專題08二次函數綜合過關檢測

（考試時間：90分鐘，試卷滿分：100分）

一、單選題（本題共8小題，每題3分，共24分）

1.拋物線y=V經過變換后，得到拋物線y=/—2,則這個變換方式可以是（）

A.向左平移2個單位B.向右平移2個單位

C.向上平移2個單位D.向下平移2個單位

【答案】D

【分析】此題主要考查了次函數圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減.根據

變換前后的兩拋物線的頂點坐標找變換規律.

【詳解】解：拋物線y=V的頂點坐標是（0,0）,拋物線＞=/-2的頂點坐標是（0,-2）,

則該變換可以是向下平移2個單位.

故選：D.

2.平移二次函數的圖象y=d,使其頂點落在第二象限，且頂點到x軸的距離為2,到＞軸的距離為3,

則平移后二次函數的解析式為（）

A.y=（尤+2y+3B.y=（x-2p+3C.y=（^+3）2+2D.y=（無一3『+2

【答案】C

【分析】本題主要考查二次函數的平移，以及二次函數的頂點式，熟練掌握二次函數的圖像是解題的關

鍵.根據題意得到頂點坐標為（-3,2）,即可得到答案.

【詳解】解：根據題意可得，頂點坐標為（-3,2）,

故平移后二次函數的解析式為y=（x+3『+2.

故選C.

3.在平面直角坐標系中，直線＞=履+1與拋物線y=；/交于A、B兩點，設B（x,,y2）,則

Xl'X2的值是（）

A.1B.4C.-1D.-4

【答案】D

【分析】本題考查一次函數與二次函數交點問題，一元二次方程根與系數的關系，聯立一次函數與二次函

數解析式，建立方程，根據一元二次方程根與系數的關系即可求解.

【詳解】解：直線y="+1與拋物線y=：/交于A、B兩點，A（&x）,B（X2,J2）,

2

y—_1_%1

2

「.<4,BP—x-Ax—1=0,

y=o7+1l4

-1

：.X'X=—=—44

l21,

4

故選：D.

4.函數y=G?+6（aH0）與函數y=ox+b（awO）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）

【分析】本題考查的是一次函數與二次函數圖象共存的問題，掌握二次函數與一次函數的圖象與性質是解

題的關鍵.根據二次函數和一次函數圖象性質分別得出。、6的符號，即可得答案.

【詳解】解：A、由二次函數圖象可得a>0,b>0,由一次函數圖象可得a>0,b>0,故該選項符合題

思；

B、由二次函數圖象可得a<0,b>0,由一次函數圖象可得a>0,b>0,故該選項不符合題意；

C、由二次函數圖象可得a<0,b>0,由次函數圖象可得a>0,b<0,故該選項不符合題意；

D、由二次函數圖象可得得a>0,b>0,由一次函數圖象可得a<0,b>0,故該選項不符合題意.

故選：A.

5.二次函數y="2+6x+c（a*0）中的自變量x與函數值y的部分對應值如下表：

X-3-2-1014

y1670-5-8-5

下列結論正確的是（）

A.a<0B.當函數值><。時，對應x的取值范圍是-l<x<5

C.頂點坐標為。,-8）D.若點（—15%）,（6,%）都在拋物線上，則%

【答案】B

【分析】本題考查二次函數的圖象與性質，本題根據表中數據找出二次函數的對稱軸，利用二次函數圖象

對稱性、增減性和頂點坐標特點，即可解題.

【詳解】解：根據x=0,>=—5和x=4,y=-5,可知二次函數的對稱軸為％=亍=2,

所以頂點坐標為。，-8),錯誤，即C項不符合題意.

根據x=l,y=-8,-8<-5,即離對稱軸越近，函數值越小，所以二次函數開口向上，即。>0,所以A

項錯誤，不符合題意.

x=-l,y=o,結合二次函數對稱性可知，x=5,y=o,所以當函數值時，對應x的取值范圍是

-1<x<5,正確，即B項符合題意.

2-(-1.5)=3.5,6-2=4,3.5<4,根據離對稱軸越近，函數值越小，有％<必，

所以D項錯誤，不符合題意.

故選：B.

6.一次函數、=依+方與二次函數y=在同一平面直角坐標系中的圖象可能是()

【分析】本題考查一次函數、二次函數圖象綜合判斷，由選項中圖象可判斷。，6符號不同，分類討論求

解.

【詳解】解：

拋物線對稱軸為直線x=-=h,

2a

當拋物線對稱軸在y軸右側時，-=b>。，

2a

a,8符號不同，

當。>0,6<o時，拋物線開口向上，直線上升，直線與y軸交點在x軸下方，

當。<0,6>o時，拋物線開口向下，直線下降，直線與y軸交點在尤軸上方，

故選：B.

7.如圖，拋物線>=辦2-。經過正方形Q4CB的三個頂點A,B,C,點C在y軸上，則絲的值為（）

C.3D.4

【答案】B

【分析】本題主要考查二次函數的圖象與性質及正方形的性質.連接AC,交y軸于點。，根據二次函數

圖象的性質和正方形的性質得AC=OB=2AD=2OD=c,進而得到A,將A的坐標代入y=辦2+。

求解即可.

【詳解】解：連接AB,交y軸于點D

:四邊形04cB是正方形,

:.AB=OC=2AD=2OD=c,ADYOD,

???點A

22

c2

———<2X

22

解得：ac=2,

故選：B.

8.如圖，拋物線y=一4與X軸交于A、B兩點,P是以點C（0,3）為圓心，2為半徑的圓上的動點，Q

是線段”的中點，連接則線段的最大值是（）

【答案】C

【分析】連接3P,由三角形中位線的判定和性質可得是一ABP的中位線，因此。。=；2尸，由此得當

3尸最大時，的值最大.連接3c交6c于PL此時3尸最大，求出的值，即可知的最大值.

本題考查了二次函數的性質、圓的性質，三角形中位線的判定和性質，掌握“從圓外一點到圓上各點的連

線中，經過圓心的這條線段最長”這一點知識是解題的關鍵.

.?.4-4,0）,3（4,0）.

是線段AP的中點，。是線段AB的中點,

是ABP的中位線，

:.OQ=^BP,

當3尸最大時，。。的值最大，

二當3尸過圓心C時，BP最大.

如圖，連接3(?交<C于P,

當尸點運動到尸'時，BP最大,

BC=JOC?+OB2=后+4?=5，CP'=2,

:.BP=542=1,

17

，。。=產=5，

7

；?線段。。的最大值是

2

故選：C

二、填空題(本題共9小題，每題3分，共27分)

9.設4(-2,另)，B(l,%),C(2,%)是拋物線>=一(尤+1)2+左上的三點，則用“<“表示升%，%的大小

關系是.

【答案】為<%<%

【分析】本題主要考查了比較二次函數值的大小，根據函數解析式可得拋物線開口向下，對稱軸為直線

x=-l,則離對稱軸越遠，函數值越小，據此求出42、C到對稱軸的距離即可得到答案.

【詳解】解：：拋物線解析式為y=-(x+iy+M-l<0,

拋物線開口向下，對稱軸為直線工=-1,

.??離對稱軸越遠，函數值越小，

,.12-(-1)=3>1-(-1)=2>-1-(-2)-1,

%<%<必，

故答案為：

10.已知關于直線尤=1對稱的拋物線y=f+"+c經過A(2〃+3,yJ,兩點，且點A,8分別

位于拋物線對稱軸的兩側，則位于對稱軸左側的點是(填A或8),若此時％<必，則〃的取值范

圍是?

【答案】B-1<“<0/0>〃>一1

【分析】本題考查二次函數的圖象和性質.解題的關鍵是掌握二次函數的增減性.根據拋物線對稱軸為

x=l,開口向上，根據已知條件分類討論得出點3在對稱軸的左側；根據％<%，進而得出不等式，解不

等式即可求解.

【詳解】解：拋物線y=Y+bx+c關于直線x=l對稱，經過A（2〃+3,yJ,川W-1,%）兩點，且點A,

B分別位于拋物線對稱軸的兩側,

若點A位于對稱軸左側，

2〃+3<

貝|Jv2〃+3<1,

n-1>1

n<-4

解得々<-1,不等式組無解，不符合題意；

n>2

若點5位于對稱軸左側，

2〃+3>

貝IJ<2〃+3>1,

n-l<1

〃〉一4

解得<心-1,

n<2

，不等式組的解為

此時/<當，

.-.l-（n-l）>（2n+3）-l,

解得:n<0,

??—1v九v0,

綜上，時，則”的取值范圍是

故答案為：B,-1<M<O.

11.如圖，有長為24m的籬笆，一邊利用墻（墻長不限），則圍成的花圃A3CD的面積最大為

m2.

a

<—?

A\ID

BI------------------\C

【答案】48

【分析】本題考查了一元二次方程的實際問題及二次函數的綜合運用，設籬笆的寬A3為x米，長為

（24-3”米，列出面積S與x的函數關系式，利用二次函數的性質求出最值即可.

【詳解】解：設籬笆的寬A3為x米，長為（24-3x）米，

.?.5=%（24-3工片-3俎+48=-（尤-）2+，

:墻長不限，

當x=4時，24-3x=12,S值最大，止匕時S=48.

故答案為：48.

12.如圖，這是卡塔爾世界杯足球比賽中某一時刻的鷹眼系統預測畫面（圖1）和截面示意圖（圖2）,足

球的飛行軌跡可看成拋物線，足球離地面的高度酬m）與足球被踢出后經過的時間*s）之間的關系的部分數

據如下表：

t/s0236

角牟得：/=0或r=8,

則該運動員踢出的足球在第8s落地，

故答案為：8.

13.二次函數＞=屈2的圖象如圖所示，點。為坐標原點，點A在y軸的正半軸上，點8、C在函數圖象

上，四邊形054C為菱形，且N3OC=60。，則菱形054C的面積為.

【答案】2口

【分析】本題考查了菱形的性質、二次函數圖象上點的坐標特征.連接2c交Q4于。，根據菱形的性質得

BC1OA,ZBOD=30°,利用含30度的直角三角形三邊的關系得OD=，設5。=/,得到

利用二次函數圖象上點的坐標特征得"="2,得出3D,OD,然后根據菱形的性質求解即

可.

【詳解】解：連接BC交。4于O,如圖，

\BCAOA,

ZBOC=60°,

ZBOD=30°,

OD=y/3BD,

設BD=3則疝，

把代入y=

得=A/3Z2,

解得4=0（舍去），川=1，

BD=19OD=V3f

BC=2,04=26，

；?菱形OBAC的面積為：1X2X2V3=2A/3,

故答案為：2括.

14.如圖，是一名排球運動員發球時，排球行進過程中形成的拋物線，按照圖中所示的平面直角坐標系，

19

排球行進高度y（單位：m）與水平距離X（單位：m）之間的關系是y=-二（％-6）+2.8,球場的邊界距

60

。點的水平距離為18米，則此排球是否會出界?.（填“是”或"否”）.

【答案】是

【分析】本題主要考查了二次函數得實際應用，熟練地掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵.將y=0

代入函數的解析式，求出x的值，再舍去不符合實際的一個尤的值即可得出答案.

【詳解】解：將產0代入>=-京（彳-6）一+2.8得：

0=-—（X-6）2+2.8

60、'

整理得：@-6）2=168,

解得：x=6+2“I或尤=6-2屈（舍去），

,6+2142>18，

???此排球是會出界.

故答案為：是.

15.如圖，矩形ABCD的長AB=4cm,寬AD=2cm.。是A3的中點，OP1AB,兩半圓的直徑分別為

A0與。8.拋物線的頂點是0,關于0P對稱且經過C、。兩點，則圖中陰影部分的面積是

【分析】本題考查二次函數的綜合應用.根據二次函數的對稱性，得到圖中陰影部分的面積為半圓的面

積，進行求解即可.

【詳解】解：觀察圖形，根據二次函數的對稱性可得圖中陰影部分的面積是半圓的面積，

VAB=4cm,。是A3的中點，

半圓的半徑為A3的;，即半徑為1cm,

4

???陰影部分的面積為：1^xl2=17T(cm2).

jr

故答案為：—.

16.如圖，坐標平面上有一頂點為A(-3,0)的拋物線，與x軸平行的直線交拋物線于8、。兩點，3C的長

為空，且一ABC為正三角形，則可設此拋物線的頂點式為,拋物線與y軸的交點坐標

【分析】本題考查二次函數的圖象及性質.根據頂點式y=+上的形式設出拋物線的解析式，設

,C(-3+m,2),(m>0),可知8。=2機=手，貝ljC(-3+|也,2],將點C代入解析式即可求

a,進而求解.

【詳解】解：「頂點A點坐標為(-3,0),

可設拋物線的解析式為：y=?(x+3)2；

設B(—3-m,2),C(-3+m,2),(m>0)

..BC=2m=-----，

3

25/3

/.m=-----

3

A點坐標為(-3,0),

.?拋物線的解析式為y=〃(％+3)2,

，一3+竽+3

=2,

3

.?.y=5（x+3）92,

27

當x=0時，y,

.??拋物線與y軸的交點為[o，1J,

故答案為：y=a（x+3）2；（仇5]?

17.如圖，拋物線y=g/-3與x軸交于A,B兩點,尸是以點C（0,4）為圓心，1為半徑的圓上的動點,

O是線段Ab的中點，連接OD,8尸則線段OD的最大值是

【答案】3

【分析】本題考查了拋物線與坐標軸的交點，三角形中位線定理，勾股定理，圓的基本性質等知識；運用

三角形中位線定理是本題的關鍵和難點.

連接PB,根據函數解析式，求5坐標，然后求出8c=5,。是線段”的中點，。是線段的中點，故

即是△ABP的中位線，當B、C、下三點共線，且點C在所之間時，BF最大,即可求解.

【詳解】解：連接BC,CF,

:拋物線y=；f-3與x軸交于A、B兩點,

令y=0即0='尤2一3,

3

解得占=-3或%=3,

■.A（-3,0）,B（3,0）,

OA=OB=3,

VC（o,4）,

.-.OC=4,

BC=A/42+32=5>

O是線段AF的中點，。是線段AB的中點，

故。。是的中位線，

OD=-BF,

2

0D最大,即所最大，

即8、C、尸三點共線，且點C在跳■之間時，BF最大,

.-.BF^=BC+CF=6,

。%=:k=3,

故答案為：3.

三、解答題（本題共4題，共49分）

18.（12分）.如圖,拋物線y=-V+國+c過點4（-1,0）,8（3,0）,與?軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸為拋物線對稱軸上一動點，當PCB是以BC為底邊的等腰三角形時，求尸的坐標;

⑶在(2)條件下，是否存在點M為拋物線上的點，使得以BCM=2SABS?若存在，求出點以的橫坐標；

若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=-V+2x+3

⑵尸(1,1)

(3)M點橫坐標為3+舊或3—J萬或1或2

22

【分析】(1)把A(TO),8(3,0)代入y-V+笈+c即可的得出拋物線解析式；

(2)依題意可得出即P點在NCO3的平分線上且在拋物線的對稱軸上利用等腰三角形的性質，即可得出P

點的坐標；

(3)利用鉛垂線ME,即可表達出入BCM，再由ZBCM=2SABS即可列出方程求解.

【詳解】(1)根據題意，得

0=-(-l)2-Z?+c

0=-32+3&+C'

，拋物線解析式為：y=-x2+2x+3.

(2)連接。尸，由(1)得y=--+2x+3,

.?.點C(0,3),且點8(3,0),

/.OC=OB=3.

.■當一PCB是以5c為底邊的等腰三角形

:.PC=PB,

OP=OP,

ACOP^ABOP,

.../COP=ZBOP=-x9Q°=45°,

2

設拋物線的對稱軸與％軸交于H點，則NOPH=90。,

ZOPH=ZPOH=45°,

??.OH=PH,

2

拋物線對稱軸％=一丁(八=1,

2x(-1)

OH=\,

PH=1,

-'■y=l.

，點P坐標為(1,1).

(3)存在.

理由如下：過點“作〃丁軸，交BC于點、E,交無軸于點尸.

設直線3c的解析式為：y=kx+b,依題意，得:

Q=3k+b

3=b

k=-l

解得

b=3

，直線3C的解析式為：y=-x+3,

當尤=加時,y=-m+3,

???點七的坐標為O,-機+3）,

/.=m2+2m+3—(―m+3)|

=|—m2+3m|

S^BCM=S^MEC+SAMEB=/ME-OF+—ME-FB

=-MEOB

2

=-||-m2+3m|,

1113

5ABCP=-X3X3--X1X（1+3）--X1X2=--

°A5CM_3ABCP，

33

+3帆）=3或耳（療-3瓶）=3,

解得叫=Lm2=2或加=^+屈.

2

【點睛】此題考查了求拋物線的解析式、等腰三角形的存在性問題，三角形的面積，掌握待定系數法求拋

物線的解析式，等腰三角形與函數的特征，三角形面積與函數的做法是解題的關鍵.

a

19（12分）.如圖，拋物線％=0^+法+彳與無軸交于點A（-3,0）,點8,點。是拋物線外的頂點，過點。

作無軸的垂線，垂足為點C（T，0）.

圖1圖2

(1)求拋物線為所對應的函數解析式;

(2)如圖1,點M是拋物線%上一點，且位于x軸上方，橫坐標為如連接MC,若NMCB=NZMC,求加

的值；

(3)如圖2,將拋物線為平移后得到頂點為8的拋物線%.點尸為拋物線X上的一個動點，過點尸作y軸的

平行線，交拋物線必于點。，過點。作無軸的平行線，交拋物線乃于點口當以點尸，Q,R為頂點的三

角形與全等時，請直接寫出點尸的坐標.

113

【答案】⑴,二一^/一耳工+工

(2)—2+A/5

(3)"或尸12,一勺

【分析】(1)利用待定系數法求解即可;

(2)先利用待定系數法求得直線AD的解析式，進而求得設直線CM的解析式，再和拋物線聯立方程組求

解即可；

(3)先求得3(1,0),進而求得平移后拋物線為的解析式，設尸]九一1病則

Q^m,-^m2+^m-^,-根，-:根？+gm,分當尸在0點上方時和當點尸在Q點下方時兩種情

況，利用全等三角形的性質和坐標與圖形性質列方程求解即可.

(3

9a-3b+-=0

【詳解】(1)解：由題意得：，4,

"-1

、2a

1

a二—

解得:4.

b=——

[2

113

拋物線外所對應的函數解析式為y=--%2--x+-；

424

,.113

(2)解：當時，y=--+-+7=1，

424

???D(-l,l),

設直線AD的解析式為y=kx+bf

J-3Z+b=0

[-k+b=l

解得,

b=-

[2

13

???直線AD的解析式為y=,

如圖1,當“點在x軸上方時，

ZMCB=NDAC,

：.DA//CMf

則設直線CM的解析式為y=gx+b,

?.?直線經過點C,

-----F6=0,

2

解得：b=g

直線CM的解析式為y=gx+g,

-11

y=—x+—

解得：X=-2+5X=-2-A/5(舍去),

:.m=—2+-Js；

(3)解：?..拋物線外的圖象過點A(-3,0),對稱軸為直線x=-l,

二8(1,0),

?.?拋物線X平移后得到為，且頂點為點8,

即必=_工_+^_尤__L

2424

,貝!JQ1機尸:機小一；

由題意，點Q、R關于拋物線%的對稱軸對稱，且對稱軸為直線x=l,

2—+—m——

I424

PQ=l—m,QR=2—2m,

,/PQR與，AC。全等，A(-3,0),C(-LO),0(-1,1),

當PQ=DC且QR=AC時，1一根=1且2-2m=2,則機=0,

??.尸42,-11

4

當尸。=AC且QH=DC時，1一根=2且2-2m=1,無解;

答圖3

同理：PQ=m-lfQR=2m-2,

當尸。=Z)C且QH=AC時，機一1=1且2加一2=2,則機=2,

當尸。=A。且QH=￡)C時，m一1=2且2m—2=1,無解；

綜上可得P點坐標為或j.

【點睛】本題考查二次函數的綜合，涉及待定系數法求函數解析式、二次函數圖象的平移、坐標與圖形、

全等三角形的性質、解一元二次方程等知識，熟練掌握相關知識的聯系與運用，運用數形結合和分類討論

思想是解答的關鍵.

20(12分).如圖，在平面直角坐標系中，拋物線^=依2+及+2(。片0)與x軸分別交于A,B兩點，點A

的坐標是(T,O),點8的坐標是(i,o),與y軸交于點c,尸是拋物線上一動點，且位于第二象限，過點尸

作PDLx軸，垂足為。，線段尸。與直線AC相交于點E.

(1)求該拋物線的解析式;

(2)如圖1,若線段DE將AOC分成面積比為1:3兩部分,，求點P的坐標;

(3)如圖2,連接0尸，是否存在點P,使得NOPD=2NC4O,若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請

說明理由.

13

【答案】⑴y=--x+2

⑵(-2,3)或(2'4,5括-6)

(3)存在點尸，當點尸的橫坐標為二3一歷時,ZOPD=2ZCAO.

4

【分析】(1)利用待定系數法，將點A,B的坐標代入解析式中求解即可.

(2)設出點尸的坐標，易得△AED^AAOC,利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方求解即可.

（3）在x軸負半軸上取點使得MC=MA,連接MC,證明=進而證明

APDO^AMOC,得到0c?/>￡>=OM-OD,設出點P坐標，進而建立方程求解即可.

【詳解】（1）解：拋物線丫=加+云+2經過點A（T,0）,5（1,0）,

fO=16fl-4Z?+2

[0=a+b+2'

f1

a二——

解得；.

b=——

12

i3

該拋物線的解析式為了=-；尤2一]尤+2.

13

（2）解：拋物線>=-5/-5犬+2與y軸交于點C,且當x=o時，y=2,

.-.C（0,2）.

設直線AC的解析式為y=尤尤+偽.

直線AC經過點A（-4,o）,C（0,2）,

10=_4/+4

■'[2=^，

L-l

解得「2.

b1=2

???直線AC的解析式為V=gx+2.

設點尸]四,一3療+（T<m<0）,則￡）（九。），E^m,^m+2^.

?*DE=—相+2.

2

VDE〃y軸，

AADEs&oc,

又,，線段OE將」AOC分成面積比為1:3兩部分，

\7\7

.,.[:771+2）=1或1g/n+z]=3,

解得7〃=—2或nz=-6（舍去）或7智=2』—4或"2=—26—4（舍去）,

???點尸的坐標為（-2,3）或（2g-4,5百-6）；

（3）解：存在點P,使得NOPD=2NC4O,理由如下：

在x軸負半軸上取點M,使得MC=MA,連接MC,如圖.

設點”的坐標為(〃,0),貝UOA/=f,MC=MA=n+4.

在RtMOC中，O"+OC2=MC2,

(-H)2+22=(w+4)2,

解得〃=一萬,

3

2

MA=MC,

.\ZMAC=ZMCA,

ZCMO=ZMAC+ZM