2024~2025學年第一學期高三年級考試數學全卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區域內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內容：集合與常用邏輯用語，不等式，函數與導數．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．3．函數的圖象大致為（）A． B．C． D．4．函數的一個零點所在的區間是（）A． B． C． D．5．已知函數是定義域為的奇函數，當時，．若，則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知條件，條件，若是的必要而不充分條件，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．7．在日常生活中，我們發現一杯熱水放在常溫環境中，隨時間的推移會逐漸變涼，物體在常溫環境下的溫度變化有以下規律：如果物體的初始溫度為，則經過一定時間，即分鐘后的溫度滿足，h稱為半衰期，其中是環境溫度．若℃，現有一杯80℃的熱水降至75℃大約用時1分鐘，那么水溫從75℃降至45℃大約還需要（參考數據：，）A．8分鐘 B．9分鐘 C．11分鐘 D．10分鐘8．設函數，其中，若存在唯一的整數，使得，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知集合，，則下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．下列說法正確的是A．命題，，則命題的否定為，B．“”是“”成立的充要條件C．函數的最小值是D．“”是“函數的零點個數為2”成立的充要條件11．已知函數，則下列選項中正確的是（）A．函數的極小值點為B．C．若函數有4個零點，則D．若，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．若函數在區間上是減函數，則實數的取值范圍是__________．13．已知，，且，則的最小值為__________．14．已知函數若存在實數，，，滿足，且，則的取值范圍是__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15．（本小題滿分13分）已知命題p：“，”為假命題，實數的所有取值構成的集合為．（1）求集合；（2）已知集合，若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍．16．（本小題滿分15分）已知函數（且）．（1）當時，寫出函數的單調區間，并用定義法證明；（2）當時，若恒成立，求實數的取值范圍．17．（本小題滿分15分）已知函數．（1）若的圖象在點處的切線經過點，求；（2），為的極值點，若，求實數的取值范圍．18．（本小題滿分17分）已知奇函數，函數的最大值為．（1）求實數的值；（2）求；（3）令，若存在實數，，當函數的定義域為時，值域也為，求實數，的值．19．（本小題滿分17分）已知函數，且．（1）討論的單調性；（2）比較與的大小，并說明理由；（3）當時，證明：．2024~2025學年第一學期高三年級考試·數學參考答案、提示及評分細則1．D因為，，所以．故選D．2．A因為，，，，所以．故選A．3．C由，可知函數為奇函數，又由時，，有，可得；當時，，有，故當時，，可知選項C正確．4．D因為，在上是連續函數，且，即在上單調遞增，，，所以，所以在上存在一個零點．故選D．5．B當時，的對稱軸為，故在上單調遞增．函數在處連續，又是定義域為的奇函數，故在上單調遞增．因為，由，可得，又因為在上單調遞增，所以，解得．故選B．6．A由，得，所以，由，得，所以，因為是的必要而不充分條件，所以，解得，故選A．7．D根據題意得，，則，所以，所以，兩邊取常用對數得，，故選D．8．B令，，，顯然直線恒過點，則“存在唯一的整數，使得”等價于"存在唯一的整數使得點在直線下方”，，當時，，當時，，即在上遞減，在上遞增，則當時，，當時，，而，即當時，不存在整數使得點在直線下方，當時，過點作函數圖象的切線，設切點為，，則切線方程為，而切線過點，即有，整理得，而，解得，因，又存在唯一整數使得點在直線下方，則此整數必為2，即存在唯一整數2使得點在直線下方，因此有解得，所以的取值范圍是．故選B．9．AB．當時，；當時，；當時，．對于選項A，若，則，，故正確．對于選項B，若，則，則，故正確．對于選項C，若，則，故錯誤．對于選項D，若，則，故錯誤．10．AC對于A，，，故A正確；對于B，，，故B錯誤；對于C，，，故C正確；對于D，令，則，當時，作出函數，的圖象，由圖可知函數的圖象有兩個交點，所以當時，函數的零點個數為2；當時，作出函數，的圖象，由圖可知函數，的圖象有1個或2個或3個交點，所以當時，函數的零點個數為1或2或3，故D錯誤．11．AC對于A中，由，令，有，可得函數的減區間為（0，1），增區間為，所以A正確；對于B中，由，有，有，所以B錯誤；對于C中，由A項知，函數的最小值為，當時，；當時，，把的圖象關于軸對稱翻折到軸的左側，即可得到的圖象，函數有4個零點，等價于方程有4個根，等價于函數和的圖象有4個交點，可得，即實數的取值范圍為，所以C正確；對于D中，由，不妨設，有，有，，有．假設，等價于，等價于，令，有，可得函數單調遞增，有，故假設成立，有，所以D錯誤．故選AC．12．由可知是二次函數，其對稱軸為，要使得函數在時是減函數，則必須，即．13．因為，，且，，當且僅當時取等號．14．因為，．可知，，即，，，且，所以．因為在上單調遞增，所以的取值范圍是．15．解：（1）由命題為假命題，關于的一元二次方程無解，可得，解得，故集合；（2）由若是的必要不充分條件，可知，①當時，可得，，滿足；②當時，可得，若滿足，必有（等號不可能同時成立），解得，由①②可知，實數的取值范圍為．16．解：（1）由，可得，可得函數的定義域為．由，當時，可得函數的增區間為，減區間為．證明如下：二次函數的單調遞增區間為，減區間為，①當時，有，利用對數函數的單調性有，可得，故函數在區間上單調遞增；②當時，有，利用對數函數的單調性有，可得，故函數在區間上單調遞減．（2）當時，，有，可得，有，解得，故實數的取值范圍為．17．解：（1），在處的切線為，即，經過點，，或；（2）又由，可得，，解得．由上知，．18．解：（1）由，得，故實數的值為1．（2）由（1）有，可得函數為增函數．又由，，有，由．①當時，，；②當時，，；③當時，，．故有（3）由（2）知，，可得，必有．由函數在區間上單調遞增，有如下三種情況：①當時，有，解得，符合題意；②當時，有，解得，舍去；③當時，有，解得，舍去．綜上，，．19．（1）解：易知．①．當時，，即，所以在上單調遞增，