17.1等腰三角形第十七章特殊三角形逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時講解1課時流程2等腰三角形的有關(guān)概念等腰三角形的性質(zhì)定理等邊三角形的定義與性質(zhì)定理等腰三角形的判定定理等邊三角形的判定定理知1－講感悟新知知識點等腰三角形的有關(guān)概念11.等腰三角形?有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.感悟新知2.等腰三角形的有關(guān)概念在等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.知1－講感悟新知注意：(1)

在描述等腰三角形的角和邊時，一般要說明是頂角還是底角、是腰還是底邊.如果沒有明確說明，則要考慮所有可能的情況.(2)

等腰三角形的頂角可以是銳角、直角或鈍角，但底角只能是銳角.知1－講感悟新知知1－講特別解讀確定等腰三角形的兩條腰時，應(yīng)找三角形中相等的兩邊，腰與三角形本身的位置無關(guān).知1－練感悟新知一個等腰三角形的兩邊長分別為4和6，求這個等腰三角形的周長.例1解題秘方：根據(jù)等腰三角形的定義確定腰和底邊的長，再利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行判斷并計算.知1－練感悟新知解：∵等腰三角形的底邊長和腰長不確定，∴需分兩種情況討論.當(dāng)4為腰長時，該等腰三角形的三邊長分別為4，4，6，∵4+4>6，滿足三角形的三邊關(guān)系，∴周長=4+4+6=14；當(dāng)6為腰長時，該等腰三角形的三邊長分別為4，6，6，∵4+6>6，滿足三角形的三邊關(guān)系，∴周長=6+6+4=16.綜上可知，這個等腰三角形的周長為14或16.知1－練感悟新知1-1.已知等腰三角形的一邊長為5，周長為20，則它的腰長為________

.知1－練感悟新知1-2.

[中考·蘇州]定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”.若等腰三角形ABC

是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為_________．6感悟新知知2－講知識點等腰三角形的性質(zhì)定理21.對稱性?等腰三角形是軸對稱圖形，底邊的垂直平分線是它的對稱軸．2.性質(zhì)定理1?等腰三角形的兩個底角相等(簡稱“等邊對等角”)

.3.性質(zhì)定理2

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(簡稱“三線合一”)

.必須在同一個三角形中.它們所在的直線是等腰三角形的對稱軸.感悟新知知2－講4.有關(guān)等腰三角形的性質(zhì)的一些結(jié)論(拓展)(1)

等腰三角形兩腰上的中線相等，兩腰上的高相等，兩底角的平分線也相等.(2)

等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高.(3)等腰三角形底邊上的高(或底邊上的中線或頂角平分線)上任意一點到兩腰的距離相等.知2－講感悟新知特別提醒1.“等邊對等角”是證明角相等的常用方法，應(yīng)用它證角相等時可省去三角形全等的證明，因而更簡便.2.“三線合一”應(yīng)用的前提必須是等腰三角形，且是底邊上的高、底邊上的中線和頂角平分線重合，而同一腰上的高、中線則不一定重合.知2－練感悟新知[母題教材P160練習(xí)T2]如圖17-1-1，在△ABC

中，AB=AC，BD，CE

分別是AC，AB

邊上的高.求證：BD=CE.例2

知2－練感悟新知解題秘方：利用等腰三角形的性質(zhì)定理為證明△BEC

和△CDB

全等創(chuàng)造條件.知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知2-1.

[中考·煙臺]如圖，點C

為線段AB上一點，分別以AC，BC

為等腰三角形的底邊，在AB

的同側(cè)作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，且∠A=∠CBE.在線段EC

上取一點F，使EF=AD，連接BF，DE，求證：DE=BF．知2－練感悟新知證明：∵△ACD，△BCE都是等腰三角形，∴AD＝CD，∠A＝∠DCA，CE＝EB.∵∠A＝∠CBE，∴∠DCA＝∠CBE.∴DC∥BE.∴∠DCE＝∠FEB.∵EF＝AD，AD＝CD，∴CD＝EF.又∵CE＝EB，∴△DCE≌△FEB(SAS)．∴DE＝BF.感悟新知知2－練如圖17-1-2，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，

AM⊥CD，垂足為M.求證：CM=MD.例3知2－練感悟新知解題秘方：由已知AM⊥CD

和結(jié)論CM=MD，聯(lián)想到等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，因此連接AC，AD，構(gòu)造等腰三角形.知2－練感悟新知

知2－練感悟新知方法點撥：等腰三角形中幾種常見的作輔助線的方法：(1)如圖17-1-3甲的情形，需作底邊上的高；(2)如圖17-1-3乙的情形，需作頂角平分線；(3)如圖17-1-3丙的情形，需連接AD

并延長，再證是“三線”.知2－練感悟新知3-1.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BEF=∠CFH，BE=CF，M

是EH的中點.求證：FM⊥EH.感悟新知知2－練如圖17-1-4，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.(1)求∠ADB的度數(shù)；(2)若∠BAC=100°，求∠B，∠C

的度數(shù)；(3)若BC=3cm，求BD

的長.例4

知2－練感悟新知解題秘方：緊扣等腰三角形的性質(zhì)定理進(jìn)行解答.解：∵AB=AC，AD

平分∠BAC，∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.由角平分線得到高線.(1)求∠ADB的度數(shù)；知2－練感悟新知

(2)若∠BAC=100°，求∠B，∠C

的度數(shù)；(3)若BC=3cm，求BD

的長.

由角平分線得到中線.知2－練感悟新知4-1.如圖，在△ABC中，AB=AC=7cm，AD⊥BC于點D，點E

在AC上，且AE=AD.(1)若△ABC的周長是24cm，求線段BD的長；知2－練感悟新知(2)若∠B=50°，求∠CDE

的度數(shù).感悟新知知3－講知識點等邊三角形的定義與性質(zhì)定理31.等邊三角形三邊都相等的三角形叫做等邊三角形.等邊三角形是等腰三角形的特例.2.等邊三角形的性質(zhì)定理等邊三角形的三個角都相等，并且每一個角都等于60°.感悟新知知3－講3.等邊三角形的其他性質(zhì)(1)等邊三角形是軸對稱圖形，它有3條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線；(2)等邊三角形各邊上的高、中線、對應(yīng)的角平分線重合，且長度相等.知3－講感悟新知特別解讀等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以：(1)任意兩邊都可以作為腰；(2)任意一個角都可以作為頂角；(3)任意一邊上都“三線合一”.知3－練感悟新知如圖17-1-5，△ABC

是等邊三角形，D，E，F(xiàn)

分別是三邊AB，AC，BC上的點，且DE⊥AC，EF⊥BC，F(xiàn)D⊥AB，求△DEF各個內(nèi)角的度數(shù).例5知3－練感悟新知解題秘方：緊扣等邊三角形的三個內(nèi)角都等于60°求角的度數(shù).知3－練感悟新知解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE⊥AC，EF⊥BC，F(xiàn)D⊥AB，∴∠AED=∠EFC=∠FDB=90°.∴∠ADE=180°－∠AED－∠A=30°.∴∠EDF=180°－30°－90°=60°.同理可得∠DEF=∠EFD=60°，∴△DEF各個內(nèi)角的度數(shù)都是60°.知3－練感悟新知5-1.

[二模·廊坊廣陽區(qū)]在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發(fā)現(xiàn)得到的∠1與∠2的和總是一個定值，則∠1+∠2=___________.240°知3－練感悟新知[中考·荊州]如圖17-1-6，BD

是等邊三角形ABC

的中線，以D

為圓心，DB

的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點E，連接DE．求證：CD=CE.例6

解題秘方：利用等邊三角形的性質(zhì)，將線段的問題轉(zhuǎn)化為角的問題.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知6-1.如圖，△ABC為等邊三角形，點E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上，AE=CF，BE=10，AF

與BE

相交于點D，AD=3.(1)求證：△ABF≌△BCE；知3－練感悟新知知3－練感悟新知(2)求DF

的長度.解：∵△ABF≌△BCE，∴AF＝BE＝10.又∵AF＝AD＋DF，AD＝3，∴DF＝7.感悟新知知4－講知識點等腰三角形的判定定理41.判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形.其中，兩個相等的角所對的邊相等.(簡稱“等角對等邊”)在同一個三角形中.感悟新知知4－講2.等腰三角形的性質(zhì)定理與判定定理的異同相同點都是指同一個三角形中邊角之間的對應(yīng)關(guān)系不同點“等邊對等角”(等腰三角形的性質(zhì))：兩邊相等→這兩邊所對的角相等.“等角對等邊”(等腰三角形的判定)：兩角相等→這兩角所對的邊相等

知4－講感悟新知特別提醒1.等腰三角形的定義也是等腰三角形的一種判定方法.2.“等角對等邊”不能敘述為“如果一個三角形有兩個底角相等，那么它的兩條腰相等”，因為在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“頂角”“腰”“底邊”這些名詞.感悟新知知4－講3.已知底邊及底邊上的高，用尺規(guī)作等腰三角形已知：如圖17-1-7，線段a

和h.求作：等腰三角形ABC，使BC=a，高AD=h.作法：如圖17-1-8.(1)作線段BC=a.(2)作BC

的垂直平分線MN，交BC

于點D.(3)在射線DM上截取DA=h.(4)連接AB，AC.△ABC

即為所求.知4－講感悟新知依據(jù)∵線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，∴AB=AC.∴△ABC為等腰三角形.感悟新知知4－練如圖17-1-9，在△ABC

中，P

是BC

邊上一點，過點P作BC

的垂線，交AB于點Q，交CA的延長線于點R，且AQ=AR，求證：△ABC是等腰三角形.例7知4－練感悟新知解題秘方：利用“等角對等邊”判定等腰三角形，只需證明三角形中兩個內(nèi)角相等即可.證明：∵AQ=AR，∴∠R=∠AQR.又∵∠BQP=∠AQR，∴∠R=∠BQP.∵RP⊥BC，∴∠RPB=∠RPC=90°.∴∠B+∠BQP=90°，∠C+∠R=90°.∴∠B=∠C.∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形.知4－練感悟新知7-1.

[期末·邢臺]如圖，在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，CD

平分∠ACB，DE∥AC，則圖中的等腰三角形共有(

)

A.2個

B.3個C.4個

D.5個D感悟新知知4－練[母題教材P146習(xí)題A組T4]如圖17-1-10，在△ABC

中，∠ABC，∠CAB的平分線交于點P，過點P作DE∥AB，分別交BC，AC

于點D，E.求證：DE=BD+AE.例8

知4－練感悟新知解題秘方：由平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義可證明DP=DB，PE=AE，即可證得結(jié)論.知4－練感悟新知證明：∵DE∥AB，∴∠ABP=∠DPB.∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠DBP.∴∠DBP=∠DPB.∴DP=DB.同理可得EP=EA.∴DE=DP+EP=DB+EA，即DE=BD+AE.角平分線+平行線

等腰三角形.知4－練感悟新知8-1.

[期末·石家莊]如圖，在△ABC

中，過點A

的直線DE∥BC，∠ABC

與∠ACB的平分線分別交DE

于E，D

兩點，求證：DE=AB+AC.證明：∵DE∥BC，∴∠EBC＝∠E.∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE.∴∠E＝∠ABE.∴AB＝AE.同理可得AD＝AC，∴DE＝AD＋AE＝AB＋AC.感悟新知知5－講知識點等邊三角形的判定定理51.判定定理1

三個角都相等的三角形是等邊三角形.2.判定定理2

有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.感悟新知知5－講

知5－講感悟新知特別解讀等邊三角形的判定方法：若已知三邊關(guān)系，一般選用定義判定；若已知三角關(guān)系，一般選用判定定理1判定；若已知該三角形是等腰三角形，一般選用判定定理2判定.感悟新知知5－練如圖17-1-11，在等邊三角形ABC中，∠ABC

和∠ACB的平分線相交于點O，OB，OC

的垂直平分線分別交BC

于點E，F(xiàn)，連接OE，OF.求證：△OEF是等邊三角形.例9知5－練感悟新知解題秘方：利用等邊三角形的判定定理1，通過求∠OEF=∠OFE=60°，得△OEF

是等邊三角形.知5－練感悟新知證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.∵BO

平分∠ABC，∴∠OBE=30°.∵OB

的垂直平分線交BC于點E，∴OE=BE.∴∠BOE=∠OBE=30°.∴∠OEF=∠BOE+∠OBE=60°.同理可得∠OFE=60°.∴∠EOF=60°.∴∠OEF=∠OFE=∠EOF.∴△OEF

是等邊三角形.知5－練感悟新知9-1.如圖，△ABC

為等邊三角形，∠1=∠2=∠3，求證：△DEF

是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°.又∵∠1＝∠2＝∠3，∠FDE＝∠ABE＋∠1，∴∠FDE＝∠ABE＋∠2＝∠ABC＝60°.同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°，∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD.∴△DEF是等邊三角形．感悟新知知5－練如圖17-1-12，點C

為線段AB

上一點，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN，MC

相交于點E，BM，CN相交于點F，連接EF.求證：(1)

AN=BM；(2)△CEF

是等邊三角形.例10

知5－練感悟新知解題秘方：要證AN=BM，只需證△A