2025屆高考數(shù)學一輪復習講義計數(shù)原理、概

率、隨機變量及其分布之排列與組合

一'知識點講解及規(guī)律方法結(jié)論總結(jié)

1.排列、組合的定義

名稱定義

從〃個不同元素并按照①二定的順序排成一列，叫做從〃個不同元素中取

排列_

中取出m出根個元素的一個排列.

組合（加￡〃）個元素作為一組，叫做從〃個不同元素中取出機個元素的一個組合二

注意排列有序，組合無序.

2.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式及性質(zhì)（〃，〃zGN*,且機W〃）

排列數(shù)組否數(shù)

從〃個不同元素中取出徵（mWn）個從〃個不同元素中取出相個元素

定

元素的所有不同排列的個數(shù)，用符號的所有不同組合的個數(shù)，用符號③c然

義

②A梁表示.表示.

A^1n(n—l)(n—2)...(n—m+1)

腺=n(〃-1)(〃-2)…(n-m+pm==④.

公'-1nAJSml

n\

式1)=、;.規(guī)定0!=1.n!

(n—m)!I,二.規(guī)定華=1.

A*="！=〃X(〃-1)X(〃-2)

性

X---X2X1；pmrn~m.rm1

L=L，L?I+I1

質(zhì)1RL1RL

A愛="F+1）A「=楨二；

說明（：7=一一機的應用主要是兩個方面:一是簡化運算，當根〉;時，通常將計算C￡轉(zhuǎn)化

為計算C：m；二是列等式，由喘=e可得x=y或x+y=〃.

二'基礎題練習

1.5個相同的球，放入8個不同的盒子中，每個盒里至多放一個球，則不同的放法有

（B）

A.延種B.俏種C$8種D.85種

解析由于球都相同，盒子不同，每個盒里至多放一個球，所以只要選出5個不同的盒子

即可.故共有源種不同的放法.

2.［教材改編］從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學，每人各1本，則不同的送法

種數(shù)是（B）

A.12B.24C.64D.81

解析4本不同的課外讀物選3本分給3位同學，每人1本，則不同的分配方法種數(shù)為

A%=24.

3.［教材改編］某班舉行了“弘揚中華文化”演講比賽，有6人參加，并決出第1名到第6

名的名次（沒有并列名次）.甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你

和乙都沒有得到冠軍.”對乙說：“你當然不會是最差的.”從回答分析，6人的名次排列情

況可能有（D）

A.216種B.240種C.288種D.384種

解析由題可知，甲和乙都不是冠軍，所以冠軍有4種可能性，乙不是最后一名，所以最

后一名有4種可能性，所以6人的名次排列情況可能有4X4XA￡=384（種）.

4.［多選］下列說法正確的是（BD）

A.所有元素完全相同的兩個排列為相同排列

B.兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同

C.若喘=C/，貝I］x=m

-1

D.A^+1=A^+mA?

5.［易錯題］計算G+C升a+C$的值為210.（用數(shù)字作答）

解析原式=C+e+C$=C?+C$=C?o=21O.

6.若量+1=鬃+第，則〃=6.

解析：C器1=瑞+第=髭+1,；."+1=3+4,解得w=6.

三、知識點例題講解及方法技巧總結(jié)

命題點1排列問題

例1有3名男生、4名女生.

（1）若排成前、后兩排，前排3人，后排4人，則不同的排列方法總數(shù)為5040.

（2）若全體排成一排，女生必須站在一起，則不同的排列方法總數(shù)為576.

（3）若全體排成一排，男生互不相鄰，則不同的排列方法總數(shù)為1440.

（4）若全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊，則不同的排列方法總數(shù)為—

3600.

（5）若全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，則不同的排列方法總數(shù)為—

3720.

（6）若全體排成一排，其中甲、乙、丙三人從左到右順序一定，則不同的排列方法總數(shù)為

840.

解析（1）分兩步完成，先選3人站前排，有的種方法，余下4人站后排，有A*種方

法,共有AM=5040（種）.

（2）將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有四種方法，再將女生全排列，有短

種方法，共有A乳A*=576（種）.

（3）先排女生，有A3種方法，然后在女生之間及首尾共5個空位中任選3個空位安排男

生，有Ag種方法，共有A乳Ag=1440（種）.

（4）解法一先排甲，有5種方法，其余6人有A?種排列方法，共有5XA&=360（）

（種）.

解法二左、右兩邊位置可安排除甲外其余6人中的2人，有髭種排法，剩下的5人有Ag

種排法，共有A看Ag=3600（種）.

（5）解法一甲在最右邊時，其他人可全排列，有A?種方法；甲不在最右邊時，因為甲

也不在最左邊，所以可從余下的5個位置中任選1個，有盤種，而乙可從除去最右邊的位

置后剩下的5個位置中任選1個，有墨種，其余人全排列，有A&種不同排法，共有A3+

禺禺Ag=3720（種）.

解法二7人全排列，有AZ種方法，其中甲在最左邊時，有A國種方法，乙在最右邊時，有

A?種方法，其中都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形（Ag種方法），故共有A4—

2Ai+A|=3720（種）.

（6）7人全排列，有A：種方法，由于甲、乙、丙的順序一定，則不同的排列方法總數(shù)為

4=840.

Ai

方法技巧

求解排列問題的常用方法

直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算.

優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置.

魂部問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個整體與其他元素進行『

捆綁法

歹L同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列.

不相鄰問題插空處理,即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元

插空法

素插在前面元素的排列空位中.

定序問題

定序問題，可先不考慮順序限制進行排列，再除以定序元素的全排列.

除法處理

間接法正難則反，等價轉(zhuǎn)化處理.

訓練1（1）[2022新高考卷H]甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若

甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（B）

A.12種B.24種C.36種D.48種

解析先將丙和丁捆在一起，有A纖中排列方式，然后將其與乙、戊排列，有Ag種排列方

式，最后將甲插入中間兩空，有2種排列方式，所以不同的排列方式共有2A芻A,=24

（種），故選B.

（2）［2023濟南市統(tǒng)考］由3個2,1個0,2個3組成的六位數(shù)中，滿足有相鄰4位恰好是

2023的六位數(shù)的個數(shù)為（B）

A.3B.6C.9D.24

解析2023用了2個2,1個0,1個3,還余下1個2,1個3,故將2023視作一個整體

與余下的1個2,1個3全排列，有Ag=6（種）不同的排法.故選B.

命題點2組合問題

例2（1）［多選］從6名男生和4名女生中選出4人去參加一項創(chuàng)新大賽，則下列說法正確

的有（CD）

A.若4人全部為男生，則有30種不同的選法

B.若4人中男生、女生各有2人，則有30種不同的選法

C.若男生中的甲和女生中的乙被選，則有28種不同的選法

D.若男生中的甲和女生中的乙至少有1人被選，則有140種不同的選法

解析4人全部為男生，選法有髭=15（種），故A錯誤；如果4人中男生、女生各有2

人，男生的選法有髭=15（種），女生的選法有量=6（種），則4人中男生、女生各有2

人的選法有15X6=90（種），B錯誤；如果男生中的甲和女生中的乙被選，在剩下的8人

中再選2人即可，有禺=28（種）不同的選法，故C正確；在10人中任選4人，有C%=

210（種）不同的選法，甲、乙都不在其中的選法有喘=70（種），故男生中的甲和女生中

的乙至少要有1人被選的選法有210—70=140（種），故D正確.

（2）［2023新高考卷I］某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從

這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有一

64種（用數(shù)字作答）.

解析解法一由題意，可分三類：第一類，體育類選修課和藝術類選修課各選修1門，

有禺禺種方案；第二類，在體育類選修課中選修1門，在藝術類選修課中選修2門，有

黑田種方案；第三類，在體育類選修課中選修2門，在藝術類選修課中選修1門，有田心

種方案.綜上，不同的選課方案共有禺禺+黑田+山禺=64（種）.

解法二若學生從這8門課中選修2門課，則有量一田一田=16（種）選課方案；若學生

從這8門課中選修3門課，貝U有最一量一方=48（種）選課方案.綜上，不同的選課方案共

有16+48=64（種）.

方法技巧

組合問題常見的兩類題型

（1）“含”與“不含”的問題：“含”，則先將這些元素取出，再由剩下的元素補足；

“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取.

（2）“至少”與“最多”的問題：解這類題的關鍵是理解“至少”與“最多”這兩個詞的

含義，通常用直接法或間接法處理，分類復雜時，用間接法更容易處理.

訓練2（1）[2023福州5月質(zhì)檢]“賽龍舟”是端午節(jié)重要的民俗活動之一，龍舟比賽的

劃手分劃左槳和劃右槳.某訓練小組有6名劃手，其中有2名只會劃左槳，2名只會劃右

槳，2名既會劃左槳又會劃右槳.現(xiàn)從這6名劃手中選派4名參加比賽，其中2名劃左槳，2

名劃右槳，則不同的選派方法共有（C）

A.15種B.18種C.19種D.36種

解析按照從全能者（既會劃左槳又會劃右槳）中選多少人參與劃左槳分類：①2名全能

者中選2人劃左槳，有廢讖=1（種）不同的選派方法；②2名全能者中選1人劃左槳，有

禺禺禺=12（種）不同的選派方法；③2名全能者中選0人劃左槳，有廢量=6（種）不同

的選派方法.所以共有1+12+6=19（種）不同的選派方法.故選C.

（2）[2023南京市、鹽城市二模]編號為1,2,3,4的四位同學，就座于編號為1,2,

3,4的四個座位上，每個座位恰好坐一位同學，則恰有兩位同學的編號和座位編號一致的

坐法種數(shù)為6.

解析先選擇兩位同學坐對編號，有廢種方法，余下的兩位同學只能交叉坐，只有1種方

法，故共有此XI=6（種）不同坐法.

命題點3排列與組合的綜合應用

角度1有限制條件的排列、組合問題

例3（1）[2023沈陽市質(zhì)監(jiān)]甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必須

站在最中間兩個位置之一，且乙、丙2人相鄰，則不同的排隊方法共有（C）

A.24種B.36種C.72種D.96種

解析如圖所示，當甲在3的位置時，乙、丙可能排在（1,2）,（4,5）,（5,6）,

先從這三種中選出一種安排乙、丙，然后在剩下的3個位置安排余下的3人，所以不同的

排隊方法有禺A芻Ag=36（種）;當甲在4的位置時，由對稱性可知不同的排隊方法也有36

種.所以不同的排隊方法共有36X2=72（種），故選C.

123456

（2）[2023重慶市名校聯(lián)考]某校從8名教師中選派4名教師去4個偏遠地區(qū)支教，每地1

人，其中甲和乙不能同去，甲與丙同去或者同不去，則不同的選派方案的種數(shù)是600.

（用數(shù)字作答）

解析分為兩步，第一步，先選4名教師，第一步又分兩類，第一類，甲去，則丙一定

去，乙一定不去，有髭=10（種）不同的選法；第二類，甲不去，則丙一定不去，乙可能

去也可能不去，有讖=15（種）不同的選法.所以選4名教師，不同的選法有10+15=25

（種）.第二步，4名教師去4個偏遠地區(qū)支教，有A*=24（種）分配方法.所以不同的選派

方案的種數(shù)是25X24=600.

方法技巧

有限制條件的排列、組合問題的解題策略

（1）先分析每個限制條件，然后考慮是分類還是分步，對于分類過多的問題可以采用間接

法；

（2）采用特殊元素（位置）優(yōu)先原則，即先滿足有限制條件的元素（位置），再考慮其他

元素（位置）.

角度2分組、分配問題

例4（1）有5個大學保送名額，計劃分到3個班級，每班至少一個名額，有6種不同

的分法.

解析一共有5個保送名額，分到3個班級，每個班級至少1個名額，即將名額分成3

份，每份至少1個，（定份數(shù)）

將5個名額排成一列，中間有4個空，（定空位）

即只需在中間4個空中插入2個隔板，不同的方法共有比=6（種）.（插隔板）

（2）若將6名教師分到3所中學任教，其中一所1名，一所2名，一所3名，則有360

種不同的分法.

解析先將6名教師分組，共有瑪髭噌=60（種）分法.

再將這3組教師分配到3所中學，有Ag=6（種）分法.

故不同的分法共有60X6=360（種）.

（3）將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個人，每人至少1本的不同分法共有1560

種.（用數(shù)字作答）

解析把6本不同的書分成4組，故有“3,1,1,1”和“2,2,1,1”兩種不同的分組

方法.

若按“3,1,1,1”的分組方法，則不同的分法共有迤臀=20（種）.（有三組元素個數(shù)

相同，因與順序無關，故需除去重復情況）

若按“2,2,1,1”的分組方法，則不同的分法共有要?嬰=45（種）.（四組元素中，

分別有兩組元素個數(shù)相同，分別為“2,2”和“1,1”，因與順序無關，故需除去重復情

況）

所以不同的分組方法共有20+45=65（種）.

然后把分好的4組書分給4個人，分法共有A3=24（種），所以不同的分法共有65X24=

1560（種）.

方法技巧

分組、分配問題的解題思路是先分組后分配.

1.常見的分組

整體均勻分組分組后一定要除以A，(〃為均分的組數(shù))，避免重復計數(shù).

部分均勻分組若有機組元素個數(shù)相等，則分組時應除以加！.

不等分組分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等.

注意關于分組問題，應注意無論分成幾組，只要其中某些組中的元素個數(shù)相等，就存在

均分現(xiàn)象.

2.常見的分配

(1)相同元素的分配問題，常用“隔板法”求解.

(2)不同元素的分配問題，利用分步乘法計數(shù)原理，先分組，后分配.

(3)有限制條件的分配問題，采用分類討論法或間接法求解.

訓練3(1)［多選/2023重慶八中模擬］將甲、乙、丙、丁4名志愿者分別安排到A,B,C

3個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，要求每個社區(qū)至少安排1名志愿者，每名志愿者只能被

安排到1個社區(qū)，則下列選項正確的是(BD)

A.共有72種安排方法

B.若甲、乙被安排在同一個社區(qū)，則有6種安排方法

C.若A社區(qū)需要2名志愿者，則有24種安排方法

D.若甲被安排在A社區(qū)，則有12種安排方法

解析對于A選項，將4名志愿者先分為3組，再分配到3個社區(qū)，所以安排方法種數(shù)為

窈浮XAg=36,所以A選項不正確.

對于B選項，甲、乙被安排在同一個社區(qū)，先從3個社區(qū)中選1個安排甲與乙，再把剩余

2個社區(qū)進行全排列，所以安排方法種數(shù)為C必芻=6,所以B選項正確.

對于C選項，A社區(qū)需要2名志愿者，所以先從4名志愿者中選擇2名安排到A社區(qū)，再

把剩余2名志愿者進行全排列，所以安排方法種數(shù)為讖A芻=12,C選項不正確.

對于D選項，甲被安排在A社區(qū)，分為兩種情況，(對甲安排在A社區(qū)進行分類討論，討

論A社區(qū)是甲單獨一人還是甲與另外一人)

第一種為A社區(qū)安排了2名志愿者，則從剩余3名志愿者中再選擇1名，分到A社區(qū)，然

后把剩余2名志愿者進行全排列，安排方法共有瑪A今種；第二種是A社區(qū)只安排了甲志愿

者，此時剩余3名志愿者分為2組，再分配到剩余的2個社區(qū)中，此時安排方法有此A芻種.

(這兩組是不均勻分組，故不需除以任何數(shù))

所以安排方法種數(shù)一共為禺A芻+禺A,=12,D選項正確.故選BD.

（2）將9名大學生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天參加社區(qū)公益活動，每天分

別安排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有1680種.（用數(shù)字作答）

解析先選出3人，有瑪種選法，再從剩下的6人中選出3人，有髭種選法，最后剩下的

3人為一組，有田種選法.由分步乘法計數(shù)原理以及整體均勻分組方法，可知不同的安排方

案共有阿孽Ag=i680（種）.

四'命題點習題講解

1.［命題點1/2023大同學情調(diào)研］現(xiàn)有高中數(shù)學新教材必修一、二，選擇性必修一、二、

三，共5本書，把這5本書放在書架上排成一排，必修一、必修二不相鄰的排列方法種數(shù)

是（A）

A.72B.144C.48D.36

解析解法一先將選擇性必修一、二、三這3本書排成一排，有Ag=6（種）排列方法，

再將必修一、必修二這2本書插入兩端或3本書間的兩個空隙中，有A3=12（種）排列方

法，由分步乘法計數(shù)原理得，把這5本書放在書架上排成一排，必修一、必修二不相鄰的

排列方法種數(shù)是6X12=72.

解法二5本書放在書架上排成一排的排列方法共有虛種，其中必修一、必修二相鄰的排

列方法有A5A》種，所以把這5本書放在書架上排成一排，必修一、必修二不相鄰的排列方

法種數(shù)為Ag—AM》=72.

2.［命題點2/2023合肥市二檢］某高中學校在新學期增設了“傳統(tǒng)文化”“數(shù)學文化”“綜

合實踐”“科學技術”和“勞動技術”5門校本課程.小明和小華兩位同學商量每人選報2

門校本課程.若小明必須選報“數(shù)學文化”課程，兩位同學所選的課程至多有一門相同，則

不同的選課方案有（B）

A.24種B.36種C.48種D.52種

解析解法一當小明和小華兩位同學所選的課程恰有一門相同時，若相同的課程為“數(shù)

學文化”，則不同的選課方案有盤禺=12（種）；若相同的課程不是“數(shù)學文化”，則不

同的選課方案有屐禺=12（種）.所以小明和小華兩位同學所選的課程恰有一門相同時，共

有12+12=24（種）選課方案.當小明和小華兩位同學所選的課程都不相同時，不同的選課

方案有心釐=12（種）.所以不同的選課方案有24+12=36（種），故選B.

解法二小明在“數(shù)學文化”課程外任選一門課程，小華任選2門課程時，不同的選課方

案有心髭=40（種），其中小明和小華2門課程都相同時，選課方案有最=4（種），故兩

位同學所選的課程至多有一門相同時，不同的選課方案有40—4=36（種），故選B.

3.［命題點3角度1］某旅游景區(qū)有如圖所示A至H共8個停車位，現(xiàn)有兩輛不同的白色車

和兩輛不同的黑色車，要求相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列，則不同的停車方

法總數(shù)為（B）

ABCD

EFGH

A.288B.336C.576D.l680

解析由題意知，每行停放一輛白色車和一輛黑色車.第一步：取一輛白色車和一輛黑色車

停放到第一行，共有禺禺由A5=48（種）方法.第二步：把剩下的兩輛車停放到第二行.若

白色車與第一行的黑色車在同一列，此時黑色車有3種停放方法；若白色車與第一行的黑

色車不在同一列，則白色車有2種停放方法，黑色車也有2種停放方法，所以共有2義2=

4（種）停放方法.所以把剩下的兩輛車停放到第二行共有3+4=7（種）方法.由分步乘法

計數(shù)原理可知，滿足題意的停車方法總數(shù)為48X7=336.

4.［命題點3角度24021全國卷乙］將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、

冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志

愿者，則不同的分配方案共有（C）

A.60種B.120種C.240種D.480種

解析根據(jù)題設中的要求，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿

者，可分兩步進行安排：第一步，將5名志愿者分成4組，其中1組2人，其余每組1

人，共有釐種分法；第二步，將分好的4組安排到4個項目中，有A%種安排方法.故滿足題

意的分配方案共有髭XA%=240（種）.

5.［命題點32023福建適應性測試］中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命做出了重要

貢獻，很好地展示了國家形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽.現(xiàn)有5支救援隊

前往A,B,C3個受災點執(zhí)行救援任務，若每支救援隊只能去其中的一個受災點，且每個

受災點至少安排一支救援隊，其中甲救援隊只能去8,C2個受災點中的一個，則不同的安

排方法種數(shù)是（D）

A.72B.84C.88D.100

解析解法一（間接法）將5支救援隊分成3組，有兩種分法：3：1：1和2：2：1,再

將這3組分配到A,B,C3個受災點，有Ag種分配方法，故共有度Ag+空qXA§=150

（種）安排方法，其中含有甲救援隊去A受災點的情形.當甲救援隊去A受災點時，變?yōu)橛?/p>

下4支救援隊隨機去A,B,C3個受災點，則A受災點可以再去0支或1支或2支救援

隊，B,C受災點均至少去1支救援隊，當A受災點再去0支救援隊時，余下4支救援隊分

成兩組（3：1或2：2）去B,C2個受災點，不同的安排方法種數(shù)為管+當A受災

點再去1支救援隊時，余下3支救援隊只能按2：1分組去8,C2個受災點，不同的安排

方法種數(shù)為瑪禺AQ當A受災點再去2支救援隊時，余下2支救援隊只能1支去B受災

點，1支去C受災點，不同的安排方法種數(shù)為量A'.故滿足題意的不同的安排方法種數(shù)為

150-（田A5+Cg+C；JA,+CgAp=100.故選D.

解法二（直接法）將5支救援隊分成3組，有兩種分法：3：1：1和2：2：1,再將這3

組分配到A,B,C3個受災點.

①按3：1：1分組，若甲救援隊單獨一組，且甲救援隊去8,C2個受災點中的一個，則有

最熊A,種不同的安排方法；若甲救援隊不單獨一組，則甲救援隊所在的組還

需2支救援隊，有金種選法，甲救援隊所在的組去3,C2個受災點中的一個，有最種方

法，余下的2支救援隊分成兩組各去一個受災點，有掰種方法，故有鬣瑪A鄉(xiāng)種不同的安排

方法.

②按2：2：1分組，若甲救援隊單獨一組，且甲去3,C2個受災點中的1個，則有

r*2r2

禺X咎XA'種不同的安排方法；若甲救援隊不單獨一組，則甲救援隊所在的組還需1支

救援隊，有盤種選法，甲救援隊所在的組去8,C2個受災點中的1個，有廢種方法，余

下的3支救援隊按2：1分成兩組各去一個受災點，有瑪A,種方法，故有禺禺禺A'種不同

的安排方法.

故滿足題意的不同的安排方法種數(shù)為禺禺A,+鬣禺A芻+C/X爺XA芻+禺禺釐A芻=16+24

+12+48=100.故選D.

五'習題實戰(zhàn)演練

1.[新高考卷1]6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場

館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（C）

A.120種B.90種C.60種D.30種

解析第1步，抽1名志愿者安排到甲場館，有瑪種安排方法；第2步，從剩下的5名志

愿者中抽取2名安排到乙場館，有器種安排方法；第3步，將剩下的3名志愿者安排到丙

場館.由分步乘法計數(shù)原理得，不同的安排方法共有船髭=60（種），故選C.

2.[2024吉林市田家炳高級中學模擬]從A,B,C,D,E這5人中選出4人，安排在甲、

乙、丙、丁4個崗位上，如果A不能安排在甲崗位上，則不同的安排方法有（D）

A.56種B.64種C.72種D.96種

解析解法一（優(yōu)先特殊元素）根據(jù)題意可知，按A是否入選進行分類.

若A入選，則先從乙、丙、丁3個崗位上安排1個崗位給A,有瑪=3（種）安排方法，再

給剩下3個崗位安排人，有Aj=24（種）安排方法，共有3X24=72（種）安排方法.

若A不入選，則4個人4個崗位，有A%=24（種）安排方法.

綜上，共有72+24=96（種）安排方法.故選D.

解法二（優(yōu)先特殊位置）先安排去甲崗位的，A不能去，其他4人中選1人，因而有黑

種安排方法，再選3人安排其他崗位，有題種安排方法，從而共有禺A寵=96（種）安排方

法.故選D.

3.［2024北京市第十二中學模擬］4位同學排成一排準備照相時，又來了2位同學要加入，

如果保持原來4位同學的相對順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為(D)

A.10B.20C.24D.30

解析解法一不考慮限制條件，將6位同學排成一排準備照相，共有A3種排法，如果保

持原來4位同學的相對順序不變，則有筆=30(種)排法，故選D.

解法二插入2位同學后變成6位同學6個位置，原4位同學占4個位置，但相對順序沒

變，因而有墨種排法，再排新插入的2位同學有A,種排法，從而共有(：抬,=30(種)排

法，故選D.

解法三6個位置可以先排后加入的2位同學，有A2=30(種)排法，剩下4個位置原4

位同學按原順序排入即可，只有1種方法，因而共有30種排法，故選D.

4.［2024湖南衡陽模擬］2023年春節(jié)，在北京工作的五個家庭開車搭伴一起回老家過年，若

五輛車分別為A,B,C,D,E,五輛車隨機排成一列，則A車與3車相鄰，且A車與C

車不相鄰的排法有(A)

A.36種B.42種C.48種D.60種

解析將A車與8車捆在一起當成一個元素使用，有A芻種不同的捆法，將其與除C車外的

2個元素全排列，有Ag種排法，將C車插入，不與A車相鄰，有種插法，故共有

A^XAjXA1=36(種)排法.故選A.

5.5個小朋友站成一圈，不同的站法一共有(D)

A.120種B.60種C.30種D.24種

解析先將5個小朋友編為1?5號，然后讓他們按1?5的順序站成一圈，這樣就形成了

一個圓排列.分別以1,2,3,4,5號作為開頭將這個圓排列打開，就可以得到5種排列：

12345,23451,34512,45123,51234.這就是說，這個圓排列對應了5個排列.因此，要求

A5

圓排列數(shù)，只需要求出全排列數(shù)再除以5就可以了，即這些小朋友不同的站法一共有個=

A1=24(種)，故選D.

6.［多選］下列關于排列數(shù)與組合數(shù)的等式中，正確的是(ABD)

A.(w+1)

C.C懺普D.匕A獷』解

解析對于A,(〃+1)A#=(n+1)n(n—1)…(H—m+1)=人黑?，故A正確；對

于BQ1711—(n—1)!gm_n!_n'(n—1)!_n(n—1)!_n1

，n—1(m—l)!(n—m)l,nm!(n—m)!m-(m—l)!(n—m)!m(m—l)!(n—m)!mn-l'

所以mC￡=wCmT,故B正確；對于C,c7=等=至，故C錯誤；對于D,二一A獷1=

nn-lnmln—mn

---n(n—1)?(n—m)=n(〃-1)…(九一m+1)=嗨,故D正確.故選ABD.

n—m

7.［多選Z2024湖南湘潭聯(lián)考］從10名男生和8名女生中選出3人去參加創(chuàng)新大賽，則至少

有1名女生的選法種數(shù)為（AC）

A.C38—GioB.CgCi7

C瑪哈+髭4+髭D.%禺+/髭

解析對于A,從18名學生中選取3人，有C去種不同的選法，從18名學生中選取3人，

選的都是男生有C；o種不同的選法，所以至少有1名女生的選法有C%—C：O=696（種），A

正確；

對于B,CK務=1088/696,故B錯誤；

對于C,至少有1名女生的選法有三種情況：1名女生，2名女生，3名女生，所以至少有

1名女生的選法有瑪腎（）+髭Ch）+C=360+280+56=696（種）,C正確;

對于D,好。禺+禺0髭=360+280=640W696,故D錯誤.

8.［2024上海市華東師范大學第二附屬中學質(zhì)檢］7個志愿者的名額分給3個班，每班至少

一個名額，則有15種不同的分配方法（用數(shù)字作答）.

解析7個志愿者的名額分配給3個班，每班至少一個名額，其實就是在7個志愿者的名

額產(chǎn)生的6個空位中插入2個“檔板”，共有髭=15（種）不同的分配方法.

9.高考期間，為保證考生能夠順利進入某考點，交管部門將6名交警分配到該考點周邊3

個不同路口疏導交通，每個路口2人，則不同的分配方法共有90種.

解析根據(jù)題意，分兩步進行分析.第一步，將6名交警分成“2,2,2”的三組，有空立

Ai

=15（種）分組方法；第二步，將分好的三組全排列，對應3個路口，有Ag=6（種）情

況，則共有15X6=90（種）分配方法.

10.某工程隊有6項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙

必須在工程乙完成后才能進行，工程丁必須在工程丙完成后立即進行，那么安排這6項工

程的不同排法種數(shù)是20（用數(shù)字作答）.

解析解法一（特殊元素優(yōu)先法）丙、丁相鄰且順序固定，故將其視為1個元素，記為

丙丁，則6項工程可視為5個元素.分成兩步來完成：第一步，從5個位置中選擇3個位置

排列甲、乙、丙丁這3個特殊元素，又甲、乙、丙丁的相對順序固定，故不同的排法有《

=10（種）；第二步，將余下的2項工程任意排列到剩下的2個空位置上，不同的排法有

的=2（種）.由分步乘法計數(shù)原理，可知不同排法共有10X2=20（種）.

解法二（插空法）分成兩步來完成：第一步，將相對順序固定的甲、乙、丙、丁排列

好，丙、丁相鄰且順序固定，從而形成3個特殊元素（丙、丁視為1個元素），共有1種

排法；第二步，將余下的2項工程逐個插入，排法共有禺*=20（種）.根據(jù)分步乘法計數(shù)

原理，安排這6項工程的不同排法共有1X20=20（種）.

解法三丙、丁相鄰且順序固定，故將其視為1個元素，記為丙丁，其余4項工程各視為

1個元素.對5個元素全排列，共有Ag種排法.其中，甲、乙、丙丁這3個特殊元素的位置共

有Ag種不同的排法，而符合要求的甲、乙、丙丁的排法僅有1種，所以安排這6項工程的

不同排法共有號=20（種）.

11.[2024河南省實驗中學模擬]某院派出醫(yī)護人員共5人，分別派往4,B,C三個區(qū)，每

區(qū)至少一人，甲、乙主動申請前往A區(qū)或B區(qū)，且甲、乙恰好分在同一個區(qū)，則不同的安

排方法有（C）

A.12種B.18種C.24種D.30種

解析用捆綁法將甲、乙兩人看成一個整體，若甲、乙和另一人共3人分為一組，則有

2禺A4=12（種）安排方法；若甲、乙兩人分為一組，另外三人分為兩組，一組1人，一組

2人,則有禺C弼A〈=12（種）安排方法.

綜上，共有12+12=24（種）安排方法.故選C.

12.[2024浙江省名校聯(lián)考]某校銀杏大道上共有20盞路燈排成一列，為了節(jié)約用電，學校

打算關掉3盞路燈，且頭尾2盞路燈不能關閉，關掉的相鄰2盞路燈之間至少有2盞亮的

路燈，則不同的方案種數(shù)是（B）

A.324B.364C.560D.680

解析將20盞路燈分成2盞，15盞，3盞共3組，先將15盞亮的路燈排成一列，把3盞

關掉的路燈插空，因為頭尾2盞路燈不能關閉，所以是在除頭尾之外的14個空位中插入3