專題16極值與最值

【命題方向目錄】

命題方向一：求函數的極值與極值點

命題方向二：根據極值、極值點求參數

命題方向三：求函數的最值(不含參)

命題方向四：求函數的最值(含參)

命題方向五：根據最值求參數

命題方向六：函數單調性、極值、最值得綜合應用

命題方向七：不等式恒成立與存在性問題

【2024年高考預測】

2024年高考仍然重點利用導數的極值與最值，恒能成立問題難度可為基礎題，也可為中檔題，也可為

難題，題型為選擇、填空或解答題.特別注意同構式體系的知識，在近兩年考查特別多.

【知識點總結】

一、函數極值的概念

設函數y=/(x)在點x0處連續且y=/'(/)=0,若在點尤0附近的左側f\x)>0,右側f\x)<0,

則為為函數的極大值點；若在與附近的左側/'(x)<0,右側/'(x)>0,則與為函數的極小值點.

函數的極值是相對函數在某一點附近的小區間而言，在函數的整個定義區間內可能有多個極大值或極

小值，且極大值不一定比極小值大.極大值與極小值統稱為極值，極大值點與極小值點統稱為極值點.

二、求可導函數/(X)極值的一般步驟

(1)先確定函數/(X)的定義域；

(2)求導數尸(%)；

(3)求方程/(?=0的根；

(4)檢驗/'(x)在方程/'(x)=0的根的左右兩側的符號，如果在根的左側附近為正，在右側附近為負，

那么函數y=/(x)在這個根處取得極大值；如果在根的左側附近為負，在右側附近為正，那么函數y=/(x)

在這個根處取得極小值.

注①可導函數/(x)在點與處取得極值的充要條件是：/是導函數的變號零點，即/'(/)=0,且在尤。

左側與右側，/'(X)的符號導號.

②;(%)=0是。為極值點的既不充分也不必要條件，如/(x)=d，尸(0)=0,但毛=0不是極值

點.

X。為可導函數/(%)的極值點=>/'(%)=0；但/'(%)=O^xo為/(%)的極值點.

三、函數的最大值、最小值

若函數y=/(x)在閉區間卜,可上的圖像是一條連續不間斷的曲線，則該函數在［a,句上一定能夠取得

最大值與最小值，函數的最值必在極值點或區間端點處取得.

四、求函數的最大值、最小值的一般步驟

設丁=/(%)是定義在區間可上的函數，y=/(x)在(a,6)可導，求函數y=/(%)在［a,可上的最

大值與最小值，可分兩步進行：

(1)求函數y=/(x)在(a,6)內的極值；

(2)將函數y=/(x)的各極值與端點處的函數值/(a),/3)比較，其中最大的一個是最大值，最小

的一個是最小值.

注①函數的極值反映函數在一點附近情況，是局部函數值的比較，故極值不一定是最值；函數的最值

是對函數在整個區間上函數值比較而言的，故函數的最值可能是極值，也可能是區間端點處的函數值；

②函數的極值點必是開區間的點，不能是區間的端點；

③函數的最值必在極值點或區間端點處取得.

【方法技巧與總結】

(1)若函數/(九)在區間D上存在最小值/(%).和最大值/(尤)，則

不等式/(x)>a在區間D上恒成立o/G/n>a；

不等式/(x)2a在區間D上恒成立1n>a；

不等式/(x)<b在區間D上恒成立o/(%)1rax<b；

不等式W6在區間D上恒成立O/(x)maxWb；

(2)若函數在區間D上不存在最大(小)值，且值域為(加，n),貝I］

不等式/(x)>a(或f(x)2a)在區間D上恒成立omNa.

不等式/(x)(“或f(x)W在區間D上恒成立=mWb.

(3)若函數/(%)在區間D上存在最小值/⑴1nm和最大值/⑴1mx,即則對不等式

有解問題有以下結論：

不等式在區間D上有解oav"%)出；

不等式aW/(%)在區間D上有解oaW/(尤)1mx；

不等式a>/(x)在區間D上有解oa>于(x)^；

不等式在區間D上有解/(初加；

(4)若函數/(x)在區間D上不存在最大(小)值，如值域為(牡〃)，則對不等式有解問題有以下

結論：

不等式a</(x)(或a</(0)在區間D上有解<^a<n

不等式/?〉/(力(或b2/(%))在區間D上有解=6>m

⑸對于任意的可，總存在we[m,〃],使得(為2)=/(%心%(9)皿；

(6)對于任意的玉e[a,可，總存在馬?皿n\,使得/可)冷(/)0〃石)1nto?g(/)而“；

(7)若存在玉￡[a,/?],對于任意的％2egn],使得/⑺々㈤0/㈤皿々(々置；

(8)若存在玉e[a,b],對于任意的々elm,n\,使得/(%)2g(9)。"%)1mx*(9).

(9)對于任意的石?a,可，.eg可使得/(石)先(々)0/(%)111axWg(9)1nhi；

(10)對于任意的玉e[a,可，e[m,同使得/(石)2g(々)=/(X1*〃(/心；

(11)若存在石e[a,句,總存在々egn\,使得〃西)會(/2)0/(石)1nbi<g(%2)111ax

(12)若存在％e[a,可，總存在&e[m,n\,使得/(動泊色)0〃%)1raxNg&)111ta.

【典例例題】

命題方向一：求函數的極值與極值點

例1.(2023.吉林通化?梅河口市第五中學?？寄M預測)已知函數〃力=(左-打爐在區間[0,1]上的最大值為

k,則函數〃x)在(。,+8)上()

A.有極大值，無最小值B.無極大值，有最小值

C.有極大值，有最大值D.無極大值，無最大值

例2.(2023?全國?高三專題練習)設三次函數Ax)的導函數為/''(無)，函數y=(無)的圖象的一部分如圖

所示，則正確的是()

V,

A.f(x)的極大值為了(百)，極小值為了(-6)

B.f(x)的極大值為了(-6)，極小值為/(6)

C.Ax)的極大值為〃-3),極小值為了(3)

D./(X)的極大值為"3),極小值為7?(-3)

例3.(2023?遼寧鞍山?高三校聯考期中)已知定義域為(0,+8)的函數Ax)的導函數為了'(x),且函數

g(x)=(log3無-l)"'(x)的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的是()

A.一⑺有極小值了(6),極大值/⑴B./⑺有極小值〃6),極大值/(10)

C.f(x)有極小值/⑴，極大值/⑶和/(10)D./⑴有極小值/⑴，極大值〃10)

變式1.(2023?全國?高三對口高考)函數/(元)=(9尤2-1)3+2的極值點是()

B.x=--C.%或工或0D.x=0

A.x=2

333

3

變式2.(2023?全國?高三專題練習)己知函數了。八萬/一2x-lnx,則的極小值為

變式3.（2023?全國?高三專題練習）已知函數/（x）=e-"Tnx在x=l處取得極值，則函數g（x）=ax-2sinx的

一個極大值點為.

【通性通解總結】

1、因此，在求函數極值問題中，一定要檢驗方程（（x）=0根左右的符號，更要注意變號后極大值與極

小值是否與已知有矛盾.

2、原函數出現極值時，導函數正處于零點，歸納起來一句話：原極導零.這個零點必須穿越x軸，否

則不是極值點.判斷口訣：從左往右找穿越（導函數與x軸的交點）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大.

命題方向二：根據極值、極值點求參數

14

例4.（2023?全國?高三對口高考）如果函數/0）=-耳/+灰2+5+歷在x=i處有極值一§,貝Ub+c的值為

例5.（2023?陜西西安?長安一中?？级＃┤艉瘮禑o）=g公2-/+1在彳=%和x=%，兩處取得極值，且

于。，則實數，的取值范圍是----------

例6.（2023廣西柳州?高三柳州高級中學校聯考階段練習）已知函數“%）=m3+彳2_2依+1,若函數了（對在

（1,2）上有極值，則實數。的取值范圍為一.

變式4.（2023?全國?高三專題練習）若〃x）=竺三在（L+8）上存在極值，則數小的取值范圍為

X+1

變式5.（2023?全國?高三對口高考）已知函數的導數r（x）=a（x+l）（x-。），若在x=-l處取到極

大值，則。的取值范圍是.

變式6.（2023?安徽阜陽?安徽省臨泉第一中學校考三模）已知函數〃x）=（lnx）2-依2有兩個極值點，則實

數。的取值范圍是.

變式7.（2023?河南安陽?統考三模）已知函數〃x）=（加+bx-l）e'（a,6eR）,若x=l是/⑺的極小值點,

則a的取值范圍是.

變式8.（2023.湖南衡陽?校聯考模擬預測）若x=l是函數〃x）=e'（加+瓜-1）（4<0）的極小值點，貝匹的

取值范圍為.

命題方向三：求函數的最值（不含參）

例7.（2023?云南?校聯考模擬預測）若x,yeR,則J（x-?+（xe'-y+lj的最小值為（）

A.@B.V2C.\D.正

22e

例8.（2023?全國?高三專題練習）已知函數/'（x）=x3+2x+2在［-2,2］上的最大值與最小值分別為“和加，

則經過函數g（x）=（M+m）x+［（M+:）x_i］3的圖象的對稱中心的直線被圓1+V=5截得的最短弦長為

A.10B.5C.斗口.粵

X

例9.（2023?新疆阿勒泰?統考三模）函數丁=丁在。2］上的最小值是（）

21

A.1B.—C.0D.-7=

ee22Ve

變式9.（2023?廣西玉林?統考模擬預測）已知x=l為函數〃尤）=8+2尤+3的極值點，則〃x）在區間：,2

X

上的最大值為（）（注：ln2?0.69）

A.3B.7-ln2

C.5D.—+ln2

2

變式10.（2023?四川綿陽?高三四川省綿陽江油中學?？茧A段練習）函數/（x）=cosx+（x+l）sinx+l在區間

［0,2K］的最大值為（）

71

A.——B2cD2

2--d-r

命題方向四：求函數的最值(含參)

2

例10.(2023?全國?高三對口高考)已知函數無)=,尤3-2尤2+(2-。)無+1,其中aeR.

(1)若a=2,求曲線y=在點。,〃功處的切線方程；

⑵求Ax)在區間［2,3］上的最大值和最小值.

例11.(2023?全國?高三專題練習)已知函數/(%)=。111(%+1911乂(〃￡10.

⑴求Ax)的圖象在％=0處的切線方程；

(2)已知Ax)在0,1上的最大值為lng+1］,討論關于x的方程/(x)=；在［0,對內的根個數，并加以證明.

例12.(2023?四川內江?高三?？茧A段練習)已知函數/(力=依3—Zz?+6—a(a>0).

(1)若。=6,曲線y=/(x)在x=x°處的切線過點(1,0),求號的值；

⑵若a>b,求/(x)在區間［0』上的最大值.

變式11.(2023.北京?高考真題)已知函數/(力=一/+3*2+9%+。

⑴求的單調減區間；

⑵若〃力在區間［-2,2］上的最大值為20,求它在該區間上的最小值.

變式12.(2023?北京石景山?高三統考期末)已知函數/(x)=Qe"-%,g(x)=x-〃lnx(Q￡R).

⑴若a=1,求曲線y=f{x）在點（0"（0））處的切線方程;

（2）求g（元）的單調區間；

⑶若/（X）和g（x）有相同的最小值，求a的值.

變式13.（2023?江西上饒?高三校聯考階段練習）已知函數〃x）=Rnx+（a-l）x,aeR.

⑴當a=2時，求曲線y=〃龍）在點。，/⑴）處的切線方程；

⑵求函數“可在區間［l,e］上的最小值；

命題方向五：根據最值求參數

例13.（2023?四川?高三統考對口高考）如果函數y="x-lnx的值域為［1,+8）,那么a=

例14.（2023?山東東營?高三勝利一中校考期末）若函數/。）=/-3》在區間（/-6,a）上有最大值，則實數

a的取值范圍是.

例15.（2023?福建?高三校聯考階段練習）若函數〃x）=lnx-ar2+g—2.（其中xe（L+s））存在最小值,

則實數a的取值范圍為.

變式14.（2023?江蘇南通?高三海安高級中學?？茧A段練習）已知函數/（x）=2/一以2+6,若存在a,b,

使得/'（x）在區間［0』的最小值為一1且最大值為1,則符合條件的一組“，b的值為.

變式15.(2023?全國?高三專題練習)如果兩個函數存在零點，分別為a,〃，若滿足則稱兩個函

數互為“〃度零點函數”.若/(x)=ln(x-2)與8(力=加-向互為“2度零點函數”，則實數。的最大值為

變式16.(2023?全國?高三專題練習)若函數/(幻=彳3-3彳在區間(/-12,°)上有最大值，則實數。的取值范

圍是?

變式17.(2023?全國?高三專題練習)已知。>0,函數8(h=》+^^-2在［2,+8)上的最小值為1,貝|a=

X

命題方向六：函數單調性、極值、最值得綜合應用

例16.(2023?山東濰坊三模)已知函數/(xb9+ax-eYaeR)有兩個極值點4當.

(1)求實數。的取值范圍；

(2)證明：%1+x2<ln4.

例17.(2023?安徽池州?高三池州市第一中學?？茧A段練習)已知函數〃司=￡和8(力=.有相同的最大

值從

(1)求a,b；

⑵證明：存在直線，=根，其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交

點的橫坐標成等比數列.

3

例18,(2023?山西晉中?統考三模)f(x)=21nx-cuc---.

ax

⑴討論“X)的單調性；

3

⑵g(無)=/(%)+/+—，若g(無)有兩個極值點演,三，且玉<%,試求g(%2)-2g(西)的最大值.

變式18.(2023?天津河東?高三天津市第七中學?？计谥?己知函數〃司=(爐+改)］在(0,1)上單調遞減.

(1)求。的取值范圍；

⑵令g(x)=［(a+3)x+a2+2a-l］e\//(%)=f(x)-g(x),求/z(x)在［1,2］上的最小值.

變式19.(2023?江蘇南京?模擬預測)已知函數/(x)=V-"lnx,其中。>0,b>0.

⑴若〃無)21,求6-a的最小值；

(2)^/(%)>3x-2,且6+3有最小值，求上的取值范圍.

變式20.(2023?上海黃浦?高三?？茧A段練習)已知函數〃x)=2x3-辦?+2,其中。>0.

⑴求〃x)的單調區間；

⑵當0<”3時，記”X)在區間［0,1］的最大值為最小值為加，求M-機的取值范圍.

命題方向七：不等式恒成立與存在性問題

例19.（2023?黑龍江大慶?大慶實驗中學校考模擬預測）已知m,〃為實數，不等式班-力”-”<0在（0,+s）

上恒成立，則上的最小值為（）

m

A.l4B.i3C.i2D.—1

例20.（2023?江蘇?高三江蘇省前黃高級中學校聯考階段練習）若關于x的不等式e'（3%-x）<2x+3對任意的

xe（O,y）恒成立，則整數上的最大值為（）

A.-1B.0C.1D.3

例21.(2023?河北?統考模擬預測)若VxeR,不等式e，_aln(ax-a)+a>0(a>0)成立，則實數“的取值范

圍是()

A.(0,e2)B.(e2,+oo)

C.(0,ee)D.(ee,+oo)

變式21.（2023.四川南充?統考三模）已知函數/（x）=lnx,g（x）=e，,叫，々且1,2]使

|g（x1）-g（^2）|>^|f（x1）-f（^2）|（左為常數）成立，則常數上的取值范圍為（）

A.（y,e）B.（-00,e]C.（-8,24）D.（-”,2e1

變式22.（2023?陜西商洛?高三陜西省山陽中學校聯考期中）已知函數〃%）=1+山，g（尤）=e*,若

，（%）=g（x2）成立，則占-%的最小值為（）

A.1B.2C.eD.In2

變式23.（2023?全國?高三專題練習）己知不等式2%-Wt＞處+!在（°，+8）上恒成立，則實數機的取值

XX

范圍是（）.

變式24.（2023?全國?高三專題練習）已知函數〃x）=Ae*+2a,g（x）=-------，對任意罰e[l,2],3x2e[l,3],

都有不等式成立，則。的取值范圍是（）

—e,+oo

e

—,+co-e,+8

2

【通性通解總結】

在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數的取值范圍，一般利用等價轉化的思想其轉化為函數的最

值或值域問題加以求解，可采用分離參數或不分離參數法直接移項構造輔助函數.

【過關測試】

一、單選題

4,、

1.（2023?全國?高三對口高考）設函數/（力=%+[，則/（冷的極大值點和極小值點分別為（）

A.-4,4B.4,-4C.-2,2D.2,-2

Inx

2.（2023?貴州遵義?統考三模）已知函數〃尤）=依+丁+1在x=l處取得極值0,貝3+匕=（）

b

A.-1B.0C.1D.2

3.（2023?河北?高三校聯考階段練習）已知函數/（耳=丁+中）丁-9x,則的極大值為（）

A.-3B.1C.27D.-5

4.（2023?四川?高三統考對口高考）函數y=（x-2）e'+gx2-x的極值點個數為（）

A.0B.1C.2D.3

5.（2023?河南?高三洛寧縣第一高級中學校聯考階段練習）函數/'（x）=/+cosx+1在區間[-兀㈤上的最大值

、最小值分別為（）

A.”+],3B.e，，3C.e^+i,ZD.e，，2

6.（2023?陜西寶雞?校考模擬預測）當x=l時，函數〃無）=aln尤取得最大值一2,貝廳'（4）=（）

x

A.-1B.-C.--D.1

88

7.（2023?甘肅金昌?永昌縣第一高級中學統考模擬預測）已知函數〃尤）=尤3一加+3天在R上單調遞增，且

g（x）=x+（；在區間（1,2]上既有最大值又有最小值，則實數。的取值范圍是（）

A.[3,4）B.（2,3]C.（3,4]D.[2,3）

8.（2023?西藏林芝?統考二模）已知函數"x）=（x-2）e-62+2or-2a,若有兩個不同的極值點外,馬

（尤1＜々），且當。＜彳＜^2時恒有/（尤）＜-2a,則。的取值范圍是（）

C.[e,/]D.（0,e）

二、多選題

9.（2023?全國?高三專題練習）已知函數〃元）=--1+1球，則（）

A.在x=l處的切線為x軸B./（x）是（0,+功上的減函數

C.x=l為“X）的極值點D./（X）最小值為0

10.（2023?浙江?高三校聯考階段練習）已知函數f（x）=^+；尤2-4無，貝I（）

A.x=l是的極小值點B.〃x）有兩個極值點

C.的極小值為1D./（x）在[0,2]上的最大值為2

11.（2023?海南省直轄縣級單位?高三嘉積中學校考階段練習）己知函數/（x）是定義在R上的奇函數，當尤＞0

時，/（x）=e^.（x-l）,則（）

%

A.當％v0時，/（x）=e*（x+l）

B.函數，（x）有2個零點

C./。）>0的解集為（-1,0）51,+8）

D.Vxpx2e7?,都有|〃占）一〃%）|<2

12.（2023?河北石家莊?統考三模）設函數的定義域為R,Xo（%wO）是“X）的極大值點，以下結論一定

正確的是（）

A.VxeR,f（x）<f（%0）B.是〃-x）的極大值點

C.%是一〃x）的極小值點D.是-“-力的極大值點

三、填空題

13.（2023?山西?校聯考模擬預測）已知函數〃x）=sin2x-x,xe（（U）,則的極大值點為.

14.（2023?遼寧鞍山?統考模擬預測）己知函數〃力=/+7后-1有兩個極值點々，巧，且％22占，則實數

機的取值范圍是.

15.（2023?江蘇淮安?江蘇省鄭梁梅高級中學?？寄M預測）已知函數/（x）=ln2x-依有三個零點，則。的

取值范圍是.

16.（2023?上海普陀?曹楊二中?？既＃┮阎瘮?（x）=<2工；］0，若“不）=/仇）（工產馬），則占+%

的最大值為.

四、解答題

17.（2023?新疆喀什?校考模擬預測）已知函數/（力=彳.

⑴求出函數/（X）的單調區間；

⑵若g（x）=￡/（x）,求g（x）的最小值.

18.（2023?新疆烏魯木齊?統考三模）已知〃x）=|2x+l|,不等式〃x）V3x的解集為

⑴求集合M；

（2）xeM,不等式+恒成立,求正實數。的最小值.

19.（2023?全國?高三專題練習）函數〃x）=xcosx-sinx在區間［-兀,0］上的最大值.

20.(2023?廣西防城港?高三統考階段練習)已知函數〃x)=(a-x)e"aeR.

(1)求函數的極值；

(2)若對任意xw[0,+?),都有/(x)-xW2成立，求。的取值范圍.

rrjX

21.(2023?安徽滁州?高三?？茧A段練習)已知函數/(?=毋匚(加,〃eR),在x=l處取得極小值2.

X+〃

⑴求函數“X)的解析式；

⑵求函數〃尤)的極值；

⑶設函數g(x)=/一2ax+a,若對于任意X|CR,總存在馬4-1,1],使得g(x2)v/a)，求實數。的取值范

圍.

22.(2023?全國?高三對口高考)已知函數/(無)=(/+ax+a)er,(a為常數，e為自然對數的底).

⑴當“=0時，求廣(2)；

(2)若〃x)在x=0時取得極小值，試確定a的取值范圍；

⑶在(2)的條件下，設由的極大值構成的函數為g(a),將a換元為無，試判斷曲線y=g(x)是否能

與直線3x-2y+〃z=0(m為確定的常數)相切，并說明理由.

專題16極值與最值

【命題方向目錄】

命題方向一：求函數的極值與極值點

命題方向二：根據極值、極值點求參數

命題方向三：求函數的最值(不含參)

命題方向四：求函數的最值(含參)

命題方向五：根據最值求參數

命題方向六：函數單調性、極值、最值得綜合應用

命題方向七：不等式恒成立與存在性問題

[2024年高考預測】

2024年高考仍然重點利用導數的極值與最值，恒能成立問題難度可為基礎題，也可為

中檔題，也可為難題，題型為選擇、填空或解答題.特別注意同構式體系的知識，在近兩年

考查特別多.

【知識點總結】

一、函數極值的概念

設函數y=f(x)在點/處連續且y=尸(％)=0，若在點%0附近的左側/'(%)>0，右

側/'(x)<0,則/為函數的極大值點；若在/附近的左側/'00<0,右側/'。)>0,則

》為函數的極小值點.

函數的極值是相對函數在某一點附近的小區間而言，在函數的整個定義區間內可能有多

個極大值或極小值，且極大值不一定比極小值大.極大值與極小值統稱為極值，極大值點與

極小值點統稱為極值點.

二、求可導函數/(X)極值的一般步驟

(1)先確定函數/(X)的定義域；

(2)求導數((x)；

(3)求方程/'(%)=0的根；

(4)檢驗/'(x)在方程/'(%)=0的根的左右兩側的符號，如果在根的左側附近為正,

在右側附近為負，那么函數y=/(x)在這個根處取得極大值；如果在根的左側附近為負，

在右側附近為正，那么函數y=f(x)在這個根處取得極小值.

注①可導函數/(X)在點尤0處取得極值的充要條件是：/是導函數的變號零點，即

/'(不)=0,且在/左側與右側，/'(x)的符號導號.

②/(不)=0是％為極值點的既不充分也不必要條件，如F(x)=d,尸(0)=0,但

x0=0不是極值點.

%為可導函數/(%)的極值點=>/'(%)=0；但/'(%)=0了4/為/(%)的極值點.

三、函數的最大值、最小值

若函數y=f(x)在閉區間［a,b］±.的圖像是一條連續不間斷的曲線，則該函數在［a,可

上一定能夠取得最大值與最小值，函數的最值必在極值點或區間端點處取得.

四、求函數的最大值、最小值的一般步驟

設y=/(x)是定義在區間［。，句上的函數，y=/(x)在(。力)可導，求函數丁=/(x)在

［a,句上的最大值與最小值，可分兩步進行：

(1)求函數y=/(x)在(a,6)內的極值；

(2)將函數y=f(x)的各極值與端點處的函數值/(a),/(打比較，其中最大的一個是

最大值，最小的一個是最小值.

注①函數的極值反映函數在一點附近情況，是局部函數值的比較，故極值不一定是最值;

函數的最值是對函數在整個區間上函數值比較而言的，故函數的最值可能是極值，也可能是

區間端點處的函數值；

②函數的極值點必是開區間的點，不能是區間的端點；

③函數的最值必在極值點或區間端點處取得.

【方法技巧與總結】

(1)若函數在區間D上存在最小值/(%).和最大值/(X),則

不等式/(X)>a在區間D上恒成立疝°>a；

不等式/(x"a在區間D上恒成立o/(力皿》a；

不等式/(%)<6在區間D上恒成立o1mx<b；

不等式/(x)Wb在區間D上恒成立o/(x)1rax<b；

(2)若函數/(x)在區間D上不存在最大(小)值，且值域為(牡〃)，則

不等式/(%)>。(或f(x)2a)在區間D上恒成立omNa.

不等式/(%)<"或/'(x)WZ?)在區間D上恒成立omW/?.

(3)若函數/(九)在區間D上存在最小值“XL和最大值/(力皿，即

/(x)e[m,n],則對不等式有解問題有以下結論：

不等式a</(x)在區間D上有解oa</(九)111ax；

不等式aV/(x)在區間D上有解oaK/Wm/

不等式a>/(可在區間D上有解oa>/(九)mg；

不等式a?/(x)在區間D上有解o心/(力同；

(4)若函數/(X)在區間D上不存在最大(小)值，如值域為(牡〃)，則對不等式有

解問題有以下結論：

不等式a</(x)(或aW/(力)在區間D上有解oa<n

不等式h>/(x)(或b>/(%))在區間D上有解ob>m

(5)對于任意的玉e[a,句，總存在毛e[m,n\,使得

/(^)<g(^)o/(x1)max<g(x2)imx；

(6)對于任意的he[a,可，總存在/e[m,n\,使得

/(^)>g(x2)o/h)min>g(x2)n.n；

(7)若存在％e[a,b],對于任意的n\,使得

/(%)Wg(尤2)O/aL<g(x2L；

(8)若存在％e[a,b],對于任意的n\,使得

(9)對于任意的石e[a,b],x2e[m,使得

(10)對于任意的花€[a,b],x2e[m,〃]使得

/(內)2g(%)o/aL2g(々)2；

(11)若存在％1G[a,可，總存在％e[m,n\,使得

/(%)Wg(九2)O/(玉)min<g(巧Lx

(12)若存在%e[a,萬I，總存在％e[m,n\,使得

/(%)*(%)o/&LNg(%L?

【典例例題】

命題方向一：求函數的極值與極值點

例1.(2023.吉林通化.梅河口市第五中學校考模擬預測)已知函數=在區間

［0』上的最大值為左，則函數/(x)在似+⑹上()

A.有極大值，無最小值B.無極大值，有最小值

C.有極大值，有最大值D.無極大值，無最大值

【答案】D

【解析】由/''(X)=(左一,則無<左一1時/'(x)>。，x>k-10^/,(x)<0,

所以f(x)在(—0,左-1)上遞增，(左-L+?)上遞減，

而/(0)=左，/⑴在［0,1］上的最大值為鼠

所以左-1W0,即上41,此時在(0,+巧上遞減，且無極大值和最大值.

故選：D

例2.(2023?全國?高三專題練習)設三次函數Ax)的導函數為/'(x),函數y=x4'(x)的圖

象的一部分如圖所示，則正確的是()

A.Ax)的極大值為了(石)，極小值為了(-6)

B./(X)的極大值為力-6)，極小值為了(石)

C.的極大值為/(-3),極小值為/(3)

D./(元)的極大值為/(3),極小值為/(-3)

【答案】D

【解析】當0<x<3時,則x?尸(x)>0,可得析(x)>0；

當x>3時,則『尸(x)<。，可得尸(x)<0；

當—3<x<0時，則x"'(x)<0,可得/'(尤)>0；

當龍<一3時，貝ijx"'(無)>0,可得/(無)<0；

故三次函數〃x)在(-3,3)上單調遞增，在(0,-3),(3,y)上單調遞減,

可得f(x)的極大值為/(3),極小值為/(-3).

故選：D.

例3.(2023?遼寧鞍山?高三校聯考期中)已知定義域為(0,+8)的函數/(*)的導函數為f(x),

且函數8(乃=(1%》-1)了(尤)的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的是()

A.Ax)有極小值了(6),極大值/⑴B.f(x)有極小值/(6),極大值了(10)

C./(%)有極小值/(D,極大值/(3)和/(10)D./(%)有極小值/(I),極大值/(10)

【答案】D

【解析】觀察圖象知，當gO)>。時，0<x<l或3cx<10且無片6,當gO)<。時，l<x<3

或x>10,

而當0<x<3時，log3x-l<0,當x>3時，log3x-l>0,因此當0Vxe1或x>10時，

小)<。，

當l<x<10時，r(%)>0,當且僅當尤=6時取等號，則"X)在(0,1),(10,+8)上單調遞減，

在(1,10)上單調遞增，

所以/(x)有極小值/⑴，極大值/(I。)，A,B,C不正確；D正確.

故選：D

變式1.(2023?全國?高三對口高考)函數〃彳)=(9/-1丫+2的極值點是()

A.x=2B.工=-；C.x=-；或;或0D.x=0

【答案】D

【解析】/'(x)=3(9x2-iyxl"=54x(3x—l)2(3x+l)2,令/'(x)=。有x=-§或1或0,

但當X取-;或1左右鄰域的值時，-(X)同號，故函數/(無)=(9d-l)+2的極值點是x=0.

故選：D

變式2.(2023?全國?高三專題練習)已知函數/⑴:彳--2x-lnx,則的極小值為

【答案】-1/-0.5

【解析】函數的定義域為(0,+8),

/,(X)=3X-2--=(3X+1)(X-1),

XX

令制即分+1)(1)

x)>0,>0,得X>1,

令_f(x)<0,即(3x+[(xT)<0,得0<彳<1,

故函數/(x)的單調遞增區間為(1,+s),單調遞減區間為(0,1),

31

故當尤=1時，函數/(X)取得極小值，極小值為了⑴=:-2=-：.

故答案為：-；.

變式3.(2023?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=ei-lnx在x=l處取得極值，則函數

g(x)=ax-2sinx的一個極大值點為.

【答案】x=q577"(答案不唯一)

【解析】因為/(x)=e』Tnx,所以(⑴=廣"—，則/(l)=e?-l=0,解得。=1,則

g(%)=%-2sinx,所以gf(x)=l—2cosx,

由g'(x)=l-2cosX=0,得至[|兀=]+2%?；?=$+2E,keZ,

jr57r

由g'(x)N。，得至++keZ,

由g'a)<。，得至[12%兀一]<%<2%兀+],左￡Z,所以g(x)的極大值點為X=2E+￡,keZ,

當仁。時，x],故g(x)的一個極大值點為了音(答案不唯一，滿足x=2E+弓，keZ

即可).

故答案為：X=*57r

【通性通解總結】

1、因此，在求函數極值問題中，一定要檢驗方程尸(x)=0根左右的符號，更要注意變

號后極大值與極小值是否與已知有矛盾.

2、原函數出現極值時，導函數正處于零點，歸納起來一句話：原極導零.這個零點必

須穿越尤軸，否則不是極值點.判斷口訣：從左往右找穿越(導函數與x軸的交點)；上坡

低頭找極小，下坡抬頭找極大.

命題方向二：根據極值、極值點求參數

14

例4.(2023?全國?高三對口高考)如果函數/(尤)=-y3+加+“+根在x=i處有極值一§,

貝I]b+c的值為.

【答案】2

【解析】因為函數/(彳)=-3%3+云2+”+6。在工=1處有極值-1',

4

所以/'⑴=0,/(1)=-1.

由于f\x)=-x1+2bx+c,所以廣⑴=-l+26+c=0.

14

f(l)=--+b+c+bc=~—,

[b=l[b=-l

解得：1或Q?

[°=-1[c=3

[b=ll

當I|時，fM=--x3+x-x-1,

[c=-l3

f,(x)=-x2+2x-l=-(x-l)2<0,所以f(x)單調遞減，無極值.

所以方+c=2.

故答案為：2

例5.(2023?陜西西安?長安一中?？级?若函數〃無)=go?一e-l在x=%和x=z，兩

處取得極值，且&?;，則實數。的取值范圍是__________.

x22

【答案】島，+1

【解析】因為〃x)=gor2-ex+l,則/(司=依一1,

令尸(力=奴一^=0,且〃0)=—lw0,整理得“=少，

原題意等價于y=a與y=f有兩個不同的交點，

X

構建g(x)=J(xwO),則g[x)=("I1(x.O),

令g'(x)>0,解得x>l；令g'(x)<0,解得0cx<1或x<0；

則g(x)在(1,+8)上單調遞增,在(0,1),(F,0)上單調遞減,且g(l)=e,

由圖可得：若>=。與>=更有兩個不同的交點，可得：a>e,X1,x2>0,

X

因為？則322者，

由圖可知：當。增大時，則占減小，々增大，可得T■減小，

?。?2%，令％=fe(O,l),則馬=21,

因為J,解得t=ln2,

t2t

72

所以〃=巴府’則/而'

t

即實數”的取值范圍是總+8?

例6.(2023廣西柳州?高三柳州高級中學校聯考階段練習)已知函數〃x)=白3+無2_2依+1,

若函數/⑺在(L2)上有極值，則實數。的取值范圍為

【答案】

【解析】因為〃x)=§尤3+無,—2亦+1,所以廣(x)=+2x—2a,

/(》)=；尤2+2X一2。為二次函數，且對稱軸為毛=一3,

所以函數廣(x)=g/+2尤-2a在(-3,小)單調遞增，

則函數廣(無)=gY+2x-2。在(1,2)單調遞增，

因為函數/(X)在(1,2)上有極值，

所以尸(%)=0在(1,2)有解，

7

——2a<0

尸⑴<°即3

根據零點的存在性定理可知廣(2)>。'即

--2a>0

3

7R

解得…＜彳，

o3

故答案為:3

變式4.(2023?全國?高三專題練習)若〃口=笠手在(L+s)上存在極值，則數m的取值

范圍為?

【答案】卜$。］

「，/、2mx3+3mx2+1

【解析】由題得/("=--―5—，

(X+1)

要使“X)在(1,+8)上存在極值，則f(X)=0在(1,+8)上有解.

因為當時，(x+1)2>0,

-1

令2mx?+3mx2+1=0則加=

2x3+3x2

設則/(加常普『>。

g(x