第一節兩個計數原理、排列與組合考試要求：理解排列、組合的概念，掌握排列數公式及組合數公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題．自查自測知識點一兩個計數原理1．已知某公園有4個門，從一個門進，另一個門出，則不同的走法的種數為(C)A．16 B．13C．12 D．102．從4名女同學和3名男同學中選1人主持本班的某次主題班會，則不同選法的種數為7．3．3個班分別從4個景點中選擇一處游覽，不同的選法有________種．64解析：因為這3個班各有4種選法，由分步乘法計數原理，可得不同的選法有4×4×4＝64(種)．4．(教材改編題)如圖，從A城到B城有3條路，從B城到D城有4條路，從A城到C城有4條路，從C城到D城有5條路，則從A城到D城共有________條不同的路線．32解析：“從A城到D城”共有兩類方法：(1)從A城經B城到D城，有3×4＝12(條)不同的路線；(2)從A城經C城到D城，有4×5＝20(條)不同的路線，所以共有12＋20＝32(條)不同的路線．核心回扣名稱分類加法計數原理分步乘法計數原理條件完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法結論完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法完成這件事共有N＝m×n種不同的方法注意點：兩個計數原理的區別分類加法計數原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事．自查自測知識點二排列與組合1.判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列．()×解析：所有元素完全相同且排列順序相同的兩個排列為相同排列．(2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．()√解析：由組合的定義知此說法正確．(3)若組合式Cnx＝Cnm，則×解析：若組合式Cnx＝Cnm，則x＝m或x＋2．A42＋A．35 B．47C．45 D．57B解析：A42＋3．6名學生排成兩排，每排3人，則不同的排法種數為()A．36 B．120C．720 D．240C解析：由于6人排兩排，每排3人，則先排第一排，共有6×5×4＝120(種)排法，再排第二排，共有3×2×1＝6(種)排法．由分步乘法計數原理可知，共有120×6＝720(種)排法．4．(教材改編題)一個火車站有8股岔道，如果每股岔道只能停放1列火車，現要停放4列不同的火車，共有______種不同的停放方式．1680解析：要停放4列不同的火車可分兩步，先從8股岔道中任選4股岔道有C84＝70(種)方法，再將4列不同的火車停放在4股岔道上，有A45．從3名男生與2名女生中選2人去參加同一個會議，要求至少有1名女生，則不同的選派方法數為________.7解析：(方法一)選取的2人中，女生人數為1或2，不同的選派方法數為C31C21(方法二)沒有女生的選派方法為所選2人都是男生，有C32種方法，從5人中選2人，總的選派方法有C52種，故至少有1名女生的不同的選派方法數為C5核心回扣1．排列與組合的定義排列的定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列組合的定義作為一組2.排列數、組合數的定義、公式、性質名稱排列數組合數定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數公式Anm＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋Cnm性質Ann＝n！，0！＝Cnm＝Cnn－m注意點：(1)排列數與組合數之間的聯系：CnmA(2)兩種形式：連乘積形式，階乘形式．前者多用于數字計算，后者多用于含有字母的排列數式子的變形與論證．【常用結論】排列數、組合數的常用公式1Anm＝n－m+1Anm－1；4kCnk＝nCn－1k應用計算：C33＋C43＋C53330解析：原式＝C11兩個計數原理1．(2024·日照模擬)某商店共有A，B，C三個品牌的水杯，若甲、乙、丙每人買了一個水杯，且甲買的不是A品牌，乙買的不是C品牌，則這三人買水杯的不同情況共有()A．3種 B．7種C．12種 D．24種C解析：由分步乘法計數原理可得這三人買水杯的不同情況共有2×2×3＝12(種)．2．據史書的記載，最晚在春秋末年，人們已經掌握了完備的十進位制記數法，普遍使用了算籌這種先進的計算工具．算籌記數的表示方法為：個位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式，以此類推，遇零則置空，如圖所示．如：10記為，26記為，71記為．現有4根算籌，可表示出兩位數的個數為()A．8 B．9C．10 D．12C解析：由題意知，共有4根算籌．當十位1根，個位3根時，共有2個兩位數；當十位2根，個位2根時，共有4個兩位數；當十位3根，個位1根時，共有2個兩位數；當十位4根，個位0根時，共有2個兩位數，所以一共有10個兩位數．故選C．3．現有5種不同顏色的染料，要對如圖所示的四個不同區域進行涂色，要求有公共邊的兩個區域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數是()A．120 B．140C．240 D．260D解析：先涂A處共有5種涂法，再涂B處共有4種涂法，再涂C處，若C處與A處所涂顏色相同，則C處共有1種涂法，D處有4種涂法；若C處與A處所涂顏色不同，則C處有3種涂法，D處有3種涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(種)．故選D．4．2023年杭州亞運會的吉祥物包括三種機器人造型，分別名叫“蓮蓮”“琮琮”“宸宸”，小輝同學將三種吉祥物各購買了兩個(同名的兩個吉祥物完全相同)，送給三位好朋友，每人兩個，則每位好朋友都收到不同名的吉祥物的分配方案共有________種.(用數字作答)6解析：根據題意，設“蓮蓮”“琮琮”“宸宸”分別為A，B，C，則可得其組合形式為AB，AC，BC，故第一位好朋友有3種選擇，第二位好朋友有2種選擇，第三位好朋友只有1種選擇，即每位好朋友都收到不同名的吉祥物的分配方案為3×2×1＝6(種)．兩個計數原理的應用(1)應用兩個計數原理的難點在于明確是分類還是分步：分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標準是關鍵；分步要做到“步驟完整”，步步相連才能將事件完成．(2)較復雜的問題可借助圖表來完成．(3)對于涂色問題：①分清元素的數目以及在不相鄰的區域內是否可以使用同類元素；②注意對每個區域逐一進行分析，分步處理．排列與組合【例1】(1)(2024·1月·九省適應性測試)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同的排法共有()A．20種 B．16種C．12種 D．8種B解析：(方法一)因為甲不在兩端，甲必在乙和丙之間，從除了甲、乙、丙外的其他兩人中任選1人，有A21種選法，選好后這4個人有A22(方法二)因為乙和丙之間恰有2人，所以乙、丙及中間2人占據首四位或尾四位，①當乙、丙及中間2人占據首四位，此時還剩末位，故甲在乙、丙中間，排乙、丙有A22種方法，排甲有A2所以有A2②當乙、丙及中間2人占據尾四位，此時還剩首位，故甲在乙、丙中間，排乙、丙有A22種方法，排甲有A2所以有A2由分類加法計數原理可知，一共有8＋8＝16(種)不同的排法．故選B．(2)(2024·煙臺模擬)書寫漢字時，筆順對書寫的速度和字形的美觀有非常關鍵的影響，為了滿足課堂教學的需要，我們制定了一套現代漢語通用字的筆順規范，但在進行書法創作時，筆順則更加靈活多變，比如“必”字有五筆：左點、上點、右點、撇、臥鉤，若要求第一筆不寫臥鉤，且最后一筆寫右點，則“必”字不同的筆順有()A．12種 B．18種C．24種 D．30種B解析：完成這件事情需要三步：第1步，先在第二、三、四筆選一筆寫臥鉤，有A3第2步，然后在前四筆剩下的三筆中寫左點、上點、撇，有A3第3步，最后一筆寫右點只有1種寫法．根據分步乘法計數原理可知，共有A31×A33×1＝3(3)(2024·廣東一模)已知集合A＝－12，－13，12，13，2，3，若a，b，c∈A且互不相等，則使得指數函數y＝ax，對數函數y＝logbx，冪函數A．16 B．24C．32 D．48(4)(2023·新高考全國Ⅰ卷)某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種．(用數字作答)64解析：(方法一)由題意，可分三類：第一類，體育類選修課和藝術類選修課各選修1門，有C41C41種方案；第二類，在體育類選修課中選修1門，在藝術類選修課中選修2門，有C41C4(方法二)若學生從這8門課中選修2門課，則符合題意的有C82－C42－C42＝16(種)選課方案；若學生從這8門課中選修3門課，則符合題意的有C81．求解排列問題的四種方法2．兩類組合問題的解題方法1．(2023·新高考全國Ⅱ卷)某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生．已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有()A．C40045·C200C．C40030·C200D解析：由題意，初中部和高中部學生人數之比為400200＝21，所以抽取的60名學生中初中部應有60×23＝40(人)，高中部應有602．用0，1，2，3，4，5這六個數字可以組成________個無重復數字且不大于4310的四位偶數．110解析：①當千位上排1或3時，符合題意的四位偶數共有A2②當千位上排2時，符合題意的四位偶數共有A2③當千位上排4時，形如40××，42××的偶數各有A31個符合題意，形如41××的偶數有A2故共有A21A31A3．在某次消費類電子產品展覽會上，我國某企業從7名員工中選出3名員工負責接待工作(這3名員工的工作視為相同的工作)，再選出2名員工分別在上午、下午講解某電子產品的性能．若其中甲和乙至多有1人負責接待工作，則不同的安排方案共有________種．360解析：先安排接待工作，分兩類，一類是沒安排甲和乙有C53種安排方案，一類是甲和乙中安排1人有C21C52種安排方案；再從余下的4人中選2人分別在上午、下午講解某電子產品的性能，有分組分配問題考向1整體均分問題【例2】(2024·日照模擬)臨近春節，某校書法愛好小組書寫了若干副春聯，準備贈送給四戶獨居老人．春聯分為長聯和短聯兩種，無論是長聯或短聯，內容均不相同．經過調查，四戶老人各戶需要1副長聯，其中乙戶老人需要1副短聯，其余三戶各需要2副短聯．書法愛好小組按要求選出11副春聯，則不同的贈送方法種數為________.15120解析：4副長聯內容不同，贈送方法有A44＝24(種)；從剩余的7副短聯中選出1副贈送給乙戶老人，有A71＝7(種)方法，再將剩余的6副短聯平均分為3組，最后將這3組贈送給三戶老人，方法種數為C62C42C2整體均分問題，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Ann(考向2部分均分問題【例3】第19屆亞運會于2023年9月在杭州舉行，在杭州亞運會三館(杭州奧體中心主體育館、游泳館和綜合訓練館)對外免費開放預約期間，甲、乙、丙、丁4人預約參觀，且每人預約了1個或2個館，則每個館恰有2人預約的不同方案有()A．76種 B．82種C．86種 D．90種D解析：由題意知這4人中恰有2人均預約了2個館，剩下2人均預約了1個館，首先將4人分成2組，有C42A22＝3(種)不同的分法．下面分2種情況：若預約2個館的2人預約完全相同，有A32局部均分問題，解題時注意重復的次數是均勻分組的階乘數，即若有m組元素個數相等，則分組時應除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數．考向3不等分問題【例4】要把9本不同的課外書分給甲、乙、丙3名同學．如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，則共有多少種不同的分法？解：要完成分配任務，可以分為兩步：第一步，將9本書按照4本、3本、2本分為三組，有C94第二步，將分好的3組書分別分給3個人，有A3因此不同的分法共有C94C53C22[變式]本例中若將“一人得4本，一人得3本，一人得2本”改為“甲得4本，乙得3本，丙得2本”，則不同的分法共有________種．1260解析：不同的分法共有C9不均分問題，實質上是先分組后排列的問題，即分組方案數乘不同對象數的全排列數．簡單地說，解不等分配題的一般原則：先分組后排列．1．(2024·菏澤模擬)數學與生活密不可分，在一次數學討論課上，老師安排5名同學講述圓、橢圓、雙曲線、拋物線在實際生活中的應用，要求每位學生只講述一種曲線，每種曲線至少有1名學生講述，則可能的安排方案的種數為()A．240 B．480C．360 D．720A解析：有四種曲線，要求每位學生只講述一種曲線，且每種曲線至少有1名學生講述，則5名同學分成2，1，1，1四組，共有C52C31C2．6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？(1)甲得1本，乙得2本，丙得3本；(2)平均分成三堆；(3)甲、乙、丙每人至少得1本．解：(1)甲得1本，乙得2本，丙得3本的方法有C6故甲得1本，乙得2本，丙得3本的分法有C6(2)6本不同的書平均分成三堆，有C6(3)共計分為3類：①按照4，1，1分，共有C61C51C44A故共有90＋360＋90＝540(種)分法．課時質量評價(六十一)1．為響應國家“節約糧食”的號召，某同學決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大葷、4種小葷中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜作為今日伙食，并在用餐時積極踐行“光盤行動”，則不同的選取方法有()A．48種 B．36種C．24種 D．12種B解析：由題意可知，分三步完成：第一步，從2種主食中任選1種有2種選法；第二步，從3種素菜中任選1種有3種選法；第三步，從6種葷菜中任選1種有6種選法．根據分步乘法計數原理，共有2×3×6＝36(種)不同的選取方法．故選B．2．(數學與文化)如圖，古代中國的太極八卦圖是以同圓內的圓心為界，畫出形狀相同的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有個陰眼，陰魚的頭部有個陽眼，表示萬物都在相互轉化，互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現代哲學中的矛盾對立統一規律．由八卦模型圖可抽象得到正八邊形，從該正八邊形的8個頂點中任意選出4個構成四邊形，其中梯形的個數為()A．8 B．16C．24 D．32C解析：梯形的上、下底平行且不相等，如圖．若以AB為底邊，則可構成2個梯形，根據對稱性可知此類梯形有16個；若以AC為底邊，則可構成1個梯形，此類梯形共有8個．所以梯形的個數為16＋8＝24.故選C．3．(2024·聊城模擬)新高考數學中的不定項選擇題有4個不同選項，其錯誤選項可能有0個、1個或2個，這種題型很好地凸顯了“強調在深刻理解基礎之上的融會貫通、靈活運用，促進學生掌握原理、內化方法、舉一反三”的教考銜接要求．若某道數學不定項選擇題存在錯誤選項，且錯誤選項不能相鄰，則符合要求的4個不同選項的排列方式共有()A．24種 B．36種C．48種 D．60種B解析：當錯誤選項恰有1個時，4個選項進行排列有A44＝24(種)排列方式；當錯誤選項恰有2個時，先排2個正確選項，再將2個錯誤選項插入到3個空位中，有A24．(多選題)已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別記作a，b，則下列說法正確的有()A．baB．ba表示不同的比1小的數的個數是C．(a，b)表示x軸上方不同的點的個數是6D．(a，b)表示y軸右側不同的點的個數是6BC解析：對于A，若a，b均為正，共有2×2＝4(個)，若a，b均為負，共有1×2＝2(個)，但63＝－4－2，所以共有5個，所以A錯誤；對于B，若ba為正，顯然均比1大，所以只需ba為負即可，共有2×2＋1×2＝6(個)，所以B正確；對于C，要使(a，b)表示x軸上方的點，只需b為正即可，共有3×2＝6(個)，所以C正確；對于D，要使(a，5．下列各式中正確的個數為()①Cnm＝Anmm！；②Anm＝A．1 B．2C．3 D．4D解析：對于①，因為Cnm＝對于②，Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，An－1m－1＝(n－1)(n所以Anm＝對于③，CnmCnm+1對于④，Cn+1m+1＝n+1！m6．(2024·本溪模擬)e作為數學常數，它的一個定義是e＝limx→+∞1+136解析：第一步：對除去2以外的3個數字進行全排列，有A33＝6(種)方法；第二步：將兩個2選兩個空插進去有C47．某社區將招募的5名志愿者分成兩組，分別擔任白天和夜間的網格員，要求每組至少兩人，則不同的分配方法種數為________.20解析：由兩人擔任白天網格員有C52種分配方法，由三人擔任白天網格員有C53種分配方法，所以共有C58．有5個男生和3個女生，從中選出5人擔任5門學科的課代表，求分別符合下列條件的選法數：(1)有女生但人數必須少于男生；(2)某女生一定擔任語文課代表；(3)某男生必須包括在內，但不擔任數學課代表；(4)某女生一定要擔任語文課代表，某男生必須擔任課代表，但不擔任數學課代表．解：(1)先選后排，可以是2女3男，也可以是1女4男，先選有C32C53＋C31(2)除去該女生后，先選后排，則符合條件的選法數為C7(3)先選后排，但先安排該男生，則符合條件的選法數為C7(4)先從除去該男生該女生的6人中選3人有C63種情況，再安排該男生有C31種情況，選出的3人全排列有9．甲、乙、丙三位教師指導五名學生a，b，c，d，e參加全國高中數學聯賽，每位教師至少指導一名學生．(1)若每位教師至多指導兩名學生，求共有多少種分配方案；(2)若教師甲只指導其中一名學生，求共有多少種分配方案．解：(1)根據題意，分兩步進行分析：①將五名學生分成三組，人數分別為2，2，1，有C5②將分好的三組全排列，安排給三位教師，有A3所以共有15×6＝90(種)分配方案．(2)根據題意，分兩步進行分析：①從五名學生任選一名學生分配給甲教師指導，有5種情況；②剩下四名學生分成兩組，安排給其余兩位教師指導，有C4所以共有5×14＝70(種)分配方案．10．(新情境)魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達佩斯理工大學建筑學院厄爾諾·魯比克教授于1974年發明的機械益智玩具．魔方擁有競速、盲擰、單擰等多種玩法，風靡程度經久未衰，每年都會舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一．已知經典三階魔方(如圖)自由轉動之后的色塊組合約有4.3×1019種，現將下圖已還原的魔方按5步打亂，且每一步互相獨立，則打亂方式有()A．A185種C．185種 D．195種C解析：若以紅色的一面為正面，分成三行三列，每一行可以左右旋轉，每一列可以上下旋轉，此時有3×2＋3×2＝12(種)旋轉方式；接著側面(以綠色一面為例)，每一列都可以上下旋轉，此時有3×2＝6(種)旋轉方式，故每一次旋轉魔方，共有12＋6＝18(種)旋轉方式．所以按5步打亂，且每一步互相獨立，則共有185種打亂方式．故選C．11．(2024·日照模擬)某人從一層到二層需跨10級臺階，他一步可能跨1級臺階，稱為一階步；也可能跨2級臺階，稱為二階步；最多能跨3級臺階，稱為三階步，從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階，則他從一層到二層可能的不同走法共有()A．10種 B．9種C．8種 D．12種A解析：按題意要求，不難驗證這6步中不可能沒有三階步，也不可能有多于1個的三階步，因此，只能是1個三階步，2個二階步，3個一階步．為形象起見，以白、黑、紅三種顏色的球來記錄從一層到二層跨越10級臺階的過程：白球表示一階步，黑球表示二階步，紅球表示三階步，該過程可表示為3個白球、2個黑球、1個紅球的一種同色球不相鄰的排列．下面分三種情形討論：(1)若第1、第6球均為白球，則兩黑球必分別位于中間白球的兩側，此時，共有4個黑、白球之間的空位放置紅球，所以此種情況共有4種不同的排列．(2)若第1球不是白球，①若第1球為紅球，則余下5球只有1種可能的排列；②若第1球為黑球，則余下5球因紅、黑球的位置不同有2種不同的排列，此種情形共有3種不同排列．(3)第6球不是白球，同(2)，共有3種不同的排列．綜上，按題意要求從一層到二層共有4＋3＋3＝10(種)可能的不同走法．故選A．12．(多選題)現有3名男生和4名女生，在下列不同條件下進行排列，則()A．排成前后兩排，前排3人后排4人的排法共有5400種B．全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾的排法共有3600種C．全體排成一排，女生必須站在一起的排法共有576種D．全體排成一排，男生互不相鄰的排法共有1440種BCD解析：對于A，將7名學生排成前后兩排，前排3人后排4人的排法，有C7對于B，甲不站排頭也不站排尾，有5個位置可選擇，將剩下的6人全排列，有A66種排法，則有5×對于C，將4名女生看成一個整體，有A44種排法，將這個整體與3名男生全排列，有A44對于D，先排4名女生，有A44種排法，排好后有5個空位，在5個人空位中任選3個，安排3名男生，有A513．甲、乙、丙等七人相約到電影院看電影，恰好買到了七張連號的電影票．若甲、乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同坐法的種數為________.192解析：由題知，丙坐在正中間(4號位)，甲、乙兩人只能坐12或23或56或67號位，有4種情況，且甲、乙的順序有A22種情況，剩下的4個位置其余4人坐，有A414．(數學與文化)七巧板是我國古代勞動人民智慧的結晶．如圖是某同學用木板制作的七巧板，它包括五個等腰直角三角形、一個正方形和一個平行四邊形．若用4種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有______種．72解析：將七巧板的七個板塊標號，如圖．由題意，一共4種顏色，板塊A需單獨一色