2022北京海淀高三（上）期中數學2022．一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．（1）已知全集U=xx，集合A=x2x，則（）（A）2]（）(0,2)（D）(?,2)（）(?,2]（2）在同一個坐標系中，函數y=logax與y=ax(a0且a的圖象可能是（）（3a,b形的邊長均為，則ab=（）A4B．42C．4D．42====（4n和等比數列b滿足1122248nb的公比為（）n（A）2（）2?（）4（D）4（5）已知實數a,b滿足ab，則下列不等式中正確的是（）（A）|ab（）a|b|（）a2abDabb（）235（與角均以Oxyxsin==，則cos=（）4453535（A）?（）（）?（D）5（f(x)f(x)的圖象向上平移1個單位長度，得到圖象1f(x)的圖象上1所有點的橫坐標變為原來的CC與Cf(x)2122中符合題意的是（）x1（D）f(x)=（A）f(x)=log1x（）f(x)=log2x（）f(x)=2x22（8）已知函數f(x)ae=x+be?(ab0)x，則"a+b=0""f(x)為奇函數的（（）必要而不充分條件）（A）充分而不必要條件（）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（9P是ABC內部或邊上的一個動點，且=xAB+yAC，則xy的最大值是（）1412（A）（）（）1（D）2（10）我們可以用下面的方法在線段上構造出一個特殊的點集：如圖，取一條長度為1的線段，第12間一段，留下四段；按照這種規律一直操作下n99長度總和大于，則n的最小值為（）100（參考數據：0.477）（A）9（）10（）（D）12第二部分（非選擇題共分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．（）若復數z1，則z=____．=?1（12）函數f(x)=+x的定義域是．x?1（13）已知向量a=，b=(x,tx+．若存在實數x，使得a與b的方向相同，則t的一個取值為____．π6（f(x)=sinx+0)和g(x)=2(x+)?sin(x+)=2π6____；g=____．?2++xaxx（15）已知函數f(x)=ax,x1.（1a=1時，f(x)的極值點個數為____；（2f(x)恰有兩個極值點，則a的取值范圍是____．三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．（16（本小題13===已知等差數列n的前n項和為S(n，且23，S525．n（Ⅰ）求a的通項公式；nnb的首項為qn的每一項都是n中的項．若b=a(k,mN*)，求mk的式子表示）條件②：q=2；km條件①：q=1；條件③：q=3．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分．（17（本小題14已知函數f(x)=2sinxx+2cos2x?1．π（Ⅰ）求f?的值；4（Ⅱ）求f(x)的最小正周期；π2（Ⅲ）求f(x)在區間上的最大值和最小值．（18（本小題141已知函值f(x)=x3?x．23（Ⅰ）求f(x)的單調區間；43（Ⅱ）若f(x)在區間(m]上的取值范圍是?,0，求m的取值范圍．（191412的觀測站A和B,B處觀測該動物種群，如圖，某一時刻，該動物種群出現在點C處，觀測人員從兩個觀測站分別測得=30，=60，經過一段時間后，該動物種群出現在點D處，觀測人員從兩個觀測站分別測得==,B,C,D在同一平面內）（Ⅰ）求的面積；（Ⅱ）求點C,D之問的距離．（2015已知函數f(n)iex?=asx．（Ⅰ）當a=2時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；（Ⅱ）當a=1時，證明：函數y=f(x)?2在區間π)上有且僅有一個零點；（Ⅲ）若對任意x[0,π]，不等式f(x)2?x恒成立，求a的取值范圍．（21（本小題15對于一個m行n列的數表mn(m，用i,j表示數表中第i行第j列的數，i,ji=,;j=pt)：．對于給定的正整數t，若數表mn滿足以下兩個條件，則稱數表mn具有性質①j=1，m,j=0(j=②i?i+i,2?i1,2（Ⅰ）以下給出數表1和數表．；+．（ⅰ）數表1是否具有性質p(2)？說明理由；t2具有性質pt)t（Ⅱ）是否存在數表m2023具有性質p(6)？若存在，求出m的最小值，若不存在，說明理由；（Ⅲ）給定偶數n(n，對每一個tft)．求ft)的最大值．，將集合mmn具有性質pt中的最小元素記為海淀區2022—2023學年第一學期期中練習高三數學參考答案一、選擇題題目12345678910D答案BACBADBCA二、填空題（）5（12）的實數均可1（142；1或1（152；三、解答題（1613n}的公差為d，因為a=S=25,25a+d=1所以5451+d=25.21=解得d=所以n=2n?1.（Ⅱ）選擇條件③.因為1=q=3，所以nn1=?.因為a=b,mk即m?1=k?1.3k1+1得m=.2因為kN*,k1為奇數，k1+1為偶數，所以mN*.3k1+1可得m=.2（1714f(?)=2sin(?)cos(?)+2cos2(?)?14424422=2(?=1.)+)2?1222（Ⅱ）f(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+).42所以f(x)的最小正周期為T==.25（Ⅲ）因為0x,2x+,2444當2x+=，即x=時，f(x)取得最大值，428所以f(x)在區間]上的最大值為f()=2；28當2x+=，即x=時，f(x)取得最小值，442所以f(x)在區間]上的最小值為f()=1.22（1814f(x)的定義域為R.fx)=x2?2x，令fx)=0，x=x=2.12x(,00)20fx)f(x)++極大值極小值由表可得，f(x)的單調遞增區間為(,)；單調遞減區間為.44（Ⅱ）由函數解析式及（Ⅰ）可知f(=?,f(0)=f(2)=?,f=0.334①當m(時，x(mf(x)?，不符合題意；34②當m[2,3]時，f(x)在區間[]上的取值范圍是[?,0]，符合題意；3③當m3時，由f(x)在區間)上單調遞增可知f()f=0，不符合題意.綜合上述，m（1914中，，sinsin==,所以=.ADAB由正弦定理：=，得=，sin45sin602sin45sin6023所以，AD=AB=12=46(km).22316+2sin=sin75=sin(45+)=所以的面積為(+)=,22241216+2△ABD=sin=1246=36+123(km).224（Ⅱ）由，==,=,=63.得在△ACD中由余弦定理，得CD=+?2ADcosCAD=363+166?263462222=60.2所以，CD=215(km).即點C,D之間的距離為215km.（2015a2時，=f(x)=ex?2sinx，則f=1.fx)=ex?2cosx，則f=1.曲線f(x)在f處的切線方程為y=?x+1.（Ⅱ）當a1時，記=g(x)=f(x)?2=ex?x?2，則gx)=ex?x.當x時，exe0=cosx1,所以gx)g0=.所以g(x)在)上單調遞增.因為g1g()e20=?=?,所以函數yf(x)2在區間上有且僅有一個零點.=?（Ⅲ）設(x)=f()+x?2=ex?ax+x?2.則hx)=ex?ax?x.設s(x)=ex?ax?x.則sx)=ex?x+ax.因為當x]時，exe0=cosx,所以當a0時，x]時，sx)0，所以hx)在區間]上單調遞增().*h=1?a0，h)=e+a0,（1a1時，且hx)在區間]上單調遞增，所以存在唯一x(0,)，使得hx)=0.00當xx)時，hx)0，0所以(x)在區間(0,0)上單調遞減.可得h(0)h(0)=0，所以與題意不符.（2a1時,=(x)=ex?x+x?2.hx)=ex?x?x由()可知：hx)在區間]上單調遞增,*所以當x]時，hx)h=0.所以(x)在區間]上單調遞增.所以()符合題意.區間]上恒成立.（3a1時,(x)=ex?ax+x?2ex?x+x?2.]上恒成立由（）可知，此時(x)0在區間.綜上所述，實數a的取值范圍是(.（21151不具有性質p.理由：|2,1a||a?+?a|a?a=12.+2,23,22,33,3（ⅱ）存在.t3時，數表具有性質=2pt).（Ⅱ）不存在數表A具有性質p.m2023假設存在m使得數表A具有性質p，則m2023|i?i|+|i,2?i1,2|+.即在這兩行中，有6列的數不同，設其中有k列是第i行的數為1i1行的數為，+0則有6k列是第i行的數為?0i+1行的數為1.所以，從第i行到第i1行，一共增加了+6?k個，的個數的奇偶性不變分11.7所以，任意兩行中，1的個數的奇偶性相同.與數表A第一行有2023個，最后一行有0個1矛盾.m2023所以，不存在具有性質p的數表A.m2023（Ⅲ）ft)的最大值的為n+1.定義m1行列的數表B?n：(mn其第i行第j列為i,j|i,jij=?|，i=.則i,j，且i,j=0表示i,j,ij兩數相同，i,j1表示=a,a兩數不同.i,jij因為數表mn的第1行確定，所以給定數表(mn后，數表mn唯一確定.①先證ft)n1+.n我們按照如下方式，構造數表nn：對于第2s1行和第2s行，s=?，2令2s1,2s12s1,2s==0，b=2s,2s=1，2s,2s1且在這兩行其余的n2列中，任選相同的?t?1列都為，其他列都為0.1于是可得到具有性質pt)的數表A如下：(n1)n第1列第2列第3列第4列第n列第n列第1行111101……11第3行0000101111第5行…………第n行000000即對于每個t，當m=n+1時，都存在數表mn具有性質pt).所以ft)n+1.②再證t=n?1時，ft)n+1.=+++記iii,2ai=.i,n因為t=n?1是奇數，所以Si與Si+1的奇偶性不相同(i=因為S=S=0，).1m所以m是奇數.我們考慮(mn的第i行和i1行，因為tn1，所以這兩行中都有+