專題08相似三角形重要模型-一線三等角模型相似三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位。相似三角形與其它知識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了．本專題就一線三等角模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1.一線三等角模型（相似模型）【模型解讀與圖示】“一線三等角”型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個三角形相似．1）一線三等角模型（同側型）（銳角型）（直角型）（鈍角型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結論：△ACE∽△BED.2）一線三等角模型（異側型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結論：△ADE∽△BEC.3）一線三等角模型（變異型）圖1圖2圖3①特殊中點型：條件：如圖1，若C為AB的中點，結論：△ACE∽△BED∽△ECD.②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結論：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山東東營·統考中考真題）如圖，為等邊三角形，點，分別在邊，上，，若，，則的長為（

）

A． B． C． D．例2．（2023·湖南·統考中考真題）如圖，，點是線段上的一點，且．已知．(1)證明：．(2)求線段的長．

例3．（2022·河南新鄉·九年級期中）某學習小組在探究三角形相似時，發現了下面這種典型的基本圖形．（1）如圖1，在ABC中，∠BAC＝90°，＝k，直線l經過點A，BD⊥直線I，CE上直線l，垂足分別為D、E．求證：＝k．（2）組員小劉想，如果三個角都不是直角，那么結論是否仍然成立呢？如圖2，將（1）中的條件做以下修改：在ABC中，＝k，D、A、E三點都在直線l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問（1）中的結論還成立嗎？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，在ABC中，沿ABC的邊AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，＝＝，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I．①求證：I是EG的中點．②直接寫出線段BC與AI之間的數量關系：．例4．（2022·四川·一模）某學習小組在探究三角形全等時，發現了下面這種典型的基本圖形：（1）如圖1，已知：在△ABC中，，D、A、E三點都在直線m上，并且有．試猜想DE、BD、CE有怎樣的數量關系，請證明你的結論；（2）老師鼓勵學習小組繼續探索相似的情形．于是，學習小組又研究以下問題：如圖2，△ABC中，．將一把三角尺中30°角頂點P放在BC邊上，當P在BC邊上移動時，三角尺中30°角的一條邊始終過點A，另一條邊交AC邊于點Q，P、Q不與三角形頂點重合．設．當在許可范圍內變化時，取何值總有△ABP∽△PCQ？當在許可范圍內變化時，取何值總有△ABP∽△QCP？（3）試探索有無可能使△ABP、△QPC、△ABC兩兩相似？若可能，寫出所有、的值（不寫過程）；若不可能，請說明理由．例5．（2022·山西晉中·一模）閱讀材料：我們知道：一條直線經過等腰直角三角形的直角頂點，過另外兩個頂點分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①，在中，，，分別過、向經過點直線作垂線，垂足分別為、，我們很容易發現結論：．（1）探究問題：如果，其他條件不變，如圖②，可得到結論；．請你說明理由．（2）學以致用：如圖③，在平面直角坐標系中，直線與直線交于點，且兩直線夾角為，且，請你求出直線的解析式．（3）拓展應用：如圖④，在矩形中，，，點為邊上—個動點，連接，將線段繞點順時針旋轉，點落在點處，當點在矩形外部時，連接，．若為直角三角形時，請你探究并直接寫出的長．

例6．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，延長FE與直線CD相交于點G，連接FC（AB＞AE）．(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結論；若不相似，請說明理由；(3)設，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結論并求出k的值；若不存在，請說明理由．例7．（2023·江蘇南京·校考三模）某數學興趣小組在數學課外活動中，對多邊形內兩條互相垂直的線段做了如下探究：

【觀察與猜想】(1)如圖，在正方形中，，分別是，上的兩點，連接，，若，則的值為___________；(2)如圖，在矩形中，，，是上的一點，連接，，若，則的值為___________；【類比探究】(3)如圖，在四邊形中，，為上一點，連接，過作的垂線交的延長線于，交的延長線于，求證：；【拓展延伸】(4)如圖4，在中，，，將沿翻折，落在處，得到，為線段上一動點，連接，作，交于，垂足為，連接．若，則的最小值為___________．課后專項訓練1．（2023·黑龍江綏化·校聯考三模）如圖，已知正方形，為的中點，是邊上的一個動點，連接將沿折疊得，延長交于點，現在有如下五個結論：①一定是直角三角形；②；③當與重合時，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，點P為BC邊上一動點，若AP⊥DP，則BP的長為．3．（2022·安徽·九年級專題練習）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E為邊AD上一個動點，連接BE，取BE的中點G，點G繞點E逆時針旋轉90°得到點F，連接CF，在點E從A到D的運動過程中，點G的運動路徑=，△CEF面積的最小值是．4．（2022秋·廣東梅州·九年級校考階段練習）已知是等邊三角形，，點D，E，F點分別在邊上，，同時平分和，則的長為．5．（2022·浙江杭州·模擬預測）如圖，在矩形中，點是邊上一點，連結，將沿對折，點落在邊上點處，與對角線交于點，連結．若，．則．6．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點D是邊BC上一動點（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點E，且cos∠α＝，下列結論：①△ADE∽△ACD；②當BD＝6時，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時，BD為8或；④0＜CE≤6.4．其中正確的結論是．（把你認為正確結論的序號都填上）7．（2023·廣東·九年級專題練習）如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC邊上的一點，∠APD＝90°．（1）求證：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的長．8．（2023·四川·九年級校考階段練習）如圖，在中，，，點為邊上一點，且，點為中點，．（1）求的長．（2）求證：．9．（2022春·廣東·九年級專題練習）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長．38．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，正方形ABCD的邊長等于，P是BC邊上的一動點，∠APB、∠APC的角平分線PE、PF分別交AB、CD于E、F兩點，連接EF．（1）求證：△BEP∽△CPF；（2）當∠PAB＝30°時，求△PEF的面積．10．（2023·重慶九年級課時練習）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，D為AB的中點，點E在BC上，點F在AC上，且∠DEF＝45°．（1）求證：△BED∽△CFE；（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的長．11．（2023·山東青島·統考三模）【操作與探究】已知矩形，給出如下操作過程：如圖①所示．將四邊形沿過點B的直線折疊，使折疊后的點C落在對角線BD上的點G處，折痕為，將沿過點G的直線折疊，使點A，點D分別落在邊，上，折痕為，得到一個新的矩形．【問題探究】（1）若圖①中的四邊形是正方形，則矩形的長寬比為______，______．（2）如圖②，將如圖①中的矩形按照“操作與探究”中的方法再次操作，得到的新矩形，則矩形的長寬比為__________，__________．【問題解決】若將長寬比（n為正整數）矩形沿用上述方式操作m次后，得到一個矩形，則__________，________．12．（2022·山東濟寧·二模）情境觀察:將含45°角的三角板的直角頂點R放在直線上，分別過兩銳角的頂點M，N作的垂線，垂足分別為P，Q，（1）如圖1.觀察圖1可知：與NQ相等的線段是______________，與相等的角是_____(2)問題探究直角中，，在AB邊上任取一點D，連接CD，分別以AC，DC為邊作正方形ACEF和正方形CDGH，如圖2，過E，H分別作BC所在直線的垂線，垂足分別為K，L.試探究EK與HL之間的數量關系，并證明你的結論.(3)拓展延伸：直角中，，在AB邊上任取一點D，連接CD，分別以AC，DC為邊作矩形ACEF和矩形CDGH，連接EH交BC所在的直線于點T，如圖3.如果，，試探究TE與TH之間的數量關系，并證明你的結論.13．（2022·廣東·九年級專題練習）問題提出（1）如圖1，在矩形中，，點E為的中點，點F在上，過點E作交于點G．若，則的面積為_________．問題探究（2）如圖2，在矩形中，，點P是邊上一動點，點Q是的中點將．沿著折疊，點A的對應點是，將沿著折疊，點D的對應點是．請問是否存在這樣的點P，使得點P、、在同一條直線上？若存在，求出此時的長度；若不存在，請說明理由．問題解決（3）某精密儀器廠接到生產一種特殊四邊形金屬部件的任務，部件要求：如圖3，在四邊形中，，點D到的距離為，且．若過點D作，過點A作的垂線，交于點E，交的延長線于點H，過點C作于點F，連接．設的長為，四邊形的面積為．①根據題意求出y與x之間的函數關系式；②在滿足要求和保證質量的前提下，儀器廠希望造價最低．已知這種金屬材料每平方厘米造價60元，請你幫忙求出這種四邊形金屬部件每個的造價最低費用．14．（2022·廣東·九年級專題練習）問題提出：（1）如圖①，矩形ABCD中，AD＝6．點E為AD的中點．點F在AB上，過點E作EGAB交FC于點G．若EG＝7．則S△EFC＝．問題探究：（2）如圖②．已知矩形ABCD紙片中．AB＝9，AD＝6，點P是CD邊上一動點．點Q是BC的中點．將△ADP沿著AP折疊，在紙片上點D的對應點是，將△QCP沿著PQ折疊．在紙片上點C的對應點是．請問是否存在這樣的點P．使得點P、、在同一條直線上？若存在，求出此時DP的長度．若不存在，請說明理由．問題解決：（3）某精密儀器廠接到生產一種特殊四邊形金屬部件的任務．部件要求：如圖③，四邊形ABCD中，AB＝4厘米，點C到AB的距離為5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在滿足要求和保證質量的前提下，儀器廠希望造價最低，已知這種金屬材料每平方厘米造價50元．請問這種四邊形金屬部件每個的造價最低是多少元？（≈1.73）15．（2023春·四川廣安·九年級校考階段練習）如圖1和圖2，在平面直角坐標系中，點C的坐標為（0，4），A是x軸上的一個動點，M是線段AC的中點．把線段AM以A為旋轉中心、按順時針方向旋轉90°得到AB．過B作x軸的垂線、過點C作y軸的垂線，兩直線交于點D，直線DB交x軸于點E．設A點的橫坐標為m．（1）求證：△AOC∽△BEA；（2）若m=3，則點B的坐標為；若m=﹣3，則點B的坐標為；（3）若m＞0，△BCD的面積為S，則m為何值時，S=6？（4）是否存在m，使得以B、C、D為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求此時m的值；若不存在，請說明理由．16．（2020·四川雅安·中考真題）如圖，已知邊長為10的正方形是邊上一動點（與不重合），連結是延長線上的點，過點作的垂線交的角平分線于點，若．（1）求證：；（2）若，求的面積；（3）請直接寫出為何值時