河北省衡水市安平縣安平中學2025屆數學高二上期末聯考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（）A B.C.1 D.2．已知函數，若對任意，都有成立，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.3．已知集合，集合或，是實數集，則（）A. B.C. D.4．是等差數列，且，，則的值（）A. B.C. D.5．如圖，四棱錐的底面是矩形，設，，，是棱上一點，且，則（）A. B.C. D.6．設，，若，其中是自然對數底，則（）A. B.C. D.7．若等比數列中，，，那么（）A.20 B.18C.16 D.148．在數列中，，，則（）A.985 B.1035C.2020 D.20709．已知，，若，則實數的值為（）A. B.C. D.210．已知為等差數列，且，，則（）A. B.C. D.11．下列四個命題中為真命題的是（）A.設p：1＜x＜2，q：2x＞1，則p是q的必要不充分條件B.命題“”的否定是“”C.函數的最小值是4D.與的圖象關于直線y＝x對稱12．已知，為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足，那么點P到x軸的距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，用四種不同的顏色分別給A，B，C，D四個區域涂色，相鄰區域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法的種數為______（用數字作答）14．已知函數滿足：①是奇函數；②當時，．寫出一個滿足條件的函數________15．不等式是的解集為______16．已知圓，圓，則兩圓的公切線條數是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，O是BC的中點，（1）證明：平面平面BCD；（2）若三棱錐的體積為，E是棱AC上的一點，當時，二面角E－BD－C大小為60°，求t的值18．（12分）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C（x）=若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和（Ⅰ）求k的值及f(x)的表達式（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值19．（12分）已知函數f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3處取得極值.（1）求a，b的值（2）求f（x）在[﹣4，4]內的最值.20．（12分）已知函數（1）求在點處的切線方程（2）求直線與曲線圍成的封閉圖形的面積21．（12分）記為等差數列的前n項和，已知.（1）求的通項公式；（2）求的最小值.22．（10分）已知，直線過且與交于兩點，過點作直線的平行線交于點（1）求證：為定值，并求點的軌跡的方程；（2）設動直線與相切于點，且與直線交于點，在軸上是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據給定條件建立空間直角坐標系，令，用表示出點E，F坐標，再由兩點間距離公式計算作答.【詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設，則，設，有，線段EF長最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當且僅當時取“=”，所以線段EF長的最小值為.故選：B2、C【解析】求出函數的導數，再對給定不等式等價變形，分離參數借助均值不等式計算作答.【詳解】對函數求導得：，，，則，，而，當且僅當，即時“=”，于是得，解得，所以a的取值范圍為.故選：C【點睛】關鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，構造函數，利用函數思想是解決問題的關鍵.3、A【解析】先化簡集合，再由集合的交集、補集運算求解即可【詳解】，或，故故選：A4、B【解析】根據等差數列的性質計算【詳解】因為是等差數列，所以，，也成等差數列，所以故選：B5、B【解析】根據空間向量基本定理求解【詳解】由已知故選：B6、A【解析】利用函數的單調性可得正確的選項.【詳解】令，因為均為，故為上的增函數，由可得，故，故選：A.7、B【解析】利用等比數列的基本量進行計算即可【詳解】設等比數列的公比為，則，所以故選：B8、A【解析】根據累加法得，，進而得.【詳解】解：因為所以，當時，，，……，，所以，將以上式子相加得，所以，，.當時，，滿足；所以，.所以.故選：A9、D【解析】由，然后根據向量數量積的坐標運算即可求解.【詳解】解：因，，所以，因為，所以，即，解得，故選：D.10、B【解析】由已知條件求出等差數列的公差，從而可求出【詳解】設等差數列的公差為，由，，得，解得，所以，故選：B11、D【解析】根據推出關系和集合的包含關系判斷A，根據全稱命題的否定形式可判斷B，根據對鉤函數性質即三角函數的性質可判斷C，根據反函數的圖像性質可判斷D.【詳解】解：對于選項A：是的真子集，所以命題p是q的充分不必要條件，故A錯誤；對于選項B：命題“”的否定是“”，故B錯誤；對于選項C：函數，當時，，函數單調遞減，當時取最小值，故C錯誤；對于選項D：與互為反函數，故圖象關于直線y＝x對稱，故D正確.12、D【解析】設，由雙曲線的性質可得的值，再由，根據勾股定理可得的值，進而求得，最后利用等面積法，即可求解【詳解】設，，為雙曲線的兩個焦點，設焦距為，，點P在雙曲線上，，，，，，的面積為，利用等面積法，設的高為，則為點P到x軸的距離，則，故選：D【點睛】本題考查雙曲線的性質，難度不大.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、48【解析】由已知按區域分四步，然后給，，，區域分步選擇顏色，由此即可求解【詳解】解：由已知按區域分四步：第一步區域有4種選擇，第二步區域有3種選擇，第三步區域有2種選擇，第四步區域也有2種選擇，則由分步計數原理可得共有種，故答案為：4814、（答案不唯一）【解析】利用函數的奇偶性及其單調性寫出函數解析式即可.【詳解】結合冪函數的性質可知是奇函數，當時，，則符合上述兩個條件，故答案為：（答案不唯一）.15、【解析】由可得，結合分式不等式的解法即可求解.【詳解】由可得，整理可得：，則，解可得：.所以不等式是的解集為:.故答案為：.16、【解析】首先把圓的一般方程化為標準方程，進一步求出兩圓的位置關系，可得兩圓的公切線條數.【詳解】解：由圓，可得：，可得其圓心為，半徑為；由，可得，可得其圓心為，半徑為2；所以可得其圓心距為：，可得：，故兩圓相交，其公切線條數為,故答案為：2.【點睛】本題主要考查兩圓的位置關系及兩圓公切線條數的判斷，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）3【解析】（1）證得平面BCD，結合面面垂直判定定理即可得出結論；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角的公式可得，進而解方程即可求出結果.【小問1詳解】因為，O是BC的中點，所以，又因為，且，平面BCD，平面BCD，所以平面BCD，因為平面ABC，所以平面平面BCD【小問2詳解】連接OD，又因為是邊長為2的等邊三角形，所以，由（1）知平面BCD，所以AO，BC，DO兩兩互相垂直以O為坐標原點，OA，OB，OD所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系設，則O（0，0，0），A（0，0，m），B（1，0，0），C（－1，0，0），，因為A－BCD的體積為，所以，解得，即A（0，0，3），，∵，∴，設平面BCD的法向量為，,則，取平面BCD的法向量為，，，設是平面BDE的法向量，則，∴取平面BDE的法向量，解得或（舍）18、，因此.,當隔熱層修建厚時，總費用達到最小值70萬元【解析】解：（Ⅰ）設隔熱層厚度為，由題設，每年能源消耗費用為.再由，得，因此.而建造費用為最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為（Ⅱ），令，即.解得，（舍去）當時，，當時，，故是的最小值點，對應的最小值為當隔熱層修建厚時，總費用達到最小值為70萬元19、（1）a，b＝﹣1（2）f（x）min＝，f（x）max＝【解析】（1）先對函數求導，由題意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的兩個根為﹣1和3，結合方程的根與系數關系可求，（2）由（1）可求，然后結合導數可判斷函數的單調性，進而可求函數的最值.【詳解】解：（1）＝3ax2+2bx﹣3，由題意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的兩個根為﹣1和3，則，解可得a，b＝-1，（2）由（1），易得f（x）在，單調遞增，在上單調遞減，又f（﹣4），f（﹣1），f（3）＝﹣9，f（4），所以f（x）min＝f（﹣4），f（x）max＝f（﹣1）.【點睛】本題考查利用極值求函數的參數，以及利用導數求函數的最值問題，屬于中檔題20、（1）（2）2【解析】（1）首先求出函數的導函數，即可求出切線的斜率，再利用點斜式求出切線方程；（2）首先求出兩函數的交點坐標，再利用定積分及微積分基本定理計算可得；【小問1詳解】解：因為，所以，所以切線的斜率，切線過點，切線的方程為，即【小問2詳解】解：由題知，即解得或，即或或，直線與曲線于則所求圖形的面積21、（1）（2）【解析】（1）設數列的公差為d，由，利用等差數列的前n項和公式求解；（2）利用等差數列的前n項和公式結合二次函數的性質求解.【小問1詳解】解：設數列的公差為d，∵，∴，解得2，∴.【小問2詳解】由（1）知2，∴，，，∴當時，取得最小值-16.22、（1）證明見解析，（）（2）存在，