PAGE7-核心素養測評三十五合情推理與演繹推理(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2024·欽州模擬)平面內,圓有如下性質:“圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦”,由此類比可以得到空間中,球有如下性質 ()A.球心與弦(非直徑)的中點連線垂直于弦B.球心與該球小圓圓心的連線垂直于小圓C.與球心距離相等的弦長相等D.與球心距離相等的小圓面積相等【解析】選B.圓心對應球心,弦對應小圓,弦中點對應小圓圓心,依據類比推理則有:球心與該球小圓圓心的連線垂直于小圓.2.設三角形ABC的三邊長分別為a,b,c,面積為S,內切圓半徑為r,則r=QUOTE;類比這個結論可知:若四面體S-ABC的四個面的面積分別為S1,S2,S3,S4,內切球的半徑為r,四面體S-ABC的體積為V,則r等于 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.設四面體的內切球的球心為O,則V=VO-ABC+VO-SAB+VO-SAC+VO-SBC,即V=QUOTES1r+QUOTES2r+QUOTES3r+QUOTES4r,所以r=QUOTE.3.(2024·安慶模擬)某中學在高二下學期開設四門數學選修課,分別為《數學史選講》《球面上的幾何》《對稱與群》《矩陣與變換》.現有甲、乙、丙、丁四位同學從這四門選修課程中選修一門,且這四位同學選修的課程互不相同,下面關于他們選課的一些信息:①甲同學和丙同學均不選《球面上的幾何》,也不選《對稱與群》:②乙同學不選《對稱與群》,也不選《數學史選講》:③假如甲同學不選《數學史選講》,那么丁同學就不選《對稱與群》.若這些信息都是正確的,則丙同學選修的課程是 ()A.《數學史選講》 B.《球面上的幾何》C.《對稱與群》 D.《矩陣與變換》【解析】選D.由信息①可得,甲、丙選擇《矩陣與變換》和《數學史選講》;由信息②可得,乙選擇《矩陣與變換》或《球面上的幾何》.第一種可能:當甲選擇《矩陣與變換》時,則丙選擇《數學史選講》,乙選擇《球面上的幾何》,丁選擇《對稱與群》,與信息③沖突,不合題意;其次種可能:當甲選擇《數學史選講》時,則丙選擇《矩陣與變換》,乙選擇《球面上的幾何》,丁選擇《對稱與群》,符合題意.綜上可得丙同學選修的課程是《矩陣與變換》.【變式備選】在一次數學單元測驗中,甲、乙、丙、丁四名考生只有一名獲得了滿分.這四名考生的對話如下,甲:我沒考滿分;乙:丙考了滿分;丙:丁考了滿分;丁:我沒考滿分,其中只有一名考生說的是真話,則考得滿分的考生是 ()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解析】選A.若甲考滿分,則甲、乙、丙說的都是假話,丁說的是真話,符合題意;若乙考滿分,則乙、丙說的是假話,甲和丁說的是真話,不合題意;若丙考滿分,則甲、乙、丁說的都是真話,丙說的是假話,不合題意;若丁考滿分,則甲、丙說的真話,乙、丁說的假話,不合題意.綜上,甲考滿分.4.我國的刺繡有著悠久的歷史,如圖所示的(1)(2)(3)(4)為刺繡最簡潔的四個圖案,這些圖案都是由小正方形構成,小正方形個數越多刺繡越美麗.現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同),設第n個圖形包含f(n)個小正方形,則f(n)的表達式為 ()A.f(n)=2n-1 B.f(n)=2n2C.f(n)=2n2-2n D.f(n)=2n2-2n+1【解析】選D.我們考慮f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,…,結合圖形不難得到f(n)-f(n-1)=4(n-1),累加得f(n)-f(1)=2n(n-1)=2n2-2n,故f(n)=2n2-2n+1.5.(2024·瀘州模擬)已知數列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,….其中第一項是20,接下來的兩項是20,21,再接下來的三項是20,21,22,以此類推,記此數列為{an},則a2019= ()世紀金榜導學號A.1B.2C.4D.8【解析】選C.將所給的數列分組:第1組為20,第2組為20,21,第三組為:20,21,22,…,則數列的前n組共有QUOTE項,由于QUOTE=2016,故數列的前63組共有2016項,數列的第2017項為20,數列的第2018項為21,數列的第2019項為22,所以a2019=4.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2024·豐臺模擬)已知數列{an}的通項an=2n-1,把{an}中的各項依據肯定的依次排列成如圖所示的三角形數陣.135791113151719……(1)數陣中第5行全部項的和為________________.

(2)2019是數陣中第i行的第j列,則i+j=________________.

【解析】(1)21+23+25+27+29=125.(2)2n-1=2019,n=1010,1+2+3+…+44=990,故i=44+1=45,j=1010-990=20,i+j=65.答案:(1)125(2)657.(2024·孝感模擬)二維空間中,圓的一維測度(周長)l=2πr,二維測度(面積)S=πr2,三維空間中,球的二維測度(表面積)S=4πr2,三維測度(體積)V=QUOTEπr3,應用合情推理,若四維空間中,“超球”的三維測度V=8πr3,則其四維測度W=________________.

【解析】二維空間中,圓的一維測度(周長)l=2πr,二維測度(面積)S=πr2,(πr2)′=2πr,三維空間中,球的二維測度(表面積)S=4πr2,三維測度(體積)V=QUOTEπr3,QUOTE′=4πr2,四維空間中,“超球”的三維測度V=8πr3,因為(2πr4)′=8πr3,所以“超球”的四維測度W=2πr4.答案:2πr48.(2024·佛山模擬)我國古代數學名著《九章算術》記載:“勾股各自乘,并之,為弦實”,用符號表示為a2+b2=c2(a,b,c∈N*),把a,b,c叫做勾股數.下列給出幾組勾股數:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41,以此類推,可揣測第5組勾股數的其次個數是________________. 世紀金榜導學號

【解析】由前四組勾股數可得第五組的第一個數為11,其次、三個數為相鄰的兩個整數,可設為x,x+1,所以(x+1)2=112+x2,即x=60,所以第5組勾股數的三個數依次是11,60,61.答案:60(15分鐘25分)1.(5分)圖①是美麗的“勾股樹”,它是一個直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到.圖②是第1代“勾股樹”,重復圖②的作法,得到圖③為第2代“勾股樹”,以此類推,已知最大的正方形面積為1,則第n代“勾股樹”全部正方形的面積的和為 ()A.n B.n2 C.n-1 D.n+1【解析】選D.最大的正方形面積為1,當n=1時,由勾股定理知正方形面積的和為2,依次類推,可得全部正方形面積的和為n+1.2.(5分)如圖所示橢圓中心在坐標原點,F為左焦點,A為右頂點,B為上頂點,當⊥時,其離心率為QUOTE,此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”,可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE-1 D.QUOTE+1【解析】選A.設“黃金雙曲線”方程為QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0),則B(0,b),F(-c,0),A(a,0).在“黃金雙曲線”中因為⊥,所以·=0.又=(c,b),=(-a,b).所以b2=ac.而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac.在等號兩邊同除以a2,得e=QUOTE(負值舍去).3.(5分)(2024·清華附中模擬)地鐵某換乘站設有編號為A,B,C,D,E的五個平安出口.若同時開放其中的兩個平安出口,疏散1000名乘客所需的時間如下:平安出口編號A,BB,CC,DD,EA,E疏散乘客時間(s)120220160140200則疏散乘客最快的一個平安出口的編號是()A.A B.B C.D D.E【解析】選C.同時開放A、E兩個平安出口,疏散1000名乘客所需的時間為200s,同時開放D、E兩個平安出口,疏散1000名乘客所需的時間為140s,得到D疏散乘客比A快;同時開放A、E兩個平安出口,疏散1000名乘客所需的時間為200s,同時開放A、B兩個平安出口,疏散1000名乘客所需的時間為120s,得到B疏散乘客比E快;同時開放A、B兩個平安出口,疏散1000名乘客所需的時間為120s,同時開放B、C兩個平安出口,疏散1000名乘客所需的時間為220s,得到A疏散乘客比C快;同時開放B、C兩個平安出口,疏散1000名乘客所需的時間為220s,同時開放C、D兩個平安出口,疏散1000名乘客所需的時間為160s,得到D疏散乘客比B快.綜上,疏散乘客最快的一個平安出口的編號是D.4.(10分)(2024·龍巖模擬)已知函數f(x)=QUOTE,g(x)=QUOTE(其中a>0,且a≠1), 世紀金榜導學號(1)若f(1)·g(2)+f(2)·g(1)=g(k),求實數k的值.(2)能否從(1)的結論中獲得啟示,猜想出一個一般性的結論并證明你的猜想.【解析】(1)f(1)·g(2)+f(2)·g(1)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE=