米的矩形花園．【設計意圖】檢測“數字問題”的掌握情況。（七）直擊中考1．（2022·江蘇泰州真題）如圖，在長為50m，寬為38m的矩形地面內的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應為多少？【詳解】解：設道路的寬應為x米，由題意得(50-2x)×(38-2x)=1260解得：x1=4，x2=40(不符合題意，舍去)答：道路的寬應為4m．2．（2021·山西省真題）2021年7日1日建黨100周年紀念日，在本月日歷表上可以用一個方框圈出4個