第五章分式與分式方程壓軸題內容導航一、分式類型一、分式性質的應用類型二、分式的運算二、分式方程類型三、解分式方程類型四、分式方程無解和增根問題類型五、分式方程的應用題一、分式類型一、分式性質的應用1．已知兩個分式：，；將這兩個分式進行如下操作：第一次操作：將這兩個分式作和，結果記為；作差，結果記為；（即，）第二次操作：將，作和，結果記為：作差，結果記為；（即，）第三次操作：將，作和，結果記為；作差，結果記為；（即，）…（依此類推）將每一次操作的結果再作和，作差，繼續依次操作下去，通過實際操作，有以下結論：．①；②當時，；③若，則；④在第n（n為正整數）次和第次操作的結果中：為定值：⑤在第2n（n為正整數）次操作的結果中：，；以上結論正確的個數有（

）個A．5 B．4 C．3 D．22．已知，一次函數的圖象過點，則一次函數的解析式是．3．已知都為正數，，，，，，，則．4．某知名服裝品牌在北碚共有、、三個實體店．由于疫情的影響，第一季度、、三店的營業額之比為，隨著疫情得到有效的控制和緩解，預計第二季度這三個店的總營業額會增加，其中店增加的營業額占總增加的營業額的，第二季度店的營業額占總營業額的，為了使店與店在第二季度的營業額之比為，則第二季度店增加的營業額與第二季度總營業額的比值為．5．已知．即當為于1的奇數時，；當為大于1的偶數時，．計算的結果為．6．已知正整數x，y滿足，則符合條件的x，y的值有組．7．下列結論：①在平面直角坐標系中，點（﹣1，5）在第四象限；②若÷有意義，則x的取值范圍是x≠3且x≠0；③若分式的值為0，則x的值為±3；④分式的值為整數，則整數x的值有6個；⑤若已知（x﹣2）x-5＝1，則整數x的值是3或1或﹣5，其中錯誤的有．（填序號）8．閱讀理解：材料1：為了研究分式與其分母x的數量變化關系，小力制作了表格，并得到如下數據：…01234……無意義1…從表格數據觀察，當時，隨著的增大，的值隨之減小，若無限增大，則無限接近于0；當時，隨著的增大，的值也隨之減小．材料2：在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數小于分母的次數，稱這樣的分式為真分式．如果分子的次數大于或等于分母的次數，稱這樣的分式為假分式．任何一個假分式都可以化為一個整式與一個真分式的和．例如：根據上述材料完成下列問題：(1)當時，隨著的增大，的值(增大或減小)；當時，隨著的增大，的值（增大或減小）；(2)當時，隨著的增大，的值無限接近一個數，請求出這個數；(3)當時，直接寫出代數式值的取值范圍是．類型二、分式性質的運算9．一支部隊排成a米長隊行軍，在隊尾的戰士要與最前面的團長聯系，他用t1分鐘追上了團長、為了回到隊尾，他在追上團長的地方等待了t2分鐘．如果他從最前頭跑步回到隊尾，那么他需要的時間是（）A．分鐘 B．分鐘C．分鐘 D．分鐘10．今年是脫貧攻堅關鍵年，大學生小趙利用電商平臺幫助家鄉售賣當地土特產。今年10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三種土特產的銷售量之比為2：3：5，隨著“雙十一”的到來，預計11月份總銷售量會大幅增加，其中核桃增加的銷售量占三種特產總增加的銷售量的，且核桃的銷售量將達到11月份三種特產總銷售量的，為使葡萄干、哈密瓜11月份的銷售量之比為3：4，則11月份葡萄干還需增加的銷售量與11月份總銷售量之比是.11．6月18日晚，蘇寧易購發布618全程戰報：從6月1日到18日晚6點，蘇寧依托線上線下全場景優勢，逆勢增長.經調查，蘇寧易購線上有甲乙兩家在銷售華為A手機、華為B電腦和華為C耳機.已知每部A手機的利潤率為40%，每臺B電腦的利潤率為60%，每副C耳機的利潤率為30%，甲商家售出的B電腦和C耳機的數量都是A手機的數量的一半，獲得的總利潤為50%，乙商家售出的A手機的數量是B電腦的數量的一半，售出的C耳機的數量是B電腦的數量的，則乙商家獲得的總利潤率是.12．設a、b、c是互不相等的實數，且，則．13．對于一個兩位數，，記，將m的十位數字與個位數字的和、十位數字與個位數字的差分別作為的十位數字和個位數字，新形成的兩位數叫做m的伴生和差數，把m放置于十位數字與個位數字之間，就可以得到一個新的四位數M，最小的M為，若M能被7整除，則的最小值為.14．若，求的值15．將克糖放入水中，得到克糖水，此時糖水的濃度為．(1)再往杯中加入克糖，生活經驗告訴我們糖水變甜了，用數學關系式可以表示為______；(2)請證明（1）中的數學關系式；(3)在中，三條邊的長度分別為，證明：．16．設n為正整數，且，，…．(1)求證：；(2)若，求正整數a，b的值．17．觀察下列各式：，(1)從上面的算式及計算結果，根據你發現的規律直接寫下面的空格：________；(2)用數學的整體思想方法，設，分解因式：，；(3)已知，a、b、c、d都是正整數，且，化簡求的值．18．若三個非零實數、、滿足：若其中一個數的倒數等于另外兩個數的倒數的和，則稱這三個實數、構成“青一三數組”，例如：因為、、的倒數能夠滿足，所以數組、、構成“青一三數組”．(1)下列三組數構成“青一三數組”的有________；（填序號）①1、2、3；②1、、；③、、．(2)若、、構成“青一三數組”，求實數的值；(3)若非零實數、、構成“青一三數組”，且滿足以下三個條件：①；②點到原點的距離記為；③不等式恒成立．求實數的取值范圍．19．用數學的眼光觀察：同學們，在學習中，你會發現“”與“”有著緊密的聯系，請你認真觀察等式：，．用數學的思維思考并解決如下問題：(1)填空：______；(2)計算：①若，求的值；②若，求的值；③已知，求的值．20．閱讀下面材料并解決有關問題：（一）由于，所以，即，并且當時，；對于兩個非負實數，，由于所以，即，所以，并且當時，；（二）分式和分數有著很多的相似點，如類比分數的基本性質，我們得到了分式的基本性質．小學里，把分子比分母小的數叫做真分數，類似的，我們把分子的次數小于分母的次數的分式稱為真分式，反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式，如：；(1)在①、②、③、④這些分式中，屬于假分式的是________（填序號）；(2)已知：，求代數式的值；(3)當為何值時，有最小值？并求出最小值．（寫出解答過程）21．請根據閱讀材料利用整體思想解答下列問題：例1：分解因式；解：將“”看成一個整體，令；原式；例2：已知，求的值．解：；(1)根據材料，請你模仿例1嘗試對多項式進行因式分解；(2)計算：．(3)①已知，求的值；②若，直接寫出的值．二、分式方程類型三、解分式方程22．若關于的不等式組無解，且關于的分式方程有正整數解，則滿足條件的所有整數的和為．23．若關于x的不等式組的解集為，且關于y的分式方程有非負整數解，則所有滿足條件的整數m的值的和是．24．若關于x的一元一次不等式組至少有2個整數解，且關于y的分式方程的解是正整數，則所有滿足條件的整數a的值之積是．25．若關于x的一元一次不等式組有且僅有4個整數解，且關于y的分式方程的解是非負整數，則滿足條件的所有整數a的值之積為．26．若關于的不等式組有且僅有4個整數解，且關于的分式方程有非負整數解，則所有滿足條件的整數的值之和是．27．關于x的一元一次不等式組的解集為，關于y的分式方程有負整數解，試求出符合條件的所有整數m的值．28．關于的分式方程的解為整數，且關于的不等式組有解且最多有六個整數解，則所有滿足條件的整數的值之和為．29．閱讀材料，下列關于的方程：的解為：，；

的解為：，；的解為：，；

的解為：，；根據這些材料解決下列問題：(1)方程的解是____________；(2)方程的解是____________；(3)解方程：．30．仔細觀察下面的變形規律：，，，……解答下面的問題：(1)總結規律：已知為正整數，請將和寫成上面式子的形式；(2)類比發現：計算與的結果；(3)知識遷移：解關于（為正整數）的分式方程：；(4)規律應用：化簡．31．對于兩個不相等的非零實數m、n，分式的值為零，則或，又因為，所以關于x的方程有兩個解，分別為，．應用上面的結論解答下列問題：(1)方程有兩個解，分別為________，________；(2)關于x的方程的兩個解分別為，，若與互為倒數且，則________，________；(3)關于x的方程的兩個解分別為，（），求的值．類型四、分式方程無解和增根問題33．若關于x的分式方程無解，則．34．有下列說法：①不論k取何實數，多項式x2﹣ky2總能分解能兩個一次因式積的形式；②關于x的分式方程無解，則m＝1；③關于x、y的方程組，將此方程組的兩個方程左右兩邊分別對應相加，得到一個新的方程，其中，當a每取一個值時，就有一個方程，而這些方程有一個公共解，則這個公共解為，其中正確的是．（填序號）35．對于平面直角坐?系中的點，若點的坐標為（其中為常數，且），則稱點為點的“之立信點”．例如：的“2之立信點”為，即．(1)點的“3之立信點”的坐標為________．(2)若點在軸的正半軸上，點的“之立信點”為點，且為等腰直角三角形，求的值；(3)在（2）的條件下，若關于的分式方程無解，求的值．36．已知，關于x的分式方程．(1)當，時，求分式方程的解；(2)當時，求b為何值時分式方程無解；(3)若，且a、b為正整數，當分式方程的解為整數時，求b的值．37．閱讀下列材料：在學習“分式方程及其解法”的過程中，老師提出一個問題：若關于的分式方程的解為正數，求的取值范圍．經過獨立思考與分析后，小明和小聰開始交流解題思路，小明說：解這個關于的方程，得到方程的解為，由題目可得，所以，問題解決．小聰說：你考慮的不全面，還必須保證才行．(1)請回答：的說法是正確的，正確的理由是．完成下列問題：(2)已知關于的方程的解為非負數，求的取值范圍；(3)若關于的方程無解，求的值．38．增根是在分式方程轉化為整式方程的過程中產生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是該分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根問題的解題步驟通常為：①去分母，化分式方程為整式方程；②將增根代入整式方程中，求出方程中字母系數的值．閱讀以上材料后，完成下列探究：探究1：m為何值時，方程有增根．探究2：m為何值時，方程的根是．探究3：任意寫出三個m的值，使對應的方程的三個根中兩個根之和等于第三個根；探究4：你發現滿足“探究3”條件的的關系是______．類型五、分式方程的應用題39．現有若干防疫口罩，疫情防控人員計劃將這些口罩分為兩批，分別在兩周內分發完畢．第一周將第一批口罩數量按照1：3：4的比例分發給、、三個小區且全部分完．第二周先拿出第二批口罩數量的20%分發給社區工作人員，再將剩余口罩的分發給小區，則小區兩周收到的口罩數量與三個小區兩周收到的口罩數量之和的比為2：9.若、小區兩周收到的口罩數量之比為3：4，則小區第二周收到的口罩數量與口罩總數量之比為（）A．8：41 B．9：43 C．8：43 D．9：4140．甲、乙、丙三名工人共承擔裝搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天時的對話信息如下：甲說：我的工作效率比乙的工作效率少乙說：我3小時完成的工作量與甲4小時完成工作量相等；丙說：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的；丁說：我沒參加此項工作，但我可以計算你們的工作效率．知道工程問題三者關系是：工作效率×工作時間＝工作總量．如果每小時只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的輪流順序至完成工作任務，共需（

）小時．A．20 B．21 C．19 D．1941．2月開學季來臨，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三種不同主題的開學大禮包．已知2月上旬A、B、C三種主題大禮包售價之比為，銷量之比為．開學后不久，根據市場需求，在2月下旬文具店老板對三種主題大禮包售價進行了調整，其中B主題大禮包售價比2月上旬降低了，C主題大禮包在2月上旬售價的基礎上打八折，從而使得B、C兩種主題大禮包銷售額相較于2月上旬有所增加，A主題大禮包銷售額相較于2月上旬有所下降．若A主題大禮包減少的銷售額與B、C兩種主題大禮包增加的銷售額之比為，且A主題大禮包減少的銷售額占2月下旬三種主題大禮包總銷售額的，則2月下旬B、C兩種主題大禮包的銷量之比為．42．某水果店進了一批蘋果、橘子、車厘子，這些水果剛好包裝成50個相同規格的水果禮盒出售（禮盒的售價即是三種水果的價格之和）．其中蘋果、橘子、車厘子進價之比為；蘋果、橘子、車厘子售價分別比其進價高；每個禮盒的蘋果、橘子、車厘子的數量之比為．年前水果店一共賣出水果禮盒若干，剩下的禮盒在年后全部售完，由于存放較久，三種水果都降價．降價后的蘋果、橘子、車厘子售價分別是進價的、、．把剩下的禮盒按照降價后的方式全部售完后，年前禮盒裝銷售的蘋果的收入與年后降價后禮盒裝銷售的蘋果收入之比為；則這批水果最后的總利潤率為．43．已知甲、乙兩地相距24千米，小明從甲地勻速跑步到乙地用時3小時，小明出發0.5小時后，小聰沿相同的路線從甲地勻速騎自行車到甲乙兩地中點處的景區游玩1小時，然后按原來速度的一半騎行，結果與小明同時到達乙地．小明和小聰所走的路程S（千米）與時間t（小時）的函數圖象如圖所示．（1）小聰騎自行車的第一段路程速度是千米/小時．（2）在整個過程中，小明、小聰兩人之間的距離S隨t的增大而增大時，t的取值范圍是．44．如圖，“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為米的正方形去掉一個邊長為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為米的正方形，兩塊試驗田的小麥都收獲了．

(1)①“豐收1號”單位面積產量為，“豐收2號”單位面積產量為（以上結果均用含的式子表示）；②通過計算可知，（填“1號”或“2號”）小麥單位面積產量高；(2)若高的單位面積產量比低的單位面積產量的多，求的值；(3)某農戶試種“豐收1號”、“豐收2號”兩種小麥種子，兩種小麥試種的單位面積產量與實驗田一致，“豐收1號”小麥種植面積為平方米（為整數），“豐收2號”小麥種植面積比“豐收1號”少55平方米，若兩種小麥種植后，收獲的產量相同，當且為整數時，符合條件的值為（直接寫出結果）．45．2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，任務取得圓滿成功．航模店看準商機，同樣花費320元，購進“天宮”模型的數量比“神舟”模型多4個且每個“天宮”模型成本比每個“神舟”模型成本少．(1)“神舟”和“天宮”模型的成本各多少元？(2)該航模店計劃購買兩種模型共100個，且每個“神舟”模型的售價為35元，“天宮”模型的售價為25元．設購買“神舟”模型a個，售賣這兩種模型可獲得的利潤為w元，①求w與a的函數關系式（不要求寫出a的取值范圍）；②若購進“神舟”模型的數量不超過“天宮”模型數量的一半，則購進“神舟”模型多少個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？46．根據素材，完成任務．如何設計雪花模型材料采購方案？素材一學校組織同學參與甲、乙兩款雪花模型的制怍．每款雪花模型都需要用到長、短兩種管子材料．某同學用6根長管子、48根短管子制作了1個甲雪花模型與1個乙雪花模型，已知制作一個甲、乙款雪花模型需要的長、短管子數分別為1∶7與1∶9．素材二某商店的店內廣告牌如右圖所示．5月，學校花費320元向該商店購得的長管子數量比花200元購得的短管子數量少80根．

素材三6月，學校有活動經費1280元，欲向該商店采購長、短管子各若干根全部用來制作甲、乙雪花模型（材料沒有剩余），且采購經費恰好用完．問題解決任務一分析雪花模型結構求制作一個甲、乙款雪花模型分別需要長、短管子多少根？任務二確定采購費用試求a的值并求出假如6月只制作一個甲款雪花模型的材料采購費．任務三擬定采購方案求出所有滿足條件的采購方案，并指出哪種方案得到的雪花總數最多．47．為落實《健康中國行動（）》等文件精神，某學校準備購進一批足球和排球促進校園體育活動．據了解，某體育用品超市每個足球的價格比排球的價格多20元，用500元購買的足球數量和400元購買的排球數量相等．(1)求每個足球和排球的價格；(2)學校決定購買足球和排球共50個，且購買足球的數量不少于排球的數量，求本次購買最少花費多少錢？(3)在（2）方案下，體育用品超市為支持學校體育活動，對足球提供8折優惠，排球提供7.5折優惠．學校決定將節約下的資金全部用于再次購買足球和排球（此時按原價購買，可以只購買一種），求再次購買足球和排球的方案．48．鄭州經開區八大街某運動用品商店準備購買足球、排球兩種商品，每個足球的進價比排球多元，用元購進足球和元購進排球的數量相同．商品將每個足球售價定為元，每個排球售價定為元．(1)每個足球和排球的進價分別是多少？(2)根據商店對運動用品市場調查，商店計劃用不超過元的資金購進足球和排球共個，其中足球數量不低于排球數量的，該商店有幾種進貨方案？(3)“六一”期間，該商店開展促銷活動，決定對每個足球售價優惠元，排球的售價不變．假定這個球在“六一”期間能夠全部賣完，在的條件下，請設計出的不同取值范圍內，銷售這個球獲得的總利潤最大的進價方案．49．我校科技興趣小組利用機器人開展研究活動，在相距150個單位長度的直線跑道AB上，機器人甲從端點A出發，勻速往返于端點A、B之間，機器人乙同時從端點B出發，以大于甲的速度勻速往返于端點B、A之間．他們到達端點后立即轉身折返，用時忽略不計，興趣小組成員探究這兩個機器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對面相遇、在端點處相遇這兩種．(1)【