2025屆吉林省長春市第150中學高一數學第一學期期末檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列函數中既是偶函數，又在上單調遞增的是（）A B.C. D.2．在空間直角坐標系中，點在軸上，且點到點與點的距離相等，則點坐標為（）A. B.C. D.3．下列不等關系中正確的是（）A. B.C. D.4．函數f（x）=-x＋tanx（＜x＜）的圖象大致為（）A. B.C. D.5．若都是銳角，且，，則A. B.C.或 D.或6．設一個半徑為r的球的球心為空間直角坐標系的原點O，球面上有兩個點A，B，其坐標分別為（1，2，2），（2，-2，1），則（）A. B.C. D.7．在平面直角坐標系中，大小為的角始邊與軸非負半軸重合，頂點與原點O重合，其終邊與圓心在原點，半徑為3的圓相交于一點P，點Q坐標為，則的面積為（）A. B.C. D.28．已知，若，則m的值為（）A.1 B.C.2 D.49．已知集合，則（）A. B.C. D.10．函數的零點所在區間是（）A.（0，1） B.（1，2）C.（2，3） D.（3，+∞）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數的圖像恒過定點，則的坐標為_____________.12．已知P為△ABC所在平面外一點，且PA，PB，PC兩兩垂直，則下列命題：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC，其中正確命題的個數是________13．不等式的解集為，則的取值范圍是_________.14．已知集合M={3，m+1}，4∈M，則實數m的值為______15．已知函數=，若對任意的都有成立，則實數的取值范圍是______16．點關于直線的對稱點的坐標為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數是定義在R上的奇函數，當時，（Ⅰ）求函數在R上的解析式；（Ⅱ）若，函數，是否存在實數m使得的最小值為，若存在，求m的值；若不存在，請說明理由18．如圖，已知正三棱柱的底面邊長為2，側棱長為，點E在側棱上，點F在側棱上，且（1）求證：；（2）求二面角的大小19．已知不過第二象限的直線l：ax-y-4=0與圓x2+（y-1）2=5相切（1）求直線l的方程；（2）若直線l1過點（3，-1）且與直線l平行，直線l2與直線l1關于直線y=1對稱，求直線l2的方程20．已知函數（，且）.（1）求的值，并證明不是奇函數；（2）若，其中e是自然對數的底數，證明：存在不為0的零點，并求.注：設x為實數，表示不超過x的最大整數.參考數據：，，，.21．已知函數，設.（1）證明：若，則；（2）若，滿足，求實數m的范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】根據常見函數的單調性和奇偶性，即可容易判斷選擇.【詳解】根據題意，依次分析選項：對于A，，奇函數，不符合題意；對于B，，為偶函數，在上單調遞減，不符合題意；對于C，，既是偶函數，又在上單調遞增，符合題意；對于D，為奇函數，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查常見函數單調性和奇偶性的判斷，屬簡單題.2、B【解析】先由題意設點的坐標為，根據空間中的兩點間距離公式，列出等式，求出，即可得出結果.【詳解】因為點在軸上，所以可設點的坐標為，依題意，得，解得，則點的坐標為故選：B.3、C【解析】對于A，作差變形，借助對數函數單調性判斷；對于C，利用均值不等式計算即可判斷；對于B，D，根據不等式的性質及對數函數單調性判斷作答.【詳解】對于A，，而函數在單調遞增，顯然，則，A不正確；對于B，因為，所以，故，B不正確；對于C，顯然，，，C正確；對于D，因為，所以，即，D不正確.故選：C4、D【解析】利用函數的奇偶性排除部分選項，再利用特殊值判斷.【詳解】因為，所以是奇函數，排除BC，又因為，排除A，故選：D5、A【解析】先計算出，再利用余弦的和與差公式，即可.【詳解】因為都是銳角，且，所以又，所以，所以，，故選A.【點睛】本道題考查了同名三角函數關系和余弦的和與差公式，難度較大6、C【解析】由已知求得球的半徑，再由空間中兩點間的距離公式求得|AB|，則答案可求【詳解】∵由已知可得r，而|AB|，∴|AB|r故選C【點睛】本題考查空間中兩點間距離公式的應用，是基礎題7、B【解析】根據題意可得、，結合三角形的面積公式計算即可.【詳解】由題意知，，，所以.故選：B8、B【解析】依題意可得，列方程解出【詳解】解：，，故選：9、A【解析】對集合B中的分類討論分析，再根據集合間的關系判斷即可【詳解】當時，，當時，，當時，，所以，或，或因為，所以.故選：A10、B【解析】計算出,并判斷符號,由零點存在性定理可得答案.【詳解】因為,,所以根據零點存在性定理可知函數的零點所在區間是,故選:B【點睛】本題考查了利用零點存在性定理判斷函數的零點所在區間,解題方法是計算區間端點的函數值并判斷符號,如果異號,說明區間內由零點,屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由過定點（0,1），借助于圖像平移即可.【詳解】過定點（0,1），而可以看成的圖像右移3個單位，再下移2個點位得到的，所以函數的圖像恒過定點即A故答案為：【點睛】指數函數圖像恒過（0,1），對數函數圖像恒過（1,0）.12、3【解析】如圖所示，∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC?平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC，PC⊥AB，但AB不一定垂直于BC.故答案為：3.13、[0,1)##0≤k＜1【解析】分k＝0和k≠0兩種情況進行討論.k≠0時，可看為函數恒成立，結合二次函數的圖像性質即可求解.【詳解】①當時，不等式可化為1＞0，此時不等式的解集為，符合題意；②當時，要使得不等式的解集為，則滿足，解得；綜上可得，實數的取值范圍是.故答案：.14、3【解析】∵集合M={3，m+1}，4∈M，∴4=m+1，解得m=3故答案為3.15、【解析】轉化為對任意的都有，再分類討論求出最值，代入解不等式即可得解.【詳解】因為=，所以等價于，等價于，所以對任意的都有成立，等價于，（1）當，即時，在上為減函數，，在上為減函數，，所以，解得，結合可得.（2）當，即時，在上為減函數，，在上為減函數，在上為增函數，或，所以且，解得.（3）當，即時，，在上為減函數，，在上為增函數，，所以，解得，結合可知，不合題意.（4）當，即時，在上為減函數，在上為增函數，，在上為增函數，，此時不成立.（5）當時，在上為增函數，，在上為增函數，，所以，解得，結合可知，不合題意.綜上所述：.故答案為：16、【解析】設點關于直線的對稱點為，由垂直的斜率關系，和線段的中點在直線上列出方程組即可求解.【詳解】設點關于直線的對稱點為，由對稱性知，直線與線段垂直，所以，所以，又線段的中點在直線上，即，所以，由，所以點關于直線的對稱點的坐標為：.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）存在實數使得的最小值為【解析】Ⅰ根據奇函數的對稱性進行轉化求解即可Ⅱ求出的表達式，利用換元法轉化為一元二次函數，通過討論對稱軸與區間的關系，判斷最小值是否滿足條件即可【詳解】Ⅰ若，則，∵當時，且是奇函數，∴當時，，即當時，，則Ⅱ若，，設，∵，∴，則等價為，對稱軸為，若，即時，在上為增函數，此時當時，最小，即，即成立，若，即時，在上為減函數，此時當時，最小，即，此時不成立，若，即時，在上不單調，此時當時，最小，即，此時在時是減函數，當時取得最小值為，即此時不滿足條件綜上只有當才滿足條件即存在存在實數使得最小值為【點睛】本題主要考查函數奇偶性的應用，以及利用換元法轉化為一元二次函數，結合一元二次函數單調性的性質是解決本題的關鍵，綜合性較強，運算量較大，有一定的難度18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據幾何體的結構特征，可以為坐標原點，分別為軸和軸建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標.（1）證明即即可；（2）分別求出平面的一個法向量為和側面的一個法向量為，根據求出的法向量的夾角來求二面角的大小.試題解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則由已知可得（1）證明：，所以.（2），設平面的一個法向量為，由，得，即，解得，可取設側面的一個法向量為，由，及可取.設二面角的大小為，于是由為銳角可得所以.即所求二面角的大小為.考點：空間向量證明直線與直線垂直及求解二面角.19、（1）2x-y-4=0（2）2x+y-9=0【解析】（1）利用直線l與圓x2+（y-1）2=5相切，，結合直線l不過第二象限，求出a，即可求直線l的方程；（2）直線l1的方程為2x-y+b=0，直線l1過點（3，-1），求出b，即可求出直線l1的方程；利用直線l2與l1關于y=1對稱，求出直線的斜率，即可求直線l2的方程【詳解】（1）∵直線l與圓x2+（y-1）2=5相切，∴，∵直線l不過第二象限，∴a=2，∴直線l的方程為2x-y-4=0；（2）∵直線l1過點（3，-1）且與直線l平行，∴直線l1方程為2x-y+b=0，∵直線l1過點（3，-1），∴b=-7，則直線l1的方程為2x-y-7=0，∵直線l2與l1關于y=1對稱，∴直線l2的斜率為-2，且過點（4，1），∴直線l2的斜率為y-1=-2（x-4），即化簡得2x+y-9=0【點睛】本題考查直線方程，考查直線與直線的位置關系，屬于中檔題20、（1），證明見解析（2）證明見解析，【解析】（1）利用，可證明；（2）利用零點的判定方法證明（5），可求得【小問1詳解】證明：，，，，不是奇函數；【小問2詳解】，，（5），（5），存在不為0的零點21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先判斷為偶函數，再由單調性的定義可得函數在單調遞增，從而當時，有，進而可得結論，（2）將不等式轉化為，再由的奇偶性和單調性可得，所以將問題轉化為，換元后變形利用基本不等式可求得結果【小問1詳解】證明：因，所以函數為偶函數.任取，不妨設，則