上海市上南中學2025屆數學高二上期末質量跟蹤監視模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知的周長等于10，，通過建立適當的平面直角坐標系，頂點的軌跡方程可以是（）A. B.C. D.2．已知函數，則曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積是（）A B.C. D.3．某手機上網套餐資費：每月流量500M以下（包含500M），按20元計費；超過500M，但沒超過1000M（包含1000M）時，超出部分按0.15元/M計費；超過1000M時，超出部分按0.2元/M計費，流量消費累計的總流量達到封頂值（15GB）則暫停當月上網服務.若小明使用該上網套餐一個月的費用是100元，則他的上網流量是（）A.800M B.900MC.1025M D.1250M4．橢圓的焦點坐標為（）A.和 B.和C.和 D.和5．拋物線有如下光學性質：平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為F，一條平行于y軸的光線從點射出，經過拋物線上的點A反射后，再經拋物線上的另一點B射出，則經點B反射后的反射光線必過點（）A. B.C. D.6．已知等比數列的前n項和為，且，則（）A.20 B.30C.40 D.507．中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則等于（）A. B.C. D.8．已知定義在上的函數滿足下列三個條件：①當時，；②的圖象關于軸對稱；③，都有.則、、的大小關系是（）A. B.C. D.9．已知等差數列的前n項和為，，，若（），則n的值為（）A.15 B.14C.13 D.1210．《鏡花緣》是清代文人李汝珍創作的長篇小說，書中有這樣一個情節：一座樓閣到處掛滿了五彩繽紛的大小燈球，燈球有兩種，一種是大燈下綴2個小燈，另一種是大燈下綴4個小燈，大燈共360個，小燈共1200個.若在這座樓閣的燈球中，隨機選取一個燈球，則這個燈球是大燈下綴4個小燈的概率為A. B.C. D.11．雙曲線C:的右焦點為F，過點F作雙曲線C的兩條漸近線的垂線，垂足分別為H1，H2.若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.212．在空間直角坐標系中，若，，則點B的坐標為（）A.（3，1，﹣2） B.（-3，1，2）C.（-3，1，-2） D.（3，-1，2）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某次實驗得到如下7組數據，通過判斷知道與具有線性相關性，其線性回歸方程為，則______.（參考公式：）12345676.06.26.36.46.46.76.814．函數y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則a＝________.15．如圖是某賽季CBA廣東東莞銀行隊甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖，則甲、乙比賽得分的中位數之和是______.16．若，滿足不等式組，則的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，正方體的棱長為4，E，F分別是上的點，且.（1）求與平面所成角的正切值；（2）求證：.18．（12分）某情報站有．五種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周末使用的四種密碼中等可能地隨機選用一種．設第一周使用密碼，表示第周使用密碼的概率（1）求；（2）求證：為等比數列，并求的表達式19．（12分）已知，其中.（1）若,求在處的切線方程；（2）若是函數的極小值點，求函數在區間上的最值；（3）討論函數的單調性.20．（12分）已知函數（1）討論的單調性；（2）當時，證明21．（12分）已知各項均為正數的等比數列的前n項和為，且，（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和22．（10分）設等差數列的前n項和為，已知（1）求數列通項公式；（2）設，數列的前n項和為．定義為不超過x的最大整數，例如．當時，求n的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據橢圓的定義進行求解即可.【詳解】因為的周長等于10，，所以，因此點的軌跡是以為焦點的橢圓，且不在直線上，因此有，所以頂點的軌跡方程可以是，故選：A2、B【解析】根據導數的幾何意義，求出切線方程，求出切線和橫截距a和縱截距b，面積為【詳解】由題意可得，所以，則所求切線方程為令，得；令，得故所求三角形的面積為故選：B3、C【解析】根據已知條件列方程，化簡求得小明的上網流量.【詳解】顯然小明上網流量超過了1000M但遠遠沒達到封頂值，假設超出部分為M，由得.故選：C4、D【解析】本題是焦點在x軸的橢圓，求出c，即可求得焦點坐標.【詳解】，可得焦點坐標為和.故選：D5、D【解析】求出、坐標可得直線的方程，與拋物線方程聯立求出，根據選項可得答案,【詳解】把代入得，所以，所以直線的方程為即，與拋物線方程聯立解得，所以，因為反射光線平行于y軸，根據選項可得D正確,故選：D6、B【解析】利用等比數列的前n項和公式即可求解.【詳解】設等比數列的首項為，公比為，則，由得，即，解得或（舍），且代入①得，則，所以.故選：B.7、A【解析】由題得，進而根據余弦定理求解即可.【詳解】解：依題意，即，所以，所以，由于，所以故選：A8、A【解析】推導出函數為偶函數，結合已知條件可得出，，，利用導數可知函數在上為減函數，由此可得出、、的大小關系.【詳解】因為函數的圖象關于軸對稱，則，故，，又因為，都有，所以，，所以，，，，因為當時，，，當且僅當時，等號成立，且不恒為零，故函數在上為減函數，因為，則，故.故選：A.9、B【解析】由已知條件列方程組求出，再由列方程求n的值【詳解】設等差數列的公差為，則由，，得，解得，因為，所以，即，解得或（舍去），故選：B10、B【解析】設大燈下綴2個小燈為個，大燈下綴4個小燈有個，根據題意求得，再由古典概型及其概率的公式，即可求解【詳解】設大燈下綴2個小燈為個，大燈下綴4個小燈有個，根據題意可得，解得，則燈球的總數為個，故這個燈球是大燈下綴4個小燈的概率為，故選B【點睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計算，其中解答中根據題意列出方程組，求得兩種燈球的數量是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題11、D【解析】將條件轉化為該雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，可得，由離心率公式即可得解.【詳解】由題意，(為坐標原點)，所以該雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，所以，即，所以離心率.故選：D.12、C【解析】利用點的坐標表示向量坐標，即可求解.【詳解】設，，，所以，，，解得：，，，即.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9##【解析】求得樣本中心點的坐標，代入回歸直線，即可求得.詳解】根據表格數據可得：故，解得.故答案為：.14、4【解析】∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴或當a＝－3，b＝3時，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，故舍去．所以a＝415、58【解析】分別將甲、乙兩名運動員的得分按小到大或者大到小排序，分別確定中位數，再相加即可【詳解】因為甲、乙兩名籃球運動員各參賽11場，故中位數是第6個數甲的得分按小到大排序后為：12,22,23,32,33,34,35,40,43,44,46，所以，中位數為34乙的得分按小到大排序后為：12,13,21,22,23,24,31,31,34,40,49所以，中位數為24所以，中位數之和為34+24＝58，故答案為：5816、10【解析】作出不等式區域,如圖所示:目標最大值,即為平移直線的最大縱截距,當直線經過點時最大為10.故答案為10.點睛：本題主要考查線性規劃中利用可行域求目標函數的最值，屬簡單題.求目標函數最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數對應的最優解對應點（在可行域內平移變形后的目標函數，最先通過或最后通過的頂點就是最優解）；（3）將最優解坐標代入目標函數求出最值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】(1)在正方體中，平面，連接，則為與平面所成的角，在直角三角形，求出即可；(2)∵是正方體，又是空間垂直問題，∴易采用向量法，∴建立如圖所示的空間直角坐標系，欲證，只須證，再用向量數量積公式求解即可.【小問1詳解】在正方體中，平面，連接，則為與平面所成的角，又，，，∴；【小問2詳解】如圖，以為坐標原點，直線、、分別軸、軸、軸，建立空間直角坐標系.則∴，，∴，∴.18、（1），，，（2）證明見解析，【解析】(1)根據題意可得第一周使用A密碼，第二周使用A密碼的概率為0，第三周使用A密碼的概率為，以此類推；(2)根據題意可知第周從剩下的四種密碼中隨機選用一種，恰好選到A密碼的概率為，進而可得，結合等比數列的定義可知為等比數列，利用等比數列的通項公式即可求出結果.【小問1詳解】，，，【小問2詳解】第周使用A密碼，則第周必不使用A密碼（概率為），然后第周從剩下的四種密碼中隨機選用一種，恰好選到A密碼的概率為故，即故為等比數列且，公比故，故19、（1）；（2）最大值為5，最小值為；（3）答案見解析.【解析】（1）求出導函數，進而根據導數的幾何意義求出切線的斜率，然后求出切線方程；（2）根據求出a，進而求出函數的單調區間，然后求出函數的最值；（3）先求出導函數，然后討論a的取值范圍，進而求出函數的單調區間.【小問1詳解】當時，，，切點坐標為，，切線的斜率為，切線方程為，即.【小問2詳解】，是函數的極小值點，，即，，令，得或，令，得，的單調遞增區間為，，的單調遞減區間為，，函數在區間上的最大值為5，最小值為.【小問3詳解】函數的定義域為，，令得，.①當時，，函數在R上單調遞增；②當時，，令，得或，令，得，的單調遞增區間為，，的單調遞減區間為；③當時，，令，得或，令，得，的單調遞增區間為，，的單調遞減區間為.綜上：時，，函數R上單調遞增；時，的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；時，的單調遞增區間為，，單調遞減區間為.20、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）求導得，進而分和兩種情況討論求解即可；（2）根據題意證明，進而令，再結合（1）得，研究函數的性質得，進而得時，，即不等式成立.【小問1詳解】解：函數的定義域為，，∴當時，在上恒成立，故函數在區間上單調遞增；當時，由得，由得，即函數在區間上單調遞增，在上單調遞減；綜上，當時，在區間上單調遞增；當時，在區間上單調遞增，在上單調遞減；【小問2詳解】證明：因為時，證明，只需證明，由（1）知，當時，函數在區間上單調遞增，在上單調遞減；所以.令，則，所以當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，所以.所以時，，所以當時，21、（1）（2）【解析】（1）由等比數列的前項和公式，等比數列的基本量運算列方程組解得和公比后可得通項公式；（2）用錯位相減法求得和【小問1詳解】設數列的公比為q，由，，得，解之得所以；【小