2024年福建中考數學試題及答案

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合要求的.

1.下列實數中，無理數是（）

A.-3B.0C.1D.45

2.據《人民日報》3月12日電，世界知識產權組織近日公布數據顯示，2023年，全球PCT

（《專利合作條約》）國際專利申請總量為27.26萬件，中國申請量為69610件，是申請量最

大的來源國.數據69610用科學記數法表示為（）

A.6961x10B.696.1X102C.6.961xlO4D.0.6961xlO5

3.如圖是由長方體和圓柱組成的幾何體，其俯視圖是（）

主視方向

D.

4.在同一平面內，將直尺、含30。角的三角尺和木工角尺（SLOE）按如圖方式擺放,

若ABHCD,則N1的大小為（）

C.60°D.75°

5.下列運算正確的是（)

A.a3-a3=a9B.<74^a2=a2C.（/）=a5D.2a2-a2=2

6.哥德巴赫提出“每個大于2的偶數都可以表示為兩個質數之和”的猜想，我國數學家陳

景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.在質數2,3,5中，隨機選取兩個不

同的數，其和是偶數的概率是（）

A.-B.-C.1D.-

4323

7.如圖，已知點48在。。上，ZAOB=72°,直線MN與。。相切，切點為C,且C為AB

的中點，則NACM等于（）

A.18°B.30°C.36°D.72°

8.今年我國國民經濟開局良好，市場銷售穩定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消

費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長4.7%,求去年第一季度社會消費品零售總

額.若將去年第一季度社會消費品零售總額設為x億元，則符合題意的方程是（）

A.(1+4.7%)x=120327B.(1-4.7%)%=120327

Xx

C.=120327D.--------=120327

1+4.7%1-4.7%

9.小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案.如圖，其中鉆與

△ODC都是等腰三角形，且它們關于直線/對稱，點￡,尸分別是底邊的中點,

OELOF.下列推斷錯誤的是（）

A.OB.LODB.ZBOC=ZAOB

C.OE=OFD.ZBOC+ZAOD=180°

10.已知二次函數y=d-2分+。（0工0）的圖象經過B（3a,%）兩點，則下列判斷

正確的是（）

A.可以找到一個實數。，使得％＞“B.無論實數。取什么值，都有%＞。

C.可以找到一個實數。，使得〉2＜。D.無論實數。取什么值，都有％＜。

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.

11.因式分解：x+x=.

12.不等式3x-2＜l的解集是.

13.學校為了解學生的安全防范意識，隨機抽取了12名學生進行相關知識測試，將測試成

績整理得到如圖所示的條形統計圖，則這12名學生測試成績的中位數是.（單位：分）

個人數

3

2

80859095100成績/分

14.如圖，正方形ABCD的面積為4,點E,F,G,H分別為邊A3,BC,CD,的

中點，則四邊形EFG”的面積為.

AHD

BFC

15.如圖，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數y=七的圖象與。。交于兩點，且點A,8

都在第一象限.若A。,2）,則點8的坐標為

16.無動力帆船是借助風力前行的.下圖是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知帆船航行

方向與風向所在直線的夾角為70。，帆與航行方向的夾角為30。，風對帆的作

用力廠為400N.根據物理知識，產可以分解為兩個力月與E，其中與帆平行的力尸?不起

作用，與帆垂直的力心儀可以分解為兩個力力與人,力與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；

力與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力.在物理學上常用線段的長度表示力的大

小，據此，建立數學模型：F=AD=400,則上=8=.（單位：N）（參考數據：

sin40°=0.64,cos40°=0.77）

三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.計算：（-1）°+1-5|--\/4.

18.如圖，在菱形中，點E、R分別在8C、CD邊上，=求證：3E=D尸.

20.已知A、B兩地都只有甲、乙兩類普通高中學校.在一次普通高中學業水平考試中，A

地甲類學校有考生3000人，數學平均分為90分：乙類學校有考生2000人，數學平均分為

80分.

(1)求A地考生的數學平均分；

(2)若B地甲類學校數學平均分為94分，乙類學校數學平均分為82分，據此，能否判斷B

地考生數學平均分一定比A地考生數學平均分高？若能，請給予證明：若不能，請舉例說明.

21.如圖，己知二次函數y=/+fex+c的圖象與x軸交于兩點，與y軸交于點C,其中

A（-2,0）,C（0,-2）.

⑴求二次函數的表達式；

⑵若P是二次函數圖象上的一點，且點P在第二象限，線段PC交x軸于點汨的面

積是△CC?的面積的2倍，求點尸的坐標.

22.如圖,已知直線:〃和

___________________________/1

___________________________￡2

(1)在44所在的平面內求作直線/，使得/〃4〃4,且/與4間的距離恰好等于/與4間的距

離；(要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，若乙與4間的距離為2,點A,B,C分別在上，且A/RC為等腰直

角三角形，求AABC的面積.

、bc

23.已知實數GW滿足3根+〃=—,nm=—.

aa

⑴求證：/-12〃c為非負數;

(2)若a,6,c均為奇數，以〃是否可以都為整數？說明你的理由.

24.在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙A8CD,要求大家利用它制作一個

底面為正方形的禮品盒.小明按照圖2的方式裁剪(其中恰好得到紙盒的展開

圖，并利用該展開圖折成一個禮品盒，如圖3所示.

圖

1

圖

2圖

3

AP)

(1)直接寫出黑的值；

AB

(2)如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，

那么應選擇的紙盒展開圖圖樣是()

圖4

⑶

卡紙型號型號I型號n型號ni

規格（單位：cm）30x4020x8080x80

單價（單位：元）3520

現以小明設計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當調整AE,防的比例，制作棱長為10cm

的正方體禮品盒，如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型

號及相應型號卡紙的張數），并在卡紙上畫出設計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒,

其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費用.

（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設計方案；②沒有用

到的卡紙，不要在該型號的卡紙上作任何設計；③所用卡紙的數量及總費用直接填在答題卡

的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分，總費用

最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）

型號ni

25.如圖，在"RC中，/BAC=90o,AB=AC,以A3為直徑的。。交于點D,AELOC,

垂足為E,BE的延長線交AZ）于點/.

⑴求不■的值；

AE

(2)求證：AAEB^ABEC；

(3)求證：AD與EF互相平分.

1.D

【分析】無理數就是無限不循環小數，理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念,

有理數是整數與分數的統稱.即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無

理數，由此即可判定選擇項.

本題主要考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：%,2萬等；開方開不盡的

數；以及像0.1010010001.…，等數.

【詳解】根據無理數的定義可得：無理數是有

故選：D.

2.C

【分析】根據科學記數法的定義解答，科學記數法的表示形式為。xio”的形式，其中

“|＜10,“為整數，確定〃的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，〃的絕

對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值＞1時，〃是正數；當原數的絕對值＜1時，n

是負數.

本題考查了科學記數法，熟悉科學記數法概念是解題的關鍵.

【詳解】69610=6.961xlO4

故選：C.

3.C

【分析】本題考查了簡單組合體的三視圖，根據從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案.

【詳解】解：這個立體圖形的俯視圖是一個圓形，圓形內部中間是一個長方形.

故選：C.

4.A

【分析】本題考查了平行線的性質，由可得NS3=60。，即可求解.

【詳解】AB//CD,

：.ZCDB=60°,

CD1.DE,則/CDE=90。，

Z1=180°-ZCDB-NCDE=30°,

故選：A.

5.B

【分析】本題考查了同底數累的乘法，同底數哥的除法，募的乘方，合并同類項，解題的關

鍵是掌握同底數塞的乘法，同底數基的除法，暴的乘方，合并同類項運算法則.

利用同底數幕的乘法，同底數塞的除法，幕的乘方，合并同類項計算后判斷正誤.

【詳解】解：a3-a3=a6,A選項錯誤；

/+/=/,B選項正確；

(/『=/,c選項錯誤;

2a2一/=/,D選項錯誤；

故選：B.

6.B

【分析】此題考查了樹狀圖或列表法求概率，根據題意畫出樹狀圖，求和后利用概率公式計

算即可.

【詳解】解：畫樹狀圖如下：

開始

和575878

由樹狀圖可知，共有6種不同情況，和是偶數的共有2種情況，故和是偶數的概率是

2_￡

6-3,

故選：B

7.A

【分析】本題考查了切線的性質，三角形內角和以及等腰三角形的性質，根據。為矗的中

點，三角形內角和可求出NOC4=gx(180。-36。)=72。，再根據切線的性質即可求解.

【詳解】：NAO3=72。，C為AB的中點，

ZAOC=36°

'：OA=OC

：.ZOCA=；x(180。-36°)=72°

?.?直線MN與。O相切,

???ZOCM=90°,

.??ZACM=ZOCM-ZOCA=18°

故選：A.

8.A

【分析】本題主要考查了列一元一次方程，解題的關鍵是理解題意，找出等量關系，根據今

年第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長4.7%,列出方程即可.

【詳解】解：將去年第一季度社會消費品零售總額設為1億元，根據題意得：

(1+4.7%卜=120327,

故選：A.

9.B

【分析】本題考查了對稱的性質，等腰三角形的性質等；

A.由對稱的性質得=由等腰三角形的性質得NBOE=g/AOB,

ZDOF=~ZDOC,即可判斷；

2

B./30C不一定等于—493,即可判斷；

C.由對稱的性質得AOR絲AODC,由全等三角形的性質即可判斷；

D.過。作GM_LO〃，可得ZGOD=ZBOH,由對稱性質得230"=/CO〃同理可證

ZAOM=ZBOH,即可判斷；

掌握軸對稱的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：A.???OEYOF,

.-.ZBOE+ZBOF=90°,

由對稱得ZAOB=ZDOC,

,??點E,尸分別是底邊。的中點，AQ鉆與AODC都是等腰三角形，

ZBOE=-ZAOB,NDOF=-NDOC,

22

ZBOF+ZDOF=90°,

:.OBLOD,結論正確，故不符合題意；

B./30c不一定等于-AC?,結論錯誤，故符合題意；

C.由對稱得AOAB沿AODC,

:點E,尸分別是底邊AB,CD的中點，

OE=OF,結論正確，故不符合題意;

過。作GA/_LO”,

ZGOD+ZDOH=90°,

?;NBOH+NDOH=90。,

ZGOD=ZBOH,由對稱得ZBOH=ZCOH,

:.ZGOD=ZCOH,

同理可證NAQ0=ZBOH,

ZAOD+ZBOC=ZAOD+ZAOM+ZDOG=180。，結論正確，故不符合題意；

故選：B.

10.C

【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，根據題意得到二次函數開口向上，且對稱軸為

x=-^-=a,頂點坐標為（。,。一4），再分情況討論，當時，當a<0時，％,%的

大小情況，即可解題.

【詳解】解：,??二次函數解析式為丁=/一26+。（“工0）,

，二次函數開口向上，且對稱軸為X=--^=￡7,頂點坐標為（a,。-"）,

、［/aG~232

當X=-p\f，y=-----CL+。=。---CL,

2刀y44

當〃>0時，0<g<〃，

2

a>y1>a-a,

當〃v0時，a<—<0,

2

/.a—a<yx<a,

故A、B錯誤，不符合題意；

??,當〃>0時，0<a<2a<3〃，

由二次函數對稱性可知，y2>a>o,

當a<0時，3a<2a<a<0,由二次函數對稱性可知，%>“，不一定大于0,

故C正確符合題意；D錯誤，不符合題意；

故選：C.

11.x(x+l)

【分析】要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則

把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續分

解因式.因此，直接提取公因式x即可.

【詳解】解：x2+x=x(x+l)

12.x<l

【分析】本題考查的是解一元一次不等式，通過移項，未知數系數化為1,求解即可解.

【詳解】解：3x-2<l,

3元<3,

x<l,

故答案為：X<1.

13.90

【分析】本題考查了中位數的知識，解題的關鍵是了解中位數的求法，難度不大.

根據中位數的定義(數據個數為偶數時，排序后，位于中間位置的數為中位數)，結合圖中

的數據進行計算即可；

【詳解】解：???共有12個數，

中位數是第6和7個數的平均數，

.??中位數是(9。+90)+2=9。；

故答案為：90.

14.2

【分析】本題考查正方形性質，線段中點的性質，根據正方形性質和線段中點的性質得到

HD=DG=1,進而得到S“DGH，同理可得S.AHE=S.B=S.CGF=1，最后利用四邊形EFGH

的面積=正方形A3CD的面積T個小三角形面積求解，即可解題.

【詳解】解：,??正方形ABCD的面積為4,

:.AB=BC=CD=AD=2,?D90?,

???點￡,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,AD的中點,

，HD=DG=I,

SQGH=5*卜1=5，

同理可得S4AHE=S回8=S&CGF=/,

四邊形EFGH的面積為=

2222

故答案為：2.

15.(2,1)

【分析】本題考查了反比例函數的性質以及勾股定理，完全平方公式的應用，先根據A(l,2)

得出％=2,設網”，加)，貝京”=左=2,結合完全平方公式的變形與應用得出

9

,77+—=3,/712-3777+2=(777-1)(/77-2)=0,結合A(l,2),則以2,1),即可作答.

m

【詳解】解：如圖：連接OAOB

??,反比例函數y=:的圖象與。。交于兩點，且4(1,2)

/.2——9k=2

1

設ni),貝1］收=左=2

?OB=OA=A/22+12=-y/5

m2+n2=(A/5j=5

則(m+n)2=機？+/+2mn=5+4=9

???點5在第一象限

m+n=3

2

把nm=k=2代入得m-\—=3,m2—3m+2=（777—1）（,71—2）=0

m

ml=1,m2=2

經檢驗：叫=1，叱=2都是原方程的解

:A（l,2）

/.3（2,1）

故答案為：（2,1）

16.128

［分析］此題考查了解直角三角形的應用，求出^ADQ=40°,Zl=ZPDQ=30。，由AB〃QD

得到/BAD=ZADQ=40。，求出￡=3。=sinABAD=256,求出ZBDC=90°-Zl=60°

在RtA^CD中，根據上=CD=BO-cos/BOC即可求出答案.

【詳解】解：如圖，

航行方向

帆

6

,/帆船航行方向與風向所在直線的夾角/PDA為70。,帆與航行方向的夾角NPDQ為30。,

ZADQ=ZPDA-ZPDQ=70°-30°=40°,Nl=ZPDQ=30°,

AB//QD,

：.ZBAD=ZADQ=40°,

在RtZXABO中，F=AD=400,?ABD90?,

/.F2=BD=AD-sinZBAD=400xsin40°=400x0.64=256,

由題意可知，BD，DQ,

：.ZBDC+Z1=9O°,

ZBDC=90°-Zl=60°

在RUBCD中，BD=256,NBCD=9?！?

，f2=CD=BD-cosZBDC=256xcos60°=256x^=128,

故答案為：128

17.4

【分析】本題考查零指數幕、絕對值、算術平方根等基礎知識，熟練掌握運算法則是解題的

關鍵.

根據零指數幕、絕對值、算術平方根分別計算即可；

【詳解】解：原式=1+5—2=4.

18.見解析

【分析】本題考查菱形的性質、全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性

質是解答的關鍵.根據菱形的性質證得=ZB=ZD,再根據全等三角形的判定證

明△ABE絲zXAD產（AAS）即可.

【詳解】證明：??,四邊形ABCD是菱形，

:.AB=AD,ZB=ZD,

ZAEB=ZAFD,

（AAS）,

:.BE=DF.

19.x=10.

【分析】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟和方法，將分式方程化為整式方程求

解，即可解題.

方程兩邊都乘（x+2）（x—2）,得3（%—2）+（尤+2）（尤—2）=尤（尤+2）.

去括號得：3X-6+X2-4=X2+2X,

解得x=10.

經檢驗，x=10是原方程的根.

20.（1）86；

⑵不能，舉例見解析.

【分析】本小題考查加權平均數等基礎知識,

(1)根據平均數的概念求解即可;

(2)根據平均數的意義求解即可.

【詳解】(1)由題意，得A地考生的數學平均分為康x(90x3000+80x2000)=86.

(2)不能.

舉例如下：如B地甲類學校有考生1000人，乙類學校有考生3000人，則B地考生的數學平

均分為

1

x(94x1000+82x3000)=85

4000

因為85<86,

所以不能判斷B地考生數學平均分一定比A地考生數學平均分高.

21.(1)y=x2+無一2

(2)(-3,4)

【分析】本題考查二次函數表達式、二次函數的圖象與性質、二元一次方程組、一元二次方

程、三角形面積等基礎知識，考查運算能力、推理能力、幾何直觀等.

(1)根據待定系數法求解即可；

(2)設尸(小,“)，因為點P在第二象限，所以相依題意，得白迦=2,即可得

、△CDB

出而=2,求出〃=2CO=4,由機2+根-2=4,求出加，即可求出點尸的坐標.

【詳解】⑴解：將4(-2,0),C(0,-2)代入＞=口+法+c,

得[4[—2一b+c=0

b=l

解得

c=-2f

所以，二次函數的表達式為y=—+x-2.

(2)設P的M，因為點尸在第二象限，所以機＜0,〃＞0.

q—BD,〃

依題意，得*皿=2,即f---------=2,所以W=2.

、叢CDB-BDCOCU

2

由已知，得CO=2,

所以〃=2CO=4.

由由+771-2=4，

解得嗎=-3,咫=2(舍去),

所以點尸坐標為(-3,4).

22.(1)見解析；

(2)AABC的面積為1或Q.

【分析】本題主要考查基本作圖，平行線的性質，全等三角形的判定，勾股定理以及分類討

論思想：

(1)先作出與右的垂線，再作出夾在間垂線段的垂直平分線即可;

(2)分N54c=90。,=AC；ZABC=90°,BA=BC；/4。8=90。,。4=。3三種情況，結

合三角形面積公式求解即可

【詳解】(1)解：如圖，

直線/就是所求作的直線.

(2)0ZBAC=90°,AB=AC^,

■.■ll/ljlk，直線4與4間的距離為2,且/與乙間的距離等于/與4間的距離，根據圖形的對

稱性可知：BC=2,

AB=AC=-y/2,

■■■SIA__i/AADBLC^-AB-AC=1.

②當ZABC=90。,A4=3。時，

分別過點AC作直線4的垂線，垂足為M,N,

:.ZAMB=ZBNC=90°.

???/〃/1〃，2,直線4與4間的距離為2,且/與4間的距離等于/與，2間的距離,

:.CN=2,AM=\.

-.-ZMAB-^ZABM=90°fZNBC+ZABM=90。,

:.ZMAB=ZNBC,:.AAMB學ABNC,

:.BM=CN=2.

在中，由勾股定理得AB?=4⑺+9〃,

/.AB=y/5.

S4Z-AA/BiDeC=—2AB,BC=—2.

23.(1)證明見解析；

(2)相，力不可能都為整數，理由見解析.

【分析】本小題考查整式的運算、因式分解、等式的性質等基礎知識：考查運算能力、推理

能力、創新意識等，以及綜合應用所學知識分析、解決問題的能力.

(1)根據題意得出6=。(3機+”),c=amn,進而計算廿一口砒，根據非負數的性質，即可求

解；

(2)分情況討論，①孤〃都為奇數；②“”為整數，且其中至少有一個為偶數，根據奇偶

數的性質結合已知條件分析即可.

hc

【詳解】(1)解：因為3根+〃=一，相〃=—,

aa

所以b=a(3機=.

貝ljZ?2—12ac=[a(3m+M)]2—A^lc^mn

=a1(9m2+6mn+/)—126/2mn

=a2(9m2—6mn+n2)

=dt2(3m-n)2.

因為a,辦幾是實數，所以"(3m—

所以廿-12的為非負數.

(2)機，〃不可能都為整數.

理由如下：若八〃都為整數，其可能情況有：①相/都為奇數；②加，〃為整數，且其中至少

有一個為偶數.

①當W都為奇數時，貝lj3m+〃必為偶數.

b

又3根+〃=—,所以6=a(3，”+”).

a

因為。為奇數，所以。(3〃?+")必為偶數，這與匕為奇數矛盾.

②當為整數，且其中至少有一個為偶數時，貝IJ必為偶數.

又因為所以c=a〃"z.

a

因為。為奇數，所以。加必為偶數，這與。為奇數矛盾.

綜上所述，，%〃不可能都為整數.

24.(1)2；

⑵C；

(3)見解析.

【分析】本題考查了幾何體的展開與折疊，空間觀念、推理能力、模型觀念、創新意識等知

識，掌握相關知識是解題的關鍵.

(1)由折疊和題意可知，GH=AE+FB,AH=DH,四邊形E/WM是正方形，得到

EM=EF,即AG=EF,即可求解；

(2)根據幾何體的展開圖即可求解；

(3)由題意可得，每張型號ni卡紙可制作10個正方體，每張型號II卡紙可制作2個正方

體，每張型號I卡紙可制作1個正方體，即可求解.

【詳解】(1)解：如圖：

由折疊和題意可知，GH=AE+FB,AH=DH,

?..四邊形EFNM是正方形，

:.EM=EF,BPAG=EF,

：.GH+AG^AE+FB+EF,即=

*.?AH=DH,

.ADAH+DHc

??--=--------------=2,

ABAB

.AD,,小、i

??~~r的值為：2.

AB

(2)解：根據幾何體的展開圖可知，“吉”和“如”在對應面上，“祥”和“意”在對應

面上，而對應面上的字中間相隔一個幾何圖形，且字體相反，

；.C選項符合題意，

故選：C.

（3）解:

卡紙型號型號I型號n型號m

需卡紙的數量（單位：張）132

所用卡紙總費用（單位：元）58

根據（1）和題意可得：卡紙每格的邊長為5cm,則要制作一個邊長為10cm的正方體的展開

圖形為：

型號HI卡紙，每張卡紙可制作10個正方體，如圖:

型號I卡紙，每張這樣的卡紙可制作1個正方體，如圖:

可選擇型號in卡紙2張，型號II卡紙3張，型號I卡紙1張，則

10x2+2x3+1x1=27(個),

所用卡紙總費用為:

20x2+5x3+3x1=58(元).

25.(l)y

(2)證明見解析

(3)證明見解析

Ar

【分析】(1)先證