第11講線段垂直平分線、角平分線及軌跡（4大考點）考點考向考點考向1.逆命題和逆定理逆命題：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題；若其中一個命題為原命題，則另一個叫它的逆命題；逆定理：若一個定理的逆命題經過證明是也是定理，那么這兩個定理叫互逆定理，其中一個是另一個的逆定理；2.線段的垂直平分線3.角的平分線4.軌跡考點精講考點精講一．四種命題及其關系（共2小題）1．命題：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命題是，該命題是命題（填真或假）．2．命題“如果，那么a＝b”的逆命題是：．二．角平分線的性質（共5小題）3．（2020秋?浦東新區校級期末）如圖，AD是△ABC的角平分線，若△ABC的面積是48，且AC＝16，AB＝8，則點D到AB的距離是．4．（2020秋?浦東新區校級期末）如圖，點P是∠AOB的角平分線上的一點，過點P作PC∥OA交OB于點C，PD⊥OA，若∠AOB＝60°，OC＝2，則PD＝．5．（2021秋?奉賢區校級期中）已知：如圖，AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．過點C作直線DE，分別交AM、BN于D、E．（1）求證：△ABC是直角三角形．（2）求證：CD＝CE．6．（2020秋?長寧區期末）如圖，BM是∠ABC的平分線，點D是BM上一點，點P為直線BC上的一個動點．若△ABD的面積為9，AB＝6，則線段DP的長不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5.57．（2020秋?奉賢區期末）如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，在OA上取一點C，連接PC，使PC＝OC，BP＝PC．（1）求證：PC∥OB；（2）求∠CPO的度數．三．線段垂直平分線的性質（共10小題）8．（2021秋?徐匯區校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜邊AB的垂直平分線DE交AB于點D，交BC于點E，且AE平分∠BAC，下列關系式不成立的是（）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE9．（2020秋?長寧區期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E．△ABC的周長為19，△ACE的周長為13，則AB的長為（）A．3 B．6 C．12 D．1610．（2021秋?松江區期末）如圖，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，則∠DAF＝度．11．（2020秋?浦東新區校級期末）已知直角坐標平面內點A（4，﹣1）、B（1，2），作線段AB的垂直平分線交y軸于點C．則C點的坐標為．12．（2020秋?閔行區期末）如圖，小明畫線段AB的垂直平分線l，垂足為點C，然后以點B為圓心，線段AB為半徑畫弧，與直線l相交于點D，聯結BD，那么∠CDB的度數是．13．（2020秋?普陀區期末）如圖，在△ABC中，點F是邊AB、AC的中垂線的交點，聯結BF、CF，如果∠BFC＝110°，那么∠A＝°．14．（2020秋?松江區期末）如圖，在△ABC中，已知∠C＝90°，AB的垂直平分線交BC、AB于點D、E，∠CAB＝50°，那么∠CAD＝．15．（2021秋?徐匯區期末）如圖，在△ABC中，∠C＝37°，邊BC的垂直平分線分別與AC、BC交于點D、E，AB＝CD，那么∠A＝°．16．（2021秋?虹口區校級期末）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點E，AC的垂直平分線交BC邊于點N，若∠BAC＝70°，則∠EAN的度數為（）A．35° B．40° C．50° D．55°17．（2021秋?虹口區校級期末）銳角△ABC中，∠A＝68°，AB的垂直平分線與AC的垂直平分線交于O點，則∠BOC＝．四．軌跡（共6小題）18．（2021秋?浦東新區期末）到點A的距離等于6cm的點的軌跡是．19．（2021秋?松江區期末）已知兩個定點A、B的距離為4厘米，到點A、B的距離之和為4厘米的點的軌跡是．20．（2020秋?虹口區期末）平面內在角的內部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的．21．（2020秋?浦東新區校級期末）經過A、B兩點的圓的圓心的軌跡是．22．（2020秋?寶山區校級期末）以線段BC為底邊的等腰三角形的頂點A的軌跡是：．23．（2021秋?徐匯區期末）以線段AB為底邊的等腰三角形，它的兩底角平分線交點的軌跡是．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2019·全國·八年級課時練習）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（

）A．的三條中線的交點B．三邊的垂直平分線的交點C．三條角平分線的交點D．三條高所在直線的交點2．（2022·上海·八年級期末）下列命題的逆命題正確的是(

)A．對頂角相等 B．直角三角形兩銳角互余C．全等三角形的對應角相等 D．全等三角形的面積相等3．（2022·上海市羅星中學八年級期末）如圖，已知垂直平分線段，，那么的度數為（

）A． B． C． D．4．（2021·上海·八年級專題練習）如圖，已知，求作一點P，使P到的兩邊的距離相等，且，下列確定Р點的方法正確的是（

）A．Р為兩角平分線的交點 B．P為兩邊上的高的交點C．P為兩邊的垂直平分線的交點 D．P為的角平分線與的垂直平分線的交點5．（2022·上海·八年級專題練習）如圖，在中，，，．將繞直角頂點逆時針旋轉得△；則點轉過的路徑長為（

）A． B． C． D．6．（2021·上海·八年級專題練習）下列定理中，沒有逆定理的是（

）．A．兩直線平行，同旁內角互補B．線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等C．等腰三角形兩個底角相等D．同角的余角相等7．（2022·上海徐匯·八年級期末）下列命題中，其逆命題是真命題的命題個數有（

）（1）全等三角形的對應邊相等；（2）對頂角相等；（3）等角對等邊；

（4）全等三角形的面積相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2022·上海·八年級專題練習）如圖，點，分別在軸，軸正半軸上（含坐標原點）滑動，且滿足，點為線段的中點，將線段繞點順時針旋轉得到線段，當由點向右移動時，點移動的路徑長為（

）A．3 B．4 C． D．9．（2022·上海·八年級專題練習）如圖，是邊長為2的等邊三角形，是高上的一個動點，以為邊向上作等邊，在點從點到點的運動過程中，點所經過的路徑長是（

）A．2 B． C． D．10．（2022·上海市南洋模范中學八年級期末）如圖，在中，，斜邊的垂直平分線交于點，交于點，平分，那么下列關系中不成立的是（

）A． B．C． D．11．（2022·上海·八年級專題練習）如圖1，矩形的一條邊長為x，周長的一半為y，定義（x，y）為這個矩形的坐標．如圖2，在平面直角坐標系中，直線x=1，y=3將第一象限劃分成4個區域，已知矩形1的坐標的對應點A落在如圖所示的雙曲線上，矩形2的坐標的對應點落在區域④中，則下面敘述中正確的是（

）A．點A的橫坐標有可能大于3B．矩形1是正方形時，點A位于區域②C．當點A沿雙曲線向上移動時，矩形1的面積減小D．當點A位于區域①時，矩形1可能和矩形2全等二、填空題12．（2022·上海·八年級期末）“對頂角相等”這個命題的逆命題是______．13．（2021·上海市南匯第四中學八年級期末）命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是_________．14．（2021·上海市南匯第四中學八年級期末）平面上經過A、B兩點的圓的圓心的軌跡是_____．15．（2021·上海市建平實驗中學八年級期末）命題“直角三角形的兩個銳角互余”的逆命題為_____．16．（2022·上海徐匯·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠C=37°，邊BC的垂直平分線分別與AC、BC交于點D、E，AB=CD，那么∠A=____°．17．（2022·上海·八年級期末）如圖，在中，，的平分線與的外角平分線交于點，則的度數為___________.（用含的式子表示）18．（2021·上海普陀·八年級期末）如圖，在△ABC中，點F是邊AB、AC的中垂線的交點，聯結BF、CF，如果∠BFC＝110°，那么∠A＝______°．19．（2022·上海·上外附中八年級期末）銳角中，，AB的垂直平分線與的垂直平分線交于點，則____________20．（2022·上海浦東新·八年級期末）已知：如圖，在中，，線段AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E，如果，那么______．21．（2022·上海徐匯·八年級期末）以線段AB為底邊的等腰三角形，它的兩底角平分線交點的軌跡是_____．22．（2021·上海·八年級專題練習）如圖，在中，平分，的中垂線交于點，交于點，連接，.若為等腰三角形，則的度數為___________；23．（2021·上海·八年級專題練習）如圖，在中，分別以點和為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于，，作直線，交于點，連接．如果,，那么___________；24．（2022·上海·八年級期末）我們定義：一個三角形最小內角的角平分線將這個三角形分割得到的兩個三角形它們的面積之比稱為“最小角割比Ω”（），那么三邊長分別為7，24，25的三角形的最小角割比Ω是______．25．（2021·上海·八年級專題練習）在中，邊、的垂直平分線分別交邊于點、點，，則______°.三、解答題26．（2021·上海·八年級專題練習）如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC．求證：AE是∠DAB的平分線．27．（2021·上海普陀·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為AB中點，ED∥BC，且與∠ABC的平分線BD交于點D，聯結AD．(1)求證：AD⊥BD；(2)記BD與AC的交點為F，求證：BF＝2AD．28．（2021·上海·八年級專題練習）已知，如圖，AD∥BC，AE平分∠BAD，點E是CD的中點.（1）求證：AB=AD＋BC（2）求證：AE⊥BE

29．（2019·上海市西南模范中學八年級期中）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，AB=DC，在四個論斷“EA=ED，EF⊥AD，AB=DC，FB=FC”中選擇二個作為已知條件，另一個作為結論，構成真命題（補充已知和求證），并進行證明．已知、如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，．求證、．證明、．30．（2022·上海·八年級期末）已知：如圖，中，分別是上的中線，相交于點，聯結．求證：（1）；（2）垂直平分．31．（2022·上海·八年級期末）作圖：已知和線段r，請在內部作點P，使得點P到AC和BC的距離相等，并且點A到點P的距離等于定長r．（不寫作法，保留痕跡）32．（2021·上海·八年級專題練習）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．

（1）求證：AD為∠BDC的平分線；（2）若∠DAE=∠BAC，且點E在BD上，直接寫出BE、DE、DC三條線段之間的等量關系_______．33．（2021·上海·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，如果BD,CE分別是∠ABC,∠ACB的平分線且他們相交于點P，設∠A=n°.（1）求∠BPC的度數（用含n的代數式表示），寫出推理過程.（2）當∠BPC=125°時，∠A=.（3）當n=60°時，EB=7，BC=12，DC的長為.第11講線段垂直平分線、角平分線及軌跡（4大考點）考點考向考點考向1.逆命題和逆定理逆命題：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題；若其中一個命題為原命題，則另一個叫它的逆命題；逆定理：若一個定理的逆命題經過證明是也是定理，那么這兩個定理叫互逆定理，其中一個是另一個的逆定理；2.線段的垂直平分線3.角的平分線4.軌跡考點精講考點精講一．四種命題及其關系（共2小題）1．（2011秋?徐匯區校級期中）命題：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命題是如果a2＝b2，那么a＝b，該命題是假命題（填真或假）．【分析】把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題，再判斷命題的真假即可．【解答】解：根據題意得：命題“如果a＝b，那么a2＝b2”的條件是如果a＝b，結論是a2＝b2”，故逆命題是如果a2＝b2，那么a＝b，該命題是假命題．故答案為：如果a2＝b2，那么a＝b；假．【點評】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．2．（2006秋?靜安區期末）命題“如果，那么a＝b”的逆命題是：如果a＝b，那么．【分析】將原命題的題設和結論交換，得到逆命題．【解答】解：命題“如果，那么a＝b”的逆命題是：如果a＝b，那么．故答案為：如果a＝b，那么．【點評】本題考查了逆命題的概念．關鍵是明確交換原命題的題設和結論，得到逆命題．二．角平分線的性質（共5小題）3．（2020秋?浦東新區校級期末）如圖，AD是△ABC的角平分線，若△ABC的面積是48，且AC＝16，AB＝8，則點D到AB的距離是4．【分析】過D點作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如圖，根據角平分線的性質得到S△ABD+S△ACD＝S△ABC，再利用三角形面積公式得到×8×DE+×DE×16＝48，然后求出DE即可．【解答】解：過D點作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如圖，∵AD是△ABC的角平分線，∴DE＝DF，∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∴AB?DE+AC?DF＝48，即×8×DE+×DE×16＝48，∴DE＝4，即點D到AB的距離為4．故答案為：4．【點評】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了三角形面積．4．（2020秋?浦東新區校級期末）如圖，點P是∠AOB的角平分線上的一點，過點P作PC∥OA交OB于點C，PD⊥OA，若∠AOB＝60°，OC＝2，則PD＝．【分析】過P點作PH⊥OB于H，如圖，先利用角平分線的性質得到∠POD＝∠POC，PD＝PH，再利用平行線的性質證明∠CPO＝∠POC得到PC＝OC＝2，然后利用含30度的直角三角形三邊的關系．【解答】解：過P點作PH⊥OB于H，如圖，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，∴∠POD＝∠POC，PD＝PH，∵PC∥OA，∴∠POD＝∠CPO，∠PCH＝∠AOB＝60°，∴∠CPO＝∠POC，∴PC＝OC＝2，在Rt△PCH中，∵∠PCH＝60°，∴CH＝PC＝1，∴PH＝CH＝，∴PD＝．故答案為：．【點評】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關系．5．（2021秋?奉賢區校級期中）已知：如圖，AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．過點C作直線DE，分別交AM、BN于D、E．（1）求證：△ABC是直角三角形．（2）求證：CD＝CE．【分析】（1）由兩直線平行同旁內角互補，及角平分線定義不難得出∠ABC+∠CAB＝90°，再由三角形內角和等于180°，即可得出∠ACB是直角；（2）過C點作CF∥AM，交AB于F，由平行線的性質可得出各角之間的關系，進一步求出邊之間的關系．【解答】證明：（1）∵AM∥BN，∴∠MAB+∠ABN＝180°，又∵AC平分∠MAB，BC平分∠NBA，∴∠ABC+∠CAB＝（∠ABN+∠MAB）＝90°，∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠CAB）＝90°，∴△ACB是直角三角形；（2）過C點作CF∥AM，交AB于F．∵AM∥BN，CF∥AM，∴CF∥AD∥BE，∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠CBE，∵∠FAC＝∠DAC，∠FBC＝∠CBE，∴∠ACF＝∠FAC，∠BCF＝∠FBC，∴AF＝CF＝FB，∴F為AB的中點，又CF∥AD∥BE，根據平行線等分線段定理得到C為DE中點，∴CD＝CE．【點評】本題考查了平行線的性質，等腰三角形的判定，三角形內角和定理，及梯形中位線等基礎知識，準確作出輔助線得出F為AB的中點是解題的關鍵．6．（2020秋?長寧區期末）如圖，BM是∠ABC的平分線，點D是BM上一點，點P為直線BC上的一個動點．若△ABD的面積為9，AB＝6，則線段DP的長不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5.5【分析】根據三角形的面積得出DE的長，進而利用角平分線的性質解答即可．【解答】解：過點D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∵△ABD的面積為9，AB＝6，∴DE＝，∵BM是∠ABC的平分線，∴DF＝DE＝3，∴DP≥3，故選：A．【點評】本題主要考查了角平分線的性質與三角形的面積計算公式．作出輔助線是正確解答本題的關鍵．7．（2020秋?奉賢區期末）如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，在OA上取一點C，連接PC，使PC＝OC，BP＝PC．（1）求證：PC∥OB；（2）求∠CPO的度數．【分析】（1）根據等腰三角形的性質得出∠AOP＝∠CPO，根據角平分線的定義得出∠AOP＝∠BOP，求出∠BOP＝∠CPO即可；（2）根據角平分線的性質得出AP＝BP，求出AP＝PC，求出∠ACP＝30°，根據平行線的性質得出∠AOB＝∠ACP＝30°，即可求出答案．【解答】（1）證明：∵PC＝OC，∴∠AOP＝∠CPO，∵OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠BOP，∴∠BOP＝∠CPO，∴PC∥OB；（2）解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴AP＝BP，∵BP＝PC，∴AP＝PC，∵PA⊥OA，∴∠OAP＝90°，∴∠ACP＝30°，∵PC∥OB，∴∠AOB＝∠ACP＝30°，∵∠AOP＝∠BOP＝∠CPO，∴∠CPO＝30°＝15°．【點評】本題考查了平行線的性質和判定，等腰三角形的性質，含30°角的直角三角形的性質，角平分線的性質等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．三．線段垂直平分線的性質（共10小題）8．（2021秋?徐匯區校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜邊AB的垂直平分線DE交AB于點D，交BC于點E，且AE平分∠BAC，下列關系式不成立的是（）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE【分析】根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE＝BE，根據等邊對等角可得∠BAE＝∠B，然后利用直角三角形兩銳角互余列式求出∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AE＝2CE，BE＝2DE，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DE＝EC，然后對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠C＝90°，∴∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，A、在Rt△ACE中，AE＝2CE，故本選項正確；B、∠B＝∠CAE正確，故本選項錯誤；C、∵∠DEA＝90°﹣30°＝60°，2∠B＝2×30°＝60°，∴∠DEA＝2∠B，故本選項錯誤；D、在Rt△BDE中，BE＝2DE，∵AE平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝EC，∴BC＝EC+BE＝EC+2EC＝3EC，故本選項錯誤．故選：A．【點評】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，等邊對等角的性質，以及三角形的內角和定理，熟記各性質是解題的關鍵．9．（2020秋?長寧區期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E．△ABC的周長為19，△ACE的周長為13，則AB的長為（）A．3 B．6 C．12 D．16【分析】根據線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質即可得到結論．【解答】解：∵AB的垂直平分線交AB于點D，∴AE＝BE，∵△ACE的周長＝AC+AE+CE＝AC+BC＝13，△ABC的周長＝AC+BC+AB＝19，∴AB＝△ABC的周長﹣△ACE的周長＝19﹣13＝6，故選：B．【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．10．（2021秋?松江區期末）如圖，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，則∠DAF＝40度．【分析】根據三角形內角和定理得到∠B+∠C＝70°，根據線段垂直平分線的性質得到DA＝DB，根據等腰三角形的性質得到∠DAB＝∠B，進而求出∠DAB+∠PAC，結合圖形計算即可．【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B，同理可得：∠PAC＝∠C，∴∠DAB+∠PAC＝∠B+∠C＝70°，∴∠DAF＝110°﹣70°＝40°，故答案為：40．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．11．（2020秋?浦東新區校級期末）已知直角坐標平面內點A（4，﹣1）、B（1，2），作線段AB的垂直平分線交y軸于點C．則C點的坐標為（0，﹣2）．【分析】利用勾股定理用y表示出BC、AC，根據線段垂直平分線的性質得到BC＝AC，列出方程，解方程得到答案．【解答】解：設C點的坐標為（0，y），由勾股定理得：BC2＝12+（2﹣y）2，AC2＝42+（﹣1﹣y）2，∵點C在線段AB的垂直平分線上，∴BC＝AC，∴12+（2﹣y）2＝42+（﹣1﹣y）2，解得：y＝﹣2，∴C點的坐標為（0，﹣2），故答案為：（0，﹣2）．【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質、勾股定理、坐標與圖形性質，根據線段垂直平分線的性質得出BC＝AC是解題的關鍵．12．（2020秋?閔行區期末）如圖，小明畫線段AB的垂直平分線l，垂足為點C，然后以點B為圓心，線段AB為半徑畫弧，與直線l相交于點D，聯結BD，那么∠CDB的度數是30°．【分析】連接AD，由線段垂直平分線性的性質結合作圖可證明△ABD為等邊三角形，即可得∠B＝60°，金額認可求解∠CDB的度數．【解答】解：連接AD，∵CD垂直平分AB，∴AD＝BD，∠BCD＝90°，∵BA＝BD，∴△ABD為等邊三角形，∴∠B＝60°，∴∠CDB＝30°．故答案為：30°．【點評】本題主要考查尺規作圖，線段垂直平分線的性質，證明△ABD為等邊三角形是解題的關鍵．13．（2020秋?普陀區期末）如圖，在△ABC中，點F是邊AB、AC的中垂線的交點，聯結BF、CF，如果∠BFC＝110°，那么∠A＝55°．【分析】連接AF并延長至點D，根據線段垂直平分線的性質得到FA＝FB，FA＝FC，根據等腰三角形的性質得到∠FAB＝∠FBA，∠FAC＝∠FCA，根據三角形的外角性質計算，得到答案．【解答】解：連接AF并延長至點D，∵點F是邊AB、AC的中垂線的交點，∴FA＝FB，FA＝FC，∴∠FAB＝∠FBA，∠FAC＝∠FCA，∴∠BAD＝∠BFD，∠CAF＝∠CFD，∴∠BAC＝∠BFC＝×110°＝55°，故答案為：55．【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質、三角形的外角性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．14．（2020秋?松江區期末）如圖，在△ABC中，已知∠C＝90°，AB的垂直平分線交BC、AB于點D、E，∠CAB＝50°，那么∠CAD＝10°．【分析】由直角三角形兩銳角的關系求得∠B，由DE垂直平分AB，推出DA＝DB，根據等腰三角形的性質求出∠DAB，進而求得∠CAD．【解答】解∵∠C＝90°，∠CAB＝50°，∴∠B＝90°﹣50°＝40°，∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝40°，∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝50°﹣40°＝10°，故答案為：10°．【點評】本題考查三角形的內角和定理、線段的垂直平分線的性質、等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質．15．（2021秋?徐匯區期末）如圖，在△ABC中，∠C＝37°，邊BC的垂直平分線分別與AC、BC交于點D、E，AB＝CD，那么∠A＝74°．【分析】連接DB，根據線段的垂直平分線的性質得到DB＝DC，根據等腰三角形的性質和三角形的外角的性質得到∠BDA＝2∠C，證明BA＝BD，得到∠A＝∠BDA，只要證明∠A＝2∠C即可解決問題．【解答】解：連接DB，∵DE是邊BC的垂直平分線，∴DB＝DC，∴∠DBC＝∠C，∴∠BDA＝2∠C，∵AB＝CD，DB＝DC，∴BA＝BD，∴∠A＝∠BDA，∴∠A＝2∠C，∵∠C＝37°，∴∠A＝74°，故答案為74．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．16．（2021秋?虹口區校級期末）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點E，AC的垂直平分線交BC邊于點N，若∠BAC＝70°，則∠EAN的度數為（）A．35° B．40° C．50° D．55°【分析】根據三角形內角和定理可求∠B+∠C，根據垂直平分線性質，EA＝EB，NA＝NC，則∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，從而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，即可得解．【解答】解：∵∠BAC＝70°，∴∠B+∠C＝180°﹣70°＝110°，∵AB的垂直平分線交BC邊于點E，AC的垂直平分線交BC邊于點N，∴EA＝EB，NA＝NC，∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，∴∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，＝110°﹣70°＝40°．故選：B．【點評】本題主要考查了三角形的內角和，線段垂直平分線的性質，角的和差關系，能得到求∠EAN的關系式是關鍵．17．（2021秋?虹口區校級期末）銳角△ABC中，∠A＝68°，AB的垂直平分線與AC的垂直平分線交于O點，則∠BOC＝136°．【分析】過O作射線AN，根據線段垂直平分線性質得出OA＝OB＝OC，根據等腰三角形的性質得出∠OAB＝∠ABO，∠ACO＝∠OAC，求出∠ABO+∠ACO＝∠OAB+∠OAC＝68°，再根據三角形的外角性質得出即可．【解答】解：過O作射線AN，∵AB的垂直平分線與AC的垂直平分線交于O點，∴OA＝OB，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠ABO，∠ACO＝∠OAC，∵∠OAB+∠OAC＝∠BAC＝68°，∴∠ABO+∠ACO＝∠OAB+∠OAC＝68°，∴∠BOC＝∠BON+∠CON＝∠ABO+∠BAO+∠ACO+∠OAC＝（∠ABO+∠ACO）+（∠BAO+∠CAO）＝68°+68°＝136°，故答案為：136°．【點評】本題考查了線段垂直平分線性質，三角形外角性質和等腰三角形的性質等知識點，能熟記線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等是解此題的關鍵．四．軌跡（共6小題）18．（2021秋?浦東新區期末）到點A的距離等于6cm的點的軌跡是以點A為圓心，6cm為半徑的圓．【分析】根據圓的定義直接得出答案即可．【解答】解：由題知，到點A的距離等于6cm的點的軌跡是以點A為圓心，6cm為半徑的圓，故答案為：以點A為圓心，6cm為半徑的圓．【點評】本題主要考查圓的定義，熟練掌握圓的定義是解題的關鍵．19．（2021秋?松江區期末）已知兩個定點A、B的距離為4厘米，到點A、B的距離之和為4厘米的點的軌跡是線段AB．【分析】定點A、B的距離為4厘米，到點A、B的距離之和為4厘米，通過這兩個數據不能聯想到這個點恰好在線段AB上．【解答】解：不妨設這個點為P，由AP+BP≥AB，取等號的條件是P在線段AB上故答案為：線段AB【點評】本題考查了三邊關系中，取等號的條件，難度不大，答案書寫要規范．20．（2020秋?虹口區期末）平面內在角的內部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的角平分線．【分析】根據角平分線的判定可知．【解答】解：根據角平分線的判定可知：平面內在角的內部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的角平分線，故答案為：角平分線．【點評】本題主要考查了角平分線的判定，熟練掌握判定定理是解題的關鍵．21．（2020秋?浦東新區校級期末）經過A、B兩點的圓的圓心的軌跡是線段AB的垂直平分線．【分析】要求作經過已知點A和點B的圓的圓心，則圓心應滿足到點A和點B的距離相等，從而根據線段的垂直平分線性質即可求解．【解答】解：根據同圓的半徑相等，則圓心應滿足到點A和點B的距離相等，即經過已知點A和點B的圓的圓心的軌跡是線段AB的垂直平分線．故答案為：線段AB的垂直平分線．【點評】此題考查了點的軌跡問題，熟悉線段垂直平分線的性質是解題關鍵．22．（2020秋?寶山區校級期末）以線段BC為底邊的等腰三角形的頂點A的軌跡是：線段BC的垂直平分線，不包括BC的中點O．【分析】根據線段垂直平分線的性質可得答案．【解答】解：如圖，以線段BC為底邊的等腰三角形的頂點A的軌跡是：線段BC的垂直平分線，不包括BC的中點O，故答案為：線段BC的垂直平分線，不包括BC的中點O．【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質等知識，注意點D的軌跡不包括BC的中點．23．（2021秋?徐匯區期末）以線段AB為底邊的等腰三角形，它的兩底角平分線交點的軌跡是線段AB的垂直平分線（AB中點除外）．【分析】根據∠CAB和∠CBA的平分線交于點P，則∠PAB＝∠CAB，∠PBA＝∠CBA，說明∠PAB＝∠PBA，得PA＝PB，從而得出答案．【解答】解：如圖，CA＝CB，∠CAB和∠CBA的平分線交于點P，則∠PAB＝∠CAB，∠PBA＝∠CBA，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠PAB＝∠PBA，∴PA＝PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上（AB中點除外），故答案為：線段AB的垂直平分線（AB的中點除外）．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質，角平分線的定義，線段垂直平分線的判定等知識，證明PA＝PB是解題的關鍵．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2019·全國·八年級課時練習）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（

）A．的三條中線的交點B．三邊的垂直平分線的交點C．三條角平分線的交點D．三條高所在直線的交點【答案】C【分析】根據題意，想到角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，所以要選角平分線的交點．【詳解】∵要使涼亭到草坪三邊的距離相等，∴涼亭應在三條角平分線的交點處．故選：C．【點睛】本題考查了角平分線的性質，需要注意區分三角形中線的交點、高的交點、垂直平分線的交點以及角平分線的交點之間的區別．2．（2022·上海·八年級期末）下列命題的逆命題正確的是(

)A．對頂角相等 B．直角三角形兩銳角互余C．全等三角形的對應角相等 D．全等三角形的面積相等【答案】B【分析】先分別寫出第個選項的逆命題，再判斷其是否正確．【詳解】解：A的逆命題是：相等的角是對頂角，假命題；B的逆命題是：兩銳角互余的三角形是直角三角形，真命題；C的逆命題是：對應角相等的三角形是全等三角形，假命題；D的逆命題是：面積相等的三角形是全等三角形，假命題；故選：B．【點睛】本題主要考查了學生對逆命題以及真假命題的定義的理解，要求學生對常用的基礎知識牢固掌握，比較簡單．3．（2022·上海市羅星中學八年級期末）如圖，已知垂直平分線段，，那么的度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據垂直平分線可得AB=AC，即可得到．【詳解】∵垂直平分線段，∴AB=AC，∴故選：C．【點睛】本題考查垂直平分線的性質、等腰三角形等邊對等角的性質，解題的關鍵是找到等腰三角形．4．（2021·上海·八年級專題練習）如圖，已知，求作一點P，使P到的兩邊的距離相等，且，下列確定Р點的方法正確的是（

）A．Р為兩角平分線的交點 B．P為兩邊上的高的交點C．P為兩邊的垂直平分線的交點 D．P為的角平分線與的垂直平分線的交點【答案】D【分析】根據角平分線的性質和線段垂直平分線的性質求解即可．【詳解】解：∵P到∠A的兩邊的距離相等，∴P在∠A的角平分線上；∵PA＝PB，∴P在AB的垂直平分線上，∴P為∠A的角平分線與AB的垂直平分線的交點．故選：D．【點睛】此題主要考查了角平分線的性質以及線段垂直平分線的性質，熟練掌握相關性質定理是解題的關鍵．5．（2022·上海·八年級專題練習）如圖，在中，，，．將繞直角頂點逆時針旋轉得△；則點轉過的路徑長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半求出的長，再根據勾股定理求出的長，即為所在的圓的半徑，由旋轉可知，求出的長即為點轉過的路徑長．【詳解】解：在中，，，．，，將繞直角頂點逆時針旋轉得△，，，點轉過的路徑長為，故選：C．【點睛】此題考查旋轉的性質、勾股定理、直角三角形的性質、有關點的運動軌跡問題的求解等知識與方法，正確理解旋轉的性質并且由旋轉的性質得出旋轉角的度數是解題的關鍵．6．（2021·上海·八年級專題練習）下列定理中，沒有逆定理的是（

）．A．兩直線平行，同旁內角互補B．線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等C．等腰三角形兩個底角相等D．同角的余角相等【答案】D【分析】把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題．再分析逆命題是否為真命題．【詳解】解：A、逆命題是：同旁內角互補，兩直線平行，是真命題，故本選項不符合題意；B、逆命題是：到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，是真命題，故本選項不符合題意；C、逆命題是：如果三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形，是真命題，故本選項不符合題意；D、逆命題是：如果兩個角相等，那么這兩個角是同一個角的余角，是假命題，故本選項符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了互逆定理的知識，如果一個定理的逆命題是假命題，那這個定理就沒有逆定理．7．（2022·上海徐匯·八年級期末）下列命題中，其逆命題是真命題的命題個數有（

）（1）全等三角形的對應邊相等；（2）對頂角相等；（3）等角對等邊；

（4）全等三角形的面積相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】首先寫出各個命題的逆命題，再進一步判斷真假．【詳解】（1）逆命題是：對應邊相等的兩個三角形全等，正確；（2）逆命題是：相等的角是對頂角，錯誤；（3）逆命題是：等邊對等角，正確；（4）逆命題是：面積相等，兩三角形全等，錯誤．故選：B．【點睛】本題主要考查了逆命題的定義及真假性，學生易出現只判斷原命題的真假，也就是審題不認真，難度適中．8．（2022·上海·八年級專題練習）如圖，點，分別在軸，軸正半軸上（含坐標原點）滑動，且滿足，點為線段的中點，將線段繞點順時針旋轉得到線段，當由點向右移動時，點移動的路徑長為（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【分析】由C點坐標（），得出C點在直線y＋x=3（0≤x≤3）上，分別討論A在O點和A′時C，D的坐標，結合圖形求解，從而確定D點的軌跡為線段．【詳解】解：如圖，OA＋OB=6，點C為線段AB的中點∴C點坐標（），，即C點在直線y＋x=3（0≤x≤3）上設A（3，0），則B（0，3）∴當點在點處時，C（0，3），此時D（3，0）∴∠BAO=45°當點在處時即處，C（3，0），此時D′（6，3）AA′=A′D′=3∴∠D′AA′=45°∴△為等腰直角三角形∴∵∠BAO=45°，∠D′AA′=45°∴∠BAD′=90°線段AC繞點A順時針旋轉90°得到線段AD∴當C點由B到A時，D點由A到D′∴點移動的路徑長為故選：C【點睛】本題考查點的運動軌跡，旋轉的特征，直線上坐標的特征，由C點的坐標關系得出C點的軌跡再結合圖形得出D點的軌跡是解題關鍵．9．（2022·上海·八年級專題練習）如圖，是邊長為2的等邊三角形，是高上的一個動點，以為邊向上作等邊，在點從點到點的運動過程中，點所經過的路徑長是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】取的中點，連接，證明，進而得到，再計算出即可求出點所經過的路徑長．【詳解】解：如圖，取的中點，連接，，，，，和是等邊三角形，，，，，，，，，又點在處時，，點在處時，點與點重合，點所經過的路徑的長為從C點運動到點運動的路徑長．故選：．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質及三角形全等的判定方法，本題的關鍵是求出點N的運動軌跡的路徑長等于線段DM的長．10．（2022·上海市南洋模范中學八年級期末）如圖，在中，，斜邊的垂直平分線交于點，交于點，平分，那么下列關系中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據線段垂直平分線的性質，，則，再由平分，得．從而得出答案．【詳解】解：、，且，，又平分，，故．正確，不符合題意；、在與中，，，根據三角形內角和定理．正確，不符合題意；、，且，∴EB=EA，正確，不符合題意；、不一定成立，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查線段的垂直平分線的性質等幾何知識，解題的關鍵是掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．11．（2022·上海·八年級專題練習）如圖1，矩形的一條邊長為x，周長的一半為y，定義（x，y）為這個矩形的坐標．如圖2，在平面直角坐標系中，直線x=1，y=3將第一象限劃分成4個區域，已知矩形1的坐標的對應點A落在如圖所示的雙曲線上，矩形2的坐標的對應點落在區域④中，則下面敘述中正確的是（

）A．點A的橫坐標有可能大于3B．矩形1是正方形時，點A位于區域②C．當點A沿雙曲線向上移動時，矩形1的面積減小D．當點A位于區域①時，矩形1可能和矩形2全等【答案】D【分析】A、根據反比例函數k一定，并根據圖形得：當x=1時，y＜3，得k=xy＜3，因為y是矩形周長的一半，即y＞x，可判斷點A的橫坐標不可能大于3；B、根據正方形邊長相等得：y=2x，得點A是直線y=2x與雙曲線的交點，畫圖，如圖2，交點A在區域③，可作判斷；C、先表示矩形面積S=x（y-x）=xy-x2=k-x2，當點A沿雙曲線向上移動時，x的值會越來越小，矩形1的面積會越來越大，可作判斷；D、當點A位于區域①，得x＜1，另一邊為：y-x＞2，矩形2的坐標的對應點落在區域④中得：x＞1，y＞3，即另一邊y-x＞0，可作判斷．【詳解】如圖，設點A（x，y），A、設反比例函數解析式為：y=（k≠0），由圖形可知：當x=1時，y＜3，∴k=xy＜3，∵y＞x，∴x＜3，即點A的橫坐標不可能大于3，故選項A不正確；B、當矩形1為正方形時，邊長為x，y=2x，則點A是直線y=2x與雙曲線的交點，如圖2，交點A在區域③，故選項B不正確；C、當一邊為x，則另一邊為y-x，S=x（y-x）=xy-x2=k-x2，∵當點A沿雙曲線向上移動時，x的值會越來越小，∴矩形1的面積會越來越大，故選項C不正確；D、當點A位于區域①時，∵點A（x，y），∴x＜1，y＞3，即另一邊為：y-x＞2，矩形2落在區域④中，x＞1，y＞3，即另一邊y-x＞0，∴當點A位于區域①時，矩形1可能和矩形2全等；故選項④正確；故選D．【點睛】本題考查了函數圖象和新定義，有難度，理解x和y的意義是關鍵，并注意數形結合的思想解決問題．二、填空題12．（2022·上海·八年級期末）“對頂角相等”這個命題的逆命題是______．【答案】相等的角是對頂角【分析】對頂角相等的題設是：兩個角是對頂角，結論是這兩個角相等，把條件與結論互換就可以得到逆命題．【詳解】解：“對頂角相等”的逆命題是：相等的兩個角是對頂角．故答案為：相等的兩個角是對頂角．【點睛】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．13．（2021·上海市南匯第四中學八年級期末）命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是_________．【答案】有兩個角相等的三角形是等腰三角形；【分析】先找到原命題的題設和結論，在將題設和結論互換，即可得到答案．【詳解】解：原命題的題設是：“一個三角形是等腰三角形”，結論是：“這個三角形兩底角相等”，所以命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”．【點睛】本題考查命題的轉化，準確找到命題的題設和結論進行轉化是解題的關鍵．14．（2021·上海市南匯第四中學八年級期末）平面上經過A、B兩點的圓的圓心的軌跡是_____．【答案】線段AB的垂直平分線【分析】要求作經過已知點A和點B的圓的圓心，則圓心應滿足到點A和點B的距離相等，從而根據線段的垂直平分線性質即可求解．【詳解】解：根據同圓的半徑相等，則圓心應滿足到點A和點B的距離相等，即經過已知點A和點B的圓的圓心的軌跡是線段AB的垂直平分線．故答案為：線段AB的垂直平分線．【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質．掌握線段垂直平分線上的點到該線段兩端點的距離相等是解題關鍵．15．（2021·上海市建平實驗中學八年級期末）命題“直角三角形的兩個銳角互余”的逆命題為_____．【答案】兩個銳角互余的三角形是直角三角形【分析】把原命題的題設與結論部分交換即可得到其逆命題．【詳解】解：命題“直角三角形的兩個銳角互余”的逆命題為“兩個銳角互余的三角形是直角三角形”．故答案為：兩個銳角互余的三角形是直角三角形．【點睛】本題考查了命題與逆命題，解題的關鍵在于找出原命題的條件和結論．16．（2022·上海徐匯·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠C=37°，邊BC的垂直平分線分別與AC、BC交于點D、E，AB=CD，那么∠A=____°．【答案】74【分析】連接BD，由題意易得BD=CD=AB，然后可得∠DBC=∠C=37°，進而根據三角形外角的性質及等腰三角形的性質可求解．【詳解】解：連接BD，如圖所示：∵DE垂直平分BC，AB=CD，∴BD=CD=AB，∵∠C=37°，∴∠DBC=∠C=37°，∴∠ADB=2∠C=74°，∵AB=BD，∴∠A=∠ADB=74°，故答案為74．【點睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質定理、三角形外角的性質及等腰三角形的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質定理、三角形外角的性質及等腰三角形的性質是解題的關鍵．17．（2022·上海·八年級期末）如圖，在中，，的平分線與的外角平分線交于點，則的度數為___________.（用含的式子表示）【答案】【分析】如圖，過點E作三邊的垂線，垂足分別為D，F，G，先根據角平分線的性質證得EF=DE，然后根據角平分線的判定證得，再根據三角形外角的性質和角平分線的性質求得∠EBA=，∠BAE=，最后根據三角形內角和求解．【詳解】解：過點E作于點D，于點F，于點G，∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABC的外角，∴，∴AE也是∠BAC外角的平分線，∴∠EBA=，∠BAE=，∴∠EBA+∠BAE==，∴∠AEB==．故答案為：．【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了三角形的內角和定理，三角形外角的性質，角平分線的性質和判定，正確理解三角形的有關性質是解本題的關鍵．18．（2021·上海普陀·八年級期末）如圖，在△ABC中，點F是邊AB、AC的中垂線的交點，聯結BF、CF，如果∠BFC＝110°，那么∠A＝______°．【答案】55【分析】連接并延長至點，根據線段垂直平分線的性質得到，，根據等腰三角形的性質得到，，根據三角形的外角性質計算，得到答案．【詳解】解：連接并延長至點，點是邊、的中垂線的交點，，，，，，，，故答案為：55．【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質、三角形的外角性質，解題的關鍵是掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．19．（2022·上海·上外附中八年級期末）銳角中，，AB的垂直平分線與的垂直平分線交于點，則____________【答案】##136度【分析】根據垂直平分線的性質可得，由三角形內角和定理可求出，從而可求出【詳解】解：如圖，根據直平分線的性質可得，∵∴∴∴故答案為：136°【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．解題的關鍵是利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理．20．（2022·上海浦東新·八年級期末）已知：如圖，在中，，線段AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E，如果，那么______．【答案】32°##32度【分析】先根據等腰三角形的性質求出∠ABC＝∠ACB，再根據線段垂直平分線的性質求出∠A與∠ABE的關系，根據三角形內角和定理列方程解答即可．【詳解】解：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴∠A＝∠ABE，設∠A＝x°，則∠ABC＝∠ACB＝x°＋42°，∴∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，即x°＋x°＋42°＋x°＋42°＝180°，解得，x＝32°．故∠A＝32°．故答案為：32°．【點睛】此題主要考查線段的垂直平分線的性質等幾何知識．①線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等；②可得到等腰三角形，再利用等腰三角形的知識解答．21．（2022·上海徐匯·八年級期末）以線段AB為底邊的等腰三角形，它的兩底角平分線交點的軌跡是_____．【答案】線段AB的垂直平分線（AB中點除外）【分析】根據等邊對等角，得到兩個底角相等，兩個底角的一半也是相等的，利用等角對等邊，交點到A，B的距離相等，得到結論．【詳解】如圖，∵CA=CB，∴∠CAB=∠CBA，∵AD，BD分別是∠CAB，∠CBA的平分線，∴∠CAB=∠CBA，∴∠DAB=∠DBA，∴D在AB的垂直平分線上，故答案為：線段AB的垂直平分線（AB中點除外）．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，等腰三角形的判定，線段垂直平分線的逆定理，熟練等腰三角形的性質，線段垂直平分線的逆定理是解題的關鍵．22．（2021·上海·八年級專題練習）如圖，在中，平分，的中垂線交于點，交于點，連接，.若為等腰三角形，則的度數為___________；【答案】60°.【分析】根據角平分線的性質可得∠DBC=∠ABD，再根據線段垂直平分線的性質可得BF=CF，進而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACB的度數，再根據三角形內角和定理即可解答．【詳解】∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD，∵BD平分，∴∠ABC=48°，∵BC的中垂線交BC于點E，∴BF=CF，∴∠FCB=∠FBC=24°，∴∠BFE=90°-24°=66°，∴∠DFC=180°-66°-66°=48°，∵為等腰三角形，∴∠DFC=∠DCF=48°，∴∠ACB=∠DFC+∠FCB=48°+24°=72°，∴∠A=180°-∠ACB-∠ABC=60°.故答案為60°.【點睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質，以及三角形內角和定理，等腰三角形的性質，關鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．23．（2021·上海·八年級專題練習）如圖，在中，分別以點和為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于，，作直線，交于點，連接．如果,，那么___________；【答案】3【分析】直接利用基本作圖方法得出MN垂直平分AB，進而得出答案．【詳解】由作圖步驟可得：MN垂直平分AB，則AD=BD，∵BC=5，CD=2，∴BD=AD=BC-CD=5-2=3．故答案為3．【點睛】此題考查基本作圖，正確得出MN垂直平分AB是解題關鍵．24．（2022·上海·八年級期末）我們定義：一個三角形最小內角的角平分線將這個三角形分割得到的兩個三角形它們的面積之比稱為“最小角割比Ω”（），那么三邊長分別為7，24，25的三角形的最小角割比Ω是______．【答案】．【分析】根據題意作出圖形，然后根據角平分線的性質得到，再根據三角形的面積和最小角割比Ω的定義計算即可．【詳解】解：如圖示，，，，則，根據題意，作的角平分線交于點，過點，作交于點，過點，作交于點，則∵，，則（）故答案是：．【點睛】本題考查了三角形角平分線的性質和三角形的面積計算，熟悉相關性質是解題的關鍵．25．（2021·上海·八年級專題練習）在中，邊、的垂直平分線分別交邊于點、點，，則______°.【答案】80或100【分析】根據題意，點D和點E的位置不確定，需分析誰靠近B點，則有如下圖（圖見解析）兩種情況：（1）圖1中，點E距離點B近，根據垂直平分線性質可知，，從而有，再根據三角形的內角和定理可得，聯立即可求得；（2）圖2中，點D距離點B近，根據垂直平分線性質可知，，從而有，由三角形的內角和定理得，聯立即可求得.【詳解】由題意可分如下兩種情況：（1）圖1中，根據垂直平分線性質可知，，（等邊對等角），兩式相加得，又，由三角形內角和定理得，，；（2）圖2中，根據垂直平分線性質可知，，（等邊對等角），兩式相加得，又，，由三角形內角和定理得，，.故答案為80或100.

【點睛】本題考查了垂直平分線的性質（垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等）、等腰三角形的定義和性質（等邊對等角）、以及三角形內角和定理，本題的難點在于容易漏掉第二種情況，出現漏解.三、解答題26．（2021·上海·八年級專題練習）如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC．求證：AE是∠DAB的平分線．【答案】證明過程見詳解【分析】依據角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質構造EF⊥AD，從而得出EC=EF．再通過E是BC的中點，得出EF=EB，最終得出結論．【詳解】證明：過點E作EF⊥AD，垂足為F．∵∠B=∠C=90°，∴BC⊥CD，CB⊥AB．∵DE平分∠ADC，∴EC=EF．∵E為BC的中點，∴EC=EB，∴EF=EB，∵EF⊥AD，CB⊥AB，∴AE平分∠DAB．【點睛】本題考查角平分線的性質及判定方法，能熟記并運用角平分線上的點到角兩邊的距離相等，并以此判定角平分線是解題關鍵．27．（2021·上海普陀·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為AB中點，ED∥BC，且與∠ABC的平分線BD交于點D，聯結AD．(1)求證：AD⊥BD；(2)記BD與AC的交點為F，求證：BF＝2AD．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由平行線的性質和角平分線的性質可得，由等腰三角形的性質和三角形內角和定理可得，可證；（2）由“”可證，可得，由“”可證，可得．(1)解：證明：為中點，，平分，，，，，，，，，，，；(2)解：延長，交于點，在和中，，，，，，，，在和中，，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，解題的關鍵是添加恰當輔助線構造全等三角形．28．（2021·上海·八年級專題練習）已知，如圖，AD∥BC，AE平分∠BAD，點E是CD的中點.（1）求證：AB=AD＋BC（2）求證：AE⊥BE

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【分析】(1)延長AE交BC的延長線于點F，根據角平分線和平行線的性質得到，然后等角對等邊AB=BF，再證明△FCE≌△ADE，進而等量代換求解；(2)由全等得出AE=EF，然后利用等腰三角形三線合一的性質，即可得結論；【詳解】解：如圖：延長AE交BC的延長線于點F，∵AE平分∠BAD∴∵E是DC中點∴DE=CE∵AD∥BC∴∴∴AB=BF又∵在△FCE和△ADE中，∴△FCE≌△ADE，∴AD=CF∴AB=BF=BC+CF=BC+AD即AB=AD＋BC（2）由（1）可知△FCE≌△ADE∴AE=FE又∵BA=BF∴根據等腰三角形三線合一的性質可知AE⊥BE.【點睛】本題考查平行線的性質，等腰三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，根據題意適當作出輔助線是解題關鍵.29．（2019·上海市西南模范中學八年級期中）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，AB=DC，在四個論斷“EA=ED，EF⊥AD，AB=DC，FB=FC”中選擇二個作為已知條件，另一個作為結論，構成真命題（補充已知和求證），并進行證明．已知、如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，．求證、．證明、．【答案】見解析【分析】已知：EA=ED，EF⊥AD，AB=DC，求證FB=FC．想辦法證明EF是線段BC的垂直平分線即可．（答案不唯一）【詳解】已知：如圖，EA=ED，EF⊥AD，AB=DC，求證FB=FC．理由：延長EF交BC于H．∵EA=ED，EF⊥AD，∴AH=HD，∵AB=DC，∴BH=CH，∵FH⊥BC，∴FB=FC．故答案為EA=ED，EF⊥AD，AB=DC；FB=FC；