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文檔簡介
浙教版八年級上第7招三角形中的等面積法01典例剖析02分類訓練目
錄CONTENTS教你一招
在求三角形的高線長或點到直線的距離時，常常會運用
三角形的面積不變性，同一個三角形面積可以用不同方法求
解，得到等量關系進行解決.
如圖，
E
是邊長為1的正方形
ABCD
的對角線上一
點，且
BE
＝
BC
，
P
為
CE
上任意一點，
PQ
⊥
BC
于點
Q
，
PR
⊥
BE
于點
R
，求
PQ
＋
PR
的值.
利用等面積法求兩條垂線段的長度之和，同
一個三角形面積一定，等底時高也相等.解：連結
BP
，過點
C
作
CM
⊥
BD
于點
M
.
易知
S△
BEC
＝
S△
BEP
＋
S△
BCP
，
∵
BC
＝
BE
，∴
PQ
＋
PR
＝
CM
.
利用等面積法求解三角形的高線1.
如圖，在Rt△
ABC
中，∠
BAC
＝90°，
AB
＝4，
AC
＝
3，
AD
⊥
BC
，求
AD
的長.1234【解】在Rt△
ABC
中，∠
BAC
＝90°，
AB
＝4，
AC
＝3，∴
BC2＝
AB2＋
AC2＝25.∵
BC
＞0，∴
BC
＝5.又∵
AD
⊥
BC
，∴3×4÷2＝5×
AD
÷2，∴
AD
＝2.4.12342.
如圖，正方形網格的每個小方格邊長均為1，△
ABC
的頂
點在格點上.請求出
AC
邊上的高線的長度
h
.1234
12343.
如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊
AC
＝6
cm，
BC
＝8
cm，現將直角邊
AC
沿直線
AD
折疊，使它落在斜
邊
AB
上，且與
AE
重合，求
CD
的長.【解】在Rt△
ABC
中，
AC
＝6
cm，
BC
＝8
cm，∴
BA
＝10
cm.∵
AC
沿
AD
折疊得到
AE
，∴
DE
＝
CD
.
用等面積法得6×8÷2＝10×
DE
÷2＋6×
CD
÷2，∴
CD
＝3
cm.1234
利用等面積法證等腰三角形中線段的關系4.
[新視角過程探究題]【問題情境】張老師提出這樣一個問題：如圖①，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，點
P
為邊
BC
上的任一點，過點
P
作
PD
⊥
AB
，
PE
⊥
AC
，垂足分別為
D
，
E
，過點
C
作
CF
⊥
AB
，垂足為
F
.
求證：
PD
＋
PE
＝
CF
.
1234小軍的證明思路是：如圖②，連結
AP
.
由△
ABP
與△
ACP
的面積之和等于△
ABC
的面積可以證得：
PD
＋
PE
＝
CF
.
請運用上述解答中所積累的經驗和方法完成下列兩題：1234【變式探究】如圖③，當點
P
在
BC
延長線上時，其余條件不變，求證：
PD
－
PE
＝
CF
；1234【證明】連結
AP
，如圖①.∵
PD
⊥
AB
，
PE
⊥
AC
，
CF
⊥
AB
，且
S△
ABC
＝
S△
ABP
－
S△
ACP
，
∵
AB
＝
AC
，∴
PD
－
PE
＝
CF
.
1234【結論運用】如圖④，將長方形
ABCD
沿
EF
折疊，使點
D
落在點
B
上，
點
C
落在點C'處，點
P
為折痕
EF
上的任一點，過點
P
作
PG
⊥
BE
，
PH
⊥
BC
，垂足分別為
G
，
H
，若
AD
＝8，
CF
＝
3，求
PG
＋
PH
的值.1234【解】如圖②，過點
E
作
EQ
⊥
BC
，垂足為
Q
.
∵四邊形
ABCD
是長方形，∴
AD
＝
BC
，∠
C
＝90°，
AD
∥
BC
.
∵
AD
＝8，
CF
＝3，∴
BF
＝
BC
－
CF
＝
AD
－
CF
＝5.由折疊可得
DF
＝
BF
，∠
BEF
＝∠
DEF
.
∴
DF
＝5.1234
∵
AD
∥
BC
，
EQ
⊥
BC
，∴∠
DEF
＝∠
EFB
，
EQ
＝
DC
＝4.∴∠
BEF
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