專題03等式與不等式的性質

【命題方向目錄】

命題方向一：不等式性質的應用

命題方向二：比較數（式）的大小與比較法證明不等式

命題方向三：已知不等式的關系，求目標式的取值范圍

命題方向四：不等式的綜合問題

命題方向五：糖水不等式

【2024年高考預測】

2024年仍將與集合運算結合重點考查一元二次不等式解法與分段函數不等式的解法，基本不等式多在

解析幾何、函數最值中考查，難度為基礎題或中檔題.

【知識點總結】

1、兩個實數比較大小的方法

a-b>0<i^a>b,

作差法<a—6=0=a三瓦（a,beR））

a-b<0a<b.

2、等式的性質

性質1對稱性：如果a=b,那么b=a；

性質2傳遞性：如果a=A,b=c,那a=c；

性質3可加（咸）性：如果那么a±c=Z?±c；

性質4可乘性：如果。=人，那么ac=Z>c；

?7h

性質5可除性：如果〃="cw0,那一=—.

CC

3、不等式的性質

性質1對稱性：a>b^^b<a；

性質2傳遞性：a>b,b>cna>c；

性質3可加性：a>b<^>a+c>b+c；

性質4可乘性：a>b,c>Q^>ac>bc；a>b,cac<bc

性質5同向可加性：a>b,c>d^a+c>b+d；

性質6同向同正可乘性：a>b>Q,c>d>Q^>ac>bd；

性質7同正可乘方性：?>Z?>O=>a">/?"（neN,H..2）.

【方法技巧與總結】

1、若ab>0,且a>bo—<—

ab

若>>a>0,根>0=>—>--------

aa+m

【典例例題】

命題方向一：不等式性質的應用

【通性通解總結】

1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說明.

2、充分利用基本初等函數性質進行判斷.

3、小題可以用特殊值法做快速判斷.

例1.（2023?北京?人大附中校考模擬預測）若實數。、b滿足標>廿>0,則下列不等式中成立的是（）

A.a>bB.2a>2b

22

C.a>\b\D.log2a>log2b

例2.（2023?山東棗莊?統考模擬預測）若“，b,ceR,且則下列不等式一定成立的是（）

2

A.a+c>b—cB.（tz—Z7）c2>0C.ac>bcD.------>0

a-b

例3.（2023?江西?統考模擬預測）已知Iog5〃>log5入則下列不等式一定成立的是（）

A.4a<4bB.log5（tz-/?）>0

C.5a~b>1D.ac>bc

變式1.（2023?全國?高三專題練習）兩兩不同的不，%2,%，%，％，為滿足：石+弘=%+%=%3+%且滿足

再<X，尤2<>2，“3<%，+*3%=2%2%>。.則下列一'定成的是（）

+%3>23>

A.玉々B.+x3<2X2C.占%考D.x1x3<xf

變式2.（2023?湖北武漢?統考模擬預測）下列不等式正確的是（）

A.若歐2Nbc?,則-N）

B.若￡>￡,則〃<6

C.若1+人>0,c-b>0,貝!

—什八，cla+ma

D.右a>0,Z?>0,m>0,且7則---->—

b+mb

變式3.（2023?北京朝陽?統考一模）若a>0>b,貝！！（）

A.a3>b3B.\a\>\b\C.3GD.ln（a-&）>0

命題方向二：比較數（式）的大小與比較法證明不等式

【通性通解總結】

比較數（式）的大小常用的方法有比較法、直接應用不等式的性質、基本不等式、利用函數的單調

性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

U）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大小；（4）下結論.

作商比較大小（一般用來比較兩個正數的大小）的步驟是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結論.

其中變形是關鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于。或1比較大

小.

作差法是比較兩數（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數（式）均為正數，且是暴或者因式

乘積的形式，也可考慮使用作商法，作商法比較大小的原理是：

bbb

若a>0/>0,貝U—=—<lob<a；—=l=b=a；

aaa

bbb

右a<0,Z?<0,貝！J——<1<^>b>a；—=lob=a.

aaa

例4.（2023?全國?高三專題練習）若0<a<6,。+人=1,則將a,b,^,2ab,cr+b2從小到大排列為.

例5.（2023?全國?高三專題練習）設f=a+2b,s=a+b2+\,則s與t的大小關系是.

例6.（2023?全國?高三專題練習）已知〃=/一3尤,N=-3/+x-3,則的大小關系是.

變式4.（2023?全國?高三專題練習）若。=殍，匕=與，貝16（填“>”或

ha

變式5.（2023?高三課時練習）（1）已知cVdVO,求證：——<——；

a-cb-d

（2）設x,yeR,比較（--丁丫與孫（無一的大小.

變式6.（2023?全國?高三專題練習）（1）試比較（x+l）（x+5）與@+3）2的大小;

（2）已知求證:ab>0.

命題方向三：已知不等式的關系，求目標式的取值范圍

【通性通解總結】

在約束條件下求多變量函數式的范圍時，不能脫離變量之間的約束關系而獨立分析每個變量的范圍,

否則會導致范圍擴大，而只能建立己知與未知的直接關系.

例7.（2023?全國?高三專題練習）已知YVa-cV-l,-l<4a-c<5,9a-c的取值范圍是

例8.（2023?四川成都?高三成都七中校考階段練習）若實數x、y滿足-14x+y41,l<x+2y<3,貝|

x+3y的取值范圍是.

例9.（2023?上海?高三專題練習）x-y<0,x+y-l>0,貝z=x+2y的最小值是.

變式7.（2023?全國?高三專題練習）已知實數x、y滿足-2V元+2y<3,-2<2x-y<0,貝i]3元-4y的取

值范圍為.

變式8.（2023?全國?高三專題練習）已知有理數a,b,c,滿足a>b>c,且a+b+c=0,那么二的取值范

a

圍是.

變式9.（2023?全國?高三專題練習）已知，〈月〈兀，貝!J2a-與的取值范圍是.

變式10.（2023?全國?高三專題練習）已知-2vav3,2<b<3,則/的取值范圍為__________.

b

變式11.（2023?全國?高三專題練習）已知函數/（%）=加一力滿足L—14/⑵45,則式3）的取

值范圍是.

丫2X

變式12.（2023?全國?高三專題練習）設羽y為實數，滿足3（孫2?8,4<—<9,則不的最小值是

yy

n—2c

變式13.（2023?全國?高三專題練習）已知三個實數a、b、c,當c>0時，b<2a+3c且6c=片，則一一

b

的取值范圍是.

命題方向四：不等式的綜合問題

例10.（2023?全國?高三專題練習）若實數。也c滿足3。+3〃=3"+J3a+3b+3C=3a+b+c,則c的最大值為

例11.（多選題）（2023?山東?校聯考二模）已知實數a,6,c滿足“>〃>c,且a+b+c=0,則下列說法正確

的是（）

A.--->―-—B.a—c>2bC.a2>b1D.ab+bc>0

a-cb-c

例12.（多選題）（2023?廣東惠州?統考一模）若6a=26=3,則（）

”1

A.B.ab<—

a4

11

C.a9+b9v—D.h—a>一

25

變式14.（多選題）（2023?山東濰坊?統考二模）已知實數3>5>0,則（）

、bb+2171—八一Ia+bIg?+lgZ?

A.一<----B.QH->b-\—C.cib>baD.1g------->-------------

aa+2ba22

變式15.（多選題）（2023?廣東深圳?深圳中學統考模擬預測）已知〃，b都是正實數，則下列不等式中恒成

立的是（）

A.（。+甸B.（。+由+）6

a1

C.Q2T—>3aD.----------<-

2ci—a+12

變式16.（多選題）（2023?福建?統考模擬預測）已知則下列結論正確的是（）

b

A.b>2B.a>2C.ab>2D.Q2+〃的最小值為6

變式17.（2023?全國?高三專題練習）已知實數a,b,。滿足〃+/?+c=0,〃2+》2+/=],則〃的最大值是

變式18.（2023?全國?高三專題練習）若％,yeR,設2孫+3/—工+》,則M的最小值為

變式19.（多選題）（2023?遼寧?校聯考二模）已知正數％,y滿足V=y3<i,則下列結論正確的是（）

A.0<x<y<lB.0<y<x<l

C.H一尤|4D.|/-x2|<^-

命題方向五：糖水不等式

【通性通解總結】

糖水不等式：若a>6>0,m>0,則一定有"二>?,或者9上

a+mab+mb

例13.（2023?全國?高三專題練習）已知如糖水中含有ag糖若再添加糖完全溶解在其中，

則糖水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大）.根據這個事實，下列不等式中一定成立的是（）

人aa+ma+ma+2m

A.->-------B.-------<---------

bb+mb+mb+2m

2]

C.（67+2m）（&+m）<（tz+m）（&+2m）D.不-->^q-

b

例14.（2023?四川涼山?統考一模），克糖水中含有b克糖，糖的質量與糖水的質量比為一，這個質量比決

a

定了糖水的甜度，如果再添加加克糖，生活經驗告訴我們糖水會變甜，對應的不等式為/7把+二w>上h

a+ma

（a>A>0,機>0）.若再=1（^2,x2=log1510,x3=log4520,則

A.xx<x2<x3B.\<x3<x2

C.玉<再<%2D.X3<X2<Xj

例15.（2023?山西?統考一模）我們都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水會更甜.這句話用數學符號可表

示為：2h〈竺h+竺m，其中且〃，b,meR+.據此可以判斷兩個分數的大小關系，比如85黑436罷623胃9

aa+m998763421

854366236（填,y）.

998763418

b

變式20.（2023?福建?高三校聯考階段練習）若。克不飽和糖水中含有b克糖，則糖的質量分數為一，這個

a

質量分數決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加加克糖，生活經驗告訴我們糖水會變甜，從而可抽象出

不等式/7竺+絲w7>h2（a>6>0,〃?>0）數學中常稱其為糖水不等式.依據糖水不等式可得出log?2

a+ma

log/。（用“〈”或""填空）；并寫出上述結論所對應的一個糖水不等式.

【過關測試】

一、單選題

1.（2023?天津?統考一模）設。>0,b>0,貝廣是/<[”的（）

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2023?江蘇南通?模擬預測）已知a-6e[0,l],a+6e[2,4],則4a-26的取值范圍是（）

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

3.（2023?湖南?模擬預測）已知正實數x,y滿足x<>,設。=打工+丁，b=yey+x,c=yex+x（其中e為

自然對數：e?2.71828）,則a,b,c的大小關系是（）

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

4.（2023?全國?高三專題練習）“x>y”的一個充分條件可以是（）

A.2x~y>-B.x2>345/

2

V

C.->1D.xt2>yt2

y

5.（2023?全國?高三專題練習）若實數a,b,。滿足a>h>c,則下列結論一定成立的是（）

A.aob2B.ab2>cb*1

-217111

C.QHz->b-\—D.------>-------

abb—ca—c

6.（2023?貴州銅仁?高三統考期末）已知實數無，y分別是方程1〃+上-1|=1的解，則2x+y的取值范圍是

)

A.[0,2]B.[-2,2]C.[0,3]D.[-3,3]

7.（2023?全國?高三專題練習）某城市有一個面積為Ikmz的矩形廣場，該廣場為黃金矩形（它的寬與長的

比為鋁），現在在中央設計一個矩形草坪，四周是等寬的步行道，能否設計恰當的步行道的寬度使矩形

草坪為黃金矩形？則下列選項正確的是（）

A.步行道的寬度10mB.步行道的寬度20m

C.步行道的寬度30mD.草坪不可能為黃金矩形

x+y>1

8.（2023?全國?高三專題練習）若實數羽y滿足5x+2”2'則的取值范圍（)

A.口+8）B.[3,+QO)C.[4,+oo)D.[9,+oo)

二、多選題

9.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統考一模）已知a,b,ce（O,y）,則下列說法正確的是（)

A.若b<c,則B.若a>b,貝！J"〉。，

C.a+b+J—>2A/2D.

yJabab

10.（2023?全國?模擬預測）已知。/為實數，且痣，則下列不等式正確的是（)

A.a2>b2B-

b+1bD.b+-^—>\

C.------>—

a+1ab+1

11.（2023?全國?高三專題練習）已知實數x,y滿足-3<%+2y<2,-1<2%-丁<4,則()

A.X的取值范圍為（-1,2）B.y的取值范圍為（-2,1）

C.x+y的取值范圍為（-3,3）D.X—V的取值范圍為（-1,3）

12.（2023?湖南永州?統考三模）已知a,〃,cwR,下列命題為真命題的是（）

A.若b<a<0,^]b-c2<ac2B.若b>a>。>c,貝!]—<—

ab

b--H-,八rmaa+c

C.若c>Z?>a>0,貝Ua>D.右a>b>c>0,貝----

c-ac-bbb+c

三、填空題

13.（2023?全國?高三專題練習）若整數尤滿足5+&?<x（回+2,則無的值是.

已知（X-1）2>4,則在:的取值范圍是

14.（2023?全國?高三專題練習）

15.（2023?北京房山?統考一模）能夠說明“設。也。是任意實數，若a<b<c,則ac<be”是假命題的一組整

數°,反c的值依次為

16.（2。23.全國?高三專題練習）已知實數，，九滿足"2則z=2xf的取值范圍是

.（用區間表示）

四、解答題

17.（2023?河北?高三統考學業考試）已知l<a<4,2Vb<8,分別求

a

⑴工

b

（2）2。+38

（3）a-b的取值范圍.

ab

18.（2023?全國?高三專題練習）比較丁+乙=與6+JF（a>0,力>0）的大小.

7b7a

22

〃2AA〃2

19.（2023?全國?高三專題練習）已知&>1,M=—+—,N=—+—.

a-1b-1a-1b-\

（1）試比較M與N的大小，并證明；

（2）分別求M,N的最小值.

20.（2023?全國?高三專題練習）已知2<b<S,試求。一6與￡的取值范圍.

21.（2023?全國?高三專題練習）求出一個數學問題的正確結論后，將其作為條件之一提出與原來問題有關

的新問題，我們把它稱為原來問題的一個“逆向”問題.例如，原來問題是“若直角三角形的兩條直角邊長分

別為3和4,求該直角三角形的面積”，求出面積6后，它的一個“逆向”問題可以是“若直角三角形的面積

為6,一條直角邊長為3,求另一條直角邊的長”.試給出問題“已知c=a+b,若”aW2,-l4芯3,求c的

取值范圍”的一個‘逆向”問題，并解答你所給出的“逆向”問題.

22.（2023?全國?高三專題練習）已知下列三個不等式：①ab>0；②￡>?；③bead,以其中兩個作為

ab

條件，余下一個作為結論，則可組成幾個正確命題？并選取一個結論證明.

專題03等式與不等式的性質

【命題方向目錄】

命題方向一：不等式性質的應用

命題方向二：比較數（式）的大小與比較法證明不等式

命題方向三：已知不等式的關系，求目標式的取值范圍

命題方向四：不等式的綜合問題

命題方向五：糖水不等式

[2024年高考預測】

2024年仍將與集合運算結合重點考查一元二次不等式解法與分段函數不等式的解法,

基本不等式多在解析幾何、函數最值中考查，難度為基礎題或中檔題.

【知識點總結】

1、兩個實數比較大小的方法

a-b>0a>b,

作差法<a-b=0=a三b,（a,beR））

a-b<0<i^a<b.

2、等式的性質

性質1對稱性：如果。=〃，那么匕=。；

性質2傳遞性：如果a=/?,b=c,那4=。；

性質3可加（咸）性：如果。=匕，那么a土c=b土c；

性質4可乘性：如果。=人，那么ac=Z>c；

性質5可除性：如果a=A,c/0,那^=上.

cc

3、不等式的性質

性質1對稱性：a>bob<a；

性質2傳遞性：a>b,b>cna>c；

性質3可加性：a>b<^a+c>b+c；

性質4可乘性：a>b,c>0^ac>bc；a>b,c<0=ac<bc

性質5同向可加性：a>b,c>d=>a+c>b+d；

性質6同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0^ac>bd；

性質7同正可乘方性：a〉b〉O=>a">夕（〃eN,4.2）.

【方法技巧與總結】

1、若ab>0,且a>bo—<—

ab

b—b+mb+m

2、若a>>>0,根>0=>

aa

若方>a>0,根>0=>—>--------

aa+m

【典例例題】

命題方向一：不等式性質的應用

【通性通解總結】

1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說明.

2、充分利用基本初等函數性質進行判斷.

3、小題可以用特殊值法做快速判斷.

例L（2023?北京?人大附中校考模擬預測）若實數。、。滿足標,則下列不等式中

成立的是（）

A.a>bB.2">2"

22

C.a>\b\D.log2a>log2Z?

【答案】D

【解析】由題意，a2>b2>0,所以logz">k>g"2,故D正確;

當。=一2,6=-1時，a2>&2>0,但a<6,2"<2"，同，故A,B,C錯誤.

故選：D.

例2.（2023?山東棗莊?統考模擬預測）若“，b,ceR,且a>6,則下列不等式一定成立

的是（）

2

A.a+c>b—cB.（tz-&）c2>0C.ac>bcD.------>0

a-b

【答案】B

【解析】若。=2,b=l,c=-2,滿足但a+c=0,b-c=3,a+c>b—c不成

立，A選項錯誤；

a>b,c2>0,則有〃/之兒2,gp^-^c^O,B選項正確；

a>b,當c<0時，反不成立，C選項錯誤;

2

當°2=0時，」c—=0,則D選項錯誤.

a-b

故選：B

例3.(2023?江西?統考模擬預測)已知觀5。>1唱6,則下列不等式一定成立的是()

A.4a<y/bB.Iog5(a-Z?)>0

C.5a~b>1D.ac>be

【答案】C

【解析】由logs。>logs"可知a>b>0,所以而>揚，所以A錯誤；

因為"6>0,但無法判定與1的大小，所以B錯誤；

當cWO時，ac<bc,故D錯誤；

因為。-6>0,所以5~>5°=1,故C正確.

故選：C.

變式1.(2023?全國?高三專題練習)兩兩不同的尤-尤2,毛，%，%，為滿足：

%%=9+%=退+%且滿足為<%<%，工<%，為%+W為=2%%>°.則下列一定

成立的是()

A.\+x3>2X2B.占+無3<2X2C.xtx3>D.x1x3<xf

【答案】A

【解析】方法1：設條件①:%+%=無2+%=無3+%，

②：xl<yl,x2<y2,x3<y3,

③XM+W%=2x2y2>0,

由題設x1+y1=x2+y2=x3+y3=k,

并令f(^x)=x[k-x)=-x1-\-kx,

則占%=%((一期)=/(%),

同理,工3%=『(W)，

條件③轉化為'叫“』)=/(%),

考慮到函數/'(x)為開口向下的二次函數，如圖所示：

它在定義域內整體為上凸函數,

因此）（占）；/口3）=/（/）.

由條件①可得，x,.<^1>=|（z=l,2,3）,

且函數/a）在'”，■!）上單調遞增，

因此/（%2）<兀2<"1,

即2X2<玉+工3恒成立,

故選：A.

方法2：由題設石+X=%2+%=*3+%=9,并令X]=1,%2=2,%3=4,

則X=8,%=7,必=5,滿足條件，

則選項A,B,玉+F>2%=1+4>2X2,故A正確，B不正確；

此時用W>考=1x4=22,故C,D均不正確，

故選：A.

變式2.（2023?湖北武漢?統考模擬預測）下列不等式正確的是（）

A.若ac?N雨,則a

B.若￡〉，，則〃</?

ab

C.若a+b>0,c-b>0,則Q>C

,a+ma

D.右〃>0,b>0,m>0,且〃</?,則---->—

b+mb

【答案】D

【解析】對于A,當c=0,a=-l,0=2時滿足aH之人/,但〃〈匕，所以A錯誤;

對于B,當。=一1,〃=一2,人=一3時，滿足￡〉，，但所以B錯誤;

ab

3

對于C,由不等式的基本性質易知a+c>0,當1=-1b=一,c=2時滿足a+b>0,

2

c—Z?>0,但a<c,所以C錯誤;

a+maa+m)b-a(b+m)(b-a)m0LLAI〃+機a,,__

對于D,所以^——>：,故D正確.

b+mb[b+m)b[b+m)bb+mb

故選：D.

變式3.（2023?北京朝陽?統考一模）若a〉0>b,貝U（）

33問〉網1<1

A.a>bB.C.a<bD.ln(tz-Z?)>0

【答案】A

33

【解析】a>O>bf:.a>0,b<0,即/>/,故A正確；

取〃=11=-2,則同>同不成立，故B錯誤；

取。=1/=-2,則上<4不成立，故C錯誤；

ab

^.a=—,b=――,則ln（a-〃）=Ini=0,故D錯誤.

故選：A

命題方向二：比較數（式）的大小與比較法證明不等式

【通性通解總結】

比較數（式）的大小常用的方法有比較法、直接應用不等式的性質、基本不等式、利

用函數的單調性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大小；（4）下結論.

作商比較大小（一般用來比較兩個正數的大小）的步驟是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結論.

其中變形是關鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利

于。或1比較大小.

作差法是比較兩數（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數（式）均為正數，

且是事或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法，作商法比較大小的原理是：

bbb

若a>0,b>0,則一>10>Q;—<1b<a；—=1<^>b=a

aaa

bbb

若a<0,b<0,則一>l=b<a；一=；—=\<=>b=a

aaa

例4.（2023?全國?高三專題練習）若0<〃<反。+6=1,則將〃也，2HM2十〃從小到大排列

為.

【答案】ci<lab<—<a2+b2<b

2

19

【解析】0<a<b,a+b=lf不妨令〃=

則有2M=§4,片+。2=§5,

.,.有b>+/>j_>2ab>a,

即a<lab<—<a2+b2<b.

2

故答案為：a<2ab<—<a~+b~<b.

2

例5.(2023?全國二專題練習)設/_=a+2Z?,s=a+b2+1>則s與/'的大小關系是

【答案】s>t

【解析】s-t=a+b2+l-(a+2b)=b2-2b+l=(b-iy>0,

:.s>t.

故答案為：s>t.

例6.(2023?全國?高三專題練習)已知M=爐-3x,N=-3x?+x-3,則M,N的大小關系

是.

【答案】M>N

【解析】因為加=尤2-3尤，'=-3/+彳-3

所以加_"二#_3尤卜(_3彳2+犬—3)=4工2_4*+3=41_￡|+2>0

所以M>N.

故答案為：M>N.

變式4.(2023?全國?高三專題練習)若。=野，6=?，貝I。/填或

【答案】V

【解析】易知。，b都是正數，-=—=^4=—=log89>l,所以

a3In2ln23In8

故答案為：v

hn

變式5.(2023?高三課時練習)(1)已知〃>b>0,cVdVO,求證：——<--；

a-cb-d

(2)設X,yeR,比較一/丫與xy(x-y)2的大小.

【解析】(1)由〃>。>0,cVdVO,得一c>—d>0,a—c>b—d>0,從而得

0<^—.

a—cb-d

又a>b>0,所以上〈二.

a-cb-d

(2)因為(犬2一>2『一孫(x-y)2=犬+；/一工3>-盯3=x3(x-y)+y3(〉-x)

=(x-y)(x3-/)=(x-y)2(x2+x^+y2)=(x-y)2(X+會］+|/20,當且僅當x=y時等

號成立，

所以當x=y時，(x2-y2)2=xy(x-y)2；

當時，(f_y2)2>盯(1_,)2.

變式6.(2023?全國?高三專題練習)(1)試比較(x+l)(x+5)與(％+3『的大小;

(2)已知求證：ab>0.

ab

【解析】(1)由題意，(%+1)(%+5)—(X+3)2

—X2+6x+5—x2—6%—9——4<0,

所以(％+1)(X+5)<(X+3)2.

(2)證明：因為上<1，所以,一;<0,即”<。，

ababab

而a>〃，所以b—4<0,貝!得證.

命題方向三：已知不等式的關系，求目標式的取值范圍

【通性通解總結】

在約束條件下求多變量函數式的范圍時，不能脫離變量之間的約束關系而獨立分析每

個變量的范圍，否則會導致范圍擴大，而只能建立已知與未知的直接關系.

例7.(2023?全國?高三專題練習)已知TVo-cW-l,-l<4a-c<5,9a-c的取值范圍

是_______________

【答案】[一1,20]

【解析】設9a-c=m(a-c)+〃(4o-c),即9a-c=(〃7+4〃)a-(〃z+〃)c,

5

m=-

m+477=93

解得。

m+n=l

58

9Q—c———^u-c)+1(4q—c),

55/、20…

VM<^-c<-l,——(a—c)W—①，

33V73

QQA(\

V-l<4a-c<5,A-|<|(4<7-C)<—(2),

①+②，得—149a—cW20,即9〃一。的取值范圍[—1,20].

故答案為：[-1,20].

例8.(2023?四川成都?高三成都七中校考階段練習)若實數x、y滿足-iWx+yWl,

l<x+2y<3,則尤+3y的取值范圍是.

【答案】[1,7]

\m+n=l\m=—V.

【解析】設％+3y=Mx+y)+〃(x+2y),則1々解得1。所以

m+2n=3\n=2

x+3y=—(x+y)+2(x+2加由情+2,3得｛2融(x+2y)6所以2(…+2(x+2y)7,

即1瓢+3y7.

故x+3y的取值范圍是[1,7].

故答案為：[L7].

例9.(2023?上海?高三專題練習)X—y<0,x+y—l>0,貝ljz=%+2y的最小值是

3

【答案】1/1.5

I+〃=]

【解析】設x+2y=〃z(x+y)+”(x—y)=(m+“)x+(m—")y,貝時,解得

[m—n=2

[3

m=—

,2

1，

n=----

[2

313

所以，z=x+2y=-(x+y)--(x-y)>-)

3

因此，z=x+2y的最小值是].

3

故答案為：

變式7.(2023?全國?高三專題練習)已知實數x、y滿足-2<x+2y<3,-2<2x-y<0,

則3x-4y的取值范圍為.

【答案】[-7,2]

fm+2n=3(m=-l

【解析】設力—4、=皿尤+2丁)+〃(2元一〉)，貝葉,，解得c，

\2m—n=-^[〃=2

所以3x-4y=-(x+2y)+2(2x-y),

因為—2Vx+2yV3,-2<2.x-y<0,

所以一34一(尤+2y)V2,-4<2(2x-y)<0,

所以-7W3x-4y<2,

故答案為：[-7,2].

變式8.(2023?全國?高三專題練習)已知有理數a,b,c,滿足a>b>c,且a+6+c=0,

那么反的取值范圍是

a

【答案】-2<-<4

a2

【解析】由于a>Z?>c,且a+Z?+c=0,

以a>0,cvO,b——Q—c,—a—c<a,2Q>—c,—>—2,

a

—a—c>c,—a>2c,一<—,

a2

c1

所以—2<上<一上.

a2

c1

故答案為：-2<-<-4

a2

變式9.（2023?全國?高三專題練習）已知0<a<Q,]<兀，貝!J2a-g的取值范圍是

715兀

【答案】

jr

【解析】因為。<二<大，所以0<2。<兀,

2

因為（兀，所以一/<一，<一?

2336

所以4<2"§<去

715兀

故答案為:

3,~6

變式10.（2023?全國?高三專題練習）已知-2vav3,2<&<3,則/的取值范圍為

b

3

【答案】（—1,：）

【解析】因為2<〃<3,所以:<?<!，因為—2<a<3,

3b2

當一2vav0時，Ov—a<2,所以0<----<1,所以—1<—<0；