2025屆常州市“12校合作聯盟”數學高二上期末考試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的左、右焦點分別是，焦距，過點的直線與橢圓交于兩點，若，且，則橢圓C的方程為（）A. B.C. D.2．如圖，在四面體中，，，，分別為，，，的中點，則化簡的結果為（）A. B.C. D.3．函數的定義域為開區間，導函數在內的圖像如圖所示，則函數在開區間內的極大值點有（）A.1個 B.2個C.3個 D.4個4．直線與圓的位置關系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.都有可能5．雙曲線的左、右焦點分別為、，過點且斜率為的直線與雙曲線的左右兩支分別交于P、Q兩點，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.6．在三棱錐中，，，則異面直線PC與AB所成角的余弦值是（）A. B.C. D.7．下列結論正確的個數為（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A.4 B.3C.2 D.18．已知是函數的導函數，則（）A. B.C. D.9．設為可導函數，且滿足，則曲線在點處的切線的斜率是A. B.C. D.10．復數的共軛復數是A. B.C. D.11．已知橢圓的右焦點為，則正數的值是（）A.3 B.4C.9 D.2112．已知空間向量，，若，則實數的值是（）A. B.0C.1 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若命題“，不等式恒成立”為真命題，則實數a的取值范圍是________.14．若把英語單詞“”的字母順序寫錯了，則可能出現的錯誤有______種15．已知拋物線的頂點為O，焦點為F，動點B在C上，若點B，O，F構成一個斜三角形，則______16．經過兩點的雙曲線的標準方程是________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知為數列的前n項和，，且，，其中為常數.（1）求證：數列為等差數列；（2）是否存在，使得是等差數列？并說明理由.18．（12分）已知三棱柱中，，，平面ABC，，E為AB中點，D為上一點（1）求證：；（2）當D為中點時，求平面ADC與平面所成角的正弦值19．（12分）王同學入讀某大學金融專業，過完年剛好得到紅包6000元，她計劃以此作為啟動資金進行理投資，每月月底獲得的投資收益是該月月初投入資金的20%，并從中拿出1000元作為自己的生活費，余款作為資金全部投入下個月，如此繼續.設第n個月月底的投資市值為an.（1）求證：數列{-5000}為等比數列；（2）如果王同學想在第二年過年的時候給奶奶買一臺全身按摩椅（商場標價為12899元），將一年后投資市值全部取出來是否足夠？20．（12分）已知拋物線上的點M到焦點F的距離為5，點M到x軸的距離為（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線C的準線l與x軸交于點Q，過點Q作直線交拋物線C于A，B兩點，設直線FA，FB的斜率分別為，．求的值21．（12分）已知拋物線上一點到拋物線焦點的距離為，點關于坐標原點對稱，過點作軸的垂線，為垂足，直線與拋物線交于兩點.（1）求拋物線的方程；（2）設直線與軸交點分別為，求的值；（3）若，求.22．（10分）二項式展開式中第五項的二項式系數是第三項系數的4倍.求：（1）；（2）展開式中的所有的有理項.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】畫出圖形，利用已知條件，推出，延長交橢圓于點，得到直角和直角，設，則，根據橢圓的定義轉化求解，即可求得橢圓的方程.【詳解】如圖所示，，則，延長交橢圓于點，可得直角和直角，設，則，根據橢圓的定義，可得，在直角中，，解得，又在中，，代入可得，所以，所以橢圓的方程為.故選：A.2、C【解析】根據向量的加法和數乘的幾何意義，即可得到答案；【詳解】故選：C3、B【解析】利用極值點的定義求解.【詳解】由導函數的圖象知：函數在內，與x軸有四個交點：第一個點處導數左正右負，第二個點處導數左負右正，第三個點處導數左正右正，第四個點處導數左正右負，所以函數在開區間內的極大值點有2個，故選：B4、A【解析】求出圓心到直線的距離，然后與圓的半徑進行大小比較即可求解.【詳解】解：圓的圓心，，因為圓心到直線的距離，所以直線與圓的位置關系是相交，故選：A.5、C【解析】由，且，可得，再結合，可得，進而在△中，由余弦定理可得到齊次方程，求出即可.【詳解】由題意，可得，因為，所以，又，所以，在△中，，即，由余弦定理，可得，整理得，則，即，解得，因為，所以.故選：C.【點睛】方法點睛：本題考查求雙曲線的離心率，屬于中檔題.雙曲線離心率的求法：（1）由條件直接求出（或或），或者尋找（或或）所滿足的關系，利用求解；（2）根據條件列出的齊次方程，利用轉化為關于的方程，解方程即可，注意根據對所得解進行取舍.6、A【解析】分別取、、的中點、、，連接、、、、，由題意結合平面幾何的知識可得、、或其補角即為異面直線PC與AB所成角，再由余弦定理即可得解.【詳解】分別取、、的中點、、，連接、、、、，如圖：由可得，所以，在，，可得由中位線的性質可得且，且，所以或其補角即為異面直線PC與AB所成角，在中，，所以異面直線AB與PC所成角的余弦值為.故選：A.【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角7、D【解析】根據常數函數的導數為0，可判斷①；根據冪函數的求導公式，可判斷②；根據指數函數以及對數函數的求導公式，可判斷③④.【詳解】由得：，故①錯誤；對于，，故，故②正確；對于，則，故③錯誤；對于，則，故④錯誤，故選：D8、B【解析】求出，代值計算可得的值.【詳解】因為，則，因此，.故選：B.9、D【解析】由題，為可導函數，，即曲線在點處的切線的斜率是，選D【點睛】本題考查導數的定義，切線的斜率，以及極限的運算，本題解題的關鍵是對所給的極限式進行整理，得到符合導數定義的形式10、B【解析】因,故其共軛復數.應選B.考點：復數的概念及運算.11、A【解析】由直接可得.【詳解】由題知，所以，因為，所以.故選：A12、C【解析】根據空間向量垂直的性質進行求解即可.【詳解】因為，所以，因此有.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】，不等式恒成立，只要即可，利用基本不等式求出即可得出答案.【詳解】解：因為，不等式恒成立，只要即可，因為，所以，則，當且僅當，即時取等號，所以，所以.故答案為：.14、23【解析】先計算該單詞所有字母能夠組成的所有排列情況，然后減去正確的，即是可能出現錯誤的情況.【詳解】因為“”四個字母組成的全排列共有（種）結果，其中只有排列“”是正確的，其余全是錯誤的，故可能出現錯誤的共有（種）.故答案為：23.15、2【解析】畫出簡單示意圖，令，根據拋物線定義可得，應用數形結合及B在C上，求目標式的值.【詳解】如下圖，令，直線為拋物線準線，軸，由拋物線定義知：，又且，所以，故，又，故.故答案為：2.【點睛】關鍵點點睛：應用拋物線的定義將轉化為，再由三角函數的定義及點在拋物線上求值.16、【解析】設雙曲線的標準方程將點坐標代入求參數，即可確定標準方程.【詳解】令，則，可得，令，則，無解.故雙曲線的標準方程是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析；（2）存在時是等差數列，詳見解析.【解析】（1）利用與的關系可得，再結合條件即證；（2）由題可得，，若是等差數列，可得，進而可求數列的通項公式，即證.【小問1詳解】∵，∴，∴，又，∴，∴，∴數列為等差數列；【小問2詳解】∵，，∴，又，∴，若是等差數列，則，即，解得，當時，由，∴數列的奇數項構成的數列為首項為1，公差為2的等差數列，∴，即，為奇數，∴數列的偶數項構成的數列為首項為2，公差為2的等差數列，∴，即，為偶數，綜上可得，當時，，，故存在時，使數列是等差數列.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用線面垂直的性質定理及線面垂直的判定定理即證；（2）利用坐標法即求.【小問1詳解】∵，E為AB中點，∴，∵平面ABC，平面ABC，∴，又，，∴平面，平面，∴；【小問2詳解】以C點為坐標原點，CA，CB，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，不妨設，則平面的法向量為，設平面ADC法向量為，則，∴，即，令，則∴平面ADC與平面所成角的余弦值為，所以平面ADC與平面所成角的正弦值.19、（1）證明見解析（2）足夠【解析】（1）由題意可得出遞推關系，變形后利用等比數列的定義求證即可；（2）由（1）利用等比數列的通項公式求出，再求出，再計算即可得出結論.【小問1詳解】依題意，第1個月底股票市值則又∴數列是首項為1200，公比為1.2的等比數列.【小問2詳解】由（1）知∴∵，所以王同學將一年理財投資所得全部取出來是足夠的.20、（1）（2）0【解析】（1）由焦半徑公式求C的方程；（2）設直線AB方程，與拋物線方程聯立，由韋達定理表示出，，代入中化簡求值即可.小問1詳解】設點，則，所以，解得因為，所以．所以拋物線C的方程為【小問2詳解】由題知，，，直線AB的斜率必存在，且不為零設，，直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為，由，得所以，，且，即所以所以的值為021、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）運用拋物線的定義進行求解即可；（2）設出直線的方程，與拋物線的方程聯立，可求得點和的縱坐標，結合直線點斜式方程、兩點間距離公式進行求解即可；（3）利用弦長公式求得，由兩點間距離公式求得和，再解方程即可.【小問1詳解】拋物線的準線方程為：，因為點到拋物線焦點的距離為，所以有；小問2詳解】由題意知，，，設，則，，，，所以直線的方程為，聯立，消去得，，解得，設，，，，不妨取，，直線的斜率為，其方程為，令，則，同理可得，所以，而，所以；【小問3詳