專題2.3圓（專項練習）（培優練）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（2024九年級下?全國?專題練習）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AB=10cm,若以點C為圓心，CB

的長為半徑的圓恰好經過AB的中點D,則AC的長等于（）

A.5cmB.6cmC.5后cmD.5^cm

2.（2024?浙江杭州?一模）如圖，在中，ZACB=90°,AC=12,BC=5,以點B為圓心，BC為

半徑畫弧交邊A3于點P,則AP的長為（）

A.5B.6C.7D.8

3.（2024九年級?全國?競賽）直徑為4cm的圓中有一條長為2cm的弦，則圓心到這條弦的距離為（）.

A.1cmB.y/2cmC.V3cmD.2cm

4.（23-24九年級上?山東聊城?期中）如圖，AB,CD是。。的弦，延長AB,CD相交于點E,己知

ZE=30°,ZAOC=100°,則的度數是（）

5.（23-24九年級上?吉林?期末）如圖，Q4是半徑，3為上一點（且不與點。，A重合），過點8作

的垂線交。。于點C,以OB,為邊作矩形QBC。，連接若3。=5,BC=4,則A3的長為（）

A.8B.6C.4D.2

6.（2020?江蘇蘇州?模擬預測）如圖，扇形AO3中，ZAOB=90°,半徑。1=6,C是人臺的中點，CD//OA,

交A3于點。，則8的長為（）

A.272-2B.72C.2D.60-6

7.（2024?湖南衡陽?一模）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90。,ZA=30。，。是A3邊上的高，AB=4,

若圓C是以點C為圓心，2為半徑的圓，那么下列說法正確的是（）

A.點。在圓C上，點A,8均在圓C外B.點。在圓C內,點A,8均在圓C外

C.點A,B,。均在圓C外D.點A在圓C外，點。在圓C內，點B在圓C上

8.（2024?河南周口?模擬預測）如圖，AB為半圓。的直徑AB=4,點C為半圓。上一點，且Zfl4C=6O。,

以點A為圓心，以適當的長為半徑畫弧分別交AC于點以，交直徑A3于點N,分別以點M、N為圓心，

大于:兒火的長為半徑作弧，兩弧相交于點P,作射線AP交半圓。于點O,過點。作交半圓。于

點Q,連接CQ,則CQ的長為（）

A.273B.73C.2D.2亞

9.（23-24九年級上?山東濟寧?期中）如圖①，點A,3是。。上兩定點，圓上一動點P從圓上一定點5出

發，沿逆時針方向勻速運動到點A,運動時間是x（s）,線段AP的長度是y（cm）.圖②是V隨x變化的關

系圖象，則圖中山的值是（）

10.（2024?安徽馬鞍山?一模）如圖，在RtA4CB中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=3,點。是斜邊A3上

的動點，將AACD沿直線。翻折得到AECD,連接BE,則△3DE周長的最小值為（）

A.9-3A/3B.3+36C.9D.6+373

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.（2024九年級下?江蘇?專題練習）如圖，在扇形AOB中，。為弧A8上的點，連接AD并延長與的

延長線交于點C,若CD=Q4,ZC4O=76°,貝|NAOC=

12.（22-23九年級上?江蘇,期中）已知NAPE,有一量角器如圖擺放，中心。在巴4邊上，為0。刻度線,

為180。刻度線，角的另一邊PE與量角器半圓交于C,。兩點，點C,。對應的刻度分別為160。，68°,

則ZAPE=

13.（23-24九年級下?上海?階段練習）已知矩形ABCD中，AB=12,AD=5,分別以A,C為圓心的兩圓

外切，且點D在OA內，點8在0c內，那么0C半徑r的取值范圍是

14.（17-18九年級上?江蘇鹽城?階段練習）已知點尸為平面內一點，若點P到。。上的點的最長距離為5,

最短距離為1,則0。的半徑為.

15.（2024?江蘇揚州?一模）如圖，點。是邊長為2的正方形ABCD邊8上一動點，連接40,點方關于4。

的對稱點為。連接AD,OD'.若以。為圓心，OC為半徑的。。過△AOD直角邊的中點，則。。的

半徑為.

16.（23-24九年級上?安徽黃山?期末）如圖,在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0,12）,點8的坐標為（5,0）,

動點尸在以A為圓心，7為半徑的圓周上運動，連接8尸.

（1）當動點2與點5距離最遠時，此時線段肝的長度為；

（2）連接OP,當AOBP為等腰三角形時，則尸點坐標為.

17.（2024?安徽合肥?三模）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=300,AC=2,點。是3c的中點,

點E是邊A3上一動點，沿DE所在直線把ABDE翻折到AB力E的位置，B，D交AB于點、F,連接AQ.

（2）若AAB'F為直角三角形，則正的長為.

18.（2024?江西景德鎮?三模）如圖，在AABC中，ZG4B=60°,ZB=75°,AB=4,平分/CAB交BC

于點。，在AB邊上存在一點E（不與點3重合），作ADBE關于直線。E的對稱圖形為若點F落

在44BC的邊上，則DE的長為

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

19.（8分）（24-25九年級上?全國?課后作業）如圖，AB是。。的直徑，AC是。。的弦，AB=2,

ABAC=30°.在圖中作弦AD,使45=1,并求NC4D的度數.

20.（8分）（23-24九年級上?遼寧大連?期中）如圖，點A,8,C,。在。。上，連接。4,OC,若NQ4B=60。,

ZABC=ZAOC,AO=BC,求證：四邊形。ABC是菱形.

21.（10分）（23-24九年級上?廣西南寧?期中）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,30平分/ASC,點。在

A3上，以點。為圓心，。5為半徑的圓經過點。，交BC于點、E.連接。。，則半徑8=03.

（1）求證：OD±AC；

22.（10分）（23-24九年級上?全國?課后作業）如圖，Rt^ABC的兩條直角邊3c=15cm,AC=20cm,

斜邊AB上的高為CD.若以C為圓心，分別以a=llcm,2=12cm,4=13cm為半徑作圓，試判斷。點

與這三個圓的位置關系.

23.（10分）（18-19九年級上?江蘇鹽城?期中）如圖，矩形A8CD中AB=3,AD=4.作。E/AC于點E,

作于點F.

（1）求AF、AE的長；

（2）若以點A為圓心作圓，B、C、D、E、尸五點中至少有1個點在圓內，且至少有2個點在圓外，求OA

的半徑，的取值范圍.

24.（12分）（23-24九年級上?江蘇連云港?期中）【深度閱讀】蘇格蘭哲學家托馬斯?卡萊爾（1795-1881）

曾給出了一元二次方程/+6x+c=0的幾何解法：如圖1,在平面直角坐標系中，已知點A（0,l）,

以A3為直徑作0尸.若0尸交x軸于點”（加,0）,N（n,0）,貝。mw為方程尤?+/+C=0的兩個實數根.

【自主探究】（1）由勾股定理得，A”=12+瘍，BM2=c2+（-b-m^,AB2=（l-cf+b2,在

中,AM?+BAf2=AB?,所以12+療+/=（1—c）2+6?,化簡得：根2+為〃+c=0.同理可得_

所以機，〃為方程尤2+"+c=0的兩個實數根.

【遷移運用】（2）在圖2中的龍軸上畫出以方程Y-3x-2=0兩根為橫坐標的點M,N.

（3）己知點A（0，l）,5（4,-3）,以AB為直徑作。C.判斷0c與x軸的位置關系，并說明理由.

【拓展延伸】（4）在平面直角坐標系中，已知兩點A（O,a）,B（-b,c）,若以A3為直徑的圓與x軸有兩個

交點M,N,則以點N的橫坐標為根的一元二次方程是一

參考答案:

1.D

【分析】本題主要考查圓的基本性質、直角三角形斜邊中線定理及勾股定理，熟練掌握圓的基本性質、直

角三角形斜邊中線定理及勾股定理是解題的關鍵.

連接CD,由直角三角形斜邊中線定理可得CD=,然后可得ACDB是等邊三角形，則有BD=3C=5cm,

進而根據勾股定理可求解.

【詳解】解：連接如圖所示：

回點。是AB的中點，ZC=90°,AS=10cm,

BCD=BD=-AB=5cm,

2

0CD=BC,

回CD=BD=BC=5cm,

在Rt^ACB中，由勾股定理可得AC=y]AB2-BC2=5^cm，

故選：D.

2.D

【分析】本題考查了勾股定理，圓的基本性質，由勾股定理得到他=13,由題意得到族=3C=5,即可

求解，掌握勾股定理是解題的關鍵.

【詳解】解：EZACB=90°,AC=12,BC=5,

0AB=7AC2+BC2=13>

回以點8為圓心，BC為半徑畫弧交邊A3于點P,

團BP=BC=5,

SAP=AB-BP=13-5=8,

故選：D.

3.C

【分析】本題主要考查了圓，等邊三角形，含30。的直角三角形，熟練掌握圓直徑與半徑的關系，等邊三

角形判定和性質，含30。的直角三角形性質，是解決問題的關鍵

畫圖，根據半徑等于直徑的一半求出。4、。8的值，結合A3的值推出AOAB是等邊三角形，推出AC=1,

ZAOC=30°，根據含30。的直角三角形性質即得OC=也

【詳解】如圖，設。。的直徑為45=4,弦為AB=2,OCLAB于點C,連接。8,

貝"。4=03=以0=2,

2

0OA=OB=AB，

回△OAB是等邊三角形，

0AC=-AB=1,ZA(9B=60°,

2

0?AOC-1AOB30?,

2

ROC=6AC=6

故選：c.

4.C

【分析】本題考查了等邊對等角，三角形內角和定理，圓心角等知識.明確角度之間的數量關系是解題的

關鍵.

如圖，連接OROD、AC,由三角形內角和求NOAC+/OC4=180。—NAOC,

Z.EAO+ZECO=180°-ZE-(Zft4C+ZOCA),

ZAOB+ZCOD=180°-(ZO4B+ZOK4)+180°-(Z.OCD+ZODC),根據

ZBOD=360°-ZAOC-(ZAOB+NCOD),計算求解即可.

【詳解】解：如圖，連接08、OD、AC,

0ZOAB=ZOBA,NOCD=NODC,Z.OAC+Z.OCA=180°-ZAOC=80°,

ElZEAO+ZECO=180°-ZE-(ZOAC+ZOCA)=70°,

0NOAB+ZOBA+ZOCD+NODC=2x70°=140°,

0ZAOB+ZCOD=180°-(ZOAB+NOBA)+180°-(ZOCD+NODC)=220°,

0ZBOD=360°-ZAOC-(ZAOB+NCOD)=40°,

回的度數為40°,

故選：C.

5.C

【分析】本題主要考了矩形的性質，勾股定理，連接OC,先根據矩形的性質和圓的性質得到NC?C=90。,

BC=OD=4,OC=BD,由勾股定理得到最后由AB=Q4-03,即可得到答案.熟練掌握矩形的

性質，添加恰當的輔助線是解題的關鍵.

【詳解】如圖，連接OC,

0ZOBC=90°,OC=BD=5,BC=OD=4,

在Rt^O3C中，由勾股定理得：OB=JoC?-BC?=-4?=3，

046=04-05=5-3=2,

故選：D.

6.D

【分析】連接0C,延長CD交0B于點E,如圖，易得MOB、0COE,EIBDE都是等腰直角三角形，然后根

據等腰直角三角形的性質求出CE與DE的長，從而可得答案.

【詳解】解：連接0C,延長CD交0B于點E,如圖，

BZAOB^90°,C是A2的中點，

00COE=45°,

S1CD//OA,ZAOB=90°,

0CE0OB,

EEIOCE=I3COE=45°,

0CE=OE=（9c=—x6=3A/2,

22

[?]BE=OB—OE=6-372，

回0A二OB,ZAOB=90°,

釀ABO=45°,

回團BDE=回ABO=45°,

回EB二ED=6—3A/Z，

團CD二CE—DE=30-（6-30）=60-6.

故選：D.

【點睛】本題考查了圓心角和弧的關系、等腰直角三角形的判定和性質等知識，屬于常考題型，熟練掌握

等腰直角三角形的判定和性質是解此題的關鍵.

7.D

【分析】本題考查了含有30。角的直角三角形，勾股定理，點與圓的位置關系.由題干條件得出兩個直角

三角形中含30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，即8。=工43與利用勾股定理即可求解出

22

AC,CD,再根據點與圓的位置關系判斷即可

【詳解】在RtZWBC中，ZA=30°,則8C=；A3=；x4=2,

AC=VAB2-BC2=2G

SCD1AB,ZACB=90°

0ZBCD=90°-ZB=ZA=30°.

0BD=-BC=-x2=l.

22

:.CD=y/BC2-BD2=6

圓C是以點C為圓心，2為半徑的圓,

CD=y/3<2,BC=2,AC=243>2,

二點A在圓C外，點。在圓C內，點8在圓C上

故選：D.

8.D

【分析】本題考查了基本作圖，圓的有關概念，等邊三角形的判定與性質，以及勾股定理等知識.連接CO,

可得△期是等邊三角形，由作圖得3。平分/ABC,求出/。。。=90。，再根據勾股定理求解.

【詳解】解：連接CO,

EIQ4=OC,ZBAC=60°,

0AOCA是等邊三角形,

0ZAOC=60°.

由作圖得：8。平分/ABC,

0ACAD=ABAD=-ABAC=30°.

2

SOQ//AD,

回/80。=/朋￡>=30°,

EINCOD=90°.

^OC=OQ=^AB=2,

0C2=722+22=2>/2.

故選D.

9.D

【分析】本題考查的是動點圖象問題，涉及了弧長公式，等邊三角形的判定和性質.根據圖②得：當x=2

時，y=AP=6,此時AP為。。的直徑；當工=帆時，y=AP=3,可求出圓的半徑，從而得到AOAB是等

腰直角三角形，再根據當尸點走到點A,O,尸三點共線的位置，求出點尸走過的弧長，從而得到點尸的

運動速度，再根據當工="時，AAOP是等邊三角形，可求出當>=3時，點尸走過的弧長，即可求解.

【詳解】解：根據圖②得：當工=2時，y=AP=6,此時AP為。。的直徑；當工=加時，y=AP=3,

團圓的半徑OA=OB=-AP=3,

2

當尤=0時，AP=AB=3^/2，

SOA'+OB2=AB2,

團AQ4B是等腰直角三角形，

當P點走到點A,0,尸三點共線的位置，即點M處時，如圖,

圖①

QQ*77"xaq

此時點P走過的弧長為￡==萬cm,

1802

3冗3冗

團點P的運動速度為q-+2=：-cm/s,

團當％=根時，y=AP=3,

團止匕時。4=QB=AP=3,

團此時AAOP是等邊三角形，

團NAQP=60。，

w上八十一田口”1/?(180-60+90)x^x37

團當y=3時，點尸走過的弧長為^-----------------=-7rcm,

1802

73萬14

團相=一——=—.

243

故選：D

10.B

【分析】此題考查了勾股定理，直角三角形30度角的性質，熟練掌握各性質是解題的關鍵：

利用直角三角形30度角的性質及勾股定理求出AB,BC,根據折疊的性質得到DE=AD,推出△3DE的周

長=48+3"，當BE最短時，△皮)E的周長最小，以點C為圓心，AC長為半徑作圓，則點C,E,B三

點共線時，BE最短,由此得到答案.

【詳解】回在RtaACB中，ZACB=90°,NA=60。，AC=3,

0AS=2AC=6,BC=7AB2-AC2=373-

由翻折得：DE=AD，

ABDE的周長=BD+DE+BE=BD+AD+BE=AB+BE,

則當BE最短時，△5DE的周長最小,

以點C為圓心，AC長為半徑作圓，則點C,E,8三點共線時，的最短,

0BE=BC-CE=34-3,

回△fiDE的周長=42+2￡=6+36—3=3+3石,

故選：B.

【詳解】本題考查了等腰三角形的判定和性質以及三角形外角的性質，解題的關鍵是正確添加輔助線構造

等腰三角形.連接。。，根據等腰三角形的性質得出NA=/ADO,進而求出/C,再利用三角形的內角和

求出—AOC.

【解答】解：連接OD,

,/OA=OD,

:.ZADO=ZA=16°,

?.?CD=Q4,

CD=OD,

ZC=/COD=-ZADO,

2

.\ZC=38°,

/.ZAOC=180°-76°-38°=66°.

故答案為：66.

【分析】利用點C。對應的刻度分別為160。，68°,求出NCOD,/COP,再根據OC=QD求出NOCD,

利用外角的性質得到NOCD=Z.COP+ZAPE,從而得解.

【詳解】解：如圖，連接0。，OC,

0ZCOD=ZAOC-ZAOD=92°,NCOP=180°-ZAOC=20°,

0OC=OD,

0ZOCD=ZODC=|x(180°-ZCOD)=.1x(1800-92o)=44°,

0NOCD=NCOP+ZAPE,

0TAPE=ZOCD-NCOP=24°,

故答案為：24.

【點睛】本題考查等邊對等角，三角形外角的定義與性質，圓心角等知識，根據刻度找出相應的圓心角并

計算其他角度是解題的關鍵.

13.5<r<8

【分析】本題主要考查了兩圓相切的性質以及點和圓的位置關系，求出0A的半徑是本題解題的關鍵.

根據勾股定理求出AC的長，再根據以A,C為圓心的兩圓外切得出OA的半徑，最后根據點和圓的位置

關系，求出,的取值范圍即可.

由勾股定理得，AC=\lAB2+AD2=13>

,以A,C為圓心的兩圓外切，

的半徑為AC-r=13-廠，

,點。在0A內，

AZ)v13—r,

r<8,

???8在OC內，

BC<r,

/.r>5,

/.5<r<8.

故答案為：5<r<8.

14.3或2

【分析】本題應分兩種情況進行討論，當P在圓內，直徑長度為5+1=6,半徑為3；當P在圓外，直徑長

度為5-1=4,半徑為2.

【詳解】解：回當尸在圓內，直徑長度為5+1=6,半徑為3,

當尸在圓外，直徑長度為5-1=4,半徑為2,

回0。的半徑為3或2.

故答案為：3或2.

【點睛】本題考查的是點與圓的位置關系，在解答此題時要注意分類討論.

2T5

15.§或了

【分析】本題主要考查正方形的性質，圓的有關概念，對稱的性質以及勾股定理等知識，根據對稱的性質

得AO注A。,。。=OO,運用SSS證明AAD09二”￡>0,得？AD091ADO90?,設。。的半徑OC=x,

貝OD=2-尤，根據過AAODT直角邊的中點列方程求解即可

【詳解】解：回四邊形ABCD是正方形，

0AD=CD=2,1ADC90?,

團點D與N關于AO的對稱，

0DW=DO,AD=AD=2,

又AO=AO,

0AAD^O^AADO(SSS),

07AZJ0O2ADO90?,

設。。的半徑OC=x,則QD=2-尤，

①當。。過"OD直角邊D'O的中點時，則有：

2-x

=%,

2

2

解得，x=-,

所以，此時。。的半徑為:；

②當。。過△AOD直角邊切的中點時，則有：12+(2-%)2=X2

解得，尤=4，

所以，此時。。的半徑為

4

綜上，0。的半徑為?:或彳5；

34

故答案為：［2或15

34

16.20(0,5)或-,12+或-,12---—j

【分析】本題考查了點到圓上點的最值，等腰三角形的性質，勾股定理，矩形的判定與性質，注意分類討

論.

(1)連接AB,當點P在線段54延長線上時，3尸最長，由勾股定理求出AB的長，即可求得3P最大值；

(2)分三種情況考慮：OB=OP,易得此時點尸的坐標；OP=BP,過P作尸E_Lx軸于E,過尸作PNLy

軸于M連接AP；設ON=a,利用勾股定理建立方程即可求解；

OB=BP,此種情況不存在.

【詳解】解：(1)如圖，連接AB,

當點P在線段54延長線上時，BP最長,

此時BP=AB+AP；

回點A的坐標為(0,12),點3的坐標為(5,0),

EIOA=12,OB=5,

由勾股定理得：AB=JQV+OB?=13；

團AP=7,

0BP=AB+AP=13+7=2O；

故答案為：20.

(2)分三種情況：

當O3=OP時，如圖,

此時點P在y軸上，且在點A下方，

SOP=OA-AP=12-1=5=OB

團點P的坐標為(0,5)；

當OP=3尸時，

如圖，過尸作軸于E,過尸作PNJ.〉軸于N,連接AP；

貝OE==|,NPEO=ZPNO=/NOE=90°,

回四邊形PNOE是矩形，

EIPN=OE=*；

2

設ON=a,則A2V=。4一ON=12—a,

在RtZXPAN中，由勾股定理得：+(12-“)2=7?,

解得：q=12+

團點P的坐標為

當OB=BP,BP的最小值為13-7=6>5,此種情況不存在.

6

17.幣-拒1或不

【分析】（］）找到點3’的運動軌跡，用三角形三邊關系確定AB的最小值即可;

（2）分兩種情形畫出圖形，構造直角三角形用勾股定理解決問題.

【詳解】解：（1）由題意可得，CD=BD=B'D,

二3'在以。為圓心8為半徑的圓上，如圖一所示：

圖一

在點2'運動過程中，在AAD?中，由三邊關系得,

AB'2AD—B'D，

在變化過程中，AO和B'D保持不變，

故A9的最小值為AD-3Z）,即如圖二所示:

在RtZ\ABC中，ZB=30°,AC=2,

BC=2y/3,AB=4,

CD=BD=B'D=LBC=6,

2

在RtaACD中，AC=2,CD=y/3,

22

AD=y/AC+CD=卜+陰=^/7，

故AB,的最小值為AD-B'D=Jl-y/3.

（2）AAB'P為直角三角形，分兩種情況:

@ZAFB'=90°，

B'

圖三

在RtAB。尸中，BD=6，ZB=30°,

BF=~,

2

3

設3E1=x,EF=——%,

2

3

在RSBZ廠中，Z￡BT=30°,EF=--x,B,E=x,

解得，x=l

即3E=x.

（2）ZAB/D=90°,過E點作EH_LM交A9的延長線與“點，如圖四所示:

圖四

由折疊的性質可知，ZDBE^ZDB'E=30°,

ZAB'D=90°,

:.ZAB'E=900+30°=120°,

ZEB'H=60°-

設BE=B'E=x,

???在RtAB'EV中，B'H=-x,HE=—x,

22

在RtAACD和RtZxAB'D中

[AD=AD

[CO=B'D

RLACZ^RtAABZ）（HL）

.-.AB'=AC=2>

在RtA4〃E中，AH=2+-x,HE=—x,AE=4-X,

22

++~~x=（4-xJ,

解得：x=g.

綜上，BE的長是1或g.

【點睛】本題考查翻折變換，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是看

出運動點的軌跡，學會分類討論的思想解決問題.

18.2或2近或4

【分析】判斷得出點方在以點。為圓心，長為半徑的圓上，分三種情況討論，畫出圖形，利用含30

度角的直角三角形以及勾股定理求解即可.

【詳解】解：回AD平分ZG4B=60°,

團NCW=NBW=30。，

團N5=75。，

⑦ZADB=180。—/BAD—NB=75。=/B,

團AD=AB=4，

由折疊的性質得小=QB,而D3是定長，

回點廠在以點。為圓心，DB長為半徑的圓上，當點可在邊AB上時，如圖,

回。于點E,

ODE,=；A￡)=2；

當點尸在邊AC上時，有兩種情況，

當E、尸在如圖的生、外的位置時，作DH_LAC,

團40平分一區4。，

?DH=DE\=2,

又回。工=。3,

[?]PXADHF2=P1ADE1B(HL),

出/HDF2=NE\DB,

國DF]=DB,/DBF】=75。,

團NO48=75。，

回/RDB=180。一ADBFX-/DF1B=30°,

團ZHDF2=NE[DB=/警B=15。，

團ZDHA=NDE]A=90°,NgAH=60°,

團NEQH=360°-ZDHA-NDE】A—ZE}AH=120°,即ZHDF2+ZF2DEi=120。，

團。，

/E[DB+AF2DEX=ZF2DB=120

團ZF2DE2=ZBDE2,

ElZBDE2=^ZF2DB=60°,

0NEQE?=ZBDE2-ZE.DB=45°,

回△￡>&紇是等腰直角三角形，

團DEX=2,

22

ffl￡>E2=V2+2=2A/2；

當E、尸在如圖的與、鳥的位置時（石3與A重合），

團DE3=DA=4；

若尸在邊BC上時，此時對應的E點不在43上，此情況不存在，

綜上，￡>E的長為1或0或4.

故答案為：2或2近或4.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質，含30度角的直角三角形以及勾股定理，等腰直角三角形的判定和性

質，熟記各圖形的性質并準確識圖是解題的關鍵.

19.圖見解析，NC4D的度數為30。或90°

【分析】此題主要考查了等邊三角形的判定與性質，以及圓有關的概念，注意有兩種情況，不要漏解

以點A為圓心，以49長為半徑畫圓交。。于點2、D2,連接AR,AA,則A2或A3即為所求作的弦

AD.由作圖與圓的的有關概念得出A，=4。=2。，從而得AAOR是等邊三角形，進而得出N，AO=60。,

ZCAD2=ZBAD2+ZBACf進而得出答案.

【詳解】解：如圖，以點A為圓心，以AO長為半徑畫圓交。。于點2、。2,連接AD1,AD2,則AR或

A3即為所求作的弦

連接OR,OD2.

^\ADX=AO=DXO,

團△AO。1是等邊三角形，

團ND"=60。

回NR4C=30。

0/CAD】=ABAD,-ABAC=30°.

同理：ZCAD2=ZBAD2+ABAC=90°.

綜上所述，NC4Z＞的度數為30。或90。.

20.見解析

【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質，圓的性質，菱形的判定.熟練掌握菱形的判定是解題的關

鍵.

如圖，連接OB,由。4=OBZ(MB=60°,可得AOAB是等邊三角形，則。4=AB,OA=AB=BC=OC,

進而可證四邊形Q4BC是菱形.

【詳解】證明：如圖，連接。8,

0Q4=(9B,NQ4B=60°,

回是等邊三角形,

團Q4=AB,

國AO=BC,

^\OA=AB=BC=OCf

團四邊形。4BC是菱形.

21.⑴證明見解析；

(2)S四邊形oocE=24A/5.

【分析】(1)證明。D〃3C,得到NODC+NC=180。，即可求證；

(2)連接0E,過點E作E尸，OD于點/，可證明四邊形CDEE為矩形，得到所=CD=4百，CE=DF,

利用勾股定理求得。尸=4,判斷四邊形ODCE是直角梯形，代入梯形面積計算公式即可求解；

本題考查了圓的性質，角平分線的定義，平行線的判定和性質，矩形的判定和性質，勾股定理，構造輔助

線，利用勾股定理求得是解題的關鍵.

【詳解】(1)證明：回3D平分/ABC,

SZABD^ZCBD,

團OB=OD,

⑦NOBD=NODB,

^ZODB=ZCBD,

也OD〃BC,

ZODC+ZC=180°,

0ZC=9O°,

^ZODC=90°,

BOD±AC；

(2)解：連接OE,過點E作跖，OD于點尸，則NE㈤=90。，

ADC

ElZFDC=NC=ZEFD=90°,

團四邊形CDFE為矩形，

0EF=CD=4A/3,CE=DF,

團OE=OB=8,

0OF=\IOE2-EF2^^82-（4^）2=4,

團DF=OD—OF=8—4=4,

^CE=DF=4,

⑦OD〃BC,ZFDC=ZC=90°f

團四邊形。DCE是直角梯形，

回S四邊形ODCE=gx（4+8）X46=24A/3.

22.當以q=Hcm為半徑作圓時，。點在這個圓的外部；當以4=12cm為半徑作圓時，。點在這個圓上;

當以g=13cm為半徑作圓時，。點在這個圓的內部

【分析】根據勾股定理得到Afi=25cm,再由等面積法求出CD="￡=12cm,結