10.2排列組合問題思維導(dǎo)圖知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1．排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列組合作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Aeq\o\al(m,n)表示．(2)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，記作Ceq\o\al(m,n).3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)；(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)性質(zhì)(1)Aeq\o\al(n,n)＝n！；(2)0！＝1；(3)Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；(4)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)解決排列與組合問題的“四項(xiàng)基本原則”(1)特殊優(yōu)先原則：如果問題中有特殊元素或特殊位置，優(yōu)先考慮這些特殊元素或特殊位置．(2)先取后排原則：在既有取出又需要對(duì)取出的元素進(jìn)行排列時(shí)，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再進(jìn)行排列．(3)正難則反原則：當(dāng)直接求解困難時(shí)，采用間接法解決問題．(4)先分組后分配原則：在分配問題中如果被分配的元素多于位置，這時(shí)要先進(jìn)行分組，再進(jìn)行分配．典型例題分析考向一排列與排列數(shù)問題【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．(1)選其中5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排一排，甲不站排頭也不站排尾；(4)全體排一排，女生必須站在一起；(5)全體排一排，男生互不相鄰；(6)全體排一排，甲、乙兩人中間恰好有3人；(7)全體排一排，甲必須排乙前面；(8)全體排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端．解(1)Aeq\o\al(5,7)＝2520種方法．(2)Aeq\o\al(7,7)＝5040種方法．(3)解法一：先排甲，有5種方法，其余6人有Aeq\o\al(6,6)種方法，故共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600種方法．解法二：先排排頭和排尾有Aeq\o\al(2,6)種方法，其余位置有Aeq\o\al(5,5)種排法，故共有Aeq\o\al(2,6)Aeq\o\al(5,5)＝3600種方法．(4)將女生看成一個(gè)整體，用捆綁法，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)＝576種方法．(5)先排女生有Aeq\o\al(4,4)種，再將男生插空有Aeq\o\al(3,5)種，故共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440種方法．(6)將甲、乙及中間三人看作一個(gè)整體，先排甲、乙有Aeq\o\al(2,2)種方法，再排中間三人有Aeq\o\al(3,5)種方法，最后將他們看作一個(gè)整體與剩下的2人全排列，有Aeq\o\al(3,3)種方法，故共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)＝720種方法．(7)eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(2,2))＝2520種方法．(8)Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720種方法．求解有限制條件排列問題的主要方法直接法分類法選定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，將要完成的事件分成幾個(gè)類型，分別計(jì)算每個(gè)類型中的排列數(shù)，再由分類加法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)分步法選定一個(gè)適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，將事件分成幾個(gè)步驟來完成，分別計(jì)算出各步驟的排列數(shù)，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)捆綁法相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素進(jìn)行排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列后的空中定序法對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以已定元素的全排列間接法對(duì)于分類過多的問題，一般利用正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法【變式】1.用0,1,2,3,4,5這6個(gè)數(shù)字，(1)能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？(2)能組成多少個(gè)奇數(shù)數(shù)字互不相鄰的六位數(shù)(無重復(fù)數(shù)字)?解(1)符合要求的四位偶數(shù)可分為三類：第一類，0在個(gè)位時(shí)，有Aeq\o\al(3,5)個(gè)；第二類，2在個(gè)位時(shí)，千位從1,3,4,5中選定1個(gè)，有Aeq\o\al(1,4)種，十位和百位從余下的數(shù)字中選，有Aeq\o\al(2,4)種，于是有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)個(gè)；第三類，4在個(gè)位時(shí)，與第二類同理，也有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有Aeq\o\al(3,5)＋2Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)＝156個(gè)．(2)先排0,2,4，再讓1,3,5插空，總的排法共Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144種，其中0在排頭，將1,3,5插在后3個(gè)空的排法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝12種，此時(shí)構(gòu)不成六位數(shù)，故符合要求的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為144－12＝132.考向二組合與組合數(shù)問題【例2】某課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各有一名隊(duì)長(zhǎng)．現(xiàn)從中選5人主持某種活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生當(dāng)選；(2)兩隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；(3)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；(4)男生甲和女生乙當(dāng)選；(5)最多有兩名女生當(dāng)選．解(1)只有一名女生當(dāng)選即有一名女生和四名男生當(dāng)選，故共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,8)＝350種．(2)兩隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選，共有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,11)＝165種．(3)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選含有兩類：只有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選和有兩名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選．故共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,11)＝825種(或采用間接法：Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825種)．(4)男生甲和女生乙當(dāng)選，則需從剩余11人中選3人，有Ceq\o\al(3,11)＝165種．(5)最多有兩名女生當(dāng)選含有三類：有兩名女生當(dāng)選、只有一名女生當(dāng)選和沒有女生當(dāng)選．故共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966種．組合問題的常見類型及求解策略(1)“含有”或“不含有”問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外的元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取．(2)“至少”或“最多”問題：用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．【例3】圓周上有10個(gè)等分點(diǎn)，以這10個(gè)等分點(diǎn)的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形，其中梯形的個(gè)數(shù)為()A．10 B．20C．40 D．60答案D解析如圖所示，10點(diǎn)連線中有5條為圓的直徑，其每條直徑分別有4條弦與之平行，可構(gòu)成5×(Ceq\o\al(2,5)－2)＝40個(gè)梯形；10點(diǎn)連線中有5組與構(gòu)成的5條直徑不平行的4條平行弦，如A3A5∥A2A6∥A1A7∥A10A8，可構(gòu)成5×(Ceq\o\al(2,4)－2)＝20個(gè)梯形．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共構(gòu)成40＋20＝60個(gè)梯形．故選D.【變式】(多選)在某地實(shí)施的新高考改革方案中，選擇性考試科目有物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門．學(xué)生根據(jù)高校的要求，結(jié)合自身特長(zhǎng)興趣，首先在物理、歷史2門科目中選擇1門，再?gòu)恼巍⒌乩怼⒒瘜W(xué)、生物4門科目中選擇2門，考試成績(jī)計(jì)入考生總分，作為統(tǒng)一高考招生錄取的依據(jù)．某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這6門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是()A．若任意選科，選法總數(shù)為Ceq\o\al(2,4)B．若化學(xué)必選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)C．若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)D．若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋1答案BD解析若任意選科，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)，A錯(cuò)誤；若化學(xué)必選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)，B正確；若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋1)，C錯(cuò)誤；若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋1，D正確．故選BD.考向三排列組合綜合問題【例4】按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方法？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本．解(1)無序不均勻分組問題．先選1本有Ceq\o\al(1,6)種選法；再?gòu)挠嘞碌?本中選2本有Ceq\o\al(2,5)種選法；最后余下3本全選有Ceq\o\al(3,3)種方法，故共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種．(2)有序不均勻分組問題．由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360種．(3)無序均勻分組問題．共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15種．(4)在(3)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有15Aeq\o\al(3,3)＝90種．(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本，這是部分均勻分組問題，求出組合總數(shù)除以Aeq\o\al(2,2)即可，共有eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝15種．(6)在(5)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有15Aeq\o\al(3,3)＝90種．解決分組、分配問題的策略(1)對(duì)于整體均分，分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．(2)對(duì)于部分均分，若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！.【變式】(多選)現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加某志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，每人安排一項(xiàng)工作，則以下說法錯(cuò)誤的是()A．若每項(xiàng)工作不必都有人參加，則不同的方法數(shù)為54B．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為Aeq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,4)C．每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)D．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3))Aeq\o\al(3,3)答案ABD解析對(duì)于A，安排5人參加4項(xiàng)工作，每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方法，則有45種安排方法，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)種安排方法，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)題意，分2種情況討論：①?gòu)谋⒍　⑽熘羞x出1人開車，②從丙、丁、戊中選出2人開車，則有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)種安排方法，C正確；對(duì)于D，分2步分析：需要先將5人分為3組，有eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＋eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))種分組方法，將分好的3組安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，有Aeq\o\al(3,3)種情況，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))))Aeq\o\al(3,3)種安排方法，D錯(cuò)誤．故選ABD.基礎(chǔ)題型訓(xùn)練一、單選題1．可表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】逆用排列數(shù)的公式求解.【詳解】解：由題意..故選：B.2．（

）A．40 B．56 C．168 D．336【答案】B【分析】運(yùn)用組合數(shù)的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：B3．四名志愿者到3個(gè)小區(qū)開展防詐騙宣傳活動(dòng)，向社區(qū)居民普及防詐騙、反詐騙的知識(shí).每名志愿者只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．18種 B．30種 C．36種 D．72種【答案】C【分析】將四名志愿者分成三個(gè)組，其中一組為2人，再由排列組合知識(shí)求解.【詳解】不同的安排方法共有種.故選：C4．某中學(xué)招聘5位老師，其中安排2位老師去高一，安排2位老師去高二，安排1位老師去高三，則不同的安排方法數(shù)有（

）A．30種 B．60種 C．90種 D．120種【答案】A【分析】從5位老師中任取2位去高一，再?gòu)挠嘞碌?位老師中任取2位去高二即可得解.【詳解】完成安排方法數(shù)的這件事需要3步：第一步，從5位老師中任取2位去高一有種，第二步，從余下的3位老師中任取2位去高二有種，第三步，剩下1個(gè)人去高三有1種，由分步計(jì)數(shù)乘法原理知：不同的安排方法數(shù)有.故選：A5．一名同學(xué)有2本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的物理書，現(xiàn)要將這些書放在一個(gè)單層的書架上．如果要將全部的書放在書架上，且不使同類的書分開，則不同放法的種數(shù)為（

）A．24 B．12 C．120 D．60【答案】A【分析】根據(jù)題意，分3步分析：先將2本不同的數(shù)學(xué)書看成一個(gè)整體，再將3本不同的物理書看成一個(gè)整體，最后將兩個(gè)整體全排列，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，要求不使同類的書分開，即同類的書相鄰，先將2本不同的數(shù)學(xué)書看成一個(gè)整體，再將3本不同的物理書看成一個(gè)整體，最后將兩個(gè)整體全排列，有種不同放法，故選：A．6．在重慶召開的“市長(zhǎng)峰會(huì)”期間，某高校有14名志愿者參加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當(dāng)天不同的排班種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先從人中選出人平均分為組，根據(jù)先分組再排序的原則結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】首先從人中選出人共種，然后將人平均分為組共種，然后這兩步相乘，得，將三組分配下去共種.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查分組分配問題，涉及平均分組問題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.二、多選題7．在10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件不合格品，從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件，則下列結(jié)論正確的有（

）A．抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有種B．抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種C．抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種D．抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種【答案】ACD【分析】抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法為不合格品1件、合格品2件，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知A正確，B錯(cuò)誤；抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法分兩種做法：（ⅰ）3件不合格品中有1件不合格、2件合格；2件不合格、1件合格；3件都不合格；然后利用分類計(jì)數(shù)法求解.（ⅱ）總的取法數(shù)減去抽取的三件都為合格品的取法即為所求.由此判斷CD正確【詳解】解：由題意得：對(duì)于A、B選項(xiàng)：抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法為3件不合格品中抽取1件有種取法，7件合格品種抽取2件有種取法，故共有中取法，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)C：抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法分三種情況：①抽取的3件產(chǎn)品中有1件不合格、有2件合格，共有種取法；②抽取的3件產(chǎn)品中有2件不合格、有1件合格，共有種取法；③抽取的3件產(chǎn)品都不合格，種取法.故抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種，故B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：10件產(chǎn)品種抽取三件的取法有，抽出的3件產(chǎn)品中全部合格的取法有種，抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種，故D正確.故選：ACD8．若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)組合數(shù)的概念和性質(zhì)可得.【詳解】因，得，或，得，或，故選：AB三、填空題9．名學(xué)生報(bào)名參加籃球、足球、排球、計(jì)算機(jī)課外興趣小組，每人選報(bào)一門，則不同的報(bào)名方案有種.【答案】【解析】由題意判斷出每個(gè)同學(xué)都有種選擇，則可得名同學(xué)有種.【詳解】由題意參加籃球、足球、排球、計(jì)算機(jī)課外興趣小組，每個(gè)學(xué)生有種選擇，則名同學(xué)共有種報(bào)名方案.故答案為：.10．從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，生物四科競(jìng)賽，其中甲不能參加生物競(jìng)賽，則不同的參賽方案種數(shù)為.【答案】96【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論選出參加競(jìng)賽的4人，①選出的4人沒有甲；②選出的4人有甲；分別求出每一種情況下分選法數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意，從5名學(xué)生中選出4人分別參加競(jìng)賽，分2種情況討論：①選出的4人沒有甲，即選出其他4人即可，有種情況；②選出的4人有甲，由于甲不能參加生物競(jìng)賽，則甲有3種選法，在剩余4人中任選3人，參加剩下的三科競(jìng)賽，有，則此時(shí)共有種選法；綜上，總共有種不同的參賽方案；答案選D【點(diǎn)睛】本題考查分類計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題11．某中學(xué)為迎接新年到來，籌備“唱響時(shí)代強(qiáng)音，放飛青春夢(mèng)想”為主題的元旦文藝晚會(huì).晚會(huì)組委會(huì)計(jì)劃在原定排好的5個(gè)學(xué)生節(jié)目中增加2個(gè)教師節(jié)目，若保持原來5個(gè)節(jié)目的出場(chǎng)順序不變，則增加的2個(gè)教師節(jié)目有種不同排法（用數(shù)字作答）【答案】42【分析】用相對(duì)順序已定的排列模型求解.【詳解】5個(gè)學(xué)生節(jié)目中增加2個(gè)教師節(jié)目，共有7個(gè)節(jié)目，把7個(gè)節(jié)目看成有順序的7個(gè)位置，將這7個(gè)位置挑出2個(gè)位置安排給2個(gè)教師節(jié)目，共有種安排方法，再將剩下的5個(gè)位置安排給5個(gè)學(xué)生節(jié)目，因原來5個(gè)學(xué)生節(jié)目的出場(chǎng)順序不變，故只有1種安排方法，故共有種不同排法.故答案為：4212．用個(gè)，個(gè)，個(gè)組成一個(gè)十位數(shù)，則個(gè)連在一起的不同的十位數(shù)共有個(gè)．【答案】245【分析】對(duì)首位數(shù)字排或進(jìn)行分類討論，并將個(gè)捆綁在一起，再考慮剩余數(shù)位的安排，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果．【詳解】由于最前面不能排，∴要從和中選一個(gè)放在最前面，分以下兩種情況討論：①若最前面排，將個(gè)捆綁在一起，不考慮首位，可形成個(gè)元素，選擇個(gè)位置安排個(gè)，再?gòu)氖Ｓ嗟膫€(gè)位置中選擇個(gè)位置排，則有個(gè)；②若最前面排，將個(gè)捆綁在一起，不考慮首位，可形成個(gè)元素，選擇個(gè)位置安排個(gè)，再?gòu)氖Ｓ嗟膫€(gè)位置中選擇個(gè)位置排，則有個(gè)．故個(gè)連在一起的不同的十位數(shù)共有個(gè)．四、解答題13．判斷下列問題是否為排列問題（1）會(huì)場(chǎng)有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位有多少種方法？若選出3個(gè)座位安排三位客人，又有多少種方法？（2）從集合M＝{1，2，…，9}中，任取兩個(gè)元素作為a，b，可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程？可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程?（3）平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中任意三個(gè)點(diǎn)不共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？【答案】（1）不是，是；（2）不是，是；（2）不是，是.【分析】利用排列的定義判斷即可，即判斷與順序是否有關(guān)【詳解】(1)第一問不是排列問題，第二問是排列問題.“入座”問題同“排隊(duì)”問題，與順序有關(guān)，故選3個(gè)座位安排三位客人是排列問題.(2)第一問不是排列問題，第二問是排列問題.若方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則必有a>b，a，b的大小關(guān)系一定；在雙曲線中，不管a>b還是a<b，方程均表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故是排列問題.(3)確定直線不是排列問題，確定射線是排列問題.14．現(xiàn)有7本不同的書準(zhǔn)備分給甲、乙、丙三人.(1)若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，則不同的分配方法有多少種？(2)若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外兩人每人得2本，則不同的分配方法有多少種？【答案】(1)(2)【分析】（1）首先將7本書分成1本、2本、4本（不平均分組），再將三組作全排即可得結(jié)果；（2）首先將7本書分成3本、2本、2本（部分平均分組），再將三組作全排即可得結(jié)果；【詳解】（1）首先將7本書分成1本、2本、4本，共三組有種，再將三組分給甲、乙、丙三人有種，所以共有種.（2）首先將7本書分成3本、2本、2本，共三組有種，再將三組分給甲、乙、丙三人有種，所以共有種.15．甲、乙、丙、丁4個(gè)公司承包6項(xiàng)工程，甲、乙公司均承包2項(xiàng)，丙、丁公司各承包1項(xiàng)，則共有多少種承包方式？【答案】180【分析】根據(jù)給定條件利用分步乘法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，計(jì)算承包方式的種數(shù)需要3步：先從6項(xiàng)工程中任取2項(xiàng)給甲，有種方法，再?gòu)挠嘞?項(xiàng)工程中任取2項(xiàng)給乙，有種方法，再?gòu)挠嘞碌?項(xiàng)工程任取1項(xiàng)給丙，有種方法，然后將最后1項(xiàng)工程給丁，有1種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得：，所以共有180種承包方式.16．某校舉辦元旦晩會(huì)，現(xiàn)有4首歌曲和3個(gè)舞蹈需要安排出場(chǎng)順序.（結(jié)果用數(shù)字作答）(1)如果4首歌曲相鄰，那么有多少種不同的出場(chǎng)順序？(2)如果3個(gè)舞蹈不相鄰，那么有多少種不同的出場(chǎng)順序？【答案】(1)576種(2)1440種【分析】（1）因?yàn)槭窍噜弳栴}，故利用捆綁法即可求得答案；（2）由于3個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰，故利用插空法即可求得答案.【詳解】（1）先將4首歌曲捆綁，四首歌曲內(nèi)部全排列，有種情況，再將捆綁好的4首歌曲看做一個(gè)整體與3個(gè)舞蹈排序，有種情況，所以有（種）不同的出場(chǎng)順序.（2）先將4首歌曲排好，有種情況，再將3個(gè)舞蹈排入4首歌曲隔開的5個(gè)空中，有種情況，所以有1440（種）不同的出場(chǎng)順序.提升題型訓(xùn)練一、單選題1．以下四個(gè)問題中，屬于組合問題的是（

）A．從3個(gè)不同的小球中，取出2個(gè)小球排成一列B．老師在排座次時(shí)將甲?乙兩位同學(xué)安排為同桌C．在電視節(jié)目中，主持人從100名幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星D．從13位司機(jī)中任選出兩位分別去往甲?乙兩地【答案】C【解析】根據(jù)組合的概念即可判斷.【詳解】只有從100名幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星，與順序無關(guān)，是組合問題.故選：C.2．在抗擊新冠肺炎疫情過程中，中醫(yī)藥發(fā)揮了重要作用，特別是通過臨床篩選出的“三藥三方”有顯著的防治效果．“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必凈注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化濕敗毒方、宣肺敗毒方．若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機(jī)選出2種，則恰好選出“一藥一方”的方法種數(shù)為（

）A．15 B．30 C．6 D．9【答案】D【分析】根據(jù)計(jì)算原理計(jì)算組合數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意，某醫(yī)生從“三藥三方”中選出“一藥”的選法有3種，選出“一方”的選法也有3種，根據(jù)乘法原理則恰好選出“一藥一方”的方法種數(shù)為，故選：D．3．在2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)城市志愿者的招募項(xiàng)目中有一個(gè)“國(guó)際服務(wù)項(xiàng)目”，截止到2022年1月25日還有8個(gè)名額空缺，需要分配給3個(gè)單位，則每個(gè)單位至少一個(gè)名額且各單位名額互不相同的方法種數(shù)是（

）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】B【分析】首先確定各單位名額互不相同的分配方式種數(shù)，再應(yīng)用全排列求每種方式的分配方法數(shù)，即可得結(jié)果.【詳解】各單位名額互不相同，則8個(gè)名額的分配方式有、兩種，對(duì)于其中任一種名額分配方式，將其分配給3個(gè)單位的方法有種，所以每個(gè)單位至少一個(gè)名額且各單位名額互不相同的分配方法種數(shù)為種.故選：B4．1765年數(shù)學(xué)家歐拉在柏林皇家科學(xué)院的《學(xué)報(bào)》上發(fā)表了一個(gè)抽彩問題：設(shè)張彩票編號(hào)從1至，隨機(jī)抽取三張，那么抽到三張彩票沒有連續(xù)號(hào)碼的概率為多少？該問題的結(jié)果用組合數(shù)可表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接法：相當(dāng)于把三個(gè)相同的物品，插入到個(gè)相同物品之間和兩端共個(gè)位置中，結(jié)合組合數(shù)公式與古典概型公式求解；間接法：求出抽到三張連續(xù)號(hào)碼及抽到僅有兩張連續(xù)號(hào)碼的概率，從而可得抽到?jīng)]有連續(xù)號(hào)碼的概率.【詳解】直接法：相當(dāng)于把三個(gè)相同的物品，插入到個(gè)相同物品之間和兩端共個(gè)位置中，一種插法對(duì)應(yīng)一種抽取彩票的抽法，其概率為.間接法：抽到三張連續(xù)號(hào)碼的概率為，抽到僅有兩張連續(xù)號(hào)碼的概率為，則抽到?jīng)]有連續(xù)號(hào)碼的概率為，故選：A.5．馬路上有編號(hào)為1，2，3，…，9九盞路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，用插空法計(jì)算.【詳解】先將亮的6盞燈排成一列，根據(jù)題意，因?yàn)殛P(guān)掉3盞路燈不能是兩端2盞，也不能相鄰，則有5個(gè)符合條件的空位，在5個(gè)空位中，任選3個(gè)，安排熄滅的燈，有種情況，即有10種關(guān)燈方法.故選：A.6．長(zhǎng)郡中學(xué)體育節(jié)中，羽毛球單打12強(qiáng)中有3個(gè)種子選手，將這12人任意分成3個(gè)組（每組4個(gè)人），則3個(gè)種子選手恰好被分在同一組的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用均勻分組的原理，再結(jié)合古典概型的概率公式求解即可.【詳解】由已知條件得將12人任意分成3組，不同的分組方法有種，3個(gè)種子選手分在同一組的方法有種，故3個(gè)種子選手恰好被分在同一組的概率為，故選：.二、多選題7．從7名男生和5名女生中選4人參加夏令營(yíng)，規(guī)定男、女生至少各有1人參加，則不同的選法種數(shù)應(yīng)為(

)A． B．C． D．【答案】BC【分析】可以用兩種方法求解：①分三類：3男1女，2男2女，1男3女；②用任選4人的方法數(shù)減去全部為男生或全部為女生的方法種數(shù).據(jù)此幾何判斷求解.【詳解】(1)分三類：3男1女，2男2女，1男3女，∴男、女生至少各有1人參加的選法種數(shù)為．(2)任選4人的方法種數(shù)為，其中全部為男生或全部為女生的方法種數(shù)為，所以男、女生至少各有1人參加的選法種數(shù)為．故選：BC．8．現(xiàn)有12張不同編碼的抽獎(jiǎng)券，其中只有2張有獎(jiǎng)，若將抽獎(jiǎng)券隨機(jī)地平均分給甲、乙、丙、丁4人，則（

）A．2張有獎(jiǎng)券分給同一個(gè)人的概率是B．2張有獎(jiǎng)券分給不同的人的概率是C．2張有獎(jiǎng)券都沒有分給甲和乙的概率為D．2張有獎(jiǎng)券分給甲和乙各一張的概率為【答案】BD【分析】先分組，再分配，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理以及古典概型的概率公式，即可得出答案.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，將10張沒有獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券按照1，3，3，3分成三組，不同的分法種數(shù)為，然后分配給4個(gè)人的分法為，所以，2張有獎(jiǎng)券分給同一個(gè)人的概率是，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由A可得，2張有獎(jiǎng)券分給不同的人的概率是，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由A可知，2張有獎(jiǎng)券都分給丙的概率是；2張有獎(jiǎng)券都分給丁的概率是；若2張有獎(jiǎng)券，1張分給丙、1張分給丁將10張沒有獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券按照2，2，3，3分成四組，不同的分法種數(shù)為，然后分配給4個(gè)人的分法為，所以，2張有獎(jiǎng)券，1張分給丙、1張分給丁的概率是，所以，2張有獎(jiǎng)券都沒有分給甲和乙的概率為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?張有獎(jiǎng)券，1張分給丙、1張分給丁的概率是，同理可得，2張有獎(jiǎng)券分給甲和乙各一張的概率為，故D項(xiàng)正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)已知，先將抽獎(jiǎng)券分組，然后再分配.三、填空題9．6個(gè)人排成一排，其中甲與乙必須相鄰，而丙與丁不能相鄰，則不同的排法種數(shù)有種.【答案】144【分析】根據(jù)題意先分成3步：①將甲和乙看成一個(gè)整體，考慮甲和乙之間的順序；②將甲和乙與除丙、丁之外的2人看成兩個(gè)元素做一個(gè)全排列；③將丙、丁兩人利用插空法進(jìn)行排列，然后利用乘法公式求解即可.【詳解】解：由題意得：第一步：將甲與乙綁定，兩者的站法有2種；第二步：將甲與乙兩人看成一個(gè)整體，與除丙、丁之外的2人看成兩個(gè)元素做一個(gè)全排列有種站法，此時(shí)隔開了4個(gè)空；第三步：將丙、丁兩人插入4個(gè)空，排法種數(shù)為則利用乘法公式可知不同的排法種數(shù)為.10．從0，2中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有個(gè)．（用數(shù)字作答）【答案】12【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列組合直接求解即可．【詳解】根據(jù)題意，要使組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)，則從0，2中選一個(gè)數(shù)字為個(gè)位數(shù)，有2種可能，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字為十位數(shù)和百位數(shù)，有種可能，故這個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為．故答案為：12．11．為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某志愿者協(xié)會(huì)開展“黨史下鄉(xiāng)”宣講活動(dòng)，準(zhǔn)備派遣10名志愿者去三個(gè)鄉(xiāng)村開展宣講，每名志愿者只去一個(gè)鄉(xiāng)村，每個(gè)鄉(xiāng)村至少安排3個(gè)志愿者，則不同的安排方法共有種．（用數(shù)字作答）【答案】12600【分析】先將10名志愿者分成（3,3,4）一組，再分配到三個(gè)鄉(xiāng)村即可求出結(jié)果.【詳解】依題意，先將10名志愿者分成（3,3,4）一組，再分配到三個(gè)鄉(xiāng)村，則有種安排方法.故答案為：12600.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解排列組合的綜合應(yīng)用問題，一般按先選再排，先分組再分配的處理原則．對(duì)于分配問題，解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān)，對(duì)于平均分組問題更要注意順序，避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏．12．有7人站成一排照相，要求，兩人相鄰，，，三人互不相鄰，則不同