9.4拋物線（精練）1．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學校聯考模擬預測）圖1是世界上單口半徑最大、靈敏度最高的射電望遠鏡“中國天眼”——口徑拋物面射電望遠鏡，反射面的主體是一個拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉所形成的曲面稱為拋物面），其邊緣距離底部的落差約為156.25米，它的一個軸截面開口向上的拋物線C的一部分，放入如圖2所示的平面直角坐標系內，已知該拋物線上點P到底部水平線（x軸）距離為，則點到該拋物線焦點F的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令拋物線方程為且，由題設在拋物線上，則，得，又且，則P到該拋物線焦點F的距離為米.故選：A2．（2023春·河北廊坊）已知拋物線，過點的直線l交C于A，B兩點，則直線，（O為坐標原點）的斜率之積為（

）A． B．8 C．4 D．【答案】A【解析】設l的方程為，聯立，得，則，所以，所以．故選：A3．（2023秋·海南·高三海南中學校考階段練習）已知拋物線的焦點為，若直線與交于，兩點，且，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】令，則，故，所以，所以，故準線為，則.故選：B4．（2023·四川資陽·統考三模）已知拋物線C：，過點的直線l與拋物線C交于A，B兩點，若，則直線l的斜率是（

）A． B．4 C． D．【答案】A【解析】設，則作差得.因為，所以P是線段AB的中點，所以，則直線l的斜率.故選：A5．（2023春·河南新鄉·高三校聯考開學考試）已知直線l交拋物線于M，N兩點，且MN的中點為，則直線l的斜率為（

）A． B． C．3 D．【答案】C【解析】易知直線l的斜率存在，設直線的斜率為k，，則，兩式相減得，整理得，因為MN的中點為，則，所以，即直線l的斜率為3．故選：C．6．（2023·四川成都·樹德中學校考模擬預測）為：的焦點，點在曲線上，且在第一象限，若，且直線斜率為，則的面積（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】

如圖，設點，，所以，由題意，所以，得，或（舍去），所以，，故選：B7．（2023春·廣東汕頭·高三校聯考階段練習）（多選）設拋物線的焦點為，準線為為上一動點，，則下列結論正確的是（

）A．當時，的值為4B．當時，拋物線在點處的切線方程為C．的最小值為3D．的最大值為【答案】ACD【解析】對于A，當時，，故，故A正確；對于B，當時，，由可得，所以，所以拋物線在點處的切線方程為，整理得：，故B錯誤；對于C，如圖，過點作準線于點，則由拋物線定義可知：，則，當三點共線時，和最小，最小值為，故C正確；

對于D，由題意得：，連接并延長，交拋物線于點，此點即取最大值的點，此時，其他位置的點，由三角形兩邊之差小于第三邊得：，故的最大值為，故D正確.

故選：ACD8．（2023·河北·校聯考一模）（多選）拋物線的焦點為，為拋物線上的動點，若點不在拋物線上，且滿足的最小值為，則的值可以為（

）A． B．3 C． D．【答案】ABC【解析】

如上圖所示，若A在拋物線內，易知，拋物線的準線為，過P作PE垂直于拋物線準線，垂足為E，過A作AB垂直于拋物線準線，垂足為B，交拋物線于，由拋物線的定義知，當且僅當A、P、B三點共線時，即重合時取得最小值，，又A在拋物線內，故，所以，即；若A在拋物線外，連接AF交拋物線于G點，則，當且僅當重合時取得最小值，此時即.

綜上.故選：ABC9．（2023·江蘇南通·統考模擬預測）（多選）已知O為坐標原點，過拋物線的焦點F（2，0）作斜率為的弦AB，其中點A在第一象限，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】拋物線方程為，設直線的方程，代入得，設，則，對A：顯然不關于軸對稱，故，A錯誤；對B：，所以，B正確；對C：，C錯誤；對D：，D正確.故選：BD10．（2023秋·河南·高三校聯考開學考試）拋物線焦點為，準線上有點是拋物線上一點，為等邊三角形，則點坐標為．【答案】【解析】拋物線焦點為，點在準線上，在等邊中，，因此長等于點到準線的距離，即有與拋物線準線垂直，

令拋物線準線與x軸交于點，則，由軸，得，于是，令，則，解得，所以點坐標為.故答案為：11．（2022秋·廣東梅州·高三統考階段練習）設拋物線C：的焦點為F，點M在C上，，若以MF為直徑的圓過點，則C的方程為.【答案】或.【解析】由題意得，設，則由拋物線的定義得，則，所以圓心的橫坐標為，其半徑也為，所以圓與y軸相切，又因為以MF為直徑的圓過點，所以切點為，所以圓心為，則，又因為點M在拋物線上，所以，即，解得或，所以拋物線方程為：或.故答案為：或.12．（2023春·廣東廣州）已知點為拋物線上的動點，點為圓上的動點，則點到軸的距離與點到點的距離之和最小值為.【答案】【解析】由題可知，拋物線的準線方程為，焦點坐標為，過點作軸交軸于點，由拋物線的定義可知點到軸的距離即為，圓的圓心坐標為，半徑為，故點到軸的距離與點到點的距離之和，根據圓的性質可知點到軸的距離與點到點的距離之和最小值為，當且僅當、、、四點共線（、在之間）時取等號.

故答案為：.13．（2023·福建）已如，是拋物線上的動點（異于頂點），過作圓的切線，切點為，則的最小值為.【答案】3【解析】依題意，設，有，圓的圓心，半徑，于是，

因此，表示拋物線上的點到y軸距離與到定點的距離的和，而點在拋物線內，當且僅當是過點垂直于y軸的直線與拋物線的交點時，取得最小值3，所以的最小值為3.故答案為：3.14．（2023·遼寧大連·育明高中校考一模）已知是拋物線上一點，則的最小值為.【答案】/【解析】由題可知，過拋物線上的動點作直線的垂線交直線于，過點作軸的垂線交軸于，交準線于點，為拋物線焦點.由，得，所以，如圖所示則動點到軸的距離為所以,當且僅當三點共線時，有最小值，即,(為點到直線的距離).所以到直線的距離為所以，所以.所以的最小值為.故答案為：.15．（2024秋·內蒙古呼和浩特·高三統考開學考試）已知點在拋物線C：上，則A到焦點F的距離為．【答案】4【解析】因為在上，故，A到準線的距離為，故A到焦點F的距離為4.故答案為：416．（2024秋·內蒙古呼和浩特·高三統考開學考試）已知點在拋物線C：上，則點A到拋物線C的準線的距離為．【答案】2【解析】因為在拋物線C：上，所以，解得，故拋物線C的準線為，所以點A到拋物線C的準線的距離為.故答案為：.17．（2022秋·陜西渭南）設拋物線的焦點為F，過點F作直線l交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點E到y軸的距離為3，則弦AB的長為．【答案】10【解析】設，則，由拋物線方程可知，由線段的中點E到y軸的距離為3得，，∴故答案為：.18．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中學校聯考開學考試）過拋物線的焦點的直線與交于、兩點，且，為坐標原點，則的面積為.【答案】【解析】易知，拋物線的焦點為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，

所以，直線的斜率存在，設直線的方程為，設點、，聯立可得，則，故，，又，即，即，所以，，可得，，解得.此時，又因為原點到直線的距離為，故的面積為.故答案為：.19．（2023·貴州遵義·統考三模）已知拋物線上兩點A，B關于點對稱，則直線AB的斜率為.【答案】2【解析】設，代入拋物線，得，則①，因為兩點A，B關于點對稱，則，所以由①得，直線AB的斜率為2.則直線AB：與代入拋物線聯立，得，，解得.所以直線AB的斜率為2.故答案為：2.20．（2023·陜西咸陽·統考二模）過拋物線的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若l的傾斜角為，則線段AB的中點到x軸的距離是．【答案】3【解析】由題意，拋物線為，則，即直線為，∴將直線方程代入拋物線整理得：，設，，則，故線段的中點的橫坐標為代入直線，得，∴線段的中點到軸的距離是.故答案為：3.21．（2023秋·廣東深圳·高三校聯考開學考試）過拋物線C：焦點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，且，若M為AB的中點，則M到y軸的距離為.【答案】【解析】作出拋物線的準線，設、在上的射影分別是、，連接、，過作于，設，則，由點、分別在拋物線上，結合拋物線的定義，得，，因此，中，，得所以，直線的傾斜角，得直線的斜率．直線的方程為，代入，可得，或，為的中點，，∴到軸的距離為，故答案為：

22．（2023·人大附中校考三模）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與該拋物線交于A，B兩點，，AB的中點橫坐標為4，則．【答案】【解析】由拋物線定義知：，而AB的中點橫坐標為4，即，所以，即.故答案為：23．（2023秋·課時練習）已知拋物線的焦點為，則，若點在拋物線上，點，則的最小值為.【答案】【解析】拋物線的焦點為，可得，即，拋物線方程為，則拋物線的準線方程為，過作直線的垂線，垂足為，，則當三點共線時，取得最小值，且最小值為（即到準線的距離）.故答案為：；

24．（2023·江蘇）設點P是拋物線上的一個動點.(1)求點到的距離與點到直線的距離之和的最小值；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)4【解析】（1）如圖，易知拋物線的焦點為，準線為，由拋物線的定義知點到直線的距離等于點到焦點的距離.于是，問題轉化為在曲線上求一點，使點到點的距離與點到的距離之和最小.顯然，連接與拋物線的交點即為所求點，故最小值為＝.

（2）如圖，過點作垂直于準線于點，過點作垂直準線于點，交拋物線于點，

此時，，那么,即最小值為4.25．（2023·江蘇）若位于軸右側的動點到的距離比它到軸的距離大，點，求的最小值，并求出點的坐標.【答案】最小值為,【解析】由題意可知，動點到的距離與它到直線的距離相等，所以點的軌跡是以點為焦點的拋物線，拋物線方程為，由于點M在拋物線上，所以|MF|等于點M到其準線l的距離|MN|，

過點作垂直于準線于點，于是.當，，三點共線時，取得最小值，即取最小值，這時的縱坐標為2，可設，代入拋物線方程得，即.26（2023秋·課時練習）當k為何值時，直線與拋物線有兩個公共點？僅有一個公共點？無公共點？【答案】答案見解析【解析】由，得.當時，方程化為一次方程，該方程只有一解，原方程組只有一組解，∴直線與拋物線只有一個公共點；當時，二次方程的判別式，當時，得，，∴當或時，直線與拋物線有兩個公共點；由得，此時直線與拋物線相切，只有一個公共點；由得或，此時直線與拋物線無公共點．綜上，當或時，直線與拋物線僅有一個公共點；當或時，直線與拋物線有兩個公共點；當或時，直線與拋物線無公共點．27．（2023秋·湖北隨州·高三隨州市曾都區第一中學校考開學考試）在平面直角坐標系中，已知圓心為C的動圓過點，且在軸上截得的弦長為4，記C的軌跡為曲線E．(1)求E的方程；(2)已知及曲線E上的兩點B和D，直線AB，AD的斜率分別為，，且，求證：直線BD經過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）設圓心，半徑為，因為圓心為C的動圓過點，所以，因為圓心為C的動圓在軸上截得的弦長為4，所以，所以，即，所以曲線E是拋物線.（2）證明：由題意點坐標適合，即點A在E上，由題意可知BD斜率不會為0，設直線：，聯立，消去并整理得，需滿足，即，設，，則，，

因為，，所以，所以，將，代入得，即，所以直線：，即，所以直線BD經過定點.1．（2023·河南·模擬預測）P為拋物線上任意一點，F為拋物線的焦點．如下圖，，的最小值為5．若直線與拋物線交于點N，則外接圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，拋物線的焦點，準線，過點作于，過作于，交拋物線于，連接，如圖，則，當且僅當點與重合時取等號，所以的最小值為，解得，即有，由得點，因此，在中，由余弦定理得，則，令外接圓半徑為，由正弦定理得，則，所以外接圓的面積為.故選：D2．（2023秋·河南鄭州·高三校考開學考試）（多選）已知O為坐標原點，拋物線的焦點F為，過點的直線l交拋物線C于A，B兩點，點P為拋物線C上的動點，則（

）A．的最小值為3B．C的準線方程為C．D．當時，點P到直線l的距離的最大值為【答案】ABD【解析】如圖：對于A,B，由拋物線的焦點為，則，即，其準線方程為，設點到準線的距離為，則，設點到準線的距離為，易知，故選項A正確，B正確；由題意可知，過點的直線的方程可設為，代入拋物線,可得，，則直線始終與拋物線圖象有兩個交點，設,則，當時，取到最小值，故選項C錯誤；由C可得直線的方程為，由，可知到直線的距離等于到直線的距離，點到直線的距離，令，則，當時，，單調遞減；當時，單調遞增，由當時，，當時,，則當時，，所以，故選項D正確.故選：ABD.

3．（2023秋·湖北·高三校聯考階段練習）（多選）已知O為拋物線的頂點，直線l交拋物線于M，N兩點，過點M，N分別向準線作垂線，垂足分別為P，Q，則下列說法正確的是（

）A．若直線l過焦點F，則N，O，P三點不共線B．若直線l過焦點F，則C．若直線l過焦點F，則拋物線C在M，N處的兩條切線的交點在某定直線上D．若，則直線l恒過點【答案】BCD【解析】設直線，聯立方程，得設，，則選項A，若直線l過焦點F，則，，又，，，三點共線，A錯；

選項B，由拋物線的定義和平行線的性質知：，又，，所以B對；選項C，設與拋物線相切的切線方程為，則化簡得．由，可得，即，所以與拋物線相切的切線方程為，將點坐標代入方程可得，則，所以過的切線方程為．同理，過的切線方程為，聯立，得：拋物線在點M，N處的切線的交點在定直線上，所以C對；

選項D，因為，，將韋達定理代入得：.所以直線l恒過點，所以D對.故選：BCD.4．（2023·山東泰安·統考模擬預測）（多選）已知拋物線：的焦點為，過的直線交拋物線于、兩點，，直線左邊的拋物線上存在一點，則（

）A． B．C．若點，則 D．當的面積最大時，面積為【答案】ACD【解析】對于A，設直線的方程為，聯立拋物線方程，消去x化簡得：，∴，代入拋物線方程得：，A正確；對于B，∵，解得，所以，B錯誤；對于C：分別做、于、點，弦的中點于，所以，，，，所以，所以以為直徑的圓與準線相切，由選項B得，時，，得，時，，得，所以圓心，所以與準線的切點為，所以點在圓外，所以是銳角，即，C正確；

對于D：直線方程為，斜率為，當過點的切線與直線平行時，點到直線的距離最大，當時，，所以，設，所以，得，所以點，此時，所以面積的最大值為，當斜率為時，同理求得面積為，D正確.

故選：ACD.5．（2023·全國·鎮海中學校聯考模擬預測）（多選）已知拋物線的準線方程為，圓，直線與交于兩點，與交于兩點在第一象限），為坐標原點，則下列說法中正確的是（

）A． B．C．若，則 D．為定值【答案】BD【解析】對于A，因為拋物線的準線方程為，所以，得，所以A錯誤，對于B，設，由，得，則，所以，因為直線恒過圓心，所以，所以，所以，所以B正確，對于C，因為直線過拋物線的焦點，所以，因為，，所以，解得，所以C錯誤，對于D，因為直線過拋物線的焦點，所以，所以為定值，所以D正確，故選：BD

6．（2023秋·安徽·高三宿城一中校聯考階段練習）（多選）已知拋物線C的標準方程為，O為坐標原點，直線l為其準線，點A，B是C上的兩個動點（不是原點O），線段與x軸交于點M，連接并延長交準線于點D，則（

）A．若點M為C的焦點，則直線平行于x軸B．若點M為C的焦點，則線段的長度的最小值為4C．若，則點M為C的焦點D．若與的面積之積為定值，則點M為C的焦點【答案】AB【解析】直線的斜率不為0，設點，設直線的方程為，設，，因為點M在線段上，所以，

聯立直線和拋物線方程得，則，所以，，直線的方程為，得，又因為，故，對于A，若為焦點，則，因為，所以，A選項正確；對于B，若為焦點，則，，則，B選項正確；對于C，若，有，即，所以，解得或0（舍去），C選項錯誤；對于D，，只需M橫坐標為定值即可，故D錯誤.故選：AB7．（2023秋·河北唐山）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，連接并延長，交拋物線于點，若中點的縱坐標為，則當最大時，．【答案】16【解析】由題可得拋物線焦點為，準線為.設，則由拋物線定義可得，又由題可得中點的縱坐標為，則.則.則，當且僅當取等號，則為等邊三角形，即直線AD斜率為或.如圖，設此時AD方程為，將其與拋物線聯立有.設D，則由韋達定理有.再由拋物線定義有.故答案為：.

8．（2023·江蘇南通·統考模擬預測）已知點是拋物線上的動點，則的最小值為.【答案】/【解析】由題可知，過拋物線上的動點作直線的垂線交直線于，過點作軸的垂線交軸于，交準線于點，為拋物線焦點，由，得，所以，如圖所示則動點到軸的距離為所以，當且僅當三點共線時，有最小值，即(此時為點到直線的距離)，所以到直線的距離為，所以，所以.所以的最小值為.故答案為：9．（2023秋·陜西西安·高三校聯考開學考試）已知點為拋物線的焦點，點，，且.(1)求拋物線的標準方程；(2)若斜率存在的直線過點且交拋物線于，兩點，若直線，交拋物線于，兩點（、與、不重合），求證：直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由題設，則，，又，故，整理得，解得.所以拋物線的標準方程為；（2）若直線不過點，如圖，

設，，，，由題意可知直線的斜率存在且不為0，則直線的斜率，所以直線的方程為，即，由直線過定點，可得同理直線的方程為，過焦點，可得，的方程，過焦點，可得.直線的方程為，由，得，所以，即.又因為，所以.令，解得，故直線恒過定點.若直線過點，直線即為直線，其方程為，即，顯然直線過點.綜上，直線過定點.10．（2024秋·內蒙古呼和浩特·高三統考開學考試）已知拋物線C：焦點為，直線l與拋物線C交于，兩點，且，（O為坐標原點）．(1)求拋物線C的方程；(2)求證：直線l過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由題設，則，所以拋物線方程為.（2）令l：，，，聯立得：，則，，

，解得或，由得：，故，∴l：過定點.11．（2023·寧夏銀川·校考模擬預測）已知拋物線和圓，傾斜角為的直線過焦點，且與相切.(1)求拋物線的方程；(2)動點在的準線上，動點在上，若在點處的切線交軸于點，設，證明點在定直線上，并求該定直線的方程.【答案】(1)；(2)證