陜西省西安中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:..姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.曲線〃x)=3--e*在(0,〃0))處的切線方程為()

A.%+y+l=0B.x-y+1=0

C.x-y-l=0D.x+y-l=0

2.若隨機變量J?N(3,9),尸(1<"3)=0.35,則尸仔>5)=()

A.0.15B.0.3C.0.35D.0.7

3.隨機變量X的分布列如下：

X-212

j_

Pab

2

若磯X）=l,則￡＞（X）=（）

A.0B.2C.3D.4

4.若（正+：］的二項展開式中常數(shù)項為（）

A.1B.2C.4D.6

5.甲辰龍年春節(jié)哈爾濱火爆出圈，成為春節(jié)假期旅游城市中的“頂流”.甲、乙等6名網(wǎng)紅

主播在哈爾濱的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亞教堂、音樂長廊4個景點中選擇一個打卡

游玩，若每個景點至少有一個主播去打卡游玩，每位主播都會選擇一個景點打卡游玩，且甲、

乙各單獨1人去某一個景點打卡游玩，則不同游玩方法有（）

A.96種B.132種C.168種D.204種

6.某高中為增強學(xué)生的海洋國防意識，組織本校1000名學(xué)生參加了“逐夢深藍(lán)，山河榮耀”

的國防知識競賽，從中隨機抽取200名學(xué)生的競賽成績（單位：分），成績的頻率分布直方

圖如圖所示，則下列說法正確的是（）

試卷第1頁，共6頁

①頻率分布直方圖中a的值為0.005

②估計這200名學(xué)生競賽成績的第60百分位數(shù)為80

③估計這200名學(xué)生競賽成績的眾數(shù)為78

④估計總體中成績落在［60,70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為150

A.①②③B.①②④C.①③④D.②④

7.質(zhì)數(shù)（primenumber）又稱素數(shù)，一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其

他自然數(shù)整除，則這個數(shù)為質(zhì)數(shù)，數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個素數(shù)叫做“攣生素數(shù)”.在不超過

30的自然數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，記事件2=“這兩個數(shù)都是素數(shù)"；事件3=“這兩

個數(shù)不是攣生素數(shù)”，則尸（引"）=（）

11r37c4143

A.—B.-—C.—D.—

15454545

8.“楊輝三角”是我國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排

列.如圖所示，去除所有為1的項，依此構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,.,則此數(shù)列的前

45項的和為（）

算

n【0行

p1

算

1行

An-11

算

p2行

4

：弓121

算

3行

1331

算

An-4行

算14641

MrJ5行

b

算

行15101051

M6

1615201561

rJ

Apn-

A.2026B.2025C.2024D.2023

二、多選題

9.某車間加工同一型號零件，第一、二臺車床加工的零件分別占總數(shù)的30%,70%,各自產(chǎn)

品中的次品率分別為6%,5%.記“任取一個零件為第i臺車床加工1=1,2戶為事件4,“任取

一個零件是次品”為事件3,則（）

試卷第2頁，共6頁

A.尸⑶=0.053B.P（B\4）=0.05

35

C.尸（4可=0.035D.尸⑷可=氣

三、單選題

10.2022年6月18日，很多商場都在搞促銷活動.重慶市物價局派人對5個商場某商品同

一天的銷售量及其價格進行調(diào)查，得到該商品的售價尤元和銷售量V件之間的一組數(shù)據(jù)如下

表所示：

價格X9095100105110

銷售量y1110865

用最小二乘法求得y關(guān)于X的經(jīng)驗回歸直線是i=-0.32尤+■，相關(guān)系數(shù)廠=-0.9923,則下列

說法不正確的有()

A.變量x與N負(fù)相關(guān)且相關(guān)性較強B.￡=40

C.當(dāng)x=85時，V的估計值為13D.相應(yīng)于點。05,6)的殘差為-0.4

四、多選題

2

11.關(guān)于函數(shù)”x)=1+ln無，下列判斷正確的是()

A.x=2是“X)的極小值點

B.函數(shù)y=/(x)-x有且只有1個零點

C.存在正實數(shù)總使得f(x)＞區(qū)恒成立

D.對任意兩個正實數(shù)尤1/2,且馬＞西，若1(再)=/(%2),貝!］再+%＞4

五、填空題

12.五行是中國古代的一種物質(zhì)觀，多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面，五行指金、木、水、

火、土.現(xiàn)將“金、木、水、火、土”排成一排，則“木、土”相鄰的排法種數(shù)是種.

13.若函數(shù)〃月=，-x+alnx在(1,+8)上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍為.

試卷第3頁，共6頁

14.已知二項式（1+26）”的二項式系數(shù)和為32.給出下列四個結(jié)論:

①"=5②展開式中只有第三項的二項式系數(shù)最大

③展開式各項系數(shù)之和是243④展開式中的有理項有3項

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

六、解答題

15.當(dāng)前，以ChatGPT為代表的AIGC（利用AI技術(shù)自動生成內(nèi)容的生產(chǎn)方式）領(lǐng)域一系

列創(chuàng)新技術(shù)有了革命性突破.全球各大科技企業(yè)都在積極擁抱AGC,我國的BAT（百度、

阿里、騰訊3個企業(yè)的簡稱）、字節(jié)跳動、萬興科技、藍(lán)色光標(biāo)、華為等領(lǐng)頭企業(yè)已紛紛加

碼布局AIGC賽道，某傳媒公司準(zhǔn)備發(fā)布《2023年中國AIGC發(fā)展研究報告》，先期準(zhǔn)備從

上面7個科技企業(yè)中隨機選取3個進行采訪.記選取的3個科技企業(yè)中BAT中的個數(shù)為X,

求X的分布列與期望.

16.下表是某單位在2023年1?5月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)：

月份X12345

用水量V2.5344.55.2

⑴從這5個月中任取2個月的用水量，求所取2個月的用水量之和不超過7（單位：百噸）

的概率；

（2）若由經(jīng)驗回歸方程得到的預(yù)測數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)的誤差不超過0.05,視為“預(yù)測可靠"，那么

由該單位前4個月的數(shù)據(jù)所得到的經(jīng)驗回歸方程預(yù)測5月份的用水量是否可靠?說明理由.

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（4,兀），伍，/），…，（%，%），其回歸直線9=常+4的斜率和

尸產(chǎn)__

Z（西-x）（.%-y）ZW廠_

截距的最小二乘估計公式分別為：b=『-----------=g------—,￡=亍-菽.

方（匕-x）2儲2-”一

Z=1Z=1

17.2024年兩會期間民生問題一直是百姓最關(guān)心的熱點，某調(diào)查組利用網(wǎng)站從參與調(diào)查者

中隨機選出200人，數(shù)據(jù)顯示關(guān)注此問題的約占;，并將這200人按年齡分組，第1組［15,

25）,第2組［25,35）,第3組［35,45）,第4組［45,55）,第5組［55,65］,得到的頻率分

布直方圖如圖所示.

試卷第4頁，共6頁

(1)求a,并估計參與調(diào)查者的平均年齡；

(2)把年齡在第1,2,3組的居民稱為青少年組，年齡在第4,5組的居民稱為中老年組，若

選出的200人中不關(guān)注民生問題的中老年人有10人，得到如下2x2列聯(lián)表.請將列聯(lián)表補充

完整填入答題卡，并回答：依據(jù)小概率值a=0.050的獨立性檢驗，能否認(rèn)為是否關(guān)注民生

與年齡有關(guān)？

關(guān)注民生問題不關(guān)注民生問題合計

青少年

中老年10

合計200

(3)將此樣本頻率視為總體的概率，從網(wǎng)站隨機抽取4名青少年，記錄4人中“不關(guān)注民生問

題”的人數(shù)為Y，求隨機變量Y=2時的概率和隨機變量Y的數(shù)學(xué)期望E(Y).

n(ad-be)

附：z2-------77-------77-------77-------r,n=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.0500.0100.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

18.已知函數(shù)/(x)=、-alnx(aeR).

⑴若(2=2,求/(X)的極值；

⑵若函數(shù)g(x)=/(x)+(l-2a)x恰有兩個零點,求。的取值范圍.

19.某品牌女裝專賣店設(shè)計摸球抽獎促銷活動，每位顧客只用一個會員號登陸，每次消費都

試卷第5頁，共6頁

有一次隨機摸球的機會.已知顧客第一次摸球抽中獎品的概率為搟2；從第二次摸球開始，若

前一次沒抽中獎品，則這次抽中的概率為g,若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為，記

該顧客第n次摸球抽中獎品的概率為P?.

⑴求BE的值；

(2)探究數(shù)列｛Pj的通項公式，并求該顧客第幾次摸球抽中獎品的概率最大，請給出證明過

程.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

題號12345678910

答案AABCCBCAACDc

題號11

答案ABD

1.A

【分析】先對函數(shù)〃尤)求導(dǎo)，得到了'(0)=-1,再結(jié)合/(o)=-i,即可得解.

【詳解】/'(x)=6x-e、，則/'⑼=-1,又/(0)=3X02_€。=_1,

則所求切線方程為N+1=-尤，即x+y+l=O.

故選：A.

2.A

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，可知尸(3<J<5)=尸(1<4<3),即可得解.

【詳解】由隨機變量4?N(3,9),P(l<J<3)=0.35,

可知尸(J>5)=0.5-尸(3<J<5)=0.5-0.35=0.15,

故選：A

3.B

【分析】根據(jù)分布列概率之和為1以及期望值列方程組，解方程組求得。、6的值，進而求

得方差.

a+f}+1_][a=—

【詳解】由題意可知，"++2=n:,

-2a+b+l=l\b=—

[3

所以Z)(x)=(-2-1川+(1-1)2X：+(2-1)2X：=2.

632

故選：B

4.C

【分析】寫出展開式的通項，再令竽=。，解得最后代入計算可得.

【詳解】二項式,+]展開式的通項為加=瑪(叼(0<r<45.reN),

令竽=。，解得廠=1，所以心=C}°=4,故展開式中常數(shù)項為4.

答案第1頁，共11頁

故選：c

5.C

【分析】對其余4位主播分兩種情況討論，按照先分組、再分配的方法計算可得.

【詳解】依題意其余4位主播有兩種情況：

①3位主播去一個景點，1位主播去另外一個景點；②分別都是2位主播去一個景點;

「2-2

所以不同游玩方法C：A：+發(fā)-A：=168（種）.

故選：C

6.B

【分析】根據(jù)題意，由頻率分布直方圖的性質(zhì)，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】由頻率分布直方圖可得：

10x（2a+3a+7a+6。+2。）=1,解得。=0.005,故①正確；

前三個矩形的面積為（2。+3a+7a）x10=0.6,

即第60百分位數(shù)為80,故②正確；

估計這200名學(xué)生競賽成績的眾數(shù)為四誓=75,故③錯誤；

總體中成績落在［60,70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為3axl0xl000=150,故④正確；

故選：B

7.C

【分析】根據(jù)條件概率的計算方法求得正確答案.

【詳解】不超過30的自然數(shù)有31個，其中素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29

共10個，

攣生素數(shù)有3和5,5和7,11和13,17和29,共4組.

C245C2-441

所以尸(⑷=/=笆，尸(/8)=工=

JiJiJi51

41

所以尸監(jiān)⑷=2魯41

45

故選：C.

8.A

答案第2頁，共11頁

【分析】根據(jù)“楊輝三角”的特點可知?次二項式的二項式系數(shù)對應(yīng)“楊輝三角”中的第〃+1行,

從而得到第"+1行去掉所有為1的項的各項之和為：2"-2;根據(jù)每一行去掉所有為1的項的

數(shù)字個數(shù)成等差數(shù)列的特點可求得至第11行結(jié)束，數(shù)列共有45項，則第45項為C；°=10,

從而加和可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知，〃次二項式的二項式系數(shù)對應(yīng)“楊輝三角”中的第"+1行

則“楊輝三角”第〃+1行各項之和為：2"

.?.第〃+1行去掉所有為1的項的各項之和為：2"-2

從第3行開始每一行去掉所有為1的項的數(shù)字個數(shù)為：1,2,3,4,…

則：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,即至第11行結(jié)束，數(shù)列共有45項

.?.第45項為第11行最后1個不為1的數(shù)，即為：C]o=lO

.?.前45項的和為：21-2+22-2+23-2+---+210-2=~~--2x10=202(

1-2

故選：A

9.ACD

【分析】根據(jù)條件概率公式逐一計算即可.

【詳解】根據(jù)題意得尸(4)=0.3,尸(H)=0.7,尸(例4)=0.06,尸伊14)=0Q5,故B錯誤;

對于A,P（5）=0.3x0.06+0.7x0.05=0.053,故A正確;

尸⑶4)=^^,所以尸(4為=尸(引4)?尸(4)=0.05x0.7=0.035,故c正確;

對于C,

尸(43)=曰*=器=||，故D正確.

對于D,

故選：ACD.

10.C

【分析】由回歸直線可得變量線性負(fù)相關(guān)，且由相關(guān)系數(shù)|川=0.9923,可知相關(guān)性強，

判斷A,計算樣本中心點坐標(biāo)，計算求得￡=40,判斷B;將x=85代入線性回歸直線求得N

的估計值，判斷C;求出相應(yīng)于點(105,6)的殘差即可判斷D.

【詳解】對于A,由回歸直線可得變量x/線性負(fù)相關(guān)，且由相關(guān)系數(shù)IH=0.9923,可知

相關(guān)性強，故A正確，

答案第3頁，共11頁

對于B,由表中數(shù)據(jù)可得，0=)x(90+95+100+105+110)=100,

)7=1x(ll+10+8+6+5)=8,故回歸直線恒過點(100,8),

故8=-0.32X100+A，解得樂=40，故B正確，

對于C,當(dāng)x=85時，y=-0.32x85+40=12.8,故C錯誤，

對于D,相應(yīng)于點(105,6)的殘差為6-(-0.32x105+40)=-04,故D正確.

故選：C.

11.ABD

【分析】A選項，求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進而得到x=2是/(x)的極小值點;

B選項，令g(尤)=/(尤)-x=、+lnx-x,求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)遞減，結(jié)合特殊

點函數(shù)值及零點存在性定理得到結(jié)論；C選項，參變分離，構(gòu)造函數(shù)，進行求解；D選項,

設(shè)三=/>1,即有9=/，由/(再)=/(9)得到王=牛2,從而

石tInt

2

x1+x2>4^/-l-2flnZ>0,構(gòu)造函數(shù)，得到函數(shù)單調(diào)性和極值最值情況，證明出結(jié)論.

2

【詳解】A選項，〃x)=—+lnx定義域為(0,+e),

X

〃(力=-卷+:卡，

當(dāng)x>2時,r(x)>0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞增,

當(dāng)0〈尤<2時，r(x)<0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞減，

，x=2是/(x)的極小值點，即A正確；

2

B選項，令g(x)=/(x)-x=(+lnx-x,定義域為(0,+功，

7

x—x+24八恒成立,

2

g(x)=/(x)-x=—+lnx-x在(0,+8)單調(diào)遞減,

g⑴=2+0-1=1>0,g(2)=l+ln2-2=ln2-l<0,

由零點存在性定理可知，叫)?1,2),使得g(x())=0,

...y=〃X)-X有且只有一個零點，故B正確;

答案第4頁，共11頁

C選項，/(x)>Ax,即一+lnx>Ax等價為左〈二+,x>0,

xXX

人，/\21nx八EI7,/\-41-lnxx-xlnx-4八

令人(x)=y+-^,x>0,貝!]〃(%)=1-+2―=-------3-------，x>0,

令w(x)=x—xlnx—4,x>0,貝(JM(x)=l—lnx—l=_lnx,%>0,

當(dāng)x〉l時，w(x)=x—xlnx—4單調(diào)遞減，當(dāng)0<x<l時，w(x)=x—xlnx—4單調(diào)遞增，

故w(x)=x-xlnx-4在1=1處取得極大值，也是最大值，最大值為1-0-4=-3<0,

故可得力(%)在(0,+動單調(diào)遞減，則,(x)無最小值，

所以左<"x)不恒成立，故C錯誤；

D選項，設(shè)三=/>1,即有3=均，

再

22

/(再)=/(%2)，即為1+=丁+111工2,

222

—FInX]—FIn(b])=—FIn/+InXj,

再txxtxx

故[1_：]2=1型，所以再=2：2,

[t)xxtint

2t—22t—2

貝[jX]+XQ>4--------1--------->4，2—1—2,In看>0,

tinthit

設(shè)〃(%)=/—1—2/In/(才〉1),可=2%—21n/—2=2(%—In/—1),

令機(7)=t一1一Inf,貝Ij“?)=1-；=>0在fe(1,+8)上恒成立,

可得〃O>加⑴=0,

/.M'(^)>0,故“。單調(diào)遞增，可得〃⑺>“(1)=0,故國+%>4成立，故D正確.

故選：ABD.

【點睛】對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法，使不等

式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含

參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不

等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.

12.48

【分析】相鄰問題利用“捆綁法”即可求解.

【詳解】先將“木、土”看成一個整體，所以一起4個元素，總共有A；=24種排法，“木、土”

答案第5頁，共11頁

內(nèi)部排序有A；=2種排法，所以總共有A：A；=48種排法.

故答案為：48.

13.[-1,+?)

【分析】依題意可得尸3=2-；+。30在Xe(1,+8)上恒成立，參變分離得到a>-2x2+x

在xe(l,+oo)上恒成立，令g(x)=-2x2+x,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出g(x)的最大值，即可

求解.

【詳解】因為/1(x)=/-尤+aln無，x>\,

所以r(x)=2x-i+-=2%2~x+fl,

XX

又函數(shù)八可在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以廠(X)=2/；20在Xe0,+⑹上恒成立,

即a2-2x2+尤在尤e(1,+<?)上恒成立，

令g(x)=-2f+x,對稱軸為直線x=；,

所以函數(shù)g(x)在(1,+?0上單調(diào)遞減，

所以g(x)<g⑴=T,

所以a2-1,

即實數(shù)a的取值范圍為[-1,+s).

故答案為：卜1,+?9?

14.①③④.

【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和滿足2"=32,可判定①正確；根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得②

不正確；

令x=l,求得展開式各項系數(shù)之和，可判定③正確；根據(jù)展開式的通項，可判定④正確.

【詳解】對于①中，由二項式(1+24)"的二項式系數(shù)和為32,可得2"=32,

解得〃=5,所以①正確；

對于②中，由二項式(1+24)5的展開式共有6項，

答案第6頁，共11頁

根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得第三項和第四項的二項式系數(shù)相同，且最大，所以②不正確;

對于③中，令X=l,可得（1+2）5=243,所以展開式各項系數(shù)之和是243,所以③正確;

對于④中，由二項式（1+24甘的展開式的通項為/=C；（2^）r=，

24

當(dāng)r=0,2,4時，可得展開式的項分別為7；=2C：Z=2C；x,T5=2C；/,

所以展開式中的有理項有3項，所以④正確.

故答案為：①③④

9

15.分布列見解析，

【分析】求出X的所有可能取值和對應(yīng)的概率，求出分布列，得到期望.

【詳解】由題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,

此時尸（x=o）=g=2,尸（X=l）=害=1|,

2

16.（l）y

（2）得到的經(jīng)驗回歸方程是“預(yù)測可靠”的.

【分析】（1）根據(jù)古典概型求概率；

（2）先求出線性回歸方程，在進行預(yù)測判斷.

【詳解】（1）從這5個月中任取2個月，包含的基本事件有C；=10個，

其中所取2個月的用水量之和不超過7（百噸）的基本事件有以下4個:

（2.5,3）,（2.5,4）,（2.4,4.5）,（3,4）,

答案第7頁，共11頁

故所求概率尸=4言=：2.

-1+?+3+4-2.5+3+4+4.5

⑵由數(shù)據(jù)得=y=---------；---------=3.5

4盯

2.5+6+12+18-35_07

由公式計算得b=與.....-

之茗2—4：1+4+9+16-25.

z=l

a=y-bx=L75,所以歹關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為V=0.7x+1.75,

當(dāng)x=5時，得估計值>=0.7x5+1.75=5.25,ffij|5.2-5.25|=0.05<0.05

所以得到的經(jīng)驗回歸方程是“預(yù)測可靠”的.

17.(1)0.035；41.5歲

(2)表格見解析；有關(guān)

27

⑶尸(丫=2)=k；1

IZo

【分析】(1)利用頻率直方圖面積和為1,即可得到。，根據(jù)頻率直方圖計算平均數(shù)即可；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖得到青少年組、中老年組人數(shù)，從而得到列聯(lián)表，再零假設(shè)計算

出Y，根據(jù)獨立性檢驗可得答案；

(3)將頻率視為概率，計算出青少年“不關(guān)注民生問題”的概率，根據(jù)每次抽取的結(jié)果是相

互獨立的得y?可得答案

【詳解】(1)?,?0,010x10+0.015x10+0.030x10+^x10+0.010x10=1,

/.a=0.035,

x=0.01x10x20+0.015x10x30+0.035x10x40+0.03x10x50+0.010x10x60=41.5,

，估計參與調(diào)查者的平均年齡為：41.5歲；

(2)選出的200人中，各組的人數(shù)分別為：

第1組：200x0.010x10=20人，第2組：200x0.015x10=30人,

第3組：200x0.035x10=70A,第4組：200x0.030x10=60人，

第5組：200x0.010x10=20人，

???青少年組有20+30+70=120人，中老年組有200-120=80人，

???參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占80%,.?.有200x(1-80%)=40人不關(guān)心民生問題，

???選出的200人中不關(guān)注民生問題的青少年有30人，

答案第8頁，共11頁

，2x2歹U聯(lián)表如下;

關(guān)注民生問題不關(guān)注民生問題合計

青少年9030120

中老年701080

合計16040200

零假設(shè)"。：假設(shè)關(guān)注民生問題與性別相互獨立,

/=200(9。-。-70x3。)"6875—

160x40x80x120

，根據(jù)獨立性檢驗，可以認(rèn)為零假設(shè)名不成立,

即能依據(jù)小概率值&=0.050的獨立性檢驗，認(rèn)為是否關(guān)注民生與年齡有關(guān);

(3)由題意，青少年“不關(guān)注民生問題”的頻率為3義0=1

1204

將頻率視為概率，每個青少年“不關(guān)注民生問題”的概率為!,

因為每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，所以y?,

所以尸(y=左)=11-j，左=0,1,2,3,4,

所以”=2)=Ct］『J=短%)=吟=1.

18.⑴/⑺的極小值為1,無極大值.

(2)(1,+?)

【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷〃x)的單調(diào)性和極值；

(2)求導(dǎo)，分類討論判斷g(x)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理判斷g(x)的零點.

【詳解】(1)若。=2,貝!]/(x)=/-21nx,

可知〃x)的定義域為(0,+s),且廣⑶=2x32D,

XX

令/'(x)=0,解得尤=1,

答案第9頁，共11頁

當(dāng)0<x<1時,f\x)<0,當(dāng)x〉1時，f\x)>0,

所以/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，且/⑴=仔—21nl=l,

所以/(x)的極小值為1,無極大值.

(2)因為g(x)=/(x)+(1-2a)x=x2-alnx+(l-2a)x,

則g(x)的定義域為(0,+幻)，且g'(x)=2x-色+1-2。=—+1)(…)

XX

當(dāng)aVO時，g'(x)>0,則g(x)在(0,內(nèi))上單調(diào)遞增，

所以g(x)至多有一個零點，不符合題意；

當(dāng)0>0時，令g'(x)>0,解得x>a,令g[x)<0,解得0<x<a,

所以g(x)在(0,。)上單調(diào)遞減，在(%+8)上單調(diào)遞增，

g(x)min=g(。)=/一4lna+(l-2a)a=a-a\na-a2=a(l-l