高考數學一輪復習講義平面向量、復數之平面

向量基本定理及坐標表示

一'知識點講解及規律方法結論總結

1.平面向量基本定理

（1）定理：如果ei，e?是同一平面內的兩個①不共線向量,那么對于這一平面內的任

一向量a,②有且只有一對實數一,%2，使a=4iei+%e2.

（2）基底：若ei，e?③不共線，我們把｛ei，e?｝叫做表示這一平面內所有向量的一個

基底.

注意（1）基底向量ei,e2必須是同一平面內的兩個不共線的向量，零向量不能作為基

底向量；（2）基底給定，同一向量的分解形式唯一.

2.平面向量的坐標表示

（1）把一個向量分解為兩個④互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

（2）平面向量運算的坐標表示

坐標表示

已知a=（xi，yi）,b=（%2，"），則a+4=⑤（即十元2,yi+y2），a-

和（差）

辦二⑥（即一％2，乃一V2）?

數乘已知a=（X1，刀），則Aa=（An，2%）,其中丸是實數.

任一向量

已知A（xi，%）,B（冗2，）2），則彳月二⑦（檢―xi，m―yi）.

的坐標

說明（1）相等向量的坐標相同；（2）向量的坐標與表示該向量的有向線段的端點無

關，只與其相對位置有關.

（3）平面向量共線的坐標表示

如果a=（xi，yi）,b=（%2，＞2），那么a〃?的充要條件為⑧尤/2——丫1=0.

注意的充要條件不能表示成包=左的形式，因為尬，?有可能等于0.

x2y?.

二'基礎題練習

1.下列說法正確的是（B）

A.平面內的任意兩個向量都可以作為一個基底

B.設｛a,6｝是平面內的一個基底，若實數九,fii,B，僅滿足力a+位5=22。+〃25,則刈=

義2，林\=林2

（2.若a=（xi，y\）,b—（%2，,2），則〃〃力的充要條件可以表示成包

x2y?

D.平面向量經過平移后其坐標改變

解析對于A,共線向量不可以作為基底，故A錯誤；對于B,同一向量在給定基底下的

分解是唯一的，B正確；對于C,若b=(0,0),則衛=及無意義，故C錯誤；對于D,

X2V2

平面向量不論經過怎樣的平移，其坐標都不變，故D錯誤.

2.［教材改編］已知M(—2,7),N(10,—2),點尸是線段上的點，且兩=

-2PM,則點P的坐標為(A)

A.(2,4)B.(-14,16)

C.(6,1)D.(2,-11)

解析設P(x,y),則兩=(10—尤，一2—y),PM=(一2—x,7—y),又麗=

-2PM,所以0°久-2(2%)，解得2,所以點尸的坐標為⑵4),故選A.

1―2—y=—2(7—y),ly=4,

3.已知ei，e2不共線，a=ei+2e2,占=2ei+初2，要使｛a，6｝能作為平面內所有向量的一個

基底，則實數力的取值范圍是(一8,4)U(4,+、).

三'知識點例題講解及方法技巧總結

命題點1平面向量基本定理的應用

例1(1)［全國卷I］在△A8C中，為邊上的中線，E為AD的中點，則麗=

(A)

A.-AB--ACB.-AB--AC

4444

C^-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

解析解法一根據向量的運算法則可得，在AABE1中，麗=麗+樂.因為E為的中

點，所以瓦反，在△A3。中，瓦?=麗+瓦彳=礪一刀.因為。為8c的中點，所以礪

三畝在AABC中，荏=屈一元逐步代入，可得而=瓦?+屈嚀病+荏三(DB-

AB)+AB=-(iCB-AB)+AB=-CB+-AB=-(AB-XC)+工通=三屈一三前.故選A.

22424244

解法二由。為8C的中點，得詬=三(荏+左)，由E為的中點，得荏=工通=工

224

(X5+4C).在AABE中，^B=AB-AE=AB--(荏+左)=三荏一工前.故選A.

444

(2)如圖，在直角梯形ABC。中，DC^AB,BE^IEC,且荏=Dc

rAB+sAD,則2r+3s=(C)/

A.lB.2

C.3D.4B

解析根據題圖，由題意可得荏=前+南=荏+|阮=南+|(.BA+AD+DC^=|Z5

+|(Z5+0C)=|Zfi+|(.AD+^AB)=1而+|而.因為族=而+5萬，所以廠=as

=|,所以2r+3s=1+2=3.故選C.

方法技巧

1.應用平面向量基本定理表示向量，實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的

加、減或數乘運算.

2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路：先選擇一個基底，并運用該基底將相關向量

表示出來，再通過向量的運算來解決.

注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在同一基底下的分解是唯一的.

訓練1(1)［2024昆明市模擬］在平行四邊形ABC。中，點T為C￡)的中點，貝U(A)

A^AT=-AB+ADBJf=AB+-AD

22

CAT=-AB+-ADDAT=-AB+-AD

3333

解析因為四邊形ABC。是平行四邊形，所以瓦=荏.因為T為。。的中點，所以罰=

|PC,則方=礪+詞=而+［反=|荏+而，故選A.

(2)［2024廣東省模擬］己知△048中，OC^CA,0D^2DB,與BC相交于點M,0M

=x0A+y0B,則有序數對(尤，y)=(D)

解析如圖，依題意A,M,。三點共線，故前=瓶了，所以而=方

O

+AM^0A+XAD^0A+^(0D-0X)=次+2C-OB-OA')^—0B

33

+(1-/)0A,又C,M,8三點共線，故兩="而，則。羽=反+

?^―-------

CM=0C+/zCB=0C+/z(0B-0C)=(1一〃)~0C+/nOB^^0A+/nOB,所以

3(1

:‘所以麗=三赤+工07,又麗=x01+y而，所以|:‘所

724(『，

以有序數對(尤，j)=3.故選D.

42

命題點2平面向量的坐標運算

例2(1)［全國卷I］已知點A(0,1),B(3,2),向量方=(-4,-3),則向量前

=(A)

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

解析因為屈=(3,2)-(0,1)=(3,1),所以說=萬一通=(-4,-3)-

(3,1)=(-7,-4).故選A.

(2)已知向量a,b,c在正方形網格中的位置如圖所示，以a,為基底，則(C)

A.c=-2a-\-3bB.c=-3〃+2)

C.c=3a-2bD.c=2a—3b

解析建立如圖所示的平面直角坐標系，則a=(1,1),b=

(—2,3),c=(7,—3).設c=xa+y方，貝'解得

1%+3y=—3,

x=3,,L

故。=3。一2無故選C.

?=-2,

方法技巧

1.利用向量的坐標運算解題，主要是利用加法、減法、數乘運算法則，根據“兩個向量相等

當且僅當它們的坐標對應相等”這一原則，化歸為方程(組)進行求解.

2.向量的坐標表示使向量運算代數化，成為數與形結合的載體，可以使很多幾何問題的解

答轉化為我們熟知的數量運算.

訓練2(1)如圖，在直角梯形A5CD中，AB//DC,ADLDC,AD=DC=2AB,E為AD

的中點，若而+〃礪(九〃￡R),則2+〃的值為(B)

A.-B.-

55

p

C.2D.-

3

解析建立如圖所示的平面直角坐標系，則。(0,0).不妨設AB=1,則

CD=AD=2,：.C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),：.CA=

(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2),VG4=2CE+/zOB,

(-2,2)=/(-2,1)+〃(1,2),2'+"—―2'解得ff

+2〃=2,(4=屋

故2+//=|,

(2)已知平面上的三個點A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),若A,B,C,。四

點能構成平行四邊形，則點D的坐標為(2,2)或(4,6)或(一6,0).

解析由四邊形A3。為平行四邊形，得近=虎，可解得。(2,2).

由四邊形ABOC為平行四邊形，得荏=而，可解得。(4,6).

由四邊形AZJ8C為平行四邊形，得同=方，可解得。(-6,0).

因此，使A,B,C,。四點構成平行四邊形的點。的坐標為(2,2)或(4,6)或

(―6,0).

命題點3向量共線的坐標表示

例3(1)[2021全國卷乙]已知向量。=(2,5),b=(九4),若則2=[.

解析因為a〃b,所以2x4—52=0,解得4=1.

(2)已知點。(0,0),A(0,5),B(4,3),OC=-OA,OD=-OB,4。與8C交于

42

點、M,則點M的坐標為(苫，2).

解析由已知可得點C(0,9)，點。(2,-).因為A,M,。三點共線，所以前與麗共

42

---->>77

線，設M的坐標為(x,y),則4M=G,廠5),又(2,一；),所以一夕一2。

-5)=0,即7x+4y=20.因為C,M,8三點共線，所以兩與方共線，又兩=(無，y—

-),CB=(4,-),所以4—4(y--)=0,即7x—16y=—20.由+-2°'得

444-4(7x—16y=—20,

_12

X=--，1O

7所以點M的坐標為(工，2).

)=2，

方法技巧

平面向量共線問題的解題策略

(1)若a=(尤1,ji),b—(尤2,>2),則。〃5—1"一％2以=0.

(2)若a//b(屏0),則a=Xb.

1

訓練3(1)[2023貴州省聯考]已知尸(3,2),P2(9,11),P(5,y),可=4呢,

則y與2的值分別為(D)

131

A.y=8,丸=2Bj=y,2三

C.Jy=—4,A=2-D.yJ=5,A=-2

解析因為尸i(3,2),尸2(9,11),P(5,y),所以9=(2,y—2),PP^=(4,

11—y),由9=%配，得(2,y—2)=A(4,11—y)=(4九112一心)，所以

P=4A，解得P"故選D.

ly—2=11A—Ay,(y=5.

(2)設0Ve<]向量Q=(sin2acos9),b=(cos0,1),若allb,則tan<9=_

1

2—?

解析\*a//b,Asin23=cos23,

2sin8cos0=cos2ft

(0,-),

2

..1

??2sin0=cos0,tan0=~.

2

提升思維快速解題

奔馳定理

例4[2023江蘇南京三模]如圖，。是AABC內一點，且耐+加+2擊=0,

則S"BC=4.

SAAOC-%

解析解法一取A8的中點。，連接。。，則彷4(0^4+05),又瓦?+赤+2?=

0,所以而=一。乙即。為CQ的中點.

又。為AB的中點，所以品AOC=；SAADC=^S^ABC,故受匹=4.

N4、RAOC

解法二OA+OB+2OC=0,則由奔馳定理得義理=上里=4.

S^AOC1

方法技巧

奔馳定理：尸為△ABC內一點，貝[Sr園+SB?麗+Sc?無=0,其中St,SB,Sc分別是

△BPC,ACPA,AAPB的面積.

證明過程如下.

延長AP交邊8c于點。，如圖所示.

用S表示△ABC的面積，則S=SA+SB+SC,用歷表示△8PC的邊3C

上的高，用Zz表示△A5C的邊3。上的高.M-,r-

貝]jPQ_九I_[BC?1i_s。4P_AQ_PQ_]_PQ_]_S[_SB+SC所以

、」AQh^BC-hS'AQAQAQSS'S

用后表示△CPA的邊AP上的高，用力3表示△APB的邊AP上的高.

則*=『=瀉所以而=占海+/丁次，則存=*與+占前，

BQ九3ScSB-TSCSB十SC5'

即S?而=SB?(麗一麗)+Sc-(PC-PA),所以St?西+SB?麗+Sc?麗=0.

訓練4[2023江蘇蘇州市第六中學三模]已知0是^ABC內一點，滿足布+2而+=

0,且包g=3,則小=(C)

S&ABC7

A.2B.3C.4D.5

解析解法一由瓦?+2礪+優瓦=0,得一g反=]瓦5+|礪，令麗=—段反，則說

^-0A+-0B,所以A,B,M三點共線，所以①磔=31=』-==解得加=4.

33S&ABCI0CI771+37

解法二由奔馳定理得SABOC,0A~\~S^AOC'0B~\~S^AOB,OC=0,又②？+2赤+相擊=0,所

以SABOC:SAAOC:S"OB=1：2：m,所以學=招上=：,解得m=4.

S^ABC1+2+m7

四'命題點習題講解

1.［命題點1］如圖是由等邊三角形A/E和等邊三角形KGC構成的六角星，

圖中的8,D,F,H,J,L均為對應線段的三等分點，兩個等邊三角形的''一

中心均為O.若成=〃而？+:而，貝產=(B)

A.iB.-

23

C.-D.l

4

解析因為等邊三角形A/E和等邊三角形KGC的中心均為。，所以“，

yk

O,8三點共線，J,0,。三點共線.如圖，連接H8,OD,則四邊形、../,

AJHB,80DC都是平行四邊形，且點、。為HB,的中點.瓦?=加+笈=

一一一一——，

OJ+1TB^OJ+2OB,又方=反=麗+反=次+反，所以切+2而=司

+2(.OC+OJ')^2OC+3OJ,即Ul=2瓦+3次，又近=i麻+麗,所以根=2,”=3,

七乙，、？7712

所kZ—=-.

n3

2.［命題點2/多選］已知向量ei=(-1,2),62—(2,1),若向量。=；1通1+2202，則使

刈彳2<0成立的。可能是(AC)

A.(1,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)

解析因為ei=(―1,2),ei—(.2,1),所以向量a=/Uei+?l2e2=(一九，2加)+

(2%,石)=(2^2—九，221+^2).當a=(1,0)時，2九+九2=。，滿足題意；當a=

(0,1)時，2七一/U=0,不滿足題意；當a=(-1,0)時，2/U+/l2=0,滿足題意；當,

=(0,-1)時，242—21=0,不滿足題意.

3.［命題點2］在矩形ABC。中，48=3,AD=4,尸是以點C為圓心，2為半徑的圓上的動

點.設點=幾屈+〃而，則什〃的最小值為(B)

7

A.lB二

6

p

C.2D.-

3

解析如圖，以點A為原點，以A3和AZ)所在直線分別為x軸

和y軸，建立平面直角坐標系，則A(0,0),B(3,0),

D(0,4),圓。的方程為(x—3)2+(y—4)2=4.

n.11

因為點P在圓。上，所以可設點尸的坐標為(2cos8+3,2sin0+

4),又而=2荏+〃而，所以(2cos0+3,2sin0+4)=4(3,「：

、?(2cos。+3=3A,“,

0)+〃(0,4)=(3/1,4〃x)，m所以/+〃=

(2sin6+4=4/1,

-cos0+-sin^+2=-sin(6+9)+2>-(其中tan,=2).故選B.

32663

4.［命題點3］已知向量。=(1,x),b=(y,1),尤>0,y>0.^a//b,則等的最大值為

A)

A.|B.lC.V2D.2

解析a//b^>xy=\,所以y==又x>0,y>0,所以丹-=一一^=工，當且僅當

，

Xx+yx+yx+-2\i2

qx

x=-,即％=1時取等號，所以丹-的最大值為士

xx+y2

五'習題實戰演練

“2024山東荷澤模擬］設｛ei，ez｝為平面內的一個基底，則下面四組向量中不能作為基底的

是(C)

A.ei+e2和ei——€2B.4ei+2e2和2改——4幻

C.2ei+e2和D.ei—2c2和4e2+2^1

解析平面向量的基底由兩個不共線的非零向量組成，選項C中，20+/=2(ci+

/2),即2ei+e2和ei+*2為共線向量，所以它們不能作為基底，故選C.

2.［2024河南商丘期末］已知點A(8,-1),B(1,—3),若點C(2機一1,加+2)與

A,3共線，則實數根=(C)

A.-12B.13C.-13D.12

解析因為點C與A,2共線，且屈=(一7,一2)，左=(2加一9,根+3)，故”=

—,所以根=一13.故選C.

3.[2023山東省實驗中學開學考試]已知向量.=(2,-3),b=(m,1),若Ia+2Z>I

=Ia~2bI,則m=(A)

AA-3CD

2-1--l

解析由a=(2,—3),b—(機，1),可得a+2Z>=(2+2%,—1),a—2b=(2—

2m,-5),又Ia+2b\=Ia~2bI,所以Ia+2bI2=Ia~2bI2,(2+2m)2+l

=(2—2m)2+25,解得m=|,故選A.

4.[2023河北石家莊質檢]AABC中，點M是BC的中點，點、N為AB上一點,AM與CN交

于點。，且而=：前，AN=AAB,貝iU=(A)

Ac.-4D

-i5i

解析如圖，因為點M是2C的中點，所以而=：前=沔(ZB+ZC)

=|(.AB+AC).因為N,D,C三點共線，所以而=〃而+(1—〃)

AN,又麗=/1屈，所以|(XB+ZC)=〃前+(1—〃)AAB,由平面向

_2

~=4，〃=工，

量基本定理可知?1解得4/故選A.

-=(1一〃)A,A=-

、5,3f

5.在平面直角坐標系xOy中，己知A(1,0),B(0,1),點C在第二象限內，NAOC=

”，且IOCI=2,若灰=而1+〃而，則九〃的值分別是(D)

A.V3,1B.l,V3C.-l,V3D.-V3,1

解析設C(x,y),：點C在第二象限，且/AOC=巴，IOCI=2,

=|OCI-cos—=—V3,y=IOCI-sin—=1,

：.C(-V3,1),.\0C=(-V3,1).

又：泥=拓1+〃甌；.(-V3,1)=2(1,0)+〃(0,1),

即(一V3,1)—(.A,/z),—y/3,—

6.［多選］已知等邊三角形ABC內接于。。，。為線段。4的中點，E為BC的中點，則麗=

(AC)

A.-BA+-JCB.-BA--BC

3636

C1A+-AED.-BA+-AE

333

解析BD=BA+AD=BA+^AE=BA^(布+而)=雨甘雨+/前=|0+［就.

33236

故選AC.

7.［多選］已知向量02=(1,-3),0B=(2,-1),0C=(m,m—2),若連接AB,

BC,AC能構成三角形，則實數小的值可以是(ACD)

A.-2B.3

D.-l

解析由題知，AB=OB—0A=(2,—1)—(1,-3)=(1,2),AC=OC~OA=

(m,m-2)—(1,13)=(m-1,m+1).假設A,B,C三點共線，則lx(m+1)-

2(771-1)=0,即機=3.所以若連接A8,BC,AC能構成三角形，貝U機力3.故選ACD.

8.［2024河南信陽模擬］已知兩點A(3,-2)和8(—5,—1),點尸滿足而三荏，則點

P的坐標為(一1,一1.

解析解法一設點尸的坐標為(尤，y),由布三荏，得(無一3,y+2)=|(—8,

1).

%-3=~4,x=一］

所以1解得?3’所以點尸的坐標為(-1,--).

b+2=7,——2

2,

解法二由布=/南，得尸為45的中點，則由中點坐標公式得，點尸的坐標為(”,

二F),即(-1,-1)-

9.在△ABC中，點、M,N滿足前=2疵，前=祝.若麗=x^+y前，則尤=1,j=_

_1

-6—?

解析由題意得標=流+而=工前+工荏=三前+乙(Zfi-Ic)^-AB--AC^XAB+

323226

y^c,所以尤=?,y=~l-

10.如圖，在平行四邊形ABC。中，E,尸分別為邊A8,8c的中點，連接CE,DF,交于點

G.若德=標+〃而(九蚱R),貝哈

------f.

/

解析由題圖可設出=屋(尤>0),則方=x(CB+BE)=x(CB+|C5)=:而+

n5.因為德=2而+〃方，而與荏不共線，所以4a〃=%,所以q=|.

11J2023陜西安康一模］已知。是△ABC內一點，2方+3麗+山泥=0,若AAOB與

△ABC的面積的比值為:則實數機的值為(D)

A.--B.-C.--D.-

3333

解析解法一由26<+3標=—機而得|瓦礪=—￡反，設一三反

=彷，則麗=|瓦1+|赤，則A,B,。三點共線，如圖所示，：灰與

而反向共線,,IODIm.IODIm?S^AOB\OP\

'9\OC\5'**ICDIm+5JSxABCICDI

去W，解得片拿故選D.

解法二u：2dA+3OB+mOC=0,工由奔馳定理(。為△ABC內一點，則&BOC?畫+

SAAOC'OB+SAAOB,OC-O)

可知SABOC:SAAOC:SAAOB=2：3：...SAAOB：SAABC=^I:(2+3+m),———=

2+3+m

:,解得機=g,故選D.

12.［與基本不等式交匯］在正方形ABC。中，。為