2024年秋季學期開學素養提升訓練

九年級數學學科試卷

【人教版】

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

測試范圍：八年級下冊-九年級上冊第二章

一.單項選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。）

1,下列關于變量x與y關系的圖形中，能夠表示“y是x的函數”的是（）

A.J3+（3=16B,112-13=13

C.18+」4=2D,J41=2|

3.如圖，菱形ABCD的對角線力C,BD相交于點0,點E為力。的中點，若。E=2,則菱形ABCD的

周長是（）

A.8B.12C.16D.20

4.在一次聚會上，每兩個人之間都互相贈送了一份禮物，若一共送出了90份禮物，則參加聚會的

人有（）

A.9人B.10AC.11AD.12A

5.拋物線y=-（%-3（+5的頂點坐標是（）

A.（—3,5（B.（3,5（C,（5,-3（D.（5,3（

6.下列命題中，真命題是（）

A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B.有一組對邊和一組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

C.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

D.兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是平行四邊形

7.若a=215,b=3」2,c=12+2,貝Ija,b,c之間的大小關系是（）

A.c>b>aB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

8.如圖，將矩形ZBCD繞/點逆時針旋轉a（0。<a<90°）得到矩形C'D',已知/I=

120°,則旋轉角a的度數為（）

A.45°B,50°C,55°D,60°

9.為預防新冠疫情，民生大院入口的正上方A處裝有紅外線激光測溫儀（如圖所示），測溫儀

離地面的距離AB=2.4米，當人體進入感應范圍內時，測溫儀就會自動測溫并報告人體體溫.當

身高為1.8米的市民CD正對門緩慢走到離門0.8米的地方時（即BC=0.8米），測溫儀自動

顯示體溫，則人頭頂離測溫儀的距離AD等于（）

A.1.0米B.1.2米C.1.25米D.1.5米

1。.已知.、&是一元二次方程%-2=0的兩個實數根，則\+%2+.%2的值是（）

A.3B.1C,-1D.-3

H.如圖1所示，直角三角形力。B中，ZABO=90°,且AB=。3.設直線=t截此三角形所

得的陰影部分面積為s,S與t之間的函數關系的圖象為圖2所示，則△AOB的周長為（

A.6+2/2B.6+2/3C.16+2」3D.2」6+2」3

12.如圖，將正方形EFGH疊放在正方形4BCD上，重疊部分LFKD是一個長方形，AL=4,CK=

6.沿著LD、K0所在直線將正方形EFGH分成四個部分，若四邊形ELDN和四邊形DKGM均為正方

形，且它們的面積之和為100,則重疊部分長方形LFK。的面積為（）

A.40B.48C.42D.50

二.填空題（本題共6小題，每小題2分，共12分.）

13.如果式子.「二》有意義，貝卜的取值范圍為.

14.已知正比例函數y=（k-3（x的函數值y隨％的增大而增大，貝心的取值范圍為一.

15.8名初中畢業生的中考體育考試成績（單位：分）如下：56,59,56,55,56,46,57,60,

這些成績的中位數是.

16.某機械廠一月份生產零件50萬個，三月份生產零件72萬個，則該機械廠二、三月份生產零件

數量的月平均增長率是.

17.如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小格的頂點叫做格點，A,B,C是小

正方形的頂點，貝上力BC=°.

18.如圖，一張長12cm、寬10cm的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩形,

剩余部分（陰影部分）可制成底面積是24cm2的有蓋的長方體鐵盒，則該鐵盒的體積為

3

cm

10cm

三、解答題（本題共8小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

19.（6分）解一元二次方程：/—2%=1

20.（6分）先化簡，再求值.（1+血（+鼠二，其中血=?.

21.（10分）西安高新一中初中校區九年級有2000名學生，在體育中考前進行一次模擬體測，從

中隨機抽取部分學生，根據其測試成績制作了下面兩個統計圖，請根據相關信息，解答下列問題：

（I）本次抽取到的學生人數為,圖2中m的值為；

（II）求出本次調查獲取的樣本數據的平均數、眾數和中位數；

（III）根據樣本數據，估計我校九年級模擬體測中不低于11分的學生約有多少人？

人數1

20-

%

16-分

12分

12-32%

8-m%22%

n分

89

22.（10分）善于思考的小鑫同學，在一次數學活動中，將一副直角三角板如圖放置，A,B,D

在同一直線上，REF//AD,ABAC=ZEDF=90°,ZC=45°,ZE=60°,量得OE=

12cm,求BD的長.

23.（10分）在菱形力BCD中，兩條對角線相交于點0,F是邊CD的中點，連接。尸并延長到E,使

FE=OF,連接CE,DE.

（1）求證：四邊形OCED是矩形；

⑵求證：OE〃BC.

24.（10分）為了抗擊新冠疫情，我市甲乙兩廠積極生產了某種防疫物資共500噸，乙廠的生產量

是甲廠的2倍少100噸，這批防疫物資將運往A地240噸，B地260噸，運費如下：（單位：噸）

的地

AB

甲2025

乙1524

(1)求甲乙兩廠各生產了這批防疫多少噸？

(2)設這批物資從乙廠運往A地x噸，全部運往A,B兩地的總運費為y元，求y與x之間的函數關系

式，并設計使總運費最少的調運方案；

(3)當每噸運費降低m元，(0<m<15且m為整數)，按(2)中設計的調運方案運輸，總運費

不超過5200元，求m的最小值.

25.(10分)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a*+6%+c(a70(與x軸相交于A,B兩點,

與y軸相交于點C,直線丫=依+九合力0(經過￡C兩點，已知4(1,0(,C(0,3(,且BC=5.

(1)求點B的坐標；

(2)分別求出直線BC的解析式和拋物線的解析式；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得ABCP是以BC為一條直角邊的直角三角形？若存在,

請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

26.(10分)如圖1,正方形4BCD中，點E、F分別是邊BC、CD上的點，ZBAD=2ZEAF,

(1)請你直接寫出BE、DF、EF之間的數量關系：.

(2)如圖2,在四邊形ABC。中，AB=AD,NB力。與/BCD互補，點E、F分別是邊BC、CD上的點，

/BAD=2NEAF,請問：(1)中結論是否成立？若成立，請證明結論；若不成立，請說明理由；

(3)在(1)的條件下，若E、F分別在直線BC和直線CD上，若BE=2,AB=5,貝1J

EF=

2024年秋季學期開學素養提升訓練

九年級數學學科試卷

【人教版】

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

測試范圍：八年級下冊-九年級上冊第二章

一.單項選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。）

1,下列關于變量x與y關系的圖形中，能夠表示“y是x的函數”的是（）

【答案】D

【分析】本題考查了函數的概念，函數的圖象，熟練掌握函數的概念是解題的關鍵.根據函數的

概念，對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應，結合函數圖象即可解答.

【詳解】解：A、對于自變量x的每一個值，因變量y不是都有唯一的值與它對應，所以不能表示y

是x的函數，故A不符合題意；

B、對于自變量x的每一個值，因變量y不是都有唯一的值與它對應，所以不能表示y是x的函數，故

B不符合題意；

C、對于自變量x的每一個值，因變量y不是都有唯一的值與它對應，所以不能表示y是x的函數，故

C不符合題意；

D、對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應，所以能表示y是x的函數，故D符合

題意；

故選：D.

2,下列計算，正確的是（）

A.[3+[3=JeB.J12-J3=J3

D.

C.18+14=2149-=2^3

【答案】B

【分析】根據二次根式的運算法則逐個計算即可.

【詳解】解：A、J3+J3=2/3,所以A選項錯誤；

B、原式=213—13=13,所以B選項正確；

C、原式=|8+4=」2,所以C選項錯誤；

-137

D、原式=片=十所以D選項錯誤.

故選B.

【點睛】本題考查了二次根式的運算，解題關鍵是熟練掌握二次根式的運算法則，能夠準確進行

計算.

3.如圖，菱形ABCD的對角線力C,BD相交于點。，點E為力。的中點，若。E=2,則菱形4BCD的

周長是（）

A.8B,12C.16D.20

【答案】C

【分析】根據菱形的性質，得到4B=BC=CD=￡M,04，。。，結合點E為4。的中點，根據直角

三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，計算AD,根據周長為44D計算即可.

【詳解】：菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,

：.AB=BC=CD=DA,OA1OD,

:點E為4D的中點，OE=2,

：.AD=4,

Z.4AD=16,

故菱形的周長為16.

故選C.

【點睛】本題考查了菱形的性質，直角三角形的性質，熟練掌握兩條性質是解題的關鍵.

4.在一次聚會上，每兩個人之間都互相贈送了一份禮物，若一共送出了90份禮物，則參加聚會的

人有()

A.9人B.10AC.11AD.12A

【答案】B

【分析】設參加聚會的同學有x人，則每人需贈送出(％-1(份禮物，根據所有人共送了90份禮物，

即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論.

【詳解】解：設參加聚會的同學有x人，則每人需贈送出(x-1(份禮物，

依題意得：-1(=90,

整理得：工2一工一90=0,

解得：.=10,%2=-9(不符合題意，舍去)，

參加聚會的同學有10人.

故選：B.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

5.拋物線y=-(%-3(+5的頂點坐標是()

A.(—3,5(B.(3,5(C,(5,-3(D.(5,3(

【答案】B

2

【分析】本題考查了二次函數的性質，關鍵是熟記：頂點式y=a(x-U+k,頂點坐標是他,M，

對稱軸是直線x=h.

根據題目中二次函數的頂點式可以直接寫出它的頂點坐標.

9

【詳解】解：：拋物線y=—(X—3(+5,

...該拋物線的頂點坐標為(3,5(,

故選：B.

6.下列命題中，真命題是()

A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B.有一組對邊和一組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

C.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

D.兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是平行四邊形

【答案】C

【分析】根據平行四邊形的判定定理判斷即可.

【詳解】A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，故A是假命題，不符

合題意；

B.有一組對邊和一組對角分別相等的四邊形不一定是平行四邊形，故B是假命題，不符合題意；

C.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，故C是真命題，符合題意；

D.兩條對角線互相垂直且相等的四邊形不一定是平行四邊形，故D是假命題，不符合題意；

故選:C.

【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題，熟練掌

握平行四邊形的判定是解本題的關鍵.

7.若a=215,b=3/2,c=」2+2,則a,b,c之間的大小關系是（）

A.c>b>aB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

【答案】D

【分析】根據實數的大小得出結論即可.

【詳解】解：J2?1.414,1522.236,

.?.a=4,472,b?4.242,c?3.414,

a>b>c,

故選：D.

【點睛】本題主要考查實數的大小比較，熟練掌握實數大小比較的方法是解題的關鍵.

8.如圖，將矩形力BCO繞A點逆時針旋轉或0。<?<90°）得到矩形力B'C'D",已知N1=

A.45°B,50°C,55°D,60°

【答案】D

【分析】根據矩形的性質以及旋轉的性質得出NB=ZB=90°,ZBAD=ZBAD=90°

再根據平角的定義即可推出結果.

【詳解】解：???將矩形ABCO繞月點逆時針旋轉a（0。<a<90°）得到矩形C'D

ZB=ZB=90°,ZBAD=ABAD=90°,

???Z1=120°,

???/BOA=60°,

???ZBAO=30°,

.-.ZDAO=60°,

即旋轉角a的度數為60。

故選：D.

D'

【點睛】本題考查了旋轉的性質，矩形的性質，明確旋轉前后對應邊、對應角相等是解題的關鍵

9.為預防新冠疫情，民生大院入口的正上方A處裝有紅外線激光測溫儀（如圖所示），測溫儀

離地面的距離AB=2.4米，當人體進入感應范圍內時，測溫儀就會自動測溫并報告人體體溫.當

身高為1.8米的市民CD正對門緩慢走到離門0.8米的地方時（即BC=0.8米），測溫儀自動

顯示體溫，則人頭頂離測溫儀的距離AD等于（）

感應嬖了

A.1.0米B.1.2米C.1.25米D,1.5米

【答案】A

【分析】過點D作DE1AB于點E,構造RgADE,利用勾股定理解得AD的長即可.

【詳解】解：過點D作DE1AB于點E,

???AB=2.4,BE=CD=1.8,ED=BC=0.8

AE=2.4-1.8=0.6

RtMDE中

AD=7AE2+DE"，力6?+OB2=］（米）

故選：A.

【點睛】本題考查勾股定理的應用，作出正確的輔助線是解題關鍵.

10.已知,、*2是一元二次方程婷+%一2=0的兩個實數根，則無1+尤2+無產2的值是（）

A.3B.1C,-1D.-3

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數關系，掌握“一元二次方程的根與系數關系xi+

4=—L是解題的關鍵■

La1￡a

【詳解】解：???4、々是一元二次方程/+%—2=0的兩個實數根，

%1+4+%產2=—1+（-2）=-3,

故選：D

11.如圖1所示，直角三角形ZOB中，/4BO=90°,且AB=OB.設直線=t截此三角形所

得的陰影部分面積為S,S與t之間的函數關系的圖象為圖2所示，則aaoB的周長為（）

A.6+2/2B.6+213C.16+213D.2」6+2/3

【答案】D

【分析】由函數圖象可得：陰影部分的最大面積為：3,x=t=OB,再利用面積公式求解OB,ZB,

再利用勾股定理求解。4從而可得答案.

【詳解】解：由函數圖象可得：陰影部分的最大面積為：3,

x=t=OB,

ZABO=90°,且AB=OB,

???1OB2=3,

解得：OB=16,（負根舍去）

???AB=OB=16,OA=1(/6)2+([6)2=2J3,

所以△力。B的周長為：力。+OB+4B=2」6+2」3.

故選D

【點睛】本題考查的是從函數圖象中獲取信息，等腰直角三角形的性質，勾股定理的應用，二次

根式的化簡與加減運算，靈活應用以上知識解題是關鍵.

12.如圖，將正方形EFGH疊放在正方形ABC。上，重疊部分LFKD是一個長方形，AL=4,CK=

6.沿著LD、KD所在直線將正方形EFGH分成四個部分，若四邊形ELON和四邊形DKGM均為正方

形，且它們的面積之和為100,則重疊部分長方形LFK。的面積為（）

EN'H

A.40B.48C.42D.50

【答案】B

【分析】設=DK=y，根據已知條件得#+y2=I。。，AL+LD=CK+DK,^LD=x,

DK=y,AL=4,CK=6代入AL+LD=CK+DK整理得x—y=2,根據完全平方公式得*+

y2-2xy=4,將22代入22中整理得肛的直根據長方形LFKD的面

x+y—100x+y—2xy=4

積=DL-DK=即可得到答案.

【詳解】解：設LD=匕DK=y,

???四邊形ELON和四邊形DKGM為正方形，

DN=LD=x,DM=DK=y,

???四邊形Z3CD為正方形，

??.AD=CD,

vAD=AL+LD,CD=CK+DK,

??.AL+LD=CK+DK,

vAL=4,CK=6,LD=%,DK=yt

???4+%=6+y,

'?x-y=2,

???(%—y)2=x2+y2—2xy=4,

「正方形ELON和正方形DKGM的面積之和為100,

x2+y2=100,

將婷+y2=100代入=2+y2_2xy=4中，得：

100—2xy=4,

2xy=96,

=48,

???重疊部分長方形LFKD的面積=DL?DK=xy=48,

故選：B.

【點睛】本題考查了利用完全平方公式解幾何問題，利用完全平方公式代入計算是解題的關鍵.

二.填空題(本題共6小題，每小題2分，共12分.)

13.如果式子>-7有意義，貝詠的取值范圍為.

【答案】x>7

【分析】根據二次根式中的被開方數必須是非負數列出不等式求解即可.

【詳解】解：由題意得，萬—720,

解得，x>7.

故答案為：%N7.

【點睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數必須是非負數是解題

的關鍵.

14.已知正比例函數y=（k—3（%的函數值y隨％的增大而增大，貝林的取值范圍為一.

【答案】k>3/3<k

【分析】本題主要考查了正比例函數的圖像與性質、解一元一次不等式等知識，理解并掌握正比

例函數的圖像與性質是解題關鍵.在正比例函數y=k%中，當k>0時，y隨％的增大而增大，據此

列不等式并求解即可.

【詳解】解：根據題意，正比例函數y=（k—3（%的函數值y隨x的增大而增大，

則k—3>0,

解得k>3.

故答案為：k>3.

15.8名初中畢業生的中考體育考試成績（單位：分）如下：56,59,56,55,56,46,57,60,

這些成績的中位數是..

【答案】56分

【分析】找中位數要把數據按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數（或兩個數的平均數）

為中位數.

【詳解】從小到大排列此數據為:46,55,56,56,56,57,59,60,處在第4和第5位兩個數的

平均數為中位數，

故這些成績的中位數是56分.

故答案為：56分.

【點睛】本題考查求一組數據的中位數，關鍵是掌握中位數的概念.

16.某機械廠一月份生產零件50萬個，三月份生產零件72萬個，則該機械廠二、三月份生產零件

數量的月平均增長率是.

【答案】20%

【分析】設該機械廠二、三月份生產零件數量的月平均增長率為x,利用三月份的產量=一月份的

產量X（1+月平均增長率）2,即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出該機械廠

二、三月份生產零件數量的月平均增長率.

【詳解】設該機械廠二、三月份生產零件數量的月平均增長率為x,

依題意得:50（1+x）2=72,

解得：Xi=0.2=20尢X2=-2.2（不合題意，舍去）.

故答案為：20%.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

17.如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小格的頂點叫做格點，A,B,C是小

正方形的頂點，貝力BC='

【答案】45

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，連接AC,先根據勾股定理的逆定理證明4

ABC是直角三角形，從而可得/ZCB=90。，再根據AC=BC=j5,從而可得△ABC是等腰直

角三角形，即可解答，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：連接AC,

由題意得：力。2=12+22=5,

BC2=I2+22=5,

AB2=I2+32=10,

：.AC2+BC2=AB2,

」.△ABC是直角三角形，

：.ZACB=90°,

'：AC=BC=15,

：.ZABC=ACAB=45°,

故答案為：45.

18.如圖，一張長12cm、寬10cm的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩形,

剩余部分（陰影部分）可制成底面積是24cm2的有蓋的長方體鐵盒，則該鐵盒的體積為

cm3

10cm

【答案】48

【分析】設剪去的正方形的邊長為xcm,則制成有蓋的長方體鐵盒的底面長為(10-2x)cm,寬為

(6-x)cm,根據長方體鐵盒的底面積是24cm2即可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題

意的值即可得出結論；

【詳解】解：設剪去的正方形的邊長為xcm,則制成有蓋的長方體鐵盒的底面長為(10-2x)cm,

寬為‘一=(6—尤)cm,

依題意得：(10—2x)(6—X)=24,

整理得：%2-11%+18=0,

解得：.=2,々=9(不合題意，舍去).

;該紙盒的體積為2x4x6=48(cm3(；

故答案為：48.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及全等圖形，找準等量關系，正確列出一元二次方程

是解題的關鍵.

三、解答題(本題共8小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

19.解一元二次方程：/—2%=1

【答案】、=J2+1,x2=-J2+1.

【分析】利用配方法得到(尤-1(=2,然后利用直接開平方解方程.

【詳解】解：%2-2x=1,

配方得：x2-2x+l=2,

2

即—=2,

開方得：尤一1=±J2,

解得：9=12+1,%2=-J2+1.

【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式.

20.先化簡，再求值.(1+m(+富，其中血=《.

【答案】-3-272

m-1

【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，分母有理化，先根據分式的除法計算法則化簡，然后

代值計算即可.

TTJ2_1

【詳解】解：+—

''m+1

m+1

=(1+m(x----------—

(?n+-1(

_l+m

m-1

-12-2-

\21+—2+|2(」2+2(6+412—

當m=h時，原式=4=.=————=$-=—3—212.

212,2-2|j2-2||j2+2(…

I-1

21.西安高新一中初中校區九年級有2000名學生，在體育中考前進行一次模擬體測，從中隨機抽

取部分學生，根據其測試成績制作了下面兩個統計圖，請根據相關信息，解答下列問題：

(I)本次抽取到的學生人數為,圖2中m的值為；

(II)求出本次調查獲取的樣本數據的平均數、眾數和中位數；

(III)根據樣本數據，估計我校九年級模擬體測中不低于11分的學生約有多少人？

人數1

20-

68B

168

12分

1232%

診

85%22%

加

「

H儕

O|89101112成績/分

【答案】(I)50,28；(II)平均數為10.66,眾數是12分，中位數是11分；(III)1200

【分析】(I)根據條形統計圖中的數據，可以計算出本次抽取的學生人數，然后即可計算出m的

值；

(II)根據條形統計圖中的數據，可以得到本次調查獲取的樣本數據的平均數、眾數和中位數；

(III)根據條形統計圖中的數據，可以計算出我校九年級模擬體測中不低于11分的學生約有多少

人.

【詳解】解：(I)本次抽取到的學生人數為4+5+11+14+16=50,

m%=-X100%=28%,

故答案為：50,28；

眾數是12分，中位數是(11+11)-2=11(分)；

(III)2OOOX1±^=1200(人)，

答:我校九年級模擬體測中不低于11分的學生約有1200人.

【點睛】本題考查條形統計圖、扇形統計圖、中位數、眾數、平均數、用樣本估計總體，解答本

題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答.

22.善于思考的小鑫同學，在一次數學活動中，將一副直角三角板如圖放置，4B,。在同一直

線上，REF//AD,ABAC=ZEDF=90°,ZC=45°,ZE=60°,量得DE=12cm,求

BD的長.

C

【答案】18-6/3

【分析】過F作FH垂直于AB,得到/FHB為直角，進而求出/EFD的度數為30°,利用30°角所對的

直角邊等于斜邊的一半求出EF的長，再利用勾股定理求出DF的長，由EF與AD平行，得到內錯角相

等，確定出/FDA為30°,再利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出FH的長，進而利用勾股

定理求出DH的長，由DH-BH求出BD的長即可.

【詳解】解：過點F作FUAB于點H,

AZFHB=90°,

VZEDF=90°,ZE=60°,

AZEFD=90°-60°=30°,

AEF=2DE=24,

：.DF=7EF2—DE2=12VJ；

VEF/7AD,

AZFDA=ZDFE=30°,

：.FH=-FD=6V3,

2

：.DH=7DF2—HF2=18,

?.?△ABC為等腰直角三角形，

AZABC=45°,

/.ZHFB=90°-45°=45°,

ZABC=ZHFB,

：.BH=HF=6j3,

則BD=DH-BH=18—6/3.

【點睛】此題考查了勾股定理，以及平行線的性質，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵.

23.在菱形力BCD中，兩條對角線相交于點0,F是邊CD的中點，連接。尸并延長到E,使FE=。￡

(1)求證：四邊形OCED是矩形；

(2)求證：OE〃BC.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)先證四邊形。CED是平行四邊形，再由菱形的性質得/。。。=90°,即可證得四邊

形OCED是矩形.

(2)證明。尸是△DBC的中位線即可得到結論.

【詳解】(1)二?四邊形ABC。是菱形，

AAC1BD,

：.ZDOC=90°,

?:CF=DF,EF=OF,

四邊形OCEO是平行四邊形，

VZDOC=90°,

二四邊形OCEO是矩形；

(2)???四邊形4BC0是菱形,

：.BO=DO,

'：CF=DF,

：.OF//BC

即。E〃BC

【點睛】本題主查了菱形的性質，矩形的判定以及平行四邊形的判定與性質以及三角形中位線定

理等知識，熟練掌握菱形的性質和矩形的判定是解題的關鍵.

24.為了抗擊新冠疫情，我市甲乙兩廠積極生產了某種防疫物資共500噸，乙廠的生產量是甲廠的

2倍少100噸，這批防疫物資將運往A地240噸，B地260噸，運費如下：(單位：噸)

[1的地

生產滬AB

甲2025

乙1524

(1)求甲乙兩廠各生產了這批防疫多少噸？

(2)設這批物資從乙廠運往A地x噸，全部運往A,B兩地的總運費為y元，求y與x之間的函數關系

式，并設計使總運費最少的調運方案；

(3)當每噸運費降低m元，(0<01<15且01為整數)，按(2)中設計的調運方案運輸，總運費

不超過5200元，求m的最小值.

【答案】（1）200噸，300噸；⑵y=-4x+11000,甲廠200噸全部運往B地，乙廠運往A地

240噸,運往B地60噸；（3）10.

【分析】（1）設這批防疫物資甲廠生產了a噸，乙廠生產了b噸，根據題意列方程組解答即可；

（2）根據題意得出y與x之間的函數關系式以及x的取值范圍，再根據一次函數的性質解答即可；

（3）根據題意以及（2）的結論可得y=-4x+11000-500m,再根據一次函數的性質以及列不等式解

答即可.

【詳解】解：（1）設這批防疫物資甲廠生產了a噸，乙廠生產了b噸；

則｛a+b=500

2a-b=100

解得：廣200

b=300

答：這批防疫物資甲廠生產了200噸，乙廠生產了300噸；

（2）如圖，甲、乙兩廠調往48兩地的數量如下：

的地（噸）（噸）合計（噸）

生產商AB

甲（噸）240-Xx-40200

乙（噸）.V300-x300

合計（噸）240260500

???y=20(240-

%)+25(%-40)+15%+24(300-%)

=-4%+11000

%>0

240—%>0

300-%>0

I%—40>0

???40<%<240

當x=240時運費最小

所以總運費的方案是：甲廠200噸全部運往B地；乙廠運往A地240噸，運往B地60噸.

（3）由（2）知：y=-4汽+11000—500TH

當x=240時，y最小=-4X240+11000-500m=10040-500m,

???10040-500m<5200

??.m>9.68

所以m的最小值為10.

【點睛】本題考查了一次函數的應用，二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用，一次函

數的最值問題，解答本題的關鍵在于讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列出方程和

不等式求解.

25.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a*+bx+c(a。0(與x軸相交于A,B兩點，與y軸

相交于點C,直線y=H+(經過B,C兩點，已知4(1,Of,C(0,3(,且BC=5.

(1)求點B的坐標；

(2)分別求出直線BC的解析式和拋物線的解析式；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得ABCP是以BC為一條直角邊的直角三角形？若存在,

請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)(4,0)

3323

y-X+y=X-+3

2)4-3,4-4

【分析】(1)由。C=3,BC=5根據勾股定理求得。B,即可得出答案；

(2)根據待定系數法即可求出直線和拋物線解析式；

(3)設點P坐標為(|,皿)，當/PCB=90°時，當/PBC=90°時，根據勾股定理求出小的值,

即可得出答案.

【詳解】⑴???點資0,3(,即。C=3,

,:BC=5,

在Rt△B0C中，根據勾股定理得。B=[BC2-OC2=4,

即點B坐標為(4,0).

(2)把8(4,0(、C(0,3(分別代入y=kx+n中,

得中+-0,解得尸一]

n=3n=3

二直線BC解析式為y=3x+3；

把4(1,0(、5(4,0(、C(0,3(分別代入丫=aX2+反+。得

_3

a+b+c=0°4

?16a+4b+c=0,解得_is.

c=34

Ic=3

；?拋物線的解析式是y=浮—%+3.

(3)在拋物線的對稱軸上存在點P,使得ABCP是以BC為一條直角邊的三角形是直角三角形，理由

如下：

...拋物線的解析式是y=三％2_+3,

44

拋物線對稱軸為直線X=-；=>

2a2

設點P坐標為(|,m(

①當NPCB=90。時，有BP2=BC2+PC2.

22

'：BP2=(4-|(+m2,PC2=(|(+(m-3(2,BC2=25.

22

即(4—%+Tn7=(_(+(ni—3(+25,

解得：Hi=g

故點P](|，y(；

②當NPBC=90°時，^PC2=PB2+BC2.

22

5

p+zm3pB242

25/H\(----m

c22

222

即+zm3z45+2+25

5/~\(-\(=-/m

1一

l2l2

解

得m

--2

點p2

2

綜上所述，使得4BCP為直角三角形的點P的坐標為(|,?或(|,-2(

【點睛】本題考查了二次函數的性質、求函數解析式、勾股定理，熟練掌握二次函數的相關性質

是解題的關鍵.

26.如圖1,正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC、CD上的點，ZBAD=2ZEAF,

AB

圖1圖2圖3

(1)請你直接寫出BE、DF、EF之間的數量關系：.

(2)如圖2,在