2022年全國新高考II卷數(shù)學試題變式題17-19題原題171．已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．變式題1基礎2．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＋1＝Sn－－，a1＝－1.（1）求證：{2nSn＋2n}是等差數(shù)列；（2）若{an}中，只有三項滿足，求實數(shù)λ的取值范圍.變式題2基礎3．已知數(shù)列的前n項和為，正項等比數(shù)列的首項為，且．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)求使不等式成立的所有正整數(shù)n組成的集合．變式題3基礎4．設數(shù)列的前n項和為．數(shù)列為等比數(shù)列，且成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求的最小值．變式題4基礎5．已知等差數(shù)列的首項，公差．記的前n項和為．(1)若，求；(2)若對于每個，存在實數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．變式題5鞏固6．已知數(shù)列中，.（1）求證：數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；（2）令為數(shù)列的前項和，求使得的的最小值.變式題6鞏固7．在數(shù)列中，已知，()．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，數(shù)列的前n項和為，求使得的整數(shù)n的最小值．變式題7鞏固8．已知數(shù)列和滿足，，且.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，求滿足的正整數(shù)的值.變式題8鞏固9．已知數(shù)列的首項，且滿足N*）．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若＜100，求滿足條件的最大正整數(shù)n．變式題9提升10．已知數(shù)列的前n項和，數(shù)列滿足．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設，數(shù)列的前n項和為，求滿足的n的最大值．變式題10提升11．已知單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足，且是，的等差中項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的前項和為，求滿足不等式成立的所有正整數(shù)，組成的有序?qū)崝?shù)對．變式題11提升12．已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式和；(2)若數(shù)列的通項公式為，記數(shù)列的前項和為，若存在，使得對任意，總有成立，求實數(shù)的取值范圍．變式題12提升13．已知是公差不為0的等差數(shù)列，為其前n項和，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)試求所有的正整數(shù)m，使得為數(shù)列中的項.原題1814．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．變式題1基礎15．如圖，在中，，，，點D在邊BC上，且．(1)求AD；(2)求的面積．變式題2基礎16．如圖，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AB＝6，，，點D在邊BC上，且∠ADC＝60°．(1)求cosB與△ABC的面積；(2)求線段AD的長．變式題3基礎17．內(nèi)角，、、對應的邊分別為、、，且，(1)求；(2)若，求的面積．變式題4基礎18．在中，內(nèi)角對應的邊分別為，，向量與向量互相垂直.(1)求的面積；(2)若，求的值.變式題5鞏固19．在中，，，分別是角，，的對邊．若，，．(1)求的長；(2)求的面積．變式題6鞏固20．在中，角所對的邊分別為平分，交于點，已知，.(1)求的面積；(2)若的中點為，求的長.變式題7鞏固21．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，(1)求a；(2)若，D是線段BC上一點（不包括端點），且AD⊥AC，求△ABD的面積．變式題8鞏固22．如圖，在中，，，，點M?N是邊AB上的兩點，.(1)求的面積；(2)當，求MN的長.變式題9提升23．已知△中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足，且.(1)求邊a；(2)當時，求△的面積.變式題10提升24．如圖，在四邊形中，.(1)求的長；(2)若，求的面積.變式題11提升25．已知在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程為，角C為函數(shù)的零點.(1)若，求面積的最大值；(2)若D為BC邊上一點，且的面積為8，角B為銳角，，，求AC的長.變式題12提升26．在中，角、、所對的邊分別為，，，已知．(1)若，，若為的中點，求線段的長；(2)若，求面積的最大值．原題1927．在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.變式題1基礎28．某公司全體員工的年齡的頻率分布表如下表所示，其中男員工年齡的頻率分布直方圖如圖所示.已知該公司年齡在35歲以下的員工中，男、女員工的人數(shù)相等.年齡（歲）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）[50，55）[55，60）合計人數(shù)681123189580(1)求圖中實數(shù)a的值，并估計該公司男員工的平均年齡；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）(2)若從年齡在[55，60）的員工中隨機抽取2人參加活動，求這2人中至少有1名女員工的概率.變式題1基礎29．在某市舉行的一次市質(zhì)檢考試中，為了調(diào)查考試試題的有效性以及試卷的區(qū)分度，該市教研室隨機抽取了參加本次質(zhì)檢考試的100名學生的數(shù)學考試成績，并將其統(tǒng)計如下表所示.成績?nèi)藬?shù)62442208(1)試估計本次質(zhì)檢中數(shù)學測試成績樣本的平均數(shù)（以各組區(qū)間的中點值作為代表）；(2)現(xiàn)按分層抽樣的方法從成績在及之間的學生中隨機抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行試卷分析，求這2人的成績都在之間的概率.變式題3基礎30．我校近幾年加大了對學生奧賽的培訓，為了選擇培訓的對象，今年月我校進行一次數(shù)學競賽，從參加競賽的同學中，選取名同學將其成績（百分制，均為整數(shù)）分成六組：第組，第組，第組，第組，第組，第組，得到頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題：(1)利用組中值估計本次考試成績的平均數(shù)；(2)從頻率分布直方圖中，估計第百分位數(shù)是多少；(3)已知學生成績評定等級有優(yōu)秀、良好、一般三個等級，其中成績不小于分時為優(yōu)秀等級，若從第組和第組兩組學生中，隨機抽取人，求所抽取的人中至少人成績優(yōu)秀的概率．變式題4基礎31．如圖是某校高三（1）班的一次數(shù)學知識競賽成績的莖葉圖（圖中僅列出、的數(shù)據(jù)）和頻率分布直方圖.(1)求全班人數(shù)以及頻率分布直方圖中的、；(2)估計學生競賽成績的平均數(shù)和中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）.(3)從得分在和中學生中隨機抽取兩人，求所抽取的兩人中至少有一人的得分在區(qū)間的概率是多少？變式題5鞏固32．某校組織學生觀看“太空授課”，激發(fā)了學生的學習熱情.學校組織1000名學生進行科學探索知識競賽，成績分成5組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.若圖中未知的數(shù)據(jù)a，b，c成等差數(shù)列，成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為400.(1)求出直方圖中a，b，c的值；(2)估計中位數(shù)（精確到0.1）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；(3)若從得分在區(qū)間內(nèi)的學生中抽取2人編號為A，B，從得分在區(qū)間內(nèi)的學生中抽取6人編號為1，2，3，4，5，6，組成幫助小組，從1，2，3，4，5，6中選3個人幫助A，余下的3個人幫助B，求事件“1，2幫助A”的概率.變式題5鞏固33．2022年，是中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年，為引導和帶動青少年重溫共青團百年光輝歷程，某校組織全體學生參加共青團百年歷史知識競賽，現(xiàn)從中隨機抽取了100名學生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：[40，50）、[50，60）、[60，70）、、[90，100]，統(tǒng)計結果如圖所示：(1)試估計這100名學生得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表）；(2)試估計這100名學生得分的中位數(shù)（結果保留兩位小數(shù)）；(3)現(xiàn)在按分層抽樣的方法在[80，90）和[90，100]兩組中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人參加這次競賽的交流會，試求兩組各有一人被抽取的概率.變式題7鞏固34．某中學為研究本校高三學生在市聯(lián)考中的語文成績，隨機抽取了100位同學的語文成績作為樣本，得到以分組的樣本頻率分布直方圖如圖．(1)求直方圖中的值；(2)請估計本次聯(lián)考該校語文成績的中位數(shù)和平均數(shù)；(3)樣本內(nèi)語文分數(shù)在的兩組學生中，用分層抽樣的方法抽取5名學生，再從這5名學生中隨機選出2人，求選出的兩名學生中恰有一人成績在中的概率．變式題8提升35．某校為檢測高一年級學生疫情期間網(wǎng)課的聽課效果，從年級隨機抽取名學生期初考試數(shù)學成績（單位：分），畫出頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是、、、、.(1)求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計這名學生數(shù)學成績的平均分；(2)從和分數(shù)段內(nèi)采用分層抽樣的方法抽取名學生，再從這名學生中隨機抽取名學生進行座談，求這名學生中有兩名成績在的概率；(3)已知（2）問中抽取的名同學中含有甲、乙兩人，甲已經(jīng)被抽出座談，求乙也參與座談的概率.變式題9提升36．《漢字聽寫大會》不斷創(chuàng)收視新高，為了避免“書寫危機”，弘揚傳統(tǒng)文化，某市大約10萬名市民進行了漢字聽寫測試現(xiàn)從某社區(qū)居民中隨機抽取50名市民的聽寫測試情況，發(fā)現(xiàn)被測試市民正確書寫漢字的個數(shù)全部在160到184之間，將測試結果按如下方式分成六組：第1組，第2組，…，第6組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．(1)若電視臺記者要從抽取的市民中選1人進行采訪，求被采訪人恰好在第2組或第6組的概率；(2)試估計該市市民正確書寫漢字的個數(shù)的平均數(shù)與中位數(shù)；(3)已知第4組市民中有3名男性，組織方要從第4組中隨機抽取2名市民組成弘揚傳統(tǒng)文化宣傳隊，求至少有1名女性市民的概率．變式題10提升37．新冠肺炎疫情期間，某地為了了解本地居民對當?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從本地居民中隨機抽取若干居民進行評分（滿分為100分），根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下頻率分布直方圖，已知評分在的居民有660人.(1)求頻率分布直方圖中的值及所調(diào)查的總?cè)藬?shù)；(2)從頻率分布直方圖中，估計本次評測分數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)（精確到0.1）；(3)為了今后更好地完成當?shù)氐姆酪吖ぷ鳎块T又按照分層抽樣的方法，從評分在的居民中選出6人進行詳細的調(diào)查，再從中選取兩人進行面對面溝通，求選出的兩人恰好都是評分在之間的概率.變式題11提升38．《中共中央國務院關于深入打好污染防治攻堅戰(zhàn)的意見》提出“構建智慧高效的生態(tài)環(huán)境管理信息化體系”，下一步，需加快推進5G、物聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、云計算等新信息技術在生態(tài)環(huán)境保護領域的建設與應用，實現(xiàn)生態(tài)環(huán)境管理信息化、數(shù)字化、智能化．某科技公司開發(fā)出一款生態(tài)環(huán)保產(chǎn)品，已知該環(huán)保產(chǎn)品每售出1件預計利潤為0.4萬元，當月未售出的環(huán)保產(chǎn)品，每件虧損0.2萬元．根據(jù)市場調(diào)研，該環(huán)保產(chǎn)品的市場月需求量在內(nèi)取值，將月需求量區(qū)間平均分成5組，畫出頻率分布直方圖如下．(1)請根據(jù)頻率分布直方圖，估計該環(huán)保產(chǎn)品的市場月需求量的平均值和方差．(2)若該環(huán)保產(chǎn)品的月產(chǎn)量為185件，x（單位：件，，）表示該產(chǎn)品一個月內(nèi)的市場需求量，y（單位：萬元）表示該公司生產(chǎn)該環(huán)保產(chǎn)品的月利潤．①將y表示為x的函數(shù)；②以頻率估計概率，標準差s精確到1，根據(jù)頻率分布直方圖估計且y不少于68萬元的概率．變式題12提升39．為響應國家“學習強國”的號召、培養(yǎng)同學們的“社會主義核心價值觀”，我校團委鼓勵全校學生積極學習相關知識，并組織知識競賽．今隨機對其中的名同學的初賽成績滿分：分作統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖有數(shù)據(jù)缺失．請大家完成下面的問題：(1)根據(jù)直方圖求以下表格中、的值；成績頻數(shù)(2)求參賽同學初賽成績的平均數(shù)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表；(3)若從這名參加初賽的同學中按等比例分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，再在該樣本中成績不低于分的同學里任選人繼續(xù)參加教育局組織的校際比賽，求抽到的人中恰好人的分數(shù)低于分且人的分數(shù)不低于分的概率．（寫出求解步驟）2022年全國新高考II卷數(shù)學試題變式題17-19題原題171．已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．變式題1基礎2．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＋1＝Sn－－，a1＝－1.（1）求證：{2nSn＋2n}是等差數(shù)列；（2）若{an}中，只有三項滿足，求實數(shù)λ的取值范圍.變式題2基礎3．已知數(shù)列的前n項和為，正項等比數(shù)列的首項為，且．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)求使不等式成立的所有正整數(shù)n組成的集合．變式題3基礎4．設數(shù)列的前n項和為．數(shù)列為等比數(shù)列，且成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求的最小值．變式題4基礎5．已知等差數(shù)列的首項，公差．記的前n項和為．(1)若，求；(2)若對于每個，存在實數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．變式題5鞏固6．已知數(shù)列中，.（1）求證：數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；（2）令為數(shù)列的前項和，求使得的的最小值.變式題6鞏固7．在數(shù)列中，已知，()．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，數(shù)列的前n項和為，求使得的整數(shù)n的最小值．變式題7鞏固8．已知數(shù)列和滿足，，且.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，求滿足的正整數(shù)的值.變式題8鞏固9．已知數(shù)列的首項，且滿足N*）．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若＜100，求滿足條件的最大正整數(shù)n．變式題9提升10．已知數(shù)列的前n項和，數(shù)列滿足．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設，數(shù)列的前n項和為，求滿足的n的最大值．變式題10提升11．已知單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足，且是，的等差中項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的前項和為，求滿足不等式成立的所有正整數(shù)，組成的有序?qū)崝?shù)對．變式題11提升12．已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式和；(2)若數(shù)列的通項公式為，記數(shù)列的前項和為，若存在，使得對任意，總有成立，求實數(shù)的取值范圍．變式題12提升13．已知是公差不為0的等差數(shù)列，為其前n項和，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)試求所有的正整數(shù)m，使得為數(shù)列中的項.原題1814．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．變式題1基礎15．如圖，在中，，，，點D在邊BC上，且．(1)求AD；(2)求的面積．變式題2基礎16．如圖，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AB＝6，，，點D在邊BC上，且∠ADC＝60°．(1)求cosB與△ABC的面積；(2)求線段AD的長．變式題3基礎17．內(nèi)角，、、對應的邊分別為、、，且，(1)求；(2)若，求的面積．變式題4基礎18．在中，內(nèi)角對應的邊分別為，，向量與向量互相垂直.(1)求的面積；(2)若，求的值.變式題5鞏固19．在中，，，分別是角，，的對邊．若，，．(1)求的長；(2)求的面積．變式題6鞏固20．在中，角所對的邊分別為平分，交于點，已知，.(1)求的面積；(2)若的中點為，求的長.變式題7鞏固21．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，(1)求a；(2)若，D是線段BC上一點（不包括端點），且AD⊥AC，求△ABD的面積．變式題8鞏固22．如圖，在中，，，，點M?N是邊AB上的兩點，.(1)求的面積；(2)當，求MN的長.變式題9提升23．已知△中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足，且.(1)求邊a；(2)當時，求△的面積.變式題10提升24．如圖，在四邊形中，.(1)求的長；(2)若，求的面積.變式題11提升25．已知在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程為，角C為函數(shù)的零點.(1)若，求面積的最大值；(2)若D為BC邊上一點，且的面積為8，角B為銳角，，，求AC的長.變式題12提升26．在中，角、、所對的邊分別為，，，已知．(1)若，，若為的中點，求線段的長；(2)若，求面積的最大值．原題1927．在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.變式題1基礎28．某公司全體員工的年齡的頻率分布表如下表所示，其中男員工年齡的頻率分布直方圖如圖所示.已知該公司年齡在35歲以下的員工中，男、女員工的人數(shù)相等.年齡（歲）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）[50，55）[55，60）合計人數(shù)681123189580(1)求圖中實數(shù)a的值，并估計該公司男員工的平均年齡；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）(2)若從年齡在[55，60）的員工中隨機抽取2人參加活動，求這2人中至少有1名女員工的概率.變式題1基礎29．在某市舉行的一次市質(zhì)檢考試中，為了調(diào)查考試試題的有效性以及試卷的區(qū)分度，該市教研室隨機抽取了參加本次質(zhì)檢考試的100名學生的數(shù)學考試成績，并將其統(tǒng)計如下表所示.成績?nèi)藬?shù)62442208(1)試估計本次質(zhì)檢中數(shù)學測試成績樣本的平均數(shù)（以各組區(qū)間的中點值作為代表）；(2)現(xiàn)按分層抽樣的方法從成績在及之間的學生中隨機抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行試卷分析，求這2人的成績都在之間的概率.變式題3基礎30．我校近幾年加大了對學生奧賽的培訓，為了選擇培訓的對象，今年月我校進行一次數(shù)學競賽，從參加競賽的同學中，選取名同學將其成績（百分制，均為整數(shù)）分成六組：第組，第組，第組，第組，第組，第組，得到頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題：(1)利用組中值估計本次考試成績的平均數(shù)；(2)從頻率分布直方圖中，估計第百分位數(shù)是多少；(3)已知學生成績評定等級有優(yōu)秀、良好、一般三個等級，其中成績不小于分時為優(yōu)秀等級，若從第組和第組兩組學生中，隨機抽取人，求所抽取的人中至少人成績優(yōu)秀的概率．變式題4基礎31．如圖是某校高三（1）班的一次數(shù)學知識競賽成績的莖葉圖（圖中僅列出、的數(shù)據(jù)）和頻率分布直方圖.(1)求全班人數(shù)以及頻率分布直方圖中的、；(2)估計學生競賽成績的平均數(shù)和中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）.(3)從得分在和中學生中隨機抽取兩人，求所抽取的兩人中至少有一人的得分在區(qū)間的概率是多少？變式題5鞏固32．某校組織學生觀看“太空授課”，激發(fā)了學生的學習熱情.學校組織1000名學生進行科學探索知識競賽，成績分成5組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.若圖中未知的數(shù)據(jù)a，b，c成等差數(shù)列，成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為400.(1)求出直方圖中a，b，c的值；(2)估計中位數(shù)（精確到0.1）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；(3)若從得分在區(qū)間內(nèi)的學生中抽取2人編號為A，B，從得分在區(qū)間內(nèi)的學生中抽取6人編號為1，2，3，4，5，6，組成幫助小組，從1，2，3，4，5，6中選3個人幫助A，余下的3個人幫助B，求事件“1，2幫助A”的概率.變式題5鞏固33．2022年，是中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年，為引導和帶動青少年重溫共青團百年光輝歷程，某校組織全體學生參加共青團百年歷史知識競賽，現(xiàn)從中隨機抽取了100名學生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：[40，50）、[50，60）、[60，70）、、[90，100]，統(tǒng)計結果如圖所示：(1)試估計這100名學生得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表）；(2)試估計這100名學生得分的中位數(shù)（結果保留兩位小數(shù)）；(3)現(xiàn)在按分層抽樣的方法在[80，90）和[90，100]兩組中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人參加這次競賽的交流會，試求兩組各有一人被抽取的概率.變式題7鞏固34．某中學為研究本校高三學生在市聯(lián)考中的語文成績，隨機抽取了100位同學的語文成績作為樣本，得到以分組的樣本頻率分布直方圖如圖．(1)求直方圖中的值；(2)請估計本次聯(lián)考該校語文成績的中位數(shù)和平均數(shù)；(3)樣本內(nèi)語文分數(shù)在的兩組學生中，用分層抽樣的方法抽取5名學生，再從這5名學生中隨機選出2人，求選出的兩名學生中恰有一人成績在中的概率．變式題8提升35．某校為檢測高一年級學生疫情期間網(wǎng)課的聽課效果，從年級隨機抽取名學生期初考試數(shù)學成績（單位：分），畫出頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是、、、、.(1)求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計這名學生數(shù)學成績的平均分；(2)從和分數(shù)段內(nèi)采用分層抽樣的方法抽取名學生，再從這名學生中隨機抽取名學生進行座談，求這名學生中有兩名成績在的概率；(3)已知（2）問中抽取的名同學中含有甲、乙兩人，甲已經(jīng)被抽出座談，求乙也參與座談的概率.變式題9提升36．《漢字聽寫大會》不斷創(chuàng)收視新高，為了避免“書寫危機”，弘揚傳統(tǒng)文化，某市大約10萬名市民進行了漢字聽寫測試現(xiàn)從某社區(qū)居民中隨機抽取50名市民的聽寫測試情況，發(fā)現(xiàn)被測試市民正確書寫漢字的個數(shù)全部在160到184之間，將測試結果按如下方式分成六組：第1組，第2組，…，第6組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．(1)若電視臺記者要從抽取的市民中選1人進行采訪，求被采訪人恰好在第2組或第6組的概率；(2)試估計該市市民正確書寫漢字的個數(shù)的平均數(shù)與中位數(shù)；(3)已知第4組市民中有3名男性，組織方要從第4組中隨機抽取2名市民組成弘揚傳統(tǒng)文化宣傳隊，求至少有1名女性市民的概率．變式題10提升37．新冠肺炎疫情期間，某地為了了解本地居民對當?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從本地居民中隨機抽取若干居民進行評分（滿分為100分），根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下頻率分布直方圖，已知評分在的居民有660人.(1)求頻率分布直方圖中的值及所調(diào)查的總?cè)藬?shù)；(2)從頻率分布直方圖中，估計本次評測分數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)（精確到0.1）；(3)為了今后更好地完成當?shù)氐姆酪吖ぷ鳎块T又按照分層抽樣的方法，從評分在的居民中選出6人進行詳細的調(diào)查，再從中選取兩人進行面對面溝通，求選出的兩人恰好都是評分在之間的概率.變式題11提升38．《中共中央國務院關于深入打好污染防治攻堅戰(zhàn)的意見》提出“構建智慧高效的生態(tài)環(huán)境管理信息化體系”，下一步，需加快推進5G、物聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、云計算等新信息技術在生態(tài)環(huán)境保護領域的建設與應用，實現(xiàn)生態(tài)環(huán)境管理信息化、數(shù)字化、智能化．某科技公司開發(fā)出一款生態(tài)環(huán)保產(chǎn)品，已知該環(huán)保產(chǎn)品每售出1件預計利潤為0.4萬元，當月未售出的環(huán)保產(chǎn)品，每件虧損0.2萬元．根據(jù)市場調(diào)研，該環(huán)保產(chǎn)品的市場月需求量在內(nèi)取值，將月需求量區(qū)間平均分成5組，畫出頻率分布直方圖如下．(1)請根據(jù)頻率分布直方圖，估計該環(huán)保產(chǎn)品的市場月需求量的平均值和方差．(2)若該環(huán)保產(chǎn)品的月產(chǎn)量為185件，x（單位：件，，）表示該產(chǎn)品一個月內(nèi)的市場需求量，y（單位：萬元）表示該公司生產(chǎn)該環(huán)保產(chǎn)品的月利潤．①將y表示為x的函數(shù)；②以頻率估計概率，標準差s精確到1，根據(jù)頻率分布直方圖估計且y不少于68萬元的概率．變式題12提升39．為響應國家“學習強國”的號召、培養(yǎng)同學們的“社會主義核心價值觀”，我校團委鼓勵全校學生積極學習相關知識，并組織知識競賽．今隨機對其中的名同學的初賽成績滿分：分作統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖有數(shù)據(jù)缺失．請大家完成下面的問題：(1)根據(jù)直方圖求以下表格中、的值；成績頻數(shù)(2)求參賽同學初賽成績的平均數(shù)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表；(3)若從這名參加初賽的同學中按等比例分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，再在該樣本中成績不低于分的同學里任選人繼續(xù)參加教育局組織的校際比賽，求抽到的人中恰好人的分數(shù)低于分且人的分數(shù)不低于分的概率．（寫出求解步驟）參考答案：1．(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）設數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；（2）根據(jù)題意化簡可得，即可解出．（1）設數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數(shù)為．2．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關系化簡，結合等差數(shù)列定義即可證明；（2）由和與通項關系求得數(shù)列通項公式，分析數(shù)列的單調(diào)性即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴．∵，所以，是以為首項，以為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可知，，∴．當時，，∵，所以，的通項公式為．∴，，，，，．當時，，即，也就是說，數(shù)列從第項起，是遞減數(shù)列．所以，實數(shù)的取值范圍是．3．(1),(2)【分析】（1）由與的關系可求得，由等比數(shù)列的基本量，可得；（2）根據(jù)單調(diào)性及不等式的解可求解問題.（1）因為數(shù)列的前n項和為，所以當時，；當時，，滿足上式，故.所以，從而,化為，又因為數(shù)列為正項等比數(shù)列且，設公比為，且，又，解得或（舍），從而.（2）不等式轉(zhuǎn)化為，即，記，，當時，，從而單調(diào)遞減，所以.因此使不等式成立的所有正整數(shù)組成的集合為.4．(1)(2)4【分析】（1）先根據(jù)等比數(shù)列通項公式寫出，然后根據(jù)成等差可以求出，即可求出數(shù)列的通項公式.（2）先根據(jù)可知將n分奇偶性進行討論，然后根據(jù)數(shù)列單調(diào)性求出取值范圍即可知的最小值.（1）解：由題意得：設數(shù)列的公比為．由，得，即成等差數(shù)列，即，解得，或（舍去）．（2）由，當時，，兩式相減得，，對也成立所以設當n為奇數(shù)時，可遞減數(shù)列，所以當n為偶數(shù)時，為遞增數(shù)列，所以所以的最小值為4．5．(1)(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列通項公式及前項和公式化簡條件，求出，再求；(2)由等比數(shù)列定義列方程，結合一元二次方程有解的條件求的范圍.（1）因為，所以，所以，又，所以，所以，所以，（2）因為，，成等比數(shù)列，所以，，，由已知方程的判別式大于等于0，所以，所以對于任意的恒成立，所以對于任意的恒成立，當時，，當時，由，可得當時，，又所以6．（1）證明見解析；（2）最小值為.【分析】（1）將遞推關系式變形為即可證明；（2）先求出數(shù)列的通項公式，再分奇偶討論求，然后解不等式即可.【詳解】（1）由得：，即，即有數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；（2）由（1）知：即，當為偶數(shù)時，，顯然無解；當為奇數(shù)時，，令，解得：，結合為奇數(shù)得：的最小值為所以的最小值為【點睛】方法點睛：一般根據(jù)遞推關系式要證明數(shù)列為什么數(shù)列，就根據(jù)遞推關系式同構成要證明的數(shù)列的結構即可.對于含有調(diào)節(jié)數(shù)列的結構在求和時一般要分奇偶討論.7．（1）證明見解析；（2）10．【分析】（1）由遞推式可得，并求出，依據(jù)等比數(shù)列的定義可證結論；（2）由（1）求出，進而寫出，應用裂項相消法求，最后依據(jù)題設不等式求的范圍，進而確定其最小值.【詳解】（1）證明：由，得，從而，∴，又，故數(shù)列為等比數(shù)列；（2）解：由（1）得，故，∴，，令，則，解得，∵，∴．故使得的整數(shù)n的最小值為10；8．（1），；（2）或.【分析】（1）推導出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得的通項公式，即可得出的通項公式，利用裂項求和法可求得的通項公式；（2）利用錯位相減法結合分組求和法可求得，根據(jù)已知條件可得出關于的二次不等式，結合可得出的取值.【詳解】（1）對任意的，，則，且，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項和公比均為，故，，因為，所以，；（2）設數(shù)列的前項和為，則，所以，，上式下式，得，所以，，，則，由可得，整理可得，解得，因為，故或.9．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知遞推公式得，由此可得證；（2）由（1）得，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可求得，再令，得函數(shù)的單調(diào)性和可得答案.（1）解：，，又，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．（2）解：由（1）可知，，，若，則，令，所以在上單調(diào)遞增，且，所以滿足條件的最大正整數(shù)．10．（1）證明見解析；（2）n的最大值為4．【分析】（1）根據(jù)的關系，討論、求對應的，再結合題設，即可證是等差數(shù)列；（2）由（1）可得，由通項公式，應用裂項相消法求，根據(jù)即可求n的最大值．【詳解】（1）證明：∵，∴當時，，即，當時，，則，整理得，∵，即．當時，，又∴數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列．（2）由（1）得，∴．∴∴由，得，故，∴n的最大值為4．11．(1)；(2)正整數(shù)m，n組成的有序?qū)崝?shù)對為(1，1)，(2，1)，(2，2).【分析】（1）設等比數(shù)列的公比為q，由題得，解方程組即得解；（2）化簡得，等價于，由題得m=1，2．解不等式即得解.（1）解：依題意，有，代入，得，解得，所以，設等比數(shù)列的公比為q，則，解得或.又單調(diào)遞減，所以，，于是．（2）解：由（1）知，，所以．則因為，所以又，所以，所以m=1，2．當m=1時，由，解得n=1；當m=2時，由，解得n=1，2．綜上，滿足不等式的所有正整數(shù)m，n組成的有序?qū)崝?shù)對為(1，1)，(2，1)，(2，2)．12．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，進而求得.（2）利用錯位相減求和法求得，由求得實數(shù)的取值范圍.（1）為等差數(shù)列，且，，即，又公差，．，所以，．（2），，，①，②①②得，，，，，且，時，，又，時，，存在，使得對任意，總有成立．，，實數(shù)的取值范圍為.13．(1)；(2).【分析】（1）先把已知條件用及d表示，然后聯(lián)立方程求基本量，寫出通項公式.（2）由（1）得，根據(jù)等差數(shù)列通項公式知為整數(shù)且m為正整數(shù)，進而求出m，并驗證是否符合題設.（1）由題設，，可得，所以.（2）由（1）知：，若使為數(shù)列中的項，則必須為整數(shù)且m為正整數(shù)，因此得或，當時，，而是數(shù)列的最小項，故不符合題意，舍去；當時，，符合題意，所以.14．(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，結合余弦定理及平方關系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.15．(1)(2)【分析】（1）先求，然后通過正弦定理即可得結果；（2）通過余弦定理解出三角形，再計算面積即可.（1）由題意得．在中，由正弦定理，得（2）由余弦定理，得，解得．因為，所以，所以．故的面積為．16．(1)；(2)4【分析】（1）利用余弦定理和面積公式，代入求解，（2）在△ABD中利用正弦定理，代入計算．（1）根據(jù)題意得：，則∴△ABC的面積（2）∵∠ADC＝60°，則在△ABD中由正弦定理，可得17．(1)(2)【分析】（1）由條件結合正弦定理求出，求出，，再分析求解即可；（2）根據(jù)題意求出，所以，再求解面積即可.（1）因為，，，，所以，所以，又所以，，所以（2）因為，所以，又，所以，所以為銳角，所以，所以，所以18．(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)向量運算得到，，，再求面積即可.（2）利用余弦定理求解即可.（1）因為，解得，因為，所以，.有因為，所以，所以的面積.（2），所以.19．(1)4(2)【分析】（1）根據(jù)，結合兩角和的正弦公式化簡可得，再根據(jù)余弦定理計算即可；（2）利用同角三角函數(shù)的關系求得，再利用面積公式求解即可（1）因為，，所以，又，所以，在中，由余弦定理得整理可得，解得或（舍去），即的長為4．（2）因為，，，所以，所以20．(1)；(2).【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理結合角平分線求出邊c即可計算作答.（2）利用（1）的結論直接計算作答.（1）在中，，，由余弦定理得：，即，，則，在中，，由正弦定理得：，又，則，即有，，所以的面積.（2）由（1）知，，所以.21．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理將已知式子統(tǒng)一成角的形式，化簡后再利用正弦定理統(tǒng)一成邊的形式，從而可求出的值，（2）在△ABC中由正弦定理結合二倍角公式可求得，則可求得，從而可求出，然后利用三角函數(shù)恒等變換公式可求出，則可得，再求出，從而可求出△ABD的面積（1）由及正弦定理得，∴，即，∴，．（2）如圖，在△ABC由正弦定理得，即，解得，∵∴，∴，．∵，∴，顯然C為銳角，由易求得，又∵，∴，∴．22．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理，可求得，根據(jù)結合面積公式求解；（2）在中利用余弦定理求，在直角中根據(jù)求解．（1）在中，，則由正弦定理得：，，則因為，則或（不合題意，舍去），則的面積為（2）在中，，，由余弦定理可得則有，所以在直角中，，，則23．(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理角化邊即可求解；（2）利用余弦定理和三角形面積公式即可求解.（1）由余弦定理可知，，即，整理得，解得，（2）在△中，，，，由余弦定理可得，，∴,∴，∴.24．(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式求解的余弦值，利用余弦定理即可求解的長；（2）利用正弦定理求得的長，利用三角形內(nèi)角和為求解的正弦值，最后利用三角形面積公式即可求解.（1）解：因為，所以由余弦定理得：，所以.（2）由正弦定理得，所以，故，，則為銳角，，所以，所以的面積為.25．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式，利用輔助角的公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出常數(shù)m的值，根據(jù)已知條件求出角C的值，再利用余弦定理、基本不等式及三角形的面積公式即可求解；（2）利用三角形的面積公式求出的值，在中，利用正弦定理即可求解；或在中，利用余弦定理的推論、同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式求出的值，在中，根據(jù)正弦定理，結合已知條件即可求解.（1）解：由題意，函數(shù)，其中.因為為函數(shù)圖象的一條對稱軸，所以，所以，解得，所以，因為，，可得，在中，根據(jù)余弦定理得，又因為，所以，當且僅當時取等號，所以的面積.（2）解：因為的面積為，所以，解得，因為，所以，在中，根據(jù)余弦定理得，可得，在中，可得，所以，所以，在中，根據(jù)正弦定理得，可得，解得.26．(1)；(2).【分析】由余弦定理可得，設長度為x，列出和，即可求得結果；利用余弦定理及基本不等式即可求得，進而利用三角形面積公式即可求得結果.（1）解：，，根據(jù)余弦定理可知，，解得，為的中點，則為邊的中線，設長度為x，,,，，解得，即線段的長度為．（2）解：由余弦定理可得：，即，當且僅當時取到等號，則．則面積最大值為．27．(1)歲；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應區(qū)間的中點值的和即可求出；（2）設{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對立事件的概率公式即可解出；（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．（1）平均年齡

（歲）．（2）設{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．（3）設“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，則由已知得：,則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．28．(1)0.016，；(2).【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的定義和性質(zhì)，求得a的值以及平均年齡；（2）先求出[55，60）的員工中男女員工人數(shù)，再列出取出2人的所有的情況，由古典概型可得至少有1名女員工的概率.（1）由男員工年齡的頻率分布直方圖得（0.012+2a十2×0.024+0.048+0.060)×5=1，解得a=0.016.則男員工的平均年齡（2）該校年齡在35歲以下的男女員工人數(shù)相等,且共14人，年齡在35歲以下的男員工共7人.由（1）知，男員工年齡在[25,35)的頻率為，所以男員工共有（人），女員工共有（人），所以年齡在[55,60）的員工中，男員工為0.016×5×50=4（人），不妨設為，則女員工為1人，設為，從年齡在[55,60）的員工中隨機抽取2人，則有，共有10種可能情形，其中至少有1名女員工的有4種，故所求概率為.29．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計圖表中的數(shù)據(jù)，結合平均數(shù)的計算方法，即可求得本次質(zhì)檢中數(shù)學測試成績樣本的平均數(shù)；（2）設成績在的有1人記為，成績在的有4人記為，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)和所求事件中所包含的基本事件的個數(shù)，利用古典摡型的概率計算公式，即可求解.（1）解：根據(jù)統(tǒng)計圖表中的數(shù)據(jù)，結合平均數(shù)的計算方法，可得本次質(zhì)檢中數(shù)學測試成績樣本的平均數(shù)為.（2）解：由題意知，隨機抽取的5人中，成績在的有1人記為，成績在的有4人記為，從中隨機抽取2人有，，，，，，，，，，共有10種可能，其中成績都在之間有的，，，，，，共有6種可能，所以這2人成績都在之間的概率.30．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)計算方法計算即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，及第百分位數(shù)的概念計算即可；（3）計算出第五組與第六組人數(shù)，進行編號，列出抽取人的所有情況，然后求得概率．（1）本次考試成績的平均數(shù)為.（2）因為前3組頻率之和為，前4組頻率之和為，所以第百分位數(shù)在第4組中，設為，則，解得.第百分位數(shù)是.（3）第五組與第六組學生總?cè)藬?shù)為，其中第五組有人，記為、、、，第六組有人，記為、、，從中隨機抽取人的情況有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共有種，其中至少人成績優(yōu)秀的情況有種，所抽取的人中至少人成績優(yōu)秀的概率．31．(1)25（人），，；(2)平均數(shù)為71.4，中位數(shù)約為；(3).【分析】（1）根據(jù)莖葉圖，結合頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為1進行求解即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，結合平均數(shù)和中位數(shù)的定義進行求解即可；（3）利用對立事件概率公式，結合古典概型計算公式進行求解即可.（1）分數(shù)在的頻率為，由莖葉圖知，分數(shù)在之間的頻數(shù)為，∴全班人數(shù)為（人），分數(shù)在之間的頻數(shù)為，則，由解得；（2）平均數(shù)為，∵，∴中位數(shù)在內(nèi)，設中位數(shù)為，則，解得，∴中位數(shù)約為；（3）得分在內(nèi)的人數(shù)為人，記為、、，得分在內(nèi)的人數(shù)為人，記為、，從這人中隨機抽取兩人的所有基本事件為：、、、、、、、、、，共個，其中所抽取的兩人都在的基本事件為：、、共個，則所抽取的兩人中至少有一人的得分在區(qū)間的概率為.32．(1)、、(2)中位數(shù)約為，平均數(shù)為；(3)【分析】（1）首先由的人數(shù)求出，再根據(jù)等差中項的性質(zhì)及頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，解得即可；（2）設中位數(shù)為，則，即可得到方程，解得即可，再根據(jù)平均數(shù)公式計算可得；（3）列出所有可能結果，再找出符合題意的基本事件，最后利用古典概型的概率公式計算可得；（1）解：依題意，又且，解得，；（2）解：因為，設中位數(shù)為，則，所以，解得，即中位數(shù)約為；平均數(shù)為（3）解：從1，2，3，4，5，6中選3個人幫助A，余下的3個人幫助B，所以可能結果為（只列出幫助的學生），，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個基本事件，其中滿足1，2幫助的有，，，共個，故滿足“1，2幫助”的概率33．(1)70.5(2)71.67(3)0.6【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)計算公式可得；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中中位數(shù)計算公式可得；（3）先計算每個分組中的人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣的方法選出[80，90）中3人和[90，100]中2人，再計算兩組各有一人被抽取的概率.（1）由頻率分布直方圖可得這100名學生得分的平均數(shù)（2）因為成績在[40，70)的頻率為0.45，成績在[70，80)的頻率為0.3，所以中位數(shù)為（3）在[80，90）和[90，100]兩組中的人數(shù)分別為和人，故在[80，90）分組中抽取的人數(shù)為人，故在[90，100]分組中抽取的人數(shù)為2人，兩組各有一人被抽取的概率為.34．(1)0.01；(2)中位數(shù)是，平均數(shù)是；(3).【分析】（1）利用頻率分布直方圖直接列式計算作答.（2）利用頻率分布直方圖求中位數(shù)、平均數(shù)的方法列式計算作答.（3）求出分數(shù)在的人數(shù)，再用列舉法結合古典概率公式計算作答.（1）由頻率分布直方圖得：.（2）由頻率分布直方圖知，分數(shù)在區(qū)間、的頻率分別為0.34，0.62，因此，該校語文成績的中位數(shù)，則，解得，語文成績的平均數(shù)為，所以該校語文成績的中位數(shù)是，語文成績的平均數(shù)是.（3）由頻率分布直方圖知，分數(shù)在內(nèi)分別有8人和2人，因此抽取的5人中，分數(shù)在內(nèi)