不等式一、知識點：1.實數的性質：；；．2.不等式的性質：性質內容對稱性，．傳遞性且．加法性質；且．乘法性質；，且．乘方、開方性質；．倒數性質．3.常用基本不等式：條件結論，，基本不等式：常見變式：；4.利用重要不等式求最值的兩個命題：命題1：已知a，b都是正數，若是實值P，則當時，和a＋b有最小值2.命題2：已知a，b都是正數，若a＋b是實值S，則當時，積有最大值.注意：運用重要不等式求值時，要注意三個條件：一“正”二“定”三“等”，即各項均為正數，和或積為定值，取最值時等號能成立，以上三個條件缺一不可.5.一元二次不等式的解法：設a>01x2是方程20的兩個實根，且x1≤x2，則有△△>0△=0△<0圖象20的解1或2122a無實數解2>0解集{x︱x<x1或x>x2}{x︱x≠x1}R2<0解集{x︱x1<x<x2}ΦΦ結論：2>0；2<06.絕對值不等式（1）｜x｜＜a（a＞0）的解集為：{x｜－a＜x＜a}；｜x｜＞a（a＞0）的解集為：{x｜x＞a或x＜－a}。（2）7.不等式證明方法：基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法輔助方法：換元法（三角換元、均值換元等）、放縮法、構造法、判別式法特別提醒：不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內容結合.高考解答題中，常滲透不等式證明的內容，最常用的思路是用分析法探求證明途徑，再用綜合法加以敘述。我們在利用不等式的性質或基本不等式時要注意等號、不等號成立的條件。例：解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)．解：(1)方程的解為．根據的圖象，可得原不等式的解集是．(2)不等式兩邊同乘以，原不等式可化為．方程的解為．根據的圖象，可得原不等式的解集是．(3)方程有兩個相同的解．根據的圖象，可得原不等式的解集為．(4)因為，所以方程無實數解，根據的圖象，可得原不等式的解集為．練習1.（1）解不等式；（若改為呢？）（2）解不等式；解:(1)原不等式(該題后的答案:).(2)即.8、最值定理設、都為正數，則有=1\*2⑴若（和為定值），則當時，積取得最大值．=2\*2⑵若（積為定值），則當時，和取得最小值．即：“積定，和有最小值；和定，積有最大值”注意：一正、二定、三相等幾種常見解不等式的解法重難點歸納解不等式對學生的運算化簡等價轉化能力有較高的要求，隨著高考命題原則向能力立意的進一步轉化，對解不等式的考查將會更是熱點，解不等式需要注意下面幾個問題(1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法(2)掌握用零點分段法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法(3)掌握無理不等式的三種類型的等價形式，指數和對數不等式的幾種基本類型的解法(4)掌握含絕對值不等式的幾種基本類型的解法(5)在解不等式的過程中，要充分運用自己的分析能力，把原不等式等價地轉化為易解的不等式(6)對于含字母的不等式，要能按照正確的分類標準，進行分類討論典型題例示范講解例1：如果多項式可分解為個一次式的積，則一元高次不等式（或）可用“穿根法”求解，但要注意處理好有重根的情況．當分式不等式化為時，要注意它的等價變形①②用“穿根法”解不等式時應注意：①各一次項中的系數必為正；②對于偶次或奇次重根可轉化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下圖．不等式左右兩邊都是含有的代數式，必須先把它們移到一邊，使另一邊為0再解．例：解不等式：（1）；（2）．解：（1）原不等式可化為把方程的三個根順次標上數軸．然后從右上開始畫線順次經過三個根，其解集如下圖的陰影部分．∴原不等式解集為（2）原不等式等價于∴原不等式解集為解下列分式不等式：例：（1）；（2）（1）解：原不等式等價于用“穿根法”∴原不等式解集為。（2）解法一：原不等式等價于∴原不等式解集為。解法二：原不等式等價于用“穿根法”∴原不等式解集為例2：絕對值不等式，解此題的關鍵是去絕對值符號，而去絕對值符號有兩種方法：一是根據絕對值的意義二是根據絕對值的性質：或，因此本題有如下兩種解法．例：解不等式解：原不等式等價于即∴．例3：已知f(x)是定義在［－1，1］上的奇函數，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，≠0時＞0(1)用定義證明f(x)在［－1，1］上是增函數；(2)解不等式f()＜f()；(3)若f(x)≤t2－21對所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求實數t的取值范圍技巧和方法(1)問單調性的證明，利用奇偶性靈活變通使用已知條件不等式是關鍵，(3)問利用單調性把f(x)轉化成“1”是點睛之筆(1)證明任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］，則f(x1)－f(x2)(x1)(－x2)=·(x1－x2)∵－1≤x1＜x2≤1，∴x1+(－x2)≠0，由已知＞0，又x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上為增函數(2)解∵f(x)在［－1，1］上為增函數，∴解得{－≤x＜－1，x∈R}(3)解由(1)可知f(x)在［－1，1］上為增函數，且f(1)=1，故對x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t2－21對所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t2－21≥1成立，故t2－2≥0，記g(a)2－2，對a∈［－1，1］，g(a)≥0，只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，解得，t≤－2或0或t≥2∴t的取值范圍是{≤－2或0或t≥2}例5：解關于x的不等式＞1(a≠1)解原不等式可化為＞0，①當a＞1時，原不等式和(x－)(x－2)＞0同解由于∴原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞)②當a＜1時，原不等式和(x－)(x－2)＜0同解由于,若a＜0，,解集為(，2)；若0時，，解集為；若0＜a＜1，,解集為(2，)綜上所述當a＞1時解集為(－∞，)∪(2，+∞)；當0＜a＜1時，解集為(2，)；當0時，解集為；當a＜0時，解集為(，2）例6設，解關于的不等式．分析：進行分類討論求解．解：當時，因一定成立，故原不等式的解集為．當時，原不等式化為；當時，解得；當時，解得．∴當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為．說明：解不等式時，由于，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因為當時，原不等式化為，此時不等式的解集為，所以解題時應分和兩種情況來討論．的解是．例8解關于的不等式．分析：不等式中含有字母，故需分類討論．但解題思路和一般的一元二次不等式的解法完全一樣：求出方程的根，然后寫出不等式的解，但由于方程的根含有字母，故需比較兩根的大小，從而引出討論．解：原不等式可化為．(1)當（即或）時，不等式的解集為：；(2)當（即）時，不等式的解集為：；(3)當（即或1）時，不等式的解集為：．說明：對參數進行的討論，是根據解題的需要而自然引出的，并非一開始就對參數加以分類、討論．比如本題，為求不等式的解，需先求出方程的根，，因此不等式的解就是小于小根或大于大根．但和兩根的大小不能確定，因此需要討論，，三種情況．例9不等式的解集為，求和的值．分析：此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為，不等式需滿足條件，，的兩根為，．解法一：設的兩根為，，由韋達定理得：由題意：∴，，此時滿足，．解法二：構造解集為的一元二次不等式：，即，此不等式和原不等式應為同解不等式，故需滿足：∴，．例10解關于的不等式．分析：本題考查一元一次不等式和一元二次不等式的解法，因為含有字母系數，所以還考查分類思想．解：分以下情況討論(1)當時，原不等式變為：，∴(2)當時，原不等式變為：①①當時，①式變為，∴不等式的解為或．②當時，①式變為．②∵，∴當時，，此時②的解為．當時，，此時②的解為．說明：解本題要注意分類討論思想的運用，關鍵是要找到分類的標準，就本題來說有三級分類：分類應做到使所給參數的集合的并集為全集，交集為空集，要做到不重不漏．另外，解本題還要注意在討論時，解一元二次不等式應首選做到將二次項系數變為正數再求解．例11解不等式．分析：無理不等式轉化為有理不等式，要注意平方的條件和根式有意義的條件，一般情況下，可轉化為或，而等價于：或．解：原不等式等價于下面兩個不等式組：①②由①得，∴由②得∴，所以原不等式的解集為，即為．說明：本題也可以轉化為型的不等式求解，注意：例12.已知關于的不等式的解集是，求實數之值．解：不等式的解集是是的兩個實數根，由韋達定理知：．練習．已知不等式的解集為求不等式的解集．解：由題意，即．代入不等式得：．即，所求不等式的解集為．1).恒成立問題若不等式在區間上恒成立,則等價于在區間上若不等式在區間上恒成立,則等價于在區間上如（1）設實數滿足，當時，的取值范圍是（答：）；（2）不等式對一切實數恒成立，求實數的取值范圍（答：）；（3）若不等式對滿足的所有都成立，則的取值范圍（答：（,））；（4）若不等式對于