黑龍江省綏化市安達七中2025屆高二數學第一學期期末綜合測試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，則在上的投影向量為（）A.1 B.C. D.2．已知圓C的方程為，點P在圓C上，O是坐標原點，則的最小值為（）A.3 B.C. D.3．若復數滿足，則復數對應的點的軌跡圍成圖形的面積等于（）A. B.C. D.4．已知雙曲線＝1的一條漸近線方程為x－4y＝0，其虛軸長為（）A.16 B.8C.2 D.15．若公差不為0的等差數列的前n項和是，，且，，為等比數列，則使成立的最大n是（）A.6 B.10C.11 D.126．已知數列是等差數列，其前n項和為，則下列說法錯誤的是（）A.數列一定是等比數列 B.數列一定是等差數列C.數列一定是等差數列 D.數列可能是常數數列7．在空間直角坐標系中，，，平面的一個法向量為，則平面與平面夾角的正弦值為（）A. B.C. D.8．已知是兩個數1，9的等比中項，則圓錐曲線的離心率為（）A.或 B.或C. D.9．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10．雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.11．直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（）A B.C. D.12．已知是空間的一個基底，，，，若四點共面．則實數的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點P是雙曲線右支上的一點，且以點P及焦點為定點的三角形的面積為4，則點P的坐標是_____________14．設、、是三個不同的平面，、是兩條不同的直線，給出下列三個結論：①若，，則；②若，，則；③若，，則其中，正確結論的序號為__15．二進制數轉化成十進制數為______.16．古希臘數學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓的中心為原點，焦點，均在軸上，且，的面積為，則的標準方程為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列滿足，記數列的前項和為，且，（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前100項和18．（12分）已知圓的圓心在直線上，且圓經過點與點.（1）求圓的方程；（2）過點作圓的切線，求切線所在的直線的方程.19．（12分）已知拋物線C：x2＝2py的焦點為F，點N（t，1）在拋物線C上，且|NF|＝.（1）求拋物線C的方程；（2）過點M（0，1）的直線l交拋物線C于不同的兩點A，B，設O為坐標原點，直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值.20．（12分）已知如圖①，在菱形ABCD中，且，為AD的中點，將沿BE折起使，得到如圖②所示的四棱錐，在四棱錐中，求解下列問題：（1）求證：BC平面ABE；（2）若P為AC中點，求二面角的余弦值.21．（12分）已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若，且，討論函數的零點個數.22．（10分）在數列中，，.（1）證明：數列為等比數列，并求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據題意得，進而根據投影向量的概念求解即可.【詳解】解：因為，，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：C2、B【解析】化簡判斷圓心和半徑，利用圓的性質判斷連接線段OC，交圓于點P時最小，再計算求值即得結果.【詳解】化簡得圓C的標準方程為，故圓心是，半徑，則連接線段OC，交圓于點P時最小，因為原點到圓心的距離，故此時.故選：B.3、D【解析】利用復數的幾何意義，即可判斷軌跡圖形，再求面積.【詳解】復數滿足，表示復數對應的點的軌跡是以點為圓心，半徑為3的圓，所以圍成圖形的面積等于.故選：D4、C【解析】根據雙曲線的漸近線方程的特點，結合虛軸長的定義進行求解即可.【詳解】因為雙曲線＝1的一條漸近線方程為x－4y＝0，所以，因此該雙曲線的虛軸長為，故選：C5、C【解析】設等差數列的公差為d，根據，且，，為等比數列，求得首項和公差，再利用前n項和公式求解.【詳解】設等差數列的公差為d，因為，且，，為等比數列，所以，解得或（舍去），則，所以，解得，所以使成立的最大n是11，故選：C6、B【解析】可根據已知條件，設出公差為，選項A，可借助等比數列的定義使用數列是等差數列，來進行判定；選項B，數列，可以取，即可判斷；選項C，可設，表示出再進行判斷；選項D，可采用換元，令，求得的關系即可判斷.【詳解】數列是等差數列，設公差為，選項A，數列是等差數列，那么為常數，又，則數列一定是等比數列，所以選項A正確；選項B，當時，數列不存在，故該選項錯誤；選項C，數列是等差數列，可設（A、B為常數），此時，，則為常數，故數列一定是等差數列，所以該選項正確；選項D，，則，當時，，此時數列可能是常數數列，故該選項正確.故選：B.7、A【解析】根據給定條件求出平面的法向量，再借助空間向量夾角公式即可計算作答.【詳解】設平面的法向量為，則，令，得，令平面與平面夾角為，則，，所以平面與平面夾角的正弦值為.故選：A8、A【解析】根據題意可知，當時，根據橢圓離心率公式，即可求出結果；當時，根據雙曲線離心率公式,即可求出結果.【詳解】因為是兩個數1，9的等比中項，所以，所以，當時，圓錐曲線，其離心率為；當時，圓錐曲線，其離心率為；綜上，圓錐曲線的離心率為或.故選：A.9、C【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，逐一核對四個選項得答案【詳解】解：對于A：若，則或，故A錯誤；對于B：若，則或與相交，故B錯誤；對于C：若，根據面面垂直的判定定理可得，故C正確；對于D：若則與平行、相交、或異面，故D錯誤；故選：C10、A【解析】先將雙曲線的方程化為標準方程得，再根據雙曲線漸近線方程求解即可.【詳解】解：將雙曲線的方程化為標準方程得，所以，所以其漸近線方程為：，即.故選：A.11、A【解析】把求面積轉化為求底邊和底邊上的高，高就是圓上點到直線的距離.【詳解】與x，y軸的交點，分別為，，點在圓，即上，所以，圓心到直線距離為，所以面積的最小值為，最大值為.故選：A12、A【解析】由共面定理列式得，再根據對應系數相等計算.【詳解】因為四點共面，設存在有序數對使得，則，即，所以得.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題可得P到x軸的距離為1，把代入，得，可得P點坐標【詳解】設，由題意知，所以，則，由題意可得，把代入，得，所以P點坐標為故答案為：14、①②【解析】利用線面垂直的性質可判斷命題①、②的正誤；利用特例法可判斷命題③的正誤.綜合可得出結論.【詳解】、、是三個不同的平面，、是兩條不同的直線.對于①，若，，由同垂直于同一平面的兩直線平行，可得，故①正確；對于②，若，，由同垂直于同一直線的兩平面平行，可得，故②正確；對于③，若，，考慮墻角處的三個平面兩兩垂直，可判斷、相交，則不正確故答案為：①②【點睛】本題考查空間中線面、面面位置關系有關命題真假的判斷，考查推理能力，屬于基礎題.15、13【解析】根據二進制數和十進制數之間的轉換方法即可求解.【詳解】.故答案為：13.16、【解析】利用待定系數法列出關于的方程解出即可得結果.【詳解】設的標準方程為，則解得所以的標準方程為故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由題意得出，然后與原式結合，兩式相減并化簡求出，最后根據等差數列的定義求得答案；（2）結合（1），分別討論，和三種情況，分別求出，進而求出.【小問1詳解】因為，所以，兩式相減得，所以又，所以數列是首項為，公差為2的等差數列，所以.【小問2詳解】由得，當時，，當時，，當時，，所以.18、（1）；（2）或.【解析】（1）求出線段中點，進而得到線段的垂直平分線為，與聯立得交點，∴.則圓的方程可求（2）當切線斜率不存在時，可知切線方程為.當切線斜率存在時，設切線方程為，由到此直線的距離為，解得，即可到切線所在直線的方程.試題解析：（1）線段的中點為，∵，∴線段的垂直平分線為，與聯立得交點，∴.∴圓的方程為.（2）當切線斜率不存在時，切線方程為.當切線斜率存在時，設切線方程為，即，則到此直線的距離為，解得，∴切線方程為.故滿足條件的切線方程為或.【點睛】本題考查圓的方程的求法，圓的切線，中點弦等問題，解題的關鍵是利用圓的特性，利用點到直線的距離公式求解19、（1）x2＝2y；（2）證明見解析【解析】（1）利用拋物線的定義進行求解即可；（2）設直線l的直線方程與拋物線方程聯立，根據一元二次方程根與系數關系、斜率公式進行證明即可.【小問1詳解】∵點N（t，1）在拋物線C：x2＝2py上，且|NF|＝，∴|NF|＝，解得p＝1，∴拋物線C的方程為x2＝2y；【小問2詳解】依題意，設直線l：y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯立，得x2﹣2kx﹣2＝0.則x1x2＝﹣2，∴.故k1k2為定值.【點睛】關鍵點睛：利用拋物線的定義是解題的關鍵.20、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）利用題中所給的條件證明，，因為，所以，，即可證明平面；（2）先證明平面，以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，平面的一個法向量，利用向量的夾角公式即可求解【詳解】（1）在圖①中，連接，如圖所示：因為四邊形為菱形，，所以是等邊三角形.因為為的中點，所以，.又，所以.在圖②中，，所以，即.因為，所以，.又，，平面.所以平面.（2）由（1）知，，因為，，平面.所以平面.以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系：則，，，，.因為為的中點，所以.所以，.設平面的一個法向量為，由得.令，得，，所以.設平面的一個法向量為.因為，由得令，，，得則，由圖象可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.21、（1）.（2）答案見解析.【解析】（1）求導函數，求得，，由此可求得曲線在點處的切線方程；（2）求得導函數，分和討論，當時，設，求導函數，分析導函數的符號，得出所令函數的單調性，從而得函數的單調性，根據零點存在定理可得答案.【小問1詳解】解：當時，，所以，故，，所以曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】解：依題意，則，當時，，所以在上單調遞增；當時，設，此時，所以在上單調遞增，又，，所以存在，使得，且在上單調遞減，在上單調遞增.綜上所述，在上