學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精本章整合知識網絡專題探究專題一合情推理歸納推理和類比推理都是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納，然后提出猜想的推理,統稱為合情推理．合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向．歸納推理的思維過程大致如下：eq\x（實驗，觀察）→eq\x（概括,推廣）→eq\x（猜測一般性結論)類比推理的思維過程大致如下：eq\x（觀察，比較）→eq\x(聯想,類推)→eq\x(猜測新的結論)【例1】觀察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此規律，第n個等式可為__________．解析：第n個等式的左邊第n項應是(－1)n＋1n2,右邊數的絕對值為1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n(n＋1），2)，故有12－22＋32－42＋…＋（－1）n＋1n2＝（－1）n＋1eq\f（n(n＋1),2）。答案：12－22＋32－42＋…＋（－1)n＋1n2＝(－1）n＋1·eq\f（n（n＋1），2）【例2】中學數學中存在許多關系，比如“相等關系”“平行關系”等等，如果集合A中元素之間的一個關系“～”滿足以下三個條件：（1）自反性:對于任意a∈A，都有a~a;（2）對稱性：對于a，b∈A，若a～b，則有b～a；（3）傳遞性:對于a，b，c∈A，若a～b，b～c，則有a～c,則稱“～"是集合A的一個等價關系．例如：“數的相等"是等價關系，而“直線的平行”不是等價關系（自反性不成立）．請你再列出兩個等價關系．解析：(1）令A為所有三角形構成的集合，定義A中兩個三角形的全等為關系“～”，則其為等價關系．(2)令B為所有正方形構成的集合，定義B中兩元素相似為關系“~"，則其為等價關系．（3)令C為一切非零向量構成的集合,定義C中任兩向量共線為關系“~”，則其為等價關系．答案:答案不唯一，如“圖形的全等"“圖形的相似”“非零向量的共線"等．專題二三段論推理三段論推理是演繹推理的主要形式，演繹推理具有如下特點:(1)演繹推理的前提是一般性原理，演繹推理所得的結論完全蘊涵于前提之中．(2）演繹推理中，前提與結論之間存在必然的聯系，演繹推理是數學中嚴格證明的工具．(3）演繹推理是一種收斂性的思維方法，它缺少創造性，但卻具有條理清晰、令人信服的論證特點，有助于科學的理論化和系統化．【例3】用三段論證明函數f（x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函數．提示：證明本題所依據的大前提是增函數的定義,即函數y＝f(x）滿足：①在給定區間內任取自變量的兩個值x1，x2，若x1＜x2，則有f(x1)＜f(x2）,小前提是f(x）＝－x2＋2x,x∈（－∞，1］滿足增函數的定義,這是證明本題的關鍵．證明：設x1，x2是(－∞，1］上的任意兩個實數，且x1＜x2,則f(x1)－f（x2）＝（－x21＋2x1)－（－x22＋2x2)＝(x2－x1）·（x2＋x1－2）．因為x1＜x2,所以x2－x1＞0.因為x1，x2≤1，x1≠x2，所以x2＋x1－2＜0.因此f(x1)－f（x2）＜0，即f(x1）＜f(x2）．于是根據“三段論"，得f（x)＝－x2＋2x在（－∞，1］上是增函數．【例4】已知函數f(x)＝eq\f(a,x）＋bx,其中a＞0，b＞0，x∈（0，＋∞),試確定f(x）的單調區間，并證明在每個單調區間上的增減性．解：設0＜x1＜x2，則f（x1)－f(x2)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(a，x1)＋bx1）)－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(a，x2）＋bx2）)＝（x2－x1）·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（a，x1x2)－b))。當0＜x1＜x2≤eq\r(\f(a，b））時，x2－x1＞0，0＜x1x2＜eq\f(a,b）,eq\f（a，x1x2）＞b，∴f（x1）－f(x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．∴f(x)在eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1(0,\r（\f(a,b）））)上是減函數；當x2＞x1＞eq\r（\f(a，b））時,x2－x1＞0，x1x2＞eq\f(a，b），eq\f(a，x1x2）＜b，∴f（x1)－f(x2)＜0，即f(x1）＜f(x2)．∴f（x)在eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\r(\f（a，b)），＋∞))上是增函數．專題三直接證明與間接證明在解決問題時，我們經常把綜合法和分析法結合起來使用．根據條件的結構特點去轉化結論，得到中間結論Q;根據結論的結構特點去轉化條件，得到中間結論P.若由P可以推出Q成立,就可以證明結論成立．反證法不是去直接證明結論，而是先否定結論，在否定結論的基礎上，運用演繹推理推導出矛盾，從而肯定結論的真實性．這種證法體現了“正難則反”的理論原則．【例5】設a，b，c為△ABC的三邊，求證:（a＋b＋c)2＜4（ab＋bc＋ac)．提示：此題可先通過分析法尋求解題思路，然后用綜合法證明．證明：證法一（分析法):由題意,要證明（a＋b＋c）2＜4(ab＋bc＋ac),即要證a2＋b2＋c2－2ab－2ac－2bc＜0，即證（a2－ab－ac)＋（b2－bc－ab)＋（c2－ca－bc）＜0,即要證a（a－b－c）＋b（b－c－a）＋c(c－a－b）＜0,①因為a，b，c是三角形的三邊，所以a＞0，b＞0，c＞0,且a＜b＋c,所以a－b－c＜0.從而a(a－b－c）＜0，同理可得b（b－c－a）＜0，c（c－a－b）＜0，三式相加，則不等式①成立．以上各步均可逆推，故原不等式成立．證法二（綜合法)：因為a，b，c是三角形的三邊,所以a＞0，b＞0，c＞0，且a＜b＋c,所以a－b－c＜0。從而a(a－b－c）＜0，同理可得，b（b－a－c)＜0,c（c－a－b)＜0，三式相加，可得a(a－b－c）＋b(b－c－a）＋c(c－a－b）＜0，則a2－ab－ac＋b2－bc－ab＋c2－ca－bc＜0，即a2＋b2＋c2－2ab－2ac－2bc＜0，通過配方，可得（a＋b＋c)2＜4（ab＋bc＋ac）．【例6】若函數f（x)在區間［a，b]上是增函數,那么方程f(x)＝0在區間[a，b］上至多有一個實數根．提示:含有“至多”“至少”類詞語的命題從正面證明難以入手，往往考慮應用反證法證明．證明：假設方程f