第一章過關(guān)檢測(A卷)

(時間:120分鐘滿分:150分)

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.已知直線/在平面a外,若直線I的方向向量為a,平面a的法向量為n,則下列

選項能使l//a的是()

A.a=(l,0,l),n=(-2,0,0)

B.a=(l,3,5),n=(l,0,l)

C.a=(0,2,l),n=(-l,0,-l)

D.a=(l,-l,3),n=(0,3,l)

答案:D

解析:若則a-n=0,故選D.

2.在三棱錐A-BCD中，若△BCD為正三角形，且E為其中心，則同+-|麗-

而等于()

A.ABB.2BD

C.OD.2DE

答案:C

解析:連接DE并延長，交3c于點網(wǎng)圖略),則由題意可知下為3c的中

點、,DE,DF,故漏+-BC--~DE-AD^AB+~BF+-ED+~DA^AB+~BF+

3222

ED+Ol=0.

3.已知向量a=(l,l,0),b=(-l,0,-2),且ka+b與2a-b互相垂直，則k的值是()

1

A.lB.-

5

37

C.-D.-

55

答案:D

解析:因為a=(l,l,0),b=(-l,0,-2),所以上a+b=(hl,匕-2),2a-b=(3,2,2).

又左a+b與2a-b互相垂直，所以(左a+b>(2a-b)=0,即3左-3+2左-4=0,解得左=(

4.已知空間中三點4(0』,0),3(1,2,0),C(-l,3,1),則下列結(jié)論正確的是()

A.南與尼是共線向量

B.與荏方向相同的單位向量是(1,1,0)

C.同與阮夾角的余弦值是經(jīng)

D.平面ABC的一個法向量是(1,-1,3)

答案:D

解析:對于A因為40,1,0),8(1,2,0),C(-l,3,1),所以荏=(1,1,0),前=(-1,2,1),假設(shè)存

在iWR,使得荏=丸照，則(1,1,0)=〃-1,2,1)=(乩2口)，顯然7不存在，故而與正不

是共線向量，故A錯誤；

對于B,因為荏=(1,1,0),所以與荏方向相同的單位向量為凄=看,■0),故B錯誤;

\AD\NN

對于C,因為通=(1,1,0),前=(-2,1,1),

所以cos<MBC>=fg=鬲冷=￡故C錯誤；

對于D,設(shè)n=(x,y,z)是平面ABC的法向量，則｛：H：:‘即以IU'z=0,

令x=l,則y=-l,z=3,故n=(l,-l,3)為平面ABC的一個法向量，故D正確，故選D.

5.如圖，在三棱錐A-3CD中,AB=AC=AD=2,NB4D=90°,NR4c=60。，則同?而

等于()

A

e4^D

c

A.-2B.2

C.-2V3D.2V3

答案:A

解析:由題意可知，同?而=AB-(AD-AC)=AB-AD-AB-ZC=|AB||^4D|cos

90°-\AB\\AC\?cos60°=-2.

6.已知兩個平行平面a/分別經(jīng)過原點0和點A(2,l,l),且平面a的一個法向量為

n=(-l,0,l),則這兩個平行平面之間的距離為()

A-lB.苧

C.V3D.3V2

答案:B

解析油題意可知,兩個平行平面a步之間的距離即為點A到平面a的距離.因為

近=(2,1,1),平面a的一個法向量n=(-l,0,1),所以點A到平面a的距離為誓=

|九|

:即兩個平行平面之間的距離為冬

7.在矩形ABCD中,平面ABCD,PA=1,則PC與平面ABCD所

成的角為()

A.30°B.45°C.60°D.1200

答案:A

解析:如圖，以A為原點,ABARAP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系，

則P(0,0,l),C(l,V2,0),&PC=(l,V2,-l),

平面ABCD的一個法向量為n=(O,O,l),

所以cos<PCii>=^f71

;\PC\\n\2

設(shè)PC與平面A3CD所成的角為仇則sin6=|cos<PC,n>|甘，故6=30°.

8.在長方體ABCD-ALBCLDI中,E是331的中點，瓦了=7瓦瓦，且ER〃平面ACDi,

則實數(shù)7的值為()

11

A.-B.-

54

C.-D.-

32

答案:B

解析:以。為原點,分別以D4,DC,DDi的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空

間直角坐標(biāo)系(如圖所示).

設(shè)DA=a,DC=b,DDi=c,A(afi,0),C(0,b,0),Di(0,0,c),E(^a,b,^,Bi(a,b,c),

所以AC=(-a,0,0),2￡)i=(-。,0,。),_8101=(-。,-80),因為所以BiF=(Jzz,-

私0),所以"(1J)a,(lJ)",c),所以方=(-如,-私設(shè)平面ACDi的法向量為

n=-CLX+bv=0

,'當(dāng)x=bc時,y=ac,z=a8貝In=(bc,ac,ab),

-n--ax+cz—0,

因為ER〃平面eACZh,所以而_Ln,即EF-n=JabcJabc+亭=0,解得2=亍,故選B.

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中,有多項

符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.在棱長為1的正方體ABCD-AIiCiDi中，下列結(jié)論正確的是()

A.AB=-C1D1B.瓦瓦是共面向量

C.礪?B]Di=0D.AC^-AD=2

答案:ABC

解析:由圖形知，因為荏=-而，而=?7瓦，所以荏=-m7,故A正確;因為中7=

通+瓦瓦,由共面向量充要條件知函，瓦瓦,砧7是共面向量，故B正確;因為A41

，平面ALBICLDI,所以AA」3LDI,所以跖?百瓦=0,故C正確;石?而=(通+

AD+京)?而=|而『=1,故D錯■誤.故選ABC.

10.將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C,如下四個結(jié)論正確的是

()

A.AC±BD

B.AACD為等邊三角形

C.AB與平面BCD所成的角為60°

D.AB與CD所成的角為60°

答案:ABD

解析:如圖，取3。的中點。，以O(shè)為原點,。。,。4,。。所在直線分別為》軸、y軸、

z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為/，則D(l,0,0),3(-l,0,0),C(0,0,l),A(0,l,0),所以

m=(0,-1,1),麗=(2,0,0),所以就?麗=0,即ACL3。,故A中結(jié)論正確.

因為|尼|=/,I而\=V2,\AD|=V2,

所以△ACD為等邊三角形，故B中結(jié)論正確.

設(shè)A3與平面BCD所成的角為仇

因為刀為平面BCD的一個法向量，

所以sin0=\cos<AB,OA>\=^-,

所以。=45°，即A3與平面BCD所成的角為45°,故C中結(jié)論錯誤.

因為cos<AB,CD>=，c￡=.l

\AB\\CD\2'

所以<同，而>=120°,

所以A3與CD所成的角為60°,故D中結(jié)論正確.

11.正方體A3CD-A向GD1的棱長為2,E,F,G分別為BC,CCi,BBi的中點，則()

A.直線DiD與直線AF垂直

B.直線AiG與平面AEF平行

C.平面AEF與平面ABCD的夾角的余弦值為日

D.點C與點G到平面AEF的距離相等

答案:BC

解析:以。為原點,D4,DC,DDi所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐

標(biāo)系(圖略)，則A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,2,0)尸(0,2,1),Di(0,0,2)5Al(2,0,2),G(2,2,1),

對于選項人,西=(0,0,2),標(biāo)=(-2,2,1),因為西-荏=2加,所以直線DiD與直線

AR不垂直，故A不正確；

對于選項B,荏=(-1,2,0),麗=(-1,0,1),設(shè)平面AER的法向量為n=(x,y,z),則

n?族=0,n?而=0,即卜":2'：°，取尸2,則y=l,z=2,于是n=(2,l,2)是平面AEF的

一個法向量.

41二(0,2,-1),因為n?中=2-2=0,即1，又A1GU平面AER所以直線A1G與

平面/平行，故B正確；

對于選項C,由已知得,u=(0,0,1)是平面ABC。的一個法向量，因為cos<n,u>=/所

以平面AEF與平面ABCD的夾角的余弦值為|,故C正確；

對于選項D,而=(1,0,0),點C到平面AER的距離為等=三,需=(-1,0,-1),點G到

平面AER的距離為學(xué)=±,故D不正確.

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.如圖，在四面體OABC中，函=a,OB=b,而=c,D為3C的中點乃為AD的中點,

用a,b,c表示0瓦貝UDE=.

答案右

244

解析:'：D為3c的中點,E為AD的中點，

：.0E=-0A+-~0D^-0A+-OB+-~0C=-a+-b+-c.

22244244

13.如圖，在正方體ABCD-AiBCDi中,M,N分別為CD,CCi的中點，則異面直線

與DN所成的角的大小為.

答案：90。

解析:如圖，以。為原點,D4,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)正方體的棱長為1,則D(O,O,O),MO,1,1),M(O,|,O)41(1,0,1),

->1----?1

?的=(0,1,卅&=(1，51),

：.DN-MAi=0--+-=Q,

122

.?.麗1MA1,

與DN所成角的大小為90°.

14.如圖，在正三棱柱ABC-AiBiCi中，若331=7^鉆=2/,則點C到直線ABi的距

離為.

安

解析:取AC的中點。，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則A(0,-l,0),51(73,0,272)^(0,1,0),

所以初=(V3,1,2V2),C2=(0,-2,0).

直線AB的一個單位方向向量s=G，f,峪

所以點C到直線ABi的距離4/=J|CA|2-|CA-S|2=J(-2)2(,j=等.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(15分)如圖所示,在平行六面體A3CD-A1BC1D1中,E,R分別在BiB和DiD上,

且BE=-BB^DF=-DDi.

44

(1)證明A,瓦G尸四點共面;

(2)若EF=xAB+y力。+2/41，求％+y+z的值.

⑴證明:連接ACi(圖略),在平行六面體ABCD-AiBiCiDi中,BE=LBBI,DF=MDDI,

44

------->----->----->------->----->----->-1------->o------->/----->-1------->\/----->

?力=AB+AD+AA-y=AB+AD+—力力1+—AA^=yAB+—BB1)+(力。+

^DD^^=AB+BE+AD+DFAE+AF,

：.AC1,標(biāo),族共面，且A為公共點,A,E,Ci尸四點共面.

(2)解:'：AF^AD+DF^AD+|西=AD+?再，

----->----->----->----->1------->----->1------->

力E=+BE=力B+-BB1=AB+-AA19

.*?EF—AF-AE=^AD+—+124al)=-4B+AD+—AA1.

EF=xAB+yAD+zAA1,

.*.x=-l,y=l,z=|,x+y+z=|.

16.(15分)已知邊長為4的正三角形ABC中,E,R分別為3c和AC的中點,P4=2,

且平面ABC,設(shè)Q是CE的中點.

⑴求證:AE〃平面PFQ-

⑵求AE到平面PFQ的距離.

⑴證明:如圖，以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系.

因為AP=2AB=BC=AC=4,5LE,F分別是3GAe的中點,。是CE的中點,

所以A(0,0,0),3(26,2,0),C(0,4,0)產(chǎn)(0,2,0),E(g,3,0),Q(乎，,0)/(0,0,2).

因為而=(今|,0),荏=(8,3,0),

所以荏=2所,所以荏||而，

又AE與FQ無交點，所以AE〃歹。

又FQu平面PRQ,AEC平面PFQ,

所以AE〃平面PFQ.

(2)解:連接A。因為AE〃平面PFQ,所以點A到平面PFQ的距離就是AE到平面

PFQ的距離.設(shè)平面PFQ的法向量為11=(%>/),所以11，丙,11，所,即

n-PF=O,n-FQ=O.又丙=(0,2,-2),所以n?而=2y-2z=0,即y=z.

又而=(今右0),所以n.而=*+》=0,即x=-V3y.

令y=l,貝Ux=-K,z=l,所以平面PFQ的一■個法向量為n=(-V3,l,l).

又訓(xùn)=(-3二,0),所以所求距離4=四=—.

22\n\5

17.(15分)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AB〃DC,ND43

=90°,24,底面A3CD,且PA=AD=DC=\^B=2,M是PB的中點.

⑴求證:平面PAD,平面PCD;

⑵求AC與PB的夾角的余弦值；

(3)求平面AMC與平面BMC的夾角的余弦值.

⑴證明:如圖，以A為原點,ADAB5Ap所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0)1(0,2,0),C(l,1,0),￡>(1,0,0),P(0,0,1),

,?AP=(0,0,1),^40=(1,0,0),反=(0,1,0),

.,.族?虎=0,而?反=0,...4尸，。。,4。，。。.又4尸八4。=4,，。。，平面PAD.

又DCu平面PCD,：.平面PAD，平面PCD.

(2)解:?.?亞=(1,1,0),麗=(0,2,-1),

/.\AC|=V2,|PB|=V5,AC-~PB=2,

cos<AC,-PB>=；竺篇——.

\AC\\PB\5

：.AC與PB的夾角的余弦值為解.

(3)解:設(shè)平面AMC的法向量為ni=(x,y,z),

----->------?1

VT1C=(1,1,0)4M=(0,1,|),

.加武=0「+、=0，

''[n^AM=0,(7+*0.

令x=l惻y=-l,z=2.

.?.ni=(1,-1,2)為平面AMC的一個法向量.

同理,n2=(l,1,2)為平面3MC的一個法向量.

W1W2

設(shè)平面AMC與平面BMC的夾角為仇則cos0=|cos<ni,n2>|=I1,1=

%帆13

故平面AMC與平面BMC的夾角的余弦值為(

18.(16分)如圖，在四棱錐P-ABCD中

⑵若直線PE與平面PAC所成角的正弦值為日,求平面PAC與平面PCD的夾角

的余弦值.

解:?平面P43,平面A3CD,平面P43n平面A3CD=A3,A3，P4,P4u平面PAB,

...PA，平面ABCD

又AB±AD,：.AB,AD,AP兩兩互相垂直.

以A為原點,A3ARAP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示.

不妨設(shè)3C=45Ap=丸(丸＞0),則A(0,0,0),D(0,2,0),E(2,l,0),C(2,4,0),P(0,0,A).

⑴證明:?尼=(2,4,0),9=(0,0,2),麗=(2,-1,0),...反?ZC=4-4+0=0,5E-AP=0.

：.DE±AC,DE±AP.

又ACHAP=A,：.DEL平面PAC.

又DEu平面PED,...平面PED,平面PAC.

(2)由(1)知，平面PAC的一個法向量為屁=(2,-1,0),或=(2,1,J).

設(shè)直線PE與平面PAC所成的角為a

則singeos〈兩方>|=|高』|=今

解得A=±2.

?二>0,；"=2,即尸(0,0,2).

設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則n-DC=0,nDP=0.

?.玩=(2,2,0),而=(0,一2,2),

.(2x+2y-0,.cy--x,

*l-2y+2z=O/H