北京市西城區回民學校2025屆高二上數學期末聯考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線的焦點到準線的距離是A.2 B.4C. D.2．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.y=±2x B.y=C. D.3．雙曲線的焦點坐標是（）A. B.C. D.4．如圖，正方形與矩形所在的平面互相垂直，在上，且平面，則M點的坐標為（）A. B.C. D.5．圓和圓的位置關系是（）A.內含 B.內切C.相交 D.外離6．對于公差為1的等差數列，；公比為2的等比數列，，則下列說法不正確的是（）A.B.C.數列為等差數列D.數列的前項和為7．已知，則方程與在同一坐標系內對應的圖形編號可能是（）A.①④ B.②③C.①② D.③④8．已知橢圓的一個焦點坐標是，則（）A.5 B.2C.1 D.9．的展開式中的系數是（）A.1792 B.C.448 D.10．若函數在定義域上單調遞增，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.11．已知是直線的方向向量，為平面的法向量，若，則的值為（）A. B.C.4 D.12．已知正實數a，b滿足，若不等式對任意的實數x恒成立，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點在直線上，則的最小值為___________.14．如圖所示莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數字被污損，若乙的總成績是445，則污損的數字是________15．圓被直線所截得弦的最短長度為___________.16．函數的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓一個頂點恰好是拋物線的焦點，橢圓C的離心率為.（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）從橢圓C在第一象限內的部分上取橫坐標為2的點P，若橢圓C上有兩個點A，B使得的平分線垂直于坐標軸，且點B與點A的橫坐標之差為，求直線AP的方程.18．（12分）已知橢圓C：，斜率為的直線l與橢圓C交于A、B兩點且（1）求橢圓C的離心率；（2）求直線l的方程19．（12分）已知等差數列滿足：，.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足：，，求數列的通項公式.20．（12分）已知等比數列{}的各項均為正數，，，成等差數列，，數列{}的前n項和，且.（1）求{}和{}的通項公式；（2）設，記數列{}的前n項和為.求證：.21．（12分）已知函數（1）求函數的圖象在點處的切線方程；（2）求函數的極值22．（10分）已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，的面積為1.（1）求拋物線的標準方程；（2）設點是拋物線上異于點的一點，直線與直線交于點，過作軸的垂線交拋物線于點，求證：直線過定點.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】因為拋物線方程可化為，所以拋物線的焦點到準線的距離是，故選D.考點：1、拋物線的標準方程；2、拋物線的幾何性質.2、B【解析】雙曲線的離心率為，漸進性方程為，計算得，故漸進性方程為.【考點定位】本小題考查了離心率和漸近線等雙曲線的性質.3、B【解析】根據雙曲線的方程，求得，結合雙曲線的幾何性質，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，所以，且雙曲線的焦點再軸上，所以雙曲線的焦點坐標為.故選：B.4、A【解析】設點的坐標為，由平面,可得出，利用空間向量數量積為0求得、的值，即可得出點的坐標.【詳解】設點的坐標為，,,，，則，,，平面,即，所以，，解得，所以，點的坐標為，故選：A.5、C【解析】根據兩圓圓心的距離與兩圓半徑和差的大小關系即可判斷.【詳解】解：因為圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以兩圓圓心的距離為，因為，即，所以圓和圓的位置關系是相交，故選：C.6、B【解析】由等差數列的通項公式判定選項A正確；利用等比數列的通項公式求出，即判定選項B錯誤；利用對數的運算和等差數列的定義判定選項C正確；利用錯位相減法求和，即判定選項D正確.【詳解】對于A:由條件可得，，即選項A正確；對于B：由條件可得，，即選項B錯誤；對于C：因為，所以，則，即數列是首項和公差均為的等差數列，即選項C正確；對于D：，設數列的前項和為，則，，上面兩式相減可得，所以，即選項D正確.故選：B.7、B【解析】結合橢圓、雙曲線、拋物線的圖像，分別對①②③④分析m、n的正負，即可得到答案.【詳解】對于①：由雙曲線的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號，矛盾.故①錯誤；對于②：由雙曲線的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：異號，符合要求.故②成立；對于③：由橢圓的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號，且拋物線的焦點在x軸上，符合要求.故③成立；對于④：由橢圓的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號，且拋物線的焦點在x軸上，矛盾.故④錯誤；故選：B8、C【解析】根據題意橢圓焦點在軸上，且，將橢圓方程化為標準形式，從而得出，得出答案.【詳解】由焦點坐標是，則橢圓焦點在軸上，且將橢圓化為，則由，焦點坐標是，則，解得故選：C9、D【解析】根據二項式展開式的通項公式計算出正確答案.【詳解】的展開式中，含的項為.所以的系數是.故選：D10、D【解析】函數在定義域上單調遞增等價于在上恒成立，即在上恒成立，然后易得，最后求出范圍即可.【詳解】函數的定義域為，，在定義域上單調遞增等價于在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，分離參數得，所以，即.【點睛】方法點睛：已知函數的單調性求參數的取值范圍的通解：若在區間上單調遞增，則在區間上恒成立；若在區間上單調遞減，則在區間上恒成立；然后再利用分離參數求得參數的取值范圍即可.11、A【解析】由，可得，再計算即可求解.【詳解】由題意可知，所以，即.故選：A12、D【解析】利用基本不等式求出的最小值16，分離參數即可.【詳解】因為，，，所以，當且僅當，即，時取等號由題意，得，即對任意的實數x恒成立，又，所以，即故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由已知可用表示，代入所求式子后，結合二次函數的性質可求【詳解】解：由題意得，即，所以，根據二次函數的性質可知，當時，上式取得最小值4，故的最小值2故答案為：214、3【解析】設污損的葉對應的成績是x，由莖葉圖可得445＝83＋83＋87＋x＋99，解得x＝93，故污損的數字是3.考點：莖葉圖.15、【解析】首先確定直線所過定點；由圓的方程可確定圓心和半徑，進而求得圓心到的距離，由此可知所求最短長度為.【詳解】由得：，直線恒過點；，在圓內；又圓的圓心為，半徑，圓心到點的距離，所截得弦的最短長度為.故答案為：.16、1【解析】由解析式知定義域為，討論、、，并結合導數研究的單調性，即可求最小值.【詳解】由題設知：定義域為，∴當時，，此時單調遞減；當時，，有，此時單調遞減；當時，，有，此時單調遞增；又在各分段的界點處連續，∴綜上有：時，單調遞減，時，單調遞增；∴故答案為：1.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由題意可得關于參數的方程，解之即可得到結果；（Ⅱ）設直線AP的斜率為k，聯立方程結合韋達定理可得A點坐標，同理可得B點坐標，結合橫坐標之差為，可得直線方程.【詳解】（Ⅰ）由拋物線方程可得焦點為，則橢圓C的一個頂點為，即.由，解得.∴橢圓C的標準方程是；（Ⅱ）由題可知點，設直線AP的斜率為k，由題意知，直線BP的斜率為，設，，直線AP的方程為，即.聯立方程組消去y得.∵P，A為直線AP與橢圓C的交點，∴，即.把換成，得.∴，解得，當時，直線BP的方程為，經驗證與橢圓C相切，不符合題意；當時，直線BP的方程為，符合題意.∴直線AP得方程為.【點睛】關鍵點點睛：兩條直線關于直線對稱，兩直線的傾斜角互補，斜率互為相反數.18、（1）（2）或【解析】（1）將橢圓化為標準方程，求得，進而求得離心率；（2）設直線，，，與橢圓聯立，借助韋達定理及弦長公式求得，從而求得直線方程.【小問1詳解】由題知，橢圓C：，則，離心率【小問2詳解】設直線，，聯立，化簡得，則，解得，，由弦長公式知，，解得，故直線或19、（1）；（2）.【解析】（1）由題設條件，結合等差數列通項公式求基本量d，進而寫出通項公式.（2）由（1）得，應用累加法、錯位相減法及等比數列前n項和公式求的通項公式.【小問1詳解】令公差為d，由得：，解得.所以.【小問2詳解】，則，累加整理，得：，①，②②-①得：，又滿足上式，故.20、（1）（2）證明見解析【解析】設等比數列的公比為，由，，成等差數列，解得．由，利用通項公式解得，可得．由數列的前項和，且，時，，化簡整理即可得出；（2），利用裂項求和方法、數列的單調性即可證明結論【小問1詳解】設等比數列的公比為，，，成等差數列，，即，化為：，解得，，即，解得，數列的前項和，且，時，，化為：，，數列是每項都為1的常數列，，化為【小問2詳解】證明：，數列的前項和為，21、（1）（2）極大值為12，極小值-15【解析】（1）利用導數的幾何意義求解即可.（2）利用導數求解極值即可.【小問1詳解】，，切點為，故切線方程為，即；【小問2詳解】令，得或列表：-12+0-0+單調遞增12單調遞減-15單調遞增函數的極大值為，函數的極小值為.22、（1）（2）證明見解析【解析】(1)由條件列方程求，由此可得拋物線方程；(2)方法一：聯立直線與拋物線方程，結合條件三點共線，可證明直線過定點，方法二：聯立直線與拋物線方程，聯立直線與直線求，由垂直與軸列方程化簡，可證明直線過定點.【小問1詳解】因為點在拋物線上，所以，即，，因為，故解得，拋物線的標準方程為【小問2詳解】設直線的方程為，由，得，所以，由（1）可知當時，，此時直線的方程為，若時，因為三點共線，所以，即，又因為，，化簡可得，又，進而可得，整理得，因為所以，此時直線的方程為，直線恒過定點又直