福建省清流一中2024-2025學年高三第一次模擬考試試題數學試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.秦九韶是我國南宋時期的數學家，普州（現四川省安岳縣）人，他在所著的《數書九章》中提出的多項式求值的秦

九韶算法，至今仍是比較先進的算法.如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入x的

值為2,則輸出的v值為（）

A.9x2"-2B.9x2")+2C.9x2n+2D.9x2u-2

2.命題0：Vxe(-l,2],x2-12x+a>0(o6R)的否定為

2

A.Bx06(-1,2],Xg—2x0+a>0(?wR)B.Vxe(-1,2],x—2x+a<0(aeR)

2

C.3x0e(-1,2],x：—2x0+a<0(?eR)D.Vxg(—l,2],x-2x+a<0(oeR)

111、2v111、

3.已知無窮等比數列｛4｝的公比為2,且則年+%+…+-)--=--~9貝!|hm(—+—+.??+—)=()

a

2n-l32a2a4a2n

124

A.B.-C.1D.

333

4.若a=0.5°-6,Q0.6°-5,C=2°5，則下列結論正確的是（)

A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a

5.關于函數/(%)=-sin|x—晟

在區間I,%的單調性，下列敘述正確的是()

A.單調遞增B.單調遞減C.先遞減后遞增D.先遞增后遞減

6.對于任意xeR,函數/(x)滿足/(2—x)=—/(x),且當x..l時，函數/(x)=JE.若

a===g]，則”,仇c大小關系是()

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

—JC*+/?X<1

7.已知函數/(%)=alnx若曲線y=/(x)上始終存在兩點A,B,使得且A5的中點在丁

----------,x>1

x(x+l)

軸上，則正實數〃的取值范圍為()

A.(0,+oo)B.I0,-C.-,+<x>ID.[e,+oo)

004

8.設a=logoo80,04,b=log030.2,c=o,3，則〃、b、c的大小關系為()

A.c>b>aB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

9.如圖，在棱長為4的正方體ABC。—A4GA中，E,F,G分別為棱AB,BC,CQ的中點，M為棱AD的中點,

設P,。為底面ABC。內的兩個動點，滿足。P//平面E尸G,〃Q=J萬，則PM+P。的最小值為()

A.372-1B.30-2C.2逐-1D.2e-2

10.如下的程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”.執行該程序框圖，若輸入的

a，分分別為176,320,則輸出的。為()

A.16B.18C.20D.15

11.設點AX。），尸為曲線丁=產上動點，若點A,P間距離的最小值為疵,則實數f的值為（）

「5cIn2cIn3

A.A/5B.—C.2H-------D.2H-------

222

12.已知〃>0,A>0,a+b=1,若—，/?=b+—,則a+/?的最小值是（）

ab

A.3B.4C.5D.6

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知下列命題：

①命題叼xoGR,X；+1>3%”的否定是“VxGR,x2+l<3x,5；

②已知p,q為兩個命題，若“pVq”為假命題，則”為真命題；

③%>2"是“>5”的充分不必要條件；

④“若盯=0,則x=0且y=0”的逆否命題為真命題.

其中所有真命題的序號是.

77JT

14.在△ABC中，AB=2,B=—,C=-,點P是邊的中點，則AC=,APBC=.

46

15.在平面直角坐標系中，已知圓。：必+（丁—1尸=1,圓。：（X+24）2+/=6.直線/：y=kx+3與圓C相切,

且與圓C'相交于A,B兩點,則弦A5的長為

16.AB,C三所學校舉行高三聯考，三所學校參加聯考的人數分別為160,240,400,為調查聯考數學學科的成績,

現采用分層抽樣的方法在這三所學校中抽取樣本，若在3學校抽取的數學成績的份數為30,則抽取的樣本容量為

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數/'(x)=^|x2+cosx(?eR),f(x)是/(尤)的導數.

(1)當。=1時，令〃(%)=/'(%)—x+lnx,"(x)為/i(x)的導數.證明：“(X)在區間存在唯一的極小值點；

2

(2)已知函數y=/(2x)—―/在0,-上單調遞減，求。的取值范圍.

3LN_

18.(12分)已知a>0,b>0,函數/(%)=|2》+同+上一4的最小值為g.

(1)求證：a+2b=l；

(2)若2a+b之幻力恒成立，求實數/的最大值.

19.(12分)設函數/(%)=6cos?x—Gsin2x.

77

(1)求八方)的值;

7C

(2)若xe-.71,求函數f(x)的單調遞減區間.

20.(12分)我國在貴州省平塘縣境內修建的500米口徑球面射電望遠鏡(FAST)是目前世界上最大單口徑射電望遠

鏡.使用三年來，已發現132顆優質的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認為新發現的脈沖星，脈沖星是上世紀60年

代天文學的四大發現之一，脈沖星就是正在快速自轉的中子星，每一顆脈沖星每兩脈沖間隔時間(脈沖星的自轉周期)

是一定的，最小小到0.0014秒，最長的也不過11.765735秒.某-天文研究機構觀測并統計了93顆已被確認為新發現的脈

沖星的自轉周期，繪制了如圖的頻率分布直方圖.

(1)在93顆新發現的脈沖星中，自轉周期在2至10秒的大約有多少顆？

(2)根據頻率分布直方圖，求新發現脈沖星自轉周期的平均值.

21.(12分)選修4-4：坐標系與參數方程

%=2cos0L

在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程為「.(a為參數).以直角坐標系原點O為極點，x軸的

y=sma

正半軸為極軸建立極坐標系，直線I的極坐標方程為夕cos(8-2)=2五，點P為曲線C上的動點，求點P到直線1

距離的最大值.

22.(10分)已知函數y=/(x).若在定義域內存在與,使得/(—%)=—/(%)成立，則稱/為函數y=/(x)的局

部對稱點.

(1)若a,AwH且。邦，證明：函數/(芯)=/+法-〃有局部對稱點；

(2)若函數g(尤)=2*+c在定義域［-1,1］內有局部對稱點，求實數c的取值范圍；

(3)若函數/z(x)=4'—巾2團+/—3在R上有局部對稱點，求實數機的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

由題意，模擬程序的運行，依次寫出每次循環得到的左，v的值，當k=-1時，不滿足條件左..0,跳出循環，輸出v的

值.

【詳解】

解:初始值v=10,x=2,程序運行過程如下表所示：

k=9,

v=10x2+9,左=8,

v=10x22+9x2+8，左=7,

v=10x23+9x2~+8x2+7,k=6,

v=10x24+9x23+8x22+7x2+6，k=5,

v=10x25+9x24+8x23+7x22+6x2+5,k=4,

v=10x26+9x25+8x24+7x23+6x22+5x2+4,k=3,

v=10x27+9x26+8x25+7x24+6x23+5x22+4x2+3,k=2,

v=10x28+9x27+8x26+7x25+6x24+5x23+4x22+3x2+2,k=T,

v=10x29+9x28+8x27+7x26+6x25+5x24+4x23+3x22+2x2+1,k=0,

v=10x210+9x29+8x28+7x27+6x2s+5x25+4x24+3x23+2x22+1x2+0,k=-l,

跳出循環，輸出v的值為

^43v=10x210+9x29+8x28+7x27+6x26+5x25+4x24+3x23+2x22+1x2+0?

2V=10X2"+9X210+8X29+7X28+6X27+5X26+4X25+3X24+2X23+1X22+0?

①一②得

-V=-10X211+1X210+1X29+1X28+1X27+1X26+1X25+1X24+1X23+1X22+1X2

2（1-210）

-v=-10x2n+—^-----

1-2

v=9x2"+2.

故選：C.

本題主要考查了循環結構的程序框圖的應用，正確依次寫出每次循環得到左，V的值是解題的關鍵，屬于基礎題.

2.C

【解析】

命題0為全稱命題，它的否定為特稱命題，將全稱量詞改為存在量詞，并將結論否定，可知命題。的否定為

玉o—2%+a<O(awR),故選C.

3.A

【解析】

依據無窮等比數列求和公式，先求出首項4,再求出出，利用無窮等比數列求和公式即可求出結果。

【詳解】

,1,1

因為無窮等比數列｛為｝的公比為2,則無窮等比數歹1)｛一｝的公比為一。

an2

￡

1112Z72

由hm(一+—+---+----)=二有，一!—=->解得4=2,所以劣=4,

…4%a2n_｝313

1--

4

lim(—+—+??■+-)=-^―=-,故選A。

f?2?41_A3

4

本題主要考查無窮等比數列求和公式的應用。

4.D

【解析】

根據指數函數的性質，取得”,仇c的取值范圍，即可求解，得到答案.

【詳解】

由指數函數的性質，可得1>0.6°5>0.5°5>0.506>0，即

又由C=2°'5>1，所以c>b>a.

故選：D.

本題主要考查了指數累的比較大小，其中解答中熟記指數函數的性質，求得”,仇。的取值范圍是解答的關鍵，著重考

查了計算能力，屬于基礎題.

5.C

【解析】

先用誘導公式得/(x)=-sin=cosx+g,再根據函數圖像平移的方法求解即可.

【詳解】

函數/(X)=-SinX-W=cosx+。的圖象可由y=cos%向左平移？個單位得到，如圖所示,/(%)在g加上先

本題考查三角函數的平移與單調性的求解.屬于基礎題.

6.A

【解析】

由已知可得口,”)的單調性，再由7(2-%)=-/(幻可得/(X)對稱性，可求出/(X)在(-8,1)單調性，即可求出結論.

【詳解】

對于任意xeR,函數/(X)滿足f(2-x)=-/(%),

因為函數/(尤)關于點(1,0)對稱,

當xNl時，/(x)=GT是單調增函數,

所以f(x)在定義域R上是單調增函數.

因為—<—<一,所以/

232

b<c<a.

故選:A.

本題考查利用函數性質比較函數值的大小，解題的關鍵要掌握函數對稱性的代數形式，屬于中檔題..

7.D

【解析】

根據中點在y軸上，設出A,B兩點的坐標A(T,r+/2),C>0).對f分成=三類，利用

Q4LC歸則殖.礪=0,列方程，化簡后求得a=-L，利用導數求得」;的值域，由此求得。的取值范圍.

]ntInr

【詳解】

根據條件可知A，B兩點的橫坐標互為相反數，不妨設A(fr+巧，B(tJ⑴),(/>0),若/<1,則于(t)=-t3+/，

由。所以次?赤=0,即—r+(/+/2)(—73+/2)=0,方程無解；若顯然不滿足Q4,06；若/>1,

”、aIn%_?2/32a]nt八t「，ln?-lt

則/⑺=/?+D,由。4k.03=0，即一廠+(廠+廠~~=。，即4=---,因為~~所以函數一

t(t+1)In%(in?)Inf

在(O,e)上遞減，在(e,M)上遞增，故在/=e處取得極小值也即是最小值*=e,所以函數y=±在(1+8)上的

值域為[e,+oo),故ae[e,+8).故選D.

本小題主要考查平面平面向量數量積為零的坐標表示，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查利用導數研究函數的最

小值，考查分析與運算能力，屬于較難的題目.

8.D

【解析】

因為a=log0080.04=2log0080.2=log師0.2>log至1=0,b=log030.2>log031=0,

所以工=log02A/O08,-=log0,0.3且y=log02x在(0,+“)上單調遞減，且血質<0.3

ab

所以所以匕>a,

ab

又因為a=log的麗0.2>log向麗=1,c=O,3004<0.3°=1>所以

所以Z?>a>c.

故選：D.

本題考查利用指對數函數的單調性比較指對數的大小，難度一般.除了可以直接利用單調性比較大小，還可以根據中間

值“0,1”比較大小.

9.C

【解析】

把截面EFG畫完整，可得P在AC上，由。］。=，萬知。在以。為圓心1為半徑的四分之一圓上，利用對稱性可得

PM+PQ的最小值.

【詳解】

如圖，分別取G，，24,AA的中點連接GH,HI」J,JE,易證瓦￡G,J共面，即平面ERG為截面

EFGHIJ,連接A2，￡>C，AC,由中位線定理可得AC//E產，平面ERG,EFu平面EFG,貝UAC//平

面EFG,同理可得AQ//平面EPG,由ACIAR=A可得平面A。。//平面ERG,又2。//平面跖G,P在

平面ABCD上，PeAC.

r

正方體中DD,1平面ABCD,從而有DDX1DQ，,DQ=而5二=1,Q在以。為圓心1為半徑的四分

之一圓（圓在正方形ABC。內的部分）上，

顯然M關于直線AC的對稱點為E，

PM+PQ=PE+PQ>PE+PD-DQ>ED-DQ=A/42+22-1=2際—1，當且僅當E,P,Q,O共線時取等號，

?，.所求最小值為2出-1.

故選：C.

本題考查空間距離的最小值問題，解題時作出正方體的完整截面求出P點軌跡是第一個難點，第二個難點是求出。點

軌跡，第三個難點是利用對稱性及圓的性質求得最小值.

10.A

【解析】

根據題意可知最后計算的結果為a,b的最大公約數.

【詳解】

輸入的。，6分別為176,320,根據流程圖可知最后計算的結果為a,6的最大公約數，按流程圖計算

320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16176和320的最大公約

數為16,

故選:A.

本題考查的是利用更相減損術求兩個數的最大公約數，難度較易.

11.c

【解析】

設尸(x,/),求|AP『，作為X的函數，其最小值是6,利用導數知識求|AP『的最小值.

【詳解】

設P(x,e*),貝可A/f=(x—t)2+e2”,記g(x)=6?工+(x-y,

g'(x)=2e2x+2(x-t),易知g'(x)=2e?x+2(x-f)是增函數，且g'(x)的值域是R,

的唯一解質,且時，〉/時，即

g'(x)=OTV5g'(x)<0,Xg'(x)>0,g(x)1nhi=g(x()),

由題意。而—e"x°,

g(x())=e"'°+(X—f)2=6,g'(Xo)=2e-'°+2(%—f)=0,x0—/=

In2

/.e2x°+e4x°=6,解得e2，°=2，5~T

2"cIn2

e°+xo=2+^-?

故選：C.

本題考查導數的應用，考查用導數求最值.解題時對天和/的關系的處理是解題關鍵.

12.C

【解析】

根據題意，將縱b代入a+/，利用基本不等式求出最小值即可.

【詳解】

Vci>0,b>0,a+b=l,

c1,1,1,1u

a+/3=a+—+b+—=l+—>1+---------二=5

abab(a+b\

2

當且僅當a=b=工時取"=”號.

2

答案：C

本題考查基本不等式的應用，“1”的應用，利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的

內涵：一正是首先要判斷參數是否為正；二定是其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是最

后一定要驗證等號能否成立，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.②

【解析】

命題FxGR,x?+l>3x”的否定是"VxGR,X2+1W3X”,故①錯誤；"pVq"為假命題說明p假q假，則(~'pl/V-'q)為

真命題，故②正確；a>5今a>2,但a>2今/a>5,故“a>2”是“a>5”的必要不充分條件，故③錯誤；因為“若xy=O,

則x=0或y=0"，所以原命題為假命題，故其逆否命題也為假命題，故④錯誤.

14.262

【解析】

根據正弦定理直接求出AC,利用三角形的邊表示向量然后利用向量的數量積求解而?前即可.

【詳解】

7171

?.?△ABC中，AB=2,B=-,C=-,

46

.AC_AB

sinBsinC

可得AC=2&

因為點尸是邊BC的中點，

所以Q.瓦」(麗+恁〉〃」(礪

2222

=-x(2^)2--x22=2

22

故答案為：2虎；2.

本題主要考查了三角形的解法，向量的數量積的應用，考查計算能力，屬于中檔題.

15.V15

【解析】

利用直線與圓相切求出斜率左，得到直線的方程，幾何法求出|A6|

【詳解】

解:直線/：>=履+3與圓。相切，C圓心為(0,1)

|-1+3|,廣廣

由“2+]=1'得k=或—>

當y=—gx+3時，C到直線的距離d=6節=3>q6,不成立，

當>=耳+3時，/與圓C相交于A，B兩點,C到直線的距離1=株*=m，1421=2/6-■|=后

故答案為JI?.

考查直線與圓的位置關系，相切和相交問題，屬于中檔題.

16.100

【解析】

某層抽取的人數等于該層的總人數乘以抽樣比.

【詳解】

y

設抽取的樣本容量為X,由已知，30=240X--------------,解得x=100.

160+240+400

故答案為：100

本題考查隨機抽樣中的分層抽樣，考查學生基本的運算能力，是一道容易題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)見解析；(2)a<\

【解析】

⑴設g(x)=/z'(x)=L—cosx,g'(x)=」+sinx,注意到g'(x)在(0=］上單增，再利用零點存在性定理即可解

%xI

決；

2JiJI4乃

(2)函數y=/(2x)——/在0,—上單調遞減，則y<0在0,—恒成立，即2ox-sin2x——/<0在0,—上

3_2__2_3_2_

一

恒成立，構造函數根(％)=2〃%一3山2%一§4Xa3,求導討論皿%)的最值即可.

【詳解】

(1)由已知，f\x)=x-sinx,所以/z(x)=ln%—sinx,

，1-1

設g(x)=h(x)=——cosx,g(x)=—+sinx,

xx

當時，g'(x)單調遞增，而g'⑴<0,g'O,且g'(x)在上圖象連續

不斷.所以g'(x)在［o,|^上有唯一零點々，

當xe(0,tz)時，g"(x)<0；當時，g'(x)>0；

???g(x)在(0,tz)單調遞減，在［a,單調遞增，故g(x)在區間［o,(J上存在唯一的極小

值點，即"(x)在區間10,上存在唯一的極小值點；

(2)設左(x)=x-sin%,xe［0,+oo),=l-cosx>0,

/.k(x)在［0,+GO)單調遞增,k(x)>k(0)=0,

即％Nsinx,從而sin2%<2i,

27C

因為函數y=/(2x)—qx4在0,-上單調遞減，

3乙

4T7C1

m(x)=2ax-sm2x--x<Olt0,—上恒成立,

2

令加(%)=2a-2cos2%一412=p(x),

sin2x<2x,

p(%)=4sin2x-8x<0,

冗,,

加(x)在0,—上單調遞減，m(x)max=m(0)=2tz-2,

當aWl時，〃z(x)<0,貝打”(無)在0,-上單調遞減，m(x)<m(0)=0,符合題意.

,71

當。>1時，wi(x)在0,—上單調遞減,

m(0)=2a-2>0所以一定存在x0ef0,—

當0<兀</時，〃/(x)〉0,鞏尤)在［0,%)上單調遞增，m(xo)>m(O)=O

與題意不符，舍去.

綜上，。的取值范圍是aWl

本題考查利用導數研究函數的極值點、不等式恒成立問題，在處理恒成立問題時，通常是構造函數，轉化成函數的最

值來處理，本題是一道較難的題.

18.(1)見解析；(2)最大值為9.

【解析】

(1)將函數y=/(可表示為分段函數，利用函數的單調性求出該函數的最小值，進而可證得結論成立；

171212

(2)由2a+b?幻5可得出fW—+/，并將代數式一+,與a+2)相乘，展開后利用基本不等式可求得一+二的最小

ababab

值，進而可得出實數?的最大值.

【詳解】

C7a

—5x—〃+仇x<—

2

ia/7

(1)v/(x)=2x+(2+x-/?=<x+a+b,——<x<b.

2

3x+a-b,x>b

當x<—］時，函數y=/(x)單調遞減，則/(￡)〉/［一"IJ；

當—時，函數y=/(x)單調遞增，則/［一"l］</(%)</㈤；

當x>b時，函數y=/(x)單調遞增，則/(%)>/0).

綜上所述，/(x)之/，■!■］=￡+6=g，所以a+2b=l；

(2)因為2。+/?2幻〃恒成立，且a>0,b>0,所以/《世也恒成立，即/<?.

ab\ba)mia

因為2+4=［2+工］(。+24=5+竺+2之5+2J亞?2=9,當且僅當a=人=」時等號成立，

ba\baJab\ab3

所以/49,實數/的最大值為9.

本題考查含絕對值函數最值的求解，同時也考查了利用基本不等式恒成立求參數，考查推理能力與計算能力，屬于中

等題.

19.(1)/I-I=3+V3(2)/(%)的遞減區間為—和

【解析】

71

(1)化簡函數/(%),代入%=一,計算即可；

12

n

(2)先利用正弦函數的圖象與性質求出函數的單調遞減區間，再結合工￡飛兀即可求出.

【詳解】

(1),//(x)=6cos2X-A/3sin2x=3(1+cos2x)-百sin2x

=-v3sin2x+3cos2x+3

兀兀兀

(2)令----F2k7i<2x-----<—F2k兀,k&Z,

2132

兀57r

解得-----FkjiWxW-----Fk/c,k&Z.

1212

JI57r

即函數/(x)的所有減區間為一:+k兀,-+k兀，左eZ,

nn5萬11〃

考慮到xe—,n取左=0,1,可得xe——，萬

12

?乃5乃11萬

故/(x)的遞減區間為石'和~\2'71'

本題主要考查了三角函數的恒等變形，正弦函數的圖象與性質，屬于中檔題.

20.(1)79顆;(2)5.5秒.

【解析】

(1)利用各小矩形的面積和為1可得“，進而得到脈沖星自轉周期在2至10秒的頻率，從而得到頻數;

(2)平均值的估計值為各小矩形組中值與頻率的乘積的和得到.

【詳解】

(1)第一到第六組的頻率依次為

0.1,0.2,0.3,0.2,2a,0.05,其和為1

所以2a=1-(0.1+0.2+0.3+0.2+0.05),a=0,075,

所以，自轉周期在2至10秒的大約有93x(1—0.15)=79.05。79(顆).

(2)新發現的脈沖星自轉周期平均值為

0.1x1+0.2x3+0.3x5+0.2x7+0.15x9+0.05x11=5.5(秒).

故新發現的脈沖星自轉周期平均值為5.5秒.

本題考查頻率分布直方圖的應用，涉及到平均數的估計值等知識，是一道容易題.

2

21.(1)^-+y=1,x+y=4(2)Jmax=272+^-

【解析】

試題分析：利用夕0?6=羽夕5111。=丁將極坐標方程化為直角坐標方程：夕cos(