重難點(diǎn)02集合中的創(chuàng)新問題【題型歸納目錄】【方法技巧與總結(jié)】1、集合中的創(chuàng)新問題主要體現(xiàn)在（1）集合中的新定義問題；（2）集合中的新運(yùn)算問題；（3）集合中的新性質(zhì)問題．對(duì)于這類以集合為背景的創(chuàng)新問題是近幾年考查的一個(gè)熱點(diǎn)．此類題目常常以“問題”為核心，以“探究”為途徑，以“發(fā)現(xiàn)”為目的，以集合為依托．解決集合中的創(chuàng)新問題的著手點(diǎn)：（1）正確理解新定義、新運(yùn)算、新性質(zhì)的定義，剝?nèi)ニ鼈兊耐獗恚D(zhuǎn)化為我們熟悉的集合知識(shí)；（2）合理利用集合性質(zhì)是破解創(chuàng)新性集合問題的關(guān)鍵；（3）對(duì)于選擇題，可結(jié)合選項(xiàng)，通過驗(yàn)證、排除、對(duì)比、特值法進(jìn)行求解，當(dāng)不滿足要求時(shí)，只需通過舉反例來說明．2、解決與集合有關(guān)的創(chuàng)新題的對(duì)策：（1）分析含義，合理轉(zhuǎn)化，準(zhǔn)確提取信息是解決此類問題的前提．剝?nèi)バ露x、新法則的外表，利用我們所學(xué)集合的性質(zhì)將陌生的集合轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的集合，陌生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為我們熟悉的運(yùn)算，是解決這類問題的突破口，也是解決此類問題的關(guān)鍵．（2）根據(jù)新定義（新運(yùn)算、新法則）的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證和運(yùn)算，其中要注意應(yīng)用集合的有關(guān)性質(zhì)．（3）對(duì)于選擇題，可結(jié)合選項(xiàng)，通過驗(yàn)證、排除、對(duì)比、特值法等進(jìn)行求解或排除錯(cuò)淏選項(xiàng)，當(dāng)不滿足新定義的要求時(shí)，只需通過舉反例來說明，以達(dá)到快速判斷結(jié)果的目的．【經(jīng)典題型】題型一：創(chuàng)新集合新定義【典例11】（2024·黑龍江·二模）已知集合，，定義集合：，則集合的非空子集的個(gè)數(shù)是（

）個(gè)．A．16 B．15 C．14 D．13【典例12】（2024·高一·上海浦東新·開學(xué)考試）定義集合運(yùn)算且稱為集合A與集合B的差集；定義集合運(yùn)算稱為集合A與集合B的對(duì)稱差，有以下4個(gè)等式：①；②；③；④，則4個(gè)等式中恒成立的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【變式11】（2024·高一·北京豐臺(tái)·期末）記為非空集合A中的元素個(gè)數(shù)，定義.若，，且，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式12】（2024·高一·廣東惠州·階段練習(xí)）對(duì)于集合，，定義，，設(shè)，，則（

）A． B．C． D．【變式13】（2024·高一·湖北·階段練習(xí)）設(shè),為非空集合，定義，且，已知，，則（

）A． B．或C．或 D．題型二：創(chuàng)新集合新運(yùn)算【典例21】（2024·高一·湖北·階段練習(xí)）在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“”，具有以下三條性質(zhì)：①對(duì)任意，；②對(duì)任意，，；③對(duì)任意，，，，以下正確的選項(xiàng)是（

）A．B．C．對(duì)任意的，，，有D．對(duì)任意，，，有【典例22】對(duì)于集合和集合，若滿足，則集合中的運(yùn)算“”可以是（

）．A．加法 B．減法 C．乘法 D．除法【變式21】（2024·河南·三模）定義集合運(yùn)算：，若集合，，則集合中所有元素之和為．【變式22】（2024·高一·河北衡水·階段練習(xí)）定義集合運(yùn)算：．若集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為．題型三：創(chuàng)新集合新性質(zhì)【典例31】（2024·高一·北京·期中）設(shè)是非空數(shù)集，若對(duì)任意，都有、，則稱具有性質(zhì)，給出以下命題：①若具有性質(zhì)，則可以是有限集；②若具有性質(zhì)，且，則具有性質(zhì)；③若、具有性質(zhì)，且，則具有性質(zhì)；④若、具有性質(zhì)，則具有性質(zhì).其中所有真命題的序號(hào)是.【典例32】（2024·四川·一模）已知集合，對(duì)任意、、，規(guī)定運(yùn)算“”滿足如下性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；給出下列命題：①；②若，則；③若，且，則；④若、、，且，，則．其中所有正確命題的序號(hào)是．【變式31】（2024·高一·上海徐匯·期末）若集合A同時(shí)具有以下三個(gè)性質(zhì)：（1），；（2）若，則；（3）若且，則．則稱A為“好集”．已知命題：①集合是好集；②對(duì)任意一個(gè)“好集”A，若，則．以下判斷正確的是（

）A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題【變式32】（多選題）（2024·高一·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）非空集合具有下列性質(zhì)：①若，則；②若，則．下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則題型四：創(chuàng)新集合新背景【典例41】（2024·高一·上海·期中）已知非空集合A，B滿足以下兩個(gè)條件：（i），；（ii）A的元素個(gè)數(shù)不是A中的元素，B的元素個(gè)數(shù)不是B中的元素，則有序集合對(duì)的個(gè)數(shù)為.【典例42】（2024·高三·上海楊浦·期中）非空集合，且滿足如下性質(zhì)：性質(zhì)一：若，，則；性質(zhì)二：若，則.則稱集合為一個(gè)“群”以下敘述正確的個(gè)數(shù)為（

）①若為一個(gè)“群”，則必為無限集；②若為一個(gè)“群”，且，，則；③若，都是“群”，則必定是“群”；④若，都是“群”，且，，則必定不是“群”；A．1 B．2 C．3 D．4【變式41】（多選題）（2024·高一·陜西西安·開學(xué)考試）設(shè)非空集合，其中，若集合S滿足：當(dāng)時(shí)，有，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式42】（2024·高一·上海·期末）若對(duì)任意，均有，就稱集合是伙伴關(guān)系集合．設(shè)集合，則的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)為（

）A．15 B．16 C．32 D．128【變式43】（2024·高一·上海長寧·階段練習(xí)）設(shè)集合由全體二元有序?qū)崝?shù)組組成，在上定義一個(gè)運(yùn)算，記為對(duì)于中的任意兩個(gè)元素，規(guī)定：；(1)求；(2)已知集合，判斷是否對(duì)任意，都有并說明理由：(3)是否存在中的元素，使得恒成立？若存在，求出元素；若不存在，請(qǐng)說明理由；【過關(guān)測(cè)試】1．（2024·高一·河南南陽·期末）已知集合，，記.則下列等式成立的是（

）A． B．C． D．2．（2024·高一·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知集合，，定義集合，則中元素個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．93．（多選題）（2024·高一·安徽蕪湖·階段練習(xí)）當(dāng)兩個(gè)集合有公共元素，且互不為對(duì)方的子集時(shí)，我們稱這兩個(gè)集合“相交”.對(duì)于集合，，若M與N“相交”，則a等于（

）A．4 B．2 C．1 D．04．（多選題）（2024·高三·全國·專題練習(xí)）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)，直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)(史稱戴德金分割)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個(gè)元素小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割．試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（

）A．，是一個(gè)戴德金分割B．M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素C．M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素D．M沒有最大元素，N也沒有最小元素5．（多選題）（2024·高一·江蘇宿遷·期中）設(shè)集合是實(shí)數(shù)集的子集，如果點(diǎn)滿足：對(duì)任意，都存在，使得，稱為集合的聚點(diǎn)，則在下列集合中，以0為聚點(diǎn)的集合有（

）A． B．C． D．6．（多選題）（2024·高二·廣東佛山·階段練習(xí)）設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)．若對(duì)于任意，都有，且若，則，則稱P是一個(gè)數(shù)域．例如，有理數(shù)集Q是數(shù)域．下列命題正確的是（

）A．?dāng)?shù)域必含有0，1兩個(gè)數(shù)B．整數(shù)集是數(shù)域C．若有理數(shù)集，則數(shù)集M一定是數(shù)域D．?dāng)?shù)域中有無限多個(gè)元素7．（多選題）（2024·高一·山東濟(jì)南·期末）通常我們把一個(gè)以集合作為元素的集合稱為族.若以集合的子集為元素的族，滿足下列三個(gè)條件：（1）和在中；（2）中的有限個(gè)元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多個(gè)元素取并后得到的集合在中，則稱族為集合上的一個(gè)拓?fù)?已知全集為的非空真子集，且，則（

）A．族為集合上的一個(gè)拓?fù)銪．族為集合上的一個(gè)拓?fù)銫．族為集合上的一個(gè)拓?fù)銬．若族為集合上的一個(gè)拓?fù)洌瑢⒌拿總€(gè)元素的補(bǔ)集放在一起構(gòu)成族，則也是集合上的一個(gè)拓?fù)?．（2024·高一·全國·競賽）現(xiàn)定義且，若，則集合可以是（寫出一個(gè)即可）.9．（2024·高一·江蘇南京·階段練習(xí)）設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合，定義集合，若，，則.10．（2024·高一·河北石家莊·階段練習(xí)）非空集合具有下列性質(zhì)：（1）若，則；（2）若,則,下列判斷一定成立的是.（填題編號(hào)）①；②；③,則；④若，則．11．（2024·高一·全國·專題練習(xí)）設(shè)是非空數(shù)集，若對(duì)任意，都有、，則稱具有性質(zhì)，給出以下命題：①若具有性質(zhì)，則可以是有限集；②若具有性質(zhì)，且，則具有性質(zhì)；③若、具有性質(zhì)，且，則具有性質(zhì)；④若、具有性質(zhì)，則具有性質(zhì).其中所有真命題的序號(hào)是.12．（2024·高一·云南昆明·期中）若集合具有以下兩條性質(zhì)，則稱集合為一個(gè)“好集合”.（1）且；（2）若、，則，且當(dāng)時(shí)，有.給出以下命題：①集合是“好集合”；②是“好集合”；③是“好集合”；④是“好集合”；⑤設(shè)集合是“好集合”，若、，則；其中真命題的序號(hào)是.13．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)集及定義在該數(shù)集上的某個(gè)運(yùn)算（例如記為“*”），如果對(duì)一切，都有，那么就說，集合對(duì)運(yùn)算“*”是封閉的．(1)設(shè)，判斷對(duì)通常的實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算是否封閉？(2)設(shè)，且，問對(duì)通常的實(shí)數(shù)的乘法是否封閉？試證明你的結(jié)論．14．（2024·高一·北京順義·期中）已知為實(shí)數(shù)集的一個(gè)非空子集，稱是一個(gè)加法群，如果連同其上的加法運(yùn)算滿足如下四條性質(zhì)：①，；②，；③，，使得；④，，使得．例如是一個(gè)無限元加法群，是一個(gè)單元素加法群．(1)令，，分別判斷，是否為加法群，并說明理由；(2)已知非空集合，并且，有，求證：是一個(gè)加法群；(3)已知非空集合，并且，有，求證：存在，使得．15．（2024·高一·浙江·期中）設(shè)非空數(shù)集M，對(duì)于任意，如果滿足：①屬于M

②屬于M.③屬于M

④（分母不為零）也屬于M.定義：滿足條件①②③的數(shù)集M為數(shù)環(huán)（即數(shù)環(huán)對(duì)于加、減、乘運(yùn)算封閉）；滿足④的數(shù)環(huán)M為數(shù)域（即數(shù)域?qū)τ诩印p、乘、除運(yùn)算封閉）.(1)判斷自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)