人教版數學中考綜合模擬檢測試題

學校班級姓名成績

第I卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1廣

1.在-1、2、］、君這四個數中，無理數是（）

A._1B.2C.—D.

2.下列運算結果為a?的是（）

A.a+a+aB.a5-a2C.a?a?aD.a64-a2

3.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（）

4.人體中紅細胞的直徑約為0.0000077小，將數字0.0000077用料學記數法表示為（）

A.7.7x10-5B.0.77乂10一5C.7.7xlO-6D.77xl0-7

5.下列事件中，是必然事件的是（）

A,從裝有10個黑球的不透明袋子中摸出一個球，恰好是紅球

B.拋擲一枚普通正方體骰子，所得點數小于7

C.拋擲一枚一元硬幣，正面朝上

D.從一副沒有大小王的撲克牌中抽出一張，恰好是方塊

6.小王和小麗下棋，小王執圓子，小麗執方子，如圖是在直角坐標系中棋子擺出的圖案，若再擺放一圓一方

兩枚棋子，使9枚棋子組成的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則這兩枚棋子的坐標分別是（）

A.圓子（2,3）,方子（1,.3）B.圓子（1,3）,方子（2,3）

C.圓子（2,3）,方子（4,0）D.圓子（4,0）,方子（2,3）

7.關于X的一元二次方程i=o的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根

C.無實數根D.不能確定

8.一次函數y=-2x+l的圖象不經過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.如圖,拋物線y=ax?+bx+c（a>0）過原點O,與x軸另一交點為A,頂點為B,若aAOB為等邊三角形

則b的值為（）

C.-3^3D.-4石

10.如圖，點E為AA3c的內心，過點E作MNZ72c交于點M,交AC于點N,若A8=7,AC=5,

C.5D.5.5

第II卷

二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.

11.計算：（J）」+（百-1）°=.

12.若一組數據1、3、X、5、8的眾數為8,則這組數據的中位數為.

13.在五邊形中，若NA+ZB+NC+ND=440°,則/E=

a2x-y=l

14.若《,是方程組解，則a+4b=

-x+5y=5

15.如圖，PA切。0于點A,點B是線段PO的中點，若。。的半徑為遙，則圖中陰影部分的面積為

16.在平面直角坐標系中，點A的坐標為（4,0）,點B為y軸上的一動點，將線段AB繞點B順時針旋轉

3

90°得線段BC,若點C恰好落在反比例函數y=—的圖象上，則點B的坐標為.

三、解答題：本大題共9小題，共86分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

%+4>2

17.解不等式組°、cc，并將解集在數軸上表示出來.

2x>-3+3x

-4-3-2-1~0~1~2~3~4~5^

12-1

18.先化簡，再求值：（a+——）a+9一，其中a=-2.

a-2a+a

19.如圖，在AABC中，AB=AC,。。，48于點。，BE1AC于點E.

求證：BD=CE.

B^---------------

20.《楊輝算法》中有這么一道題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多幾何？”意思是：

一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長與寬共60步，問它的長比寬多了多少步？

21.如圖，在口43。￡>中，AC與8。相交于點。，AC1BC,垂足為。.將AABC沿AC翻折得到AAEC,

連接DE.

(1)求證：四邊形ACED是矩形；

(2)若AC=4,BC=3,求sin/ABD的值.

22.電器專營店的經營利潤受地理位置、顧客消費能力等因素的影響，某品牌電腦專營店設有甲、乙兩家分

店，均銷售A、B、C、D四種款式的電腦，每種款式電腦的利潤如表1所示.現從甲、乙兩店每月售出的

電腦中各隨機抽取所記錄的50臺電腦的款式，統計各種款式電腦的銷售數量，如表2所示.

表1：四種款式電腦利潤

電腦款式ABCD

利潤(元/臺)160200240320

表2：甲、乙兩店電腦銷售情況

電腦款式ABCD

甲店銷售數量(臺)2015105

乙店銷售數量(臺)88101418

試運用統計與概率知識，解決下列問題：

(1)從甲店每月售出的電腦中隨機抽取一臺，其利潤不少于240元的概率為；

(2)經市場調查發現，甲、乙兩店每月電腦的總銷量相當.現由于資金限制，需對其中一家分店作出暫停

營業的決定，若從每臺電腦的平均利潤的角度考慮，你認為應對哪家分店作出暫停營業的決定？并說明理

由.

23.在平面直角坐標系中，反比例函數y=$(x>0,k>0圖象上的兩點(n,3n)、(n+1,2n).

X

(1)求n值；

(2)如圖，直線1為正比例函數y=x的圖象，點A在反比例函數y=&(x>0,k>0)的圖象上，過點A

x

作ABL1于點B,過點B作BC，x軸于點C,過點A作ADLBC于點D,記△BOC的面積為S”AABD

的面積為S2,求S「S2的值.

24.如圖，在菱形ABCD中，點E是BC邊上一動點（不與點C重合）對角線AC與BD相交于點0,連接

AE,交BD于點G.

（1）根據給出的aAEC,作出它的外接圓。F,并標出圓心F（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，連接EF.①求證：ZAEF=ZDBC；

②記t=GF?+AG?GE,當AB=6,BD=6，^時，求t的取值范圍.

25.如圖，二次函數y=x?+bx-3的圖象與x軸分別相交于A、B兩點，點B的坐標為（3,0）,與y軸的交

點為C,動點T在射線AB上運動，在拋物線的對稱軸1上有一定點D,其縱坐標為2G,1與x軸的交點

為E,經過A、T、D三點作。M.

（1）求二次函數表達式；

（2）在點T的運動過程中，

①NDMT的度數是否為定值？若是，請求出該定值：若不是，請說明理由；

②若MT=^AD,求點M的坐標；

2

（3）當動點T在射線EB上運動時，過點M作MHLx軸于點H,設HT=a,當OHWxWOT時，求y的最

大值與最小值（用含a的式子表示）.

答案與解析

第I卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

L在-1、2、1、逝這四個數中，無理數是（）

1L

A.-1B.2C.-D.73

【答案】D

【解析】

【分析】

分別根據無理數、有理數的定義即可判定選擇項.

【詳解】解：出是無理數，

,,2,-1是有理數，

3

故選D.

【點睛】此題主要考查了無理數的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數，無限不循環小數為無理數.如

7t,0.8080080008-（每兩個8之間依次多1個0）等形式.

2.下列運算結果為a3的是（）

A.a+a+aB.a5-a2C.a?a?aD.a64-a2

【答案】C

【解析】

【分析】

根據同底數累相乘，底數不變指數相加；合并同類項法則；同底數幕相除，底數不變指數相減對各選項分

析判斷即可得解.

【詳解】解：A、a+a+a=3a,故本選項錯誤；

B、a5-a?不能計算，故本選項錯誤；

C、a?a?a=a3,故本選項正確；

D、a64-a2=a6-2=a4,故本選項錯誤.

故選C.

【點睛】本題考查了同底數幕的乘法，合并同類項法則，同底數幕的除法，熟練掌握運算性質和法則是

解題的關鍵.

3.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀.

【詳解】解：根據主視圖和左視圖為矩形判斷出是柱體，根據俯視圖是三角形可判斷出這個幾何體應該是

三棱柱.

故選C.

【點睛】此題主要考查了由三視圖判斷幾何體.主視圖和左視圖的大致輪廓為長方形的幾何體為柱體,

俯視圖為幾邊形就是幾棱柱.

4.人體中紅細胞的直徑約為0.0000077m,將數字0.0000077用料學記數法表示為（）

A.7.7x10-5B.0.77x10-5C.7.7x10^D.77xl0-7

【答案】C

【解析】

【分析】

根據科學計數法的表示即可求解.

【詳解】0.0000077=7.7xlO-6

故選C.

【點睛】此題主要考查科學計數法的表示，解題的關鍵是熟知負指數暴的性質.

5.下列事件中，是必然事件的是（）

A.從裝有10個黑球的不透明袋子中摸出一個球，恰好是紅球

B.拋擲一枚普通正方體骰子，所得點數小于7

C.拋擲一枚一元硬幣，正面朝上

D.從一副沒有大小王的撲克牌中抽出一張，恰好是方塊

【答案】B

【解析】

【分析】

根據事件發生的可能性大小即可判斷.

【詳解】A.從裝有10個黑球的不透明袋子中摸出一個球，恰好是紅球的概率為0,故錯誤;

B.拋擲一枚普通正方體骰子，所得點數小于7的概率為1,故為必然事件，正確;

C.拋擲一枚一元硬幣，正面朝上的概率為50%,為隨機事件，故錯誤;

D.從一副沒有大小王的撲克牌中抽出一張，恰好是方塊，為隨機事件，故錯誤;

故選B.

【點睛】此題主要考查事件發生的可能性，解題的關鍵是熟知概率的定義.

6.小王和小麗下棋，小王執圓子，小麗執方子，如圖是在直角坐標系中棋子擺出的圖案，若再擺放一圓一方

兩枚棋子，使9枚棋子組成的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,則這兩枚棋子的坐標分別是（）

A,圓子（2,3）,方子（1,.3）B.圓子（1,3）,方子（2,3）

C.圓子（2,3）,方子（4,0）D.圓子（4,0）,方子（2,3）

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根據各選項棋子的位置，進而結合軸對稱圖形和中心對稱圖形的性質判斷得出即可.

【詳解】解：如圖所示：9枚棋子組成的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,

.??這兩枚棋子的坐標分別是圓子（2,3）,方子（1,.3）,

故選A.

【點睛】此題主要考查了坐標確定位置以及軸對稱圖形與中心對稱圖形的性質，利用已知確定各點位置

是解題關鍵.

7.關于X的一元二次方程爐一5—1=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根

C.無實數根D.不能確定

【答案】A

【解析】

【分析】

根據根的判別式即可求解判斷.

【詳解】：△=b2-4ac=m2+4>0,故方程有兩個不相等的實數根，

故選A.

【點睛】此題主要考查一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是熟知判別式的性質.

8.一次函數y=-2x+l的圖象不經過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】

先根據一次函數y=-2x+l中k=-2,b=l判斷出函數圖象經過的象限，進而可得出結論.

【詳解】解：?.,一次函數y=-2x+l中k=-2<0,b=l>0,

.?.此函數的圖象經過一、二、四象限，不經過第三象限.

故選C.

【點睛】本題考查的是一次函數的性質，即一次函數y=kx+b（kWO）中，當k<0,b>0時，函數圖象

經過一、二、四象限.

9.如圖，拋物線y=ax?+bx+c（a>0）過原點O,與x軸另一交點為A,頂點為B,若AAOB為等邊三角形,

則b的值為（）

y

IA,

A.-y/3B.-2^/3C.-373D.-4^/3

【答案】B

【解析】

【分析】

卜_序卜2萬

根據已知求出B由aAOB為等邊三角形，得到？-=tan60。X(——)，即可求解；

2a4a4a2a

【詳解】解：拋物線y=ax?+bx+c(a>0)過原點O,

.*.c=0,

B(一2,十)，

la4〃

VAAOB為等邊三角形，

b2b

—=tan600X(--),

4a2a

?，?b=-2；

故選B.

【點睛】本題考查二次函數圖象及性質，等邊三角形性質；能夠將拋物線上點的關系轉化為等邊三角形

的邊關系是解題的關鍵.

10.如圖，點E為AABC的內心，過點￡作“NO5c交A3于點M，交AC于點N,若A3=7,AC=5,

BC=6,則MN的長為()

A.3.5B.4C.5D.5.5

【答案】B

【解析】

【分析】

連接EB、EC,如圖，利用三角形內心的性質得到N1=N2,利用平行線的性質得N2=N3,所以/1=N3,

MN7-BM7

則BM=ME,同理可得NC=NE,接著證明AAMNs/iABC,所以——=-------,則BM=7--MN①，同

676

理可得CN=5-』MN②，把兩式相加得到MN的方程，然后解方程即可.

6

【詳解】連接EB、EC,如圖，

??,點E為^ABC的內心，

???EB平分NABC,EC平分NACB,

AZ1=Z2,

AZ2=Z3,

???N1=N3,

???BM=ME,

同理可得NC=NE,

VMN//BC,

AAAMN^AABC,

MNAMMN1-BM7

???——=——，即nil——=-------則BM=7--MN①,

BCAB676

同理可得CN=5--MN@,

6

①+②得MN=12-2MN,

??.MN=4.

故選：B.

【點睛】此題考查三角形的內切圓與內心，相似三角形的判定與性質，解題關鍵在于掌握與三角形各邊都

相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角

形.三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點.

第II卷

二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.

11.計算：（；）”+（若-1）°=___.

【答案】3

【解析】

【分析】

直接利用零指數塞的性質以及負指數幕的性質分別化簡得出答案.

【詳解】解：原式=2+1

=3?

故答案為3.

【點睛】此題主要考查了實數運算，正確化簡各數是解題關鍵.

12.若一組數據1、3、X、5、8的眾數為8,則這組數據的中位數為.

【答案】5

【解析】

【分析】

根據眾數和中位數的概念求解.

【詳解】解：：數據1、3、X、5、8的眾數為8,

.?.x=8,

則數據重新排列為1、3、5、8、8,

所以中位數為5,

故答案為5.

【點睛】本題考查了眾數和中位數的概念，一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數；將一組數據按照

從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中

位數；如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數.

13.在五邊形ABCDE中，若NA+NB+NC+ND=440。，則/E=°.

【答案】100

【解析】

【分析】

根據五邊形內角和即可求解.

【詳解】：五邊形的內角和為（5-2）X18O0=540°,

ZE=540°-（ZA+ZB+ZC+ZD）=540°-440°=100°,

故填100.

【點睛】此題主要考查多邊形的內角和，解題的關鍵是熟知多邊形的內角和公式.

x=a(2x-y=l

14.若，是方程組〈:「的解，貝|a+4b=

y=b+5y=5

【答案】6

【解析】

【分析】

方程組兩方程相加求出x+4y的值，將x與y的值代入即可求出值.

2x-y=1①

【詳解】解:

一x+5y=5②

①+②得：x+4y=6,

x=a

把《，代入方程得：a+4b=6,

y=b

故答案為6

【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

15.如圖，PA切。O于點A,點B是線段PO的中點，若。。的半徑為石，則圖中陰影部分的面積為

【解析】

【分析】

陰影部分的面積等于三角形OAP的面積減去扇形AOB的面積.

【詳解】解：如圖，連接OA,AB.

：PA切。。于點A,

.\ZOAP=90°,

:點B是線段PO的中點，

AAB是直角三角形OAP斜邊上的中線，

AAB=OB,

,.,OB=OA,

.\AB=OA=OB,

.,.△OAB是等邊三角形，

???NAOB=60°,

***OA=-^3?OP=2^3?

；.AP=J(2舟—(A=3,

AOAP的面積=述，扇形AOB的面積=60義］義(6)2=￡,

23602

圖中陰影部分的面積為述-三=您二生.

222

故答案為小.

【點睛】本題考查了切線的性質定理以及30°的直角三角形的性質，三角形面積和扇形面積的計算等知

識.關鍵是熟練運用扇形的面積計算公式，能夠明確陰影部分的面積等于三角形OAP的面積減去扇形

AOB的面積.

16.在平面直角坐標系中，點A的坐標為(4,0),點B為y軸上的一動點，將線段AB繞點B順時針旋轉

3

90。得線段BC,若點C恰好落在反比例函數y=—的圖象上，則點B的坐標為.

x

【答案】(0,1)或(0,3)

【解析】

【分析】

設B(0,n),根據旋轉的性質可以得到CD=OB=n,BD=OA=4,得到點C的坐標是(-n,n-4),即

可得到-n(n-4)=3,從而求得點B的坐標.

【詳解】解：設B(0,n),

???點A的坐標為(4,0),將線段AB繞點B順時針旋轉90°得線段BC,若點C恰好落在反比例函數y

3

=一的圖象上，

x

易證aAOB名△BDC,

設B（0,n）,

???CD=OB=n,BD=OA=4,

點C的坐標是（-n,n-4）,

3

???C恰好落在反比例函數y=—的圖象上,

x

-n（n-4）=3,

解得n=l,3,

???點B坐標是（0,1）或（0,3）,

故答案為（0,1）或（0,3）.

【點睛】本題考查反比例函數的性質、坐標與圖形的變化-旋轉，解答本題的關鍵是明確題意，找出所

求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答.

三、解答題：本大題共9小題，共86分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

X+4?2

17.解不等式組c、cc，并將解集在數軸上表示出來.

2%>-3+3x

-4-3-2-1~0~1~2~3~4~5^

【答案】-2Wx<3

【解析】

【分析】

分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定

不等式組的解集.

【詳解】解：解不等式x+4'2,得：x、-2,

解不等式2x>-3+3x,得：x<3,

則不等式組解集為-2WxV3,

將解集表示在數軸上如下:

II'IIIiII,

-4-3-2-1012345

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同

小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

2

18.先化簡，再求值：(a+—1-)+與Z7-一1L,其中a=-2.

a-2a-+a

3

【答案】二

【解析】

【分析】

根據分式的加法和除法可以化簡題目中的式子，然后將a的值代入化簡后的式子即可解答本題.

【詳解】解：f?+—

[a—2ja+a

—2)+1+1)

CL—2(a+l)(a—1)

a?-2a+1a

a—2ci—1

(a—1)2a

a—2a—1

=3當a=-2時，原式="-2-1)3

a—2-2-22

【點睛】本題考查分式的化簡求值,解答本題的關鍵是明確分式化簡求值的方法.

19.如圖，在AA3C中，AB=AC,CDLAB于點。，BELAC于點E.

求證：BD=CE.

【答案】詳見解析

【解析】

【分析】

根據已知條件證明ASCDMACBE,即可求解.

【詳解】證明：

CD1AB,BE1AC,

：.NBDC=ZCEB=90°

?：AB=AC,

：.ZABC=NACB

在ABC。與AC3E中，

ZBDC=ZCEB,ZDBC=ZECB,BC=CB,

：.ABCD=ACBE.

：.BD=CE.

【點睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟知全等三角形的判定方法.

20.《楊輝算法》中有這么一道題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多幾何？”意思是：

一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長與寬共60步，問它的長比寬多了多少步？

【答案】12

【解析】

【分析】

設矩形的長為x步，則寬為（60-x）步，根據題意列出方程，求出方程的解即可得到結果.

【詳解】解：設矩形的長為x步，則寬為（60-x）步，

依題意得：x（60-x）=864,

整理得：x2-60x+864=0,

解得：x=36或x=24（不合題意，舍去），

60-x=60-36=24（步），

；.36-24=12（步），

則該矩形的長比寬多12步.

【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，找出題中的等量關系是解本題的關鍵.

21.如圖，在口ABC。中，AC與8。相交于點。，ACLBC,垂足為。.將AA3C沿AC翻折得到AAEC,

連接DE.

D

(1)求證：四邊形ACED是矩形；

(2)若AC=4,BC=3,求sin/ABD值.

【答案】(1)詳見解析；(2)sinNABD=。里

65

【解析】

【分析】

(1)根據折疊性質及平行四邊形的性質即可證明；

(2)過點A作A尸，3。于點尸，根據矩形與折疊的性質得到BE的長，再根據在中，由勾股定

理得到80的長，在此AABC中，同理可得的長，再由三角形的面積得到AF的長，再利用在放AAE3

中的三角函數即可求解.

【詳解】(1)由折疊性質得：BC=CE.

在□ABC。中，BC=AD,BC//AD,

：.CE=AD,

又AD[]CE,

...四邊形ACED是平行四邊形.

AC1BC,

：.ZACE=90°.

.?.□ACED是矩形.

(2)在矩形ACED中，AC=DE=4,/DEC=ZADE=90°.

???NACE=90。，由折疊性質可知：B、C、E三點共線，

BE=BC+CE=3+3=6.

在RtABED中,由勾股定理得：BD=后+4〉=履=2岳.

在R/AA3C中，同理可得：AB=5.

如圖1,過點A作A產，3D于點尸，

SMRn^-2BD2AF^-ADDE,

.,.-x2^3-AF=-x3x4,”=6岳

2213

6岳

在七AAR5中，.AF65.

sinZABD=---=-=------

AB565

【點睛】此題主要考查三角函數的應用，解題的關鍵是熟知矩形的性質及三角函數的定義及應用.

22.電器專營店的經營利潤受地理位置、顧客消費能力等因素的影響，某品牌電腦專營店設有甲、乙兩家分

店，均銷售A、B、C、D四種款式的電腦，每種款式電腦的利潤如表1所示.現從甲、乙兩店每月售出的

電腦中各隨機抽取所記錄的50臺電腦的款式，統計各種款式電腦的銷售數量，如表2所示.

表1：四種款式電腦的利潤

電腦款式ABCD

利潤（元/臺）160200240320

表2：甲、乙兩店電腦銷售情況

電腦款式ABCD

甲店銷售數量（臺）2015105

乙店銷售數量（臺）88101418

試運用統計與概率知識，解決下列問題：

（1）從甲店每月售出的電腦中隨機抽取一臺，其利潤不少于240元的概率為；

（2）經市場調查發現，甲、乙兩店每月電腦的總銷量相當.現由于資金限制，需對其中一家分店作出暫停

營業的決定，若從每臺電腦的平均利潤的角度考慮，你認為應對哪家分店作出暫停營業的決定？并說明理

由.

3

【答案】(1)—(2)應對甲店作出暫停營業的決定

【解析】

【分析】

(1)用利潤不少于240元的數量除以總數量即可得；

(2)先計算出每售出一臺電腦的平均利潤值，比較大小即可得.

【詳解】解：(1)從甲店每月售出的電腦中隨機抽取一臺，其利潤不少于240元的概率為

10+5_3

20+15+10+5—10

3

故答案為二7；

160x20+200x15+240x10+320x5

(2)甲店每售出一臺電腦的平均利潤值為=204(元),

50

160x8+200x10+240x14+320x18

乙店每售出一臺電腦的平均利潤值為=248(元),

50

V248>204,

乙店每售出一臺電腦的平均利潤值大于甲店；

又兩店每月的總銷量相當，

???應對甲店作出暫停營業的決定.

【點睛】本題主要考查概率公式的應用，解題的關鍵是熟練掌握概率=所求情況數與總情況數之比及加

權平均數的定義.

k

23.在平面直角坐標系中，反比例函數y=—(x>0,k>0圖象上的兩點(n,3n)、(n+1,2n).

x

(1)求n的值；

(2)如圖，直線1為正比例函數y=x的圖象，點A在反比例函數y=勺(x>0,k>0)的圖象上，過點A

x

作ABL1于點B,過點B作BCLx軸于點C,過點A作ADLBC于點D,記△BOC的面積為Si，AABD

的面積為S2，求S1-S2的值.

【答案】(1)2(2)6

【解析】

【分析】

(1)利用反比例函數圖象上點的坐標特征得到n?3n=(n+1)-2n,然后解方程可得n的值；

(2)設B(m,m),利用AOBC為等腰直角三角形得到/OBC=45°,再證明AABD為等腰直角三角形,

12

則可設BD=AD=t,所以A(m+t,m-t),把A(m+t,m-t)代入y=一中得到n?-『=12,然后利用

x

整體代入的方法計算Si-S2.

【詳解】解：(1)???反比例函數y=&(x>0,k>。圖象上的兩點(n,3n)、(n+1,2n).

X

.\n*3n—(n+1)?2n,解得n=2或n=0(舍去)，

??.n的值為2；

(2)反比例函數解析式為y=乜，

x

設B(m,m),

VOC=BC=m,

???AOBC為等腰直角三角形，

.\ZOBC=45°,

VABXOB,

.,.ZABO=90°,

AZABC=45°,

???AABD為等腰直角三角形，

設BD=AD=t,則A(m+t,m-t),

12

VA(m+t,m-t)在反比例函數解析式為丫=一上，

x

(m+t)(m-t)=12,

..m-t=12,

111-

?.Si-S2——m2----12——x12=6.

222

【點睛】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義：在反比例函數y=t(kWO)圖象中任取一點，過

這一個點向X軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|.也考查了反比例函數的性質.

24.如圖，在菱形ABCD中，點E是BC邊上一動點(不與點C重合)對角線AC與BD相交于點0,連接

AE,交BD于點G.

(1)根據給出的△AEC,作出它的外接圓。F,并標出圓心F(不寫作法和證明，保留作圖痕跡)；

(2)在(1)的條件下，連接EF.①求證：ZAEF=ZDBC；

②記t=GF?+AG?GE,當AB=6,BD=6，^時，求t的取值范圍.

【答案】(1)見解析(2)①證明見解析②9WtW12

【解析】

【分析】

(1)作EC的垂直平分線，其與BD的交點即為外心F；

(2)連接AF,EF,利用菱形的性質及外心的定義可證明/DBC=90°-/ACB及/AEF=90°-ZACB,

可推出結論；

(3)先證△ABGS/\FEG,再證△EFBs/iGFE,由相似三角形的性質可推出t=GF2+AG?GE=GF2+GF?BG

=GF(GF+BG)=GF?BF=EF?,在菱形ABCD中，AC±BD,EF=AFNAO,.,.EF2^AO2=32=9,當點

F與點O重合時，AF最大，求出此時t的最大值為12,即可寫出t的取值范圍.

【詳解】解：(1)如圖1,OF為所求作的圓；

(2)①證明：

如圖2,連接AF,EF,

?..四邊形ABCD為菱形，

；.AC_LBD,

.,.ZDBC=90°-ZACB,

,/FA=FE,

NAEF=NFAE,

ZAEF=-(180°-ZAFE)=90°--ZAFE,

22

又NACB」/AFE,

2

/.ZAEF=90°-ZACB,

又；NDBC=90°-ZACB,

.,.ZAEF=ZDBC；

②解：；四邊形ABCD為菱形，

.?.NABD=NCBD,AO=CO,BO=DO=；BD=gX6有=3/，

在Rt^ABO中，AO=y/AB2-BO2=^62-(3>/3)2=3)

又：NAGB=/FGE,ZABG=ZFEG,

AABG^AFEG,

AGBG

"GF~GE'

；.AG?GE=GF-BG,

ZGEF=ZFBE,ZGFE=ZEFB,

AAEFB^AGFE,

.EF_BF

GF~EF'

；.GF?BF=EF2,

/.t=AG?GE=GF2+GF?BG=GF(GF+BG)=GF?BF=EF?,

在菱形ABCD中，AC±BD,EF=AFNAO,

.,.EF2^AO2=32=9,

如圖3,當點F與點。重合時，AF最大，

由題意可知：AF=BF,設AF=x,貝UOFnSj^-x,

,/AO2+OF2=AF2,

,*.32+(36-x)2=x2,

解得，X=2^5，

...當x=2W時，t的最大值為12,

；.9WtW12.

【點睛】本題考查了尺規作圖，外接圓的定義，菱形的性質，相似三角形的判定與性質等，靈活運用相

似三角形的性質是解題的關鍵.

25.如圖，二次函數y=x?+bx-3的圖象與x軸分別相交于A、B兩點，點B的坐標為(3,0),與y軸的交

點為C,動點T在射線AB上運動，在拋物線的對稱軸1上有一定點D,其縱坐標為2百，1與x軸的交點

為E,經過A、T、D三點作。M.

(1)求二次函數的表達式；

(2)在點T的運動過程中，

①NDMT的度數是否為定值？若是，請求出該定值：若不是，請說明理由；

②若MT=』AD,求點M的坐標；

2

(3)當動點T在射線EB上運動時，過點M作MHLx軸于點H,設HT=a,當OHWxWOT時，求y的最

大值與最小值(用含a的式子表示).

【答案】(1)y=x2-2x-3(2)①在點T的運動過程中，/DMT的度數是定值②(0,石)(3)見解析

【解析】

【分析】

(1)把點B的坐標代入拋物線解析式求得系數b的值即可；

(2)①如圖1,連接AD.構造Rt^AED,由銳角三角函數的定義知，tan/DAE=6.即/DAE=60°,

由圓周角定理推知NDMT=2NDAE=120°；

②如圖2,由已知條件MT=^AD,MT=MD,推知MD=^AD,根據AADT的外接圓圓心M在AD

22

的中垂線上，得到：點