第一章隨機(jī)事件與概率

1.5條件概率

1.5條件概率

內(nèi)容簡介在自然界及人類的活動中,存在著許多互相聯(lián)系、互相影響的事件.除了要分析隨機(jī)事件B發(fā)生的概率P(B)外,有時(shí)我們還要提出附加的限制條件,也就是要分析“在事件A已經(jīng)發(fā)生的前提下”事件B發(fā)生的概率,我們記為P(B|A).這就是條件概率問題.我們主要學(xué)習(xí)條件概率計(jì)算公式、概率乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式.這一節(jié)特別重要，一定要學(xué)好.

1.5.2預(yù)備知識

概率的性質(zhì)，逆事件概率計(jì)算公式，古典概型，超幾何分布.

1.5.1提出問題

1.如何計(jì)算“第一次取到紅球的條件下，第二次又取到紅球的概率”？

2.在三個(gè)工廠中的產(chǎn)品中取樣，取到次品的概率是多少？

3.已知取到次品，問該次品來自甲廠的概率是多大呢？

1.條件概率

1.5.3問題分析先考慮下述問題.引例設(shè)某盒中有5件產(chǎn)品,其中3件合格品,2件次品.現(xiàn)每次任取一件,不放回地取兩次.求：(1)A={第一次取到合格品}的概率；(2)B={第一次取到合格品的條件下第二次又取到合格品}的概率.答案是很容易求出的：(1)的答案是

(2)的答案是事件AB表示第一次和第二次都抽到合格品.由于抽取是不放回的,所以每次抽取一個(gè)并且連抽兩次與一次抽取兩個(gè)是等效的,因而P(AB)=

定義設(shè)A,B為隨機(jī)試驗(yàn)E的兩個(gè)事件,且P(A)>0,稱P(B|A)=(1.5.1)為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.

1.5.4建立理論總有關(guān)系式P(B|A)===性質(zhì)2(條件對立事件概率)

對于任意事件B和它的對立事件,

仍然成立

P(B|A)=1-P(|A).(1.5.2)

講評對公式P(B|A)=1-P(B|)不成立,但P(B|A)和P(B|)在全概率公式、貝葉斯公式中常用到.

性質(zhì)1

對于不可能事件,有P(|A)=0.

性質(zhì)3(條件概率加法公式)對于隨機(jī)事件B1,

B2和A,加法公式成立：P(B1∪B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)-

P(B1B2|A).(1.5.3)

特別地,當(dāng)B1,

B2互不相容時(shí),加法公式成立：

P(B1∪B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A).

(1.5.4)

講評計(jì)算條件概率P(B|A)有兩種方法：

1.5.5方法應(yīng)用方法1在樣本空間Ω

的縮減樣本空間ΩA中計(jì)算B

發(fā)生的概率,得到P(B|A).

方法2

在樣本空間Ω中,計(jì)算P(AB),P(A),然后利用公式(1.5.1)求出P(B|A).

例1.5.1

設(shè)某種動物由出生算起活到20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4.如果一只動物現(xiàn)在已經(jīng)活到20歲,問它能活到25歲以上的概率是多少？

解

設(shè)A={該動物活到20歲},B={該動活到25歲以上},

則P(A)=0.8,P(B)=0.4.所以我們得到

因?yàn)锽A,所以

P(AB)=P(B)=0.4.

=P(B|A)==0.5.講評在活到20歲的條件下，活到25歲以上的概率0.5要比從出生算起的概率0.4大.2.概率乘法公式

定理1(概率乘法公式)

對于任意的事件A,B,(1)若P(A)>0,

則

P(AB)=P(A)P(B|A).

(1.5.5)

(2)若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B).(1.5.6)

上面兩個(gè)等式都稱為概率乘法公式.

講評注意P(AB)與P(B|A)的區(qū)別：

(1)凡涉及到A與B“同時(shí)”發(fā)生,用P(AB);有“包含”關(guān)系或主從條件關(guān)系的用P(B|A).(2)從樣本空間上講,計(jì)算P(B|A)的樣本空間為ΩA,而計(jì)算P(AB)的樣本空間為Ω.乘法公式可以推廣到多個(gè)事件的情形.推論

設(shè)A1,A2,…,An是n(n≥2)個(gè)事件,

且P(A1A2…An-1)＞0,則

P(A1A2…An-1An)

=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)

(1.5.7)

特別地,當(dāng)n=3時(shí),對于三個(gè)事件A,B,C,若P(AB)>0,則有

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).

(1.5.8)

例1.5.2

今有3箱貨物,其中甲廠生產(chǎn)的有2箱,乙廠生產(chǎn)的有1箱.已知甲廠生產(chǎn)的每箱中裝有98個(gè)合格品,不合格品有2個(gè);而乙廠生產(chǎn)的1箱中裝有90個(gè)合格品,不合格品有10個(gè).現(xiàn)從3箱中任取1箱,再從這一箱中任取1件產(chǎn)品.問：

(1)這件產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的合格品的概率是多少?(2)這件產(chǎn)品是合格品的概率又是多少?(3)已知取出的是合格品，那么這件合格品是甲廠生產(chǎn)的概率是多少呢？解

設(shè)A={所取產(chǎn)品為合格品},

B1

={所取產(chǎn)品由甲廠生產(chǎn)}，

B2={所取產(chǎn)品由乙廠生產(chǎn)}.(1)我們要求的是A和B1同時(shí)發(fā)生的概率,即P(AB1).P(B1)=

P(A|B1)是在“取甲廠生產(chǎn)的一箱”的條件下取到合格品的概率,其概率應(yīng)為P(A|B1)=

.由概率乘法公式(1.5.5),得到P(AB1)=P(B1)P(A|B1)

(2)我們要求A發(fā)生的概率P(A).顯然，取出的合格品與選自哪一箱有關(guān).因?yàn)?/p>

A=AΩ=A(B1∪B2)=AB1∪AB2,又

(AB1)(AB2)=,所以,由概率加法公式(1.3.3)和概率乘法公式(1.5.5)得到P(A)=P(AB1)+P(AB2)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2).由于P(B1)=,P(A|B1)=P(B2)=P(A|B2)=，P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)故+=

(3)問題是計(jì)算“事件A發(fā)生條件下B1發(fā)生”的概率,即條件概率P(B1|A).講評

(1)此題條件概率計(jì)算與概率乘法公式綜合應(yīng)用.是常考題型.

(2)問題(2)是計(jì)算受到多個(gè)影響關(guān)系的事件A概率.人們經(jīng)常把事件A分解為若干個(gè)互不相容的簡單事件之和A=AB1∪AB2,然后計(jì)算這些簡單事件的概率,再利用概率加法公式和乘法公式就可得到所求的結(jié)果.這里所涉及到的公式構(gòu)成了全概率公式.

3.全概率公式

定理2(全概率公式)設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω,B1,B2,…,Bn為Ω的一個(gè)劃分,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則對E的任一事件A,有P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+…+P(Bn)P(A|Bn)或簡記為

.(1.5.9)

證因?yàn)锳=AΩ=A(B1∪B2∪…∪Bn)=AB1∪AB2∪…∪ABn,由假設(shè)P(Bi)>0(i=1,2,…,n),且(ABi)(ABj)=,i≠j,i,j=1,2,…,n,

由加法公式和乘法公式,得到

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+…+P(Bn)P(A|Bn).?講評

全概率公式是計(jì)算概率的一個(gè)很

有用的公式,通常把B1,B2,…,Bn看成

導(dǎo)致A發(fā)生的一組原因.如若A是“次品”,

必是n個(gè)車間生產(chǎn)了次品;若A是“某種疾病”,必是幾種病因?qū)е翧發(fā)生;若A表示“被擊中”,必有幾種方式或幾個(gè)人打中.

(1)何時(shí)用全概率公式:導(dǎo)致事件的發(fā)生有幾種情形；所述問題先后進(jìn)行兩次試驗(yàn).

(2)如何用全概率公式:將幾種情形劃分為完備事件組；將第一次試驗(yàn)的樣本空間分解成兩兩互斥的完備事件組

全概率公式給出了我們一個(gè)計(jì)算受到多個(gè)影響關(guān)系的事件概率的公式:假B1,B2,…,Bn是Ω的一個(gè)劃分,并且已知事件Bi的概P(Bi)(它們是試驗(yàn)前的假設(shè)概率,稱為先驗(yàn)概率)及事件A在Bi已發(fā)生的條件下的條件概率P(A|Bi),i=1,2,…,n,則由全概率公式(1.5.9)就可算出P(A).

4.貝葉斯公式

貝葉斯（ThomasBayes,1702—1761），英國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、牧師.一個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)學(xué)派以貝葉斯命名.

現(xiàn)在的問題是我們進(jìn)行了一次試驗(yàn),

如果事件A確實(shí)發(fā)生了,則對于事件Bi(i=1,2,…,n)的概率應(yīng)給予重新估計(jì),也就是要計(jì)算事件Bi在事件A已發(fā)生的條件下的條件概率P(Bi|A)(它們是試驗(yàn)后的事件概率,常稱為后驗(yàn)概率).下面的貝葉斯公式就給出了計(jì)算后驗(yàn)概率P(Bi|A)的公式.

定理3(貝葉斯公式)設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω.A為E的事件,B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω的一個(gè)劃分,且P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則

i=1,2,…,n.

(1.5.10)貝葉斯公式(1.5.10)亦稱為逆概率公式.證由條件概率的定義及全概率公式即得.

在(5.9),(5.10)中取n=2,并將B1記為B,此時(shí)B2就是,那么,全概率公式和貝葉斯公式分別成為

例1.5.3

某廠甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,其產(chǎn)量分別占全廠總產(chǎn)量的40%,38%,22%,經(jīng)檢驗(yàn)知各車間的次品率分別為0.04,0.03,0.05.現(xiàn)從該種產(chǎn)品中任意抽取一件進(jìn)行檢查.(1)求這件產(chǎn)品是次品的概率;(2)已知抽得的一件產(chǎn)品是次品,問此次品來自甲、乙、丙各車間的概率分別是多少？解設(shè)A表示{取到的產(chǎn)品是一件次品},Bi(i=1,2,3)分別表示{所取到的產(chǎn)品來自甲、乙、丙車間}.易知,B1,B2,B3是樣本空間Ω的一個(gè)劃分,且(1)由全概率公式可得(2)由貝葉斯公式分別得到,

,

由此可見，雖然丙車間的次品率最高(次品率為0.05)，但是，根據(jù)貝葉斯公式得