湖南省永州市寧遠縣第三中學等學校2025屆高三上學期入學聯

考數學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4={小2-4x+3<o},J5={x|o<x<2},則4nB=()

A.[0,3)B.(0,3)C.(1,3)D.(1,2)

2.若z—3i=3+i,則忖=()

A.3B.V13C.5D.V10

3.已知向量a=(2,冽)，6=(m+l,-l),若￡_11，則冽的值為()

A.2B.1C.-1D.-2

4.在等差數列{%}中，若%+。5+%+。9+41=100,則q+%3的值為()

A.20B.30C.40D.50

5.若sina+VJcoscif=1，則cos

11

A.V3B.-C.——D.

T222

6.已知加〃是兩條不同的直線，見"是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若7"_La,a_L￡,則/〃夕

B.若加〃a,"〃a,則m//n

C.若m1a,m〃小n工/3,則a〃6

D.若inua,nua,m〃/3,n〃(},則a〃尸

試卷第1頁，共4頁

8.現有4名男生和3名女生計劃利用假期到某地景區旅游，由于是旅游的旺季，他們在景

區附近訂購了一家酒店的5間風格不同的房間，并約定每個房間都要住人，每個房間最多住

2人，且男女不能混住.則不同的安排方法有（）種

A.1960B.2160C.2520D.2880

二、多選題

9.下列求導過程正確的選項是（）

D.（logax）=—1—

\\lnaJxIna

10.設函數〃x）=2sin（2x+mj,則下列結論正確的是（）

A.f（x）的最小正周期為兀

B.7（尤）的圖象關于直線x=9對稱

C./⑺的一個零點為尤=-3

D./（x）的最大值為1

11.下列說法中正確的是（）

A.線性回歸分析中可以用決定系數后來刻畫回歸的效果，若代的值越大，則模型的

擬合效果越好

B.已知隨機變量X服從二項分布5（〃,p）,若E（X）=20,D（X）=10,則〃=40

C.已知y關于X的回歸直線方程為j=0.3-0.7x,則樣本點（2,-3）的殘差為T.9

試卷第2頁，共4頁

3?9

D.已知隨機事件A,B滿足尸(3)=丁P(AB)=-,則尸(團團=§

三、填空題

12.已知平面向量％=(若,1),S=(l,-V3),求B+24=.

22

13.已知直線y=是雙曲線1=1(°>0,6>0)的一條漸近線，則該雙曲線的離心率

ab

為.

14.若函數〃尤)=[2，-3卜1-加只有1個零點，則加的取值范圍是.

四、解答題

15.已知。、6,。分別是A4BC內角A,B,C的對邊，(6—q)cosC=c(cos/—cosB),b2=2ac-

(1)求cosC；

(2)若/力BC的面積為小，求c.

16.如圖，在三棱錐尸一/BC中，ABLBC,AB=BC'PA,點O、。分別是/C、PC的

2

中點，底面48c.

⑴求證：OD〃平面尸48；

⑵求直線PA與平面PBC所成角的大小.

(3、22

17.已知A0,3)和Fl3,-I為橢圓c：]+方=1(〃>6>0)上兩點.

(1)求。的離心率；

(2)若過尸的直線/交C于另一點8,且的面積為9,求/的方程.

18.已知函數/'(x)=a(x-l)-lnx+l.

⑴求;'(x)的單調區間；

試卷第3頁，共4頁

(2)當aV2時，證明：當x>l時，/(x)<ei恒成立.

19.已知數組4：為，。2,…,%，如果數組4:4也,…也滿足4=。,，且瓦+瓦-i=4+4-1，其中

k=2,3,-??,?,則稱久為4的“兄弟數組”.

(1)寫出數組4：4,2,3,7,1,8的“兄弟數組”為；

⑵若4的“兄弟數組”是用，試證明：Mm嗎成等差數列；

(3)若〃為偶數，且4的“兄弟數組”是用，求證：

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案DCDCBCDCBCDAC

題號11

答案ABCD

1.D

【分析】先求集合/,再根據交集運算求解.

【詳解】因為/={x|x2-4x+3<0}={x[l<x<3},JB={x|0<x<2）,

所以/ng=（i,2）.

故選：D.

2.C

【分析】根據題意求得z=3+4i,進而求模長.

【詳解】因為z-3i=3+i,則z=3+i+3i=3+4i,

所以國=J3?+4?=5.

故選：C.

3.D

【分析】由向量垂直的坐標表示列方程等于零求解，可得結論.

【詳解】根據題意知4=（2,加），S=（m+1,-1）,alb<

則a5=(2,〃z)?(%+1,—1)=2m+2-m=0,解之可得機=-2

故選：D

4.C

【分析】直接由等差數列的性質即可求解.

故選：C.

5.B

【分析】根據輔助角公式求得sin[a+g]=g,再用誘導公式即可求解.

【詳解】因為sina+Gcosa=l，所以2sin[a+g]=1nsin[a+；）=g,

答案第1頁，共12頁

故選：B

6.C

【分析】利用空間點線面的位置關系判斷各項；

【詳解】對于A,若加_La,c_L￡,則〃？〃￡或機u",A錯誤；

對于B,若加〃巴〃〃(/,則加〃〃或加，"相交或異面，B錯誤；

對于C,因為加_La,m〃"，所以"_La,又因為"_L尸，所以e〃夕，C正確；

對于D,若mua,nua,m〃1口〃0,則a〃戶或兩平面相交，D錯誤；

故選：C.

7.D

【分析】先利用奇函數定義判斷函數/(x)為奇函數，排除A；再利用了軸右側有兩個零點

排除B；在根據函數值的符號排除C,即可判斷.

【詳解】函數〃x)的定義域為

因為所以/(x)為奇函數，排除A；

易知/(1)=/1]]=0，排除B；

當x>0且無限趨近于0時，!一尤>0,cosx>0,即/(x)>0,排除C.

X

故選：D

8.C

【分析】就3名女生需要的房間數分類討論后可得正確的選項.

【詳解】3名女生需要住2個房間或3個房間.

若3名女生住2個房間，則不同的方法種數為C；C；A；,

若3名女生住3個房間，則不同的方法種數為,

則不同的安排方法有C；C：A；+1cX=2520種.

故選:C.

9.BCD

【解析】利用導數的計算公式逐一判斷即可.

答案第2頁，共12頁

【詳解】解：根據題意，依次分析選項:

對于A,(―)，=(/，)，=--f,A錯誤；

xx

L11-11

對于B,(五)，=(丁)r=-xx2=T7=,B正確;

對于C,(xa)'=axcTi,C正確;

InYj

對于D,(logax)'=(--),=——,D正確;

In。xInQ

則B、C、D計算正確.

故選：BCD.

【點睛】本題考查導數的運算，是基礎題.

10.AC

【分析】根據/(%)=Xsin(tox+0)的性質逐一判斷即可.

2兀

【詳解】7=?=兀，故A正確；

2

/ff]=2sin^=V3,所以x=f不是對稱軸，故B錯誤；

16/36

/；-0=2$皿0=0,所以x=-看是/'(x)的一個零點，故C正確；

因為振幅/=2,所以/(無)的最大值為2,故D錯誤.

故選：AC.

II.ABCD

【分析】根據決定系數的性質、二項分布的期望和方差的計算公式、線性回歸方程的殘差以

及條件概率的計算公式，對每個選項進行逐一分析，即可判斷.

【詳解】對于A,線性回歸分析中可以用決定系數火2用來刻畫回歸的效果，若夫2的值越大,

則模型的擬合效果越好，故A正確；

對于B,隨機變量服從二項分布3(%P),若E(X)=20,D(X)=10,

[np=20p=—

則zi、m,解得2,故B正確；

"P)=l。[〃=40

對于C,＞關于x的線性回歸方程為f=03-0.7無，將x=2代入回歸方程中得

7=0.3-1.4=-1.1,即殘差為-3-(-1.1)=-1.9,故C正確；

32

對于D,因為22)=1,口/5)=不

答案第3頁，共12頁

2

所以P(4|5)=g^=尹J故D正確;

lyDJ。S

5

故選：ABCD

12.2A/5

【分析】利用向量坐標的加減運算和模長計算公式得到答案.

【詳解】￡+2書=(6，1)+2(1,-8)=(6+21-26),所以模長為

故答案為：2石.

aV30

5

【分析】根據題意可得：=若，由e=￡

ba

【詳解】由題意可知:=逐，所以e=￡

ba

故答案為：叵

5

14.[2,+oo)o{-l}

【分析】函數〃x)=[2,-311-優只有1個零點等價于函數

x

2-2,x<log23

g(力=|2,-3/1=與函數歹=加有且只有1個焦點，借助指數函數的圖象與

x

2-4,x>log23

性質可得函數g(x)的大致圖象，即可得解.

【詳解】由/(防=忙_311一加=0,得五一3卜1=加,

2-2x,x<log3

設函數g(x)=|2<3卜1=<2

x

2-4,x>log23

由指數函數性質可知，函數g(X)在(-8,10g23)上單調遞減,

在(1%3,+8)上單調遞增,且2—(0,+8),g(log23)=0-l=-l,

可作出g(x)的大致圖象，如圖所示，

答案第4頁，共12頁

由圖可知，"7的取值范圍是［2,+8)。{-1}.

故答案為：［2,+8)。{-1}.

7

15.(1)-；(2)2.

O

【解析】(1)由已知結合正弦定理及和差角公式進行化簡，然后結合余弦定理可求;

(2)由已知結合三角形的面積公式即可直接求解.

【詳解】(1)由S-a)cosC=c(cos/-cos5)及正弦定理可得，

sinBcosC-sinAcosC=sinCcosA-sinCcosB,

所以sin3cosC+sinCeos5=sinCeos/+sin4cosc,

即sin(5+C)=sin(Z+C),

所以sin4=sin3,

所以a=6,

因為Z/=2ac=2bc，

所以6=2c,

4C2+4C2-C2_7

由余弦定理可得，cosC

2ab2x2cx2c8

(2)由(1)知sinC=

因為ZMBC的面積為&?，所以LabsinC=L〃2=,解可得Q=4,

228

貝！jc=L=2

2

【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面積公式在求解三角

形中的應用，屬于中檔試題.

16.(1)證明見解析

力.VHo

(2)arcsin-------

30

【分析】(1)由已知，根據點。、。分別是/C、PC的中點，可知。。〃/弘，然后利用線面

答案第5頁，共12頁

平行的判定定理即可完成證明；

(2)取8c的中點E,連接尸E,過點。作。尸，PE交尸E于尸，連接。尸，先證明3CL平

面尸0E,得到8C_L0尸，從而證明OF_L平面P8C,得到NOZ)下是。。與平面P8C所成的

角，設邊長，計算即可.

【詳解】(1)由已知，點。、。分別是ZC、尸C的中點，所以0D//P4,

又取u平面P/8,OD<Z平面尸N3,所以平面尸N8,

得證.

(2)

因為N8_LBC,OA=OC,所以04=03=。。,

又因為OP，平面4BC,所以P4=PB=PC,

取3c的中點E,連接PE,則尸EL3C,

。尸_L平面48C,BCu平面/8C,所以。P_L2C,

OP,PEuPOE,且。尸cPE=P,所以3C_L平面POE,

過點。作。/J-PE交PE于尸，連接。尸，

因為8C_L平面POE,。尸u平面POE,所以8C_L。尸，

又因為。尸_LPE,BC,PEuPBC,且BCcPE=E,所以OF_L平面PBC,

因為。D//P/,所以直線P/與平面尸8C所成角就是。。與平面尸8c所成的角,

所以ZODF是OD與平面PBC所成的角，

可設/8=3C=：/M=1,所以P/=2,PO—^^-,

22

”岳cc?mPOEOV2W

22PE30

在氏AOD尸中，sinZOr>F=—=^2.

OD30

所以直線P/與平面PBC所成角的大小為arcsin'巫.

30

答案第6頁，共12頁

1

17.⑴5

⑵直線/的方程為3X-2尸6=0或x-2y=0.

【分析】(1)代入兩點得到關于6的方程，解出即可;

(2)方法一：以|“尸|為底，求出三角形的高，即點8到直線4P的距離，再利用平行線距離

公式得到平移后的直線方程，聯立橢圓方程得到3點坐標，則得到直線/的方程；方法二:

同法一得到點5到直線AP的距離，再設3(%,%),根據點到直線距離和點在橢圓上得到方

程組，解出即可；法三：同法一得到點8到直線/尸的距離，利用橢圓的參數方程即可求解;

法四：首先驗證直線斜率不存在的情況，再設直線>=辰+3,聯立橢圓方程，得到點3

坐標，再利用點到直線距離公式即可；法五：首先考慮直線所斜率不存在的情況，再設

PB:y-j=k(x-3),利用弦長公式和點到直線的距離公式即可得到答案；法六：設線法與

法五一致，利用水平寬乘鉛錘高乘!表達面積即可.

2

b=3

【詳解】(1)由題意得。2，解得，?二?，

2_AIk=12

[a2+b2~=

(2)法一：3一|i,則直線"的方程為〉=-乙+3,即x+2y-6=0,

3鼠3二一52

叫=J(°-3)2+[3-|)=孚’由⑴知+

2x9A

J/J—_1_2_/5_____

設點3到直線ZP的距離為d,則3君—5，

則將直線AP沿著與AP垂直的方向平移區I單位即可，

5

此時該平行線與橢圓的交點即為點B,

設該平行線的方程為：x+2y+C=0,

|C+6|_12A/5

則解得C=6或C=-18,

出一^~~

答案第7頁，共12頁

x=-3

H+f=1,解得x=0

當C=6時，聯立I或'3，

x+2j+6=0y=-2

即川0,-3）或13,-

33

當3(0,-3)時，止匕時勺=彳，直線/的方程為歹=5尤-3,即3x-2y-6=0,

時，此時&1直線/的方程為了=

當叫-3,-=g,—x,即x-2y=0,

22

22

土+匕=1

當C=-18時，聯立129得2r-27歹+117=0,

x+2y—18=0

A=272-4x2x117=-207<0,此時該直線與橢圓無交點.

綜上直線/的方程為3x-2y-6=0或x-2y=0.

法二：同法一得到直線/尸的方程為x+2y-6=0,

點B到直線AP的距離d=為5

5

1%+2%_12火

%=-3

V5-5%二0

設3(X(),%),貝上，解得3或

九二

9+比=1%=-3—3

129

即8（0,一3）或13,一|

,以下同法一.

法三：同法一得到直線北的方程為x+2y-6=0,

點B到直線AP的距離d=約5

5

126cos6+6sin6-]2石

設5(2>/Jcos6,3sin夕)，其中6￡[0,2兀)，則有-!-----------------------------------=---------,

5

cos^=-—

2cos0=0

聯立cos?e+sin?6=1,解得,或

sin*」sin0=-1

2

即8（0,-3）或1-3,-g

,以下同法一;

法四：當直線45的斜率不存在時，此時5(0,-3),

133

3PAB=-x6x3=9,符合題意，止匕時勺=5,直線/的方程為歹=5%—3,即3x—2y—6=0,

當線45的斜率存在時，設直線的方程為〉=履+3,

答案第8頁，共12頁

y=kx+3

聯立橢圓方程有x12y2,貝lj(4左2+3)%2+24左Y=0,其中左。左加,，即左w—,

I-12

1129

解得片。或X制

，上w0,k手—,

2

2-24k

人-24km1—12k+9?.[o-12r+9

令工=-2r，貝仃二——n------，貝

4左2+3/4左2+34左2+3'4左2+3

同法一得到直線AP的方程為x+2歹-6=0,

點B到直線AP的距離d="叵，

5

-24k|2〉＜-12/+9§

則4^+3+*4/+3-12亞，解得后=：,

忑=-

止匕時-3,-￡）,則得到此時勺=；,直線/的方程為y=；x,即x-2y=0,

綜上直線/的方程為3x-2y-6=0或x-2y=0.

法五：當/的斜率不存在時，/：x=3,313,-1|,*|=3〃至1」尸8距離1=3,

1Q

此時S“昉=/x3x3=］。9不滿足條件.

3

當/的斜率存在時，設尸8："5=3-3）,令尸（為必）乃仁,力），

3

y=k(x-3)+-

消y可得（止+3）/-（24萬2-12左卜+36左：一36左一27=0,

22

-%------+1---夕------11

[129

21

A=(24F-12^-4(4k2+3)(36^2-36A--27)>0,且左片左心，即左

24k2-12k13k2+9k+]

36左2-36左-274左2+3

4Ar+l.+9k+g\k+i\

|3左+—|

A到直線尸3距離二」2|。_

a-

~r;--QAPAB~

JF+14r+3-#7T

1313

?二左=_或_,均滿足題意，:.l:y=-x^y=—x-3,即3%_2y_6=0或x—2y=0.

2222

法六：當/的斜率不存在時，/:x=3,3,,*1=3〃到尸8距離1=3,

1Q

此時S"昉=/x3x3=,。9不滿足條件.

答案第9頁，共12頁

3

當直線/斜率存在時，設/:'=左（、-3）+耳，

設/與V軸的交點為0,令x=0,則。,,-3萬+|）,

.3

聯立＜＞=近—3"十萬，貝|j有（3+4左2）*2—84（3左一3]*+36左2—36左一27=0,

3/+4/=36I2J

（3+4左2）X?-8左（3左一|1x+36左2-36左一27=0,

其中A=8〃[3左一g]—4（3+4公）06公一36萬-27）＞0,且左片一；，

36/2-36左一2712左2—12左一9

貝I3XB='->XB=

3+4/3+412

則S=』/。歸-x/=33k+弓竽巖=9,解的A=:或后=；,經代入判別式驗證均滿足

題意.

即3x-2〉-6=0或x-2〉=0.

18.⑴見解析

（2）見解析

【分析】（1）求導，含參分類討論得出導函數的符號，從而得出原函數的單調性;

（2）先根據題設條件將問題可轉化成證明當x＞l時，ei-2x+l+lnx＞0即可.

【詳解】（1）/（x）定義域為（0,+s）,/?=?--=-

XX

當aWO時，/'（x）=竺匚＜0,故“X）在（0,內）上單調遞減；

X

當。＞0時，xe[,+oo]時，f\x）＞0,〃X）單調遞增，

當xe,,￡|時，r（x）＜0,/（x）單調遞減.

綜上所述，當時，〃X）的單調遞減區間為（0,+8）；

答案第10頁，共