試卷第=page1010頁，共=sectionpages1010頁2024年高三數學秋季開學考試（河北專用）注意事項：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，若中有3個元素，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知復數，則（

）A． B． C． D．3．若向量，，則在上的投影向量的坐標是（

）A． B． C． D．4．的內角、、的對邊分別為、、，若，，，則（

）A． B．4 C． D．35．已知正方體的棱長為2，則該正方體的內切球的體積為（

）A． B． C． D．6．已知變量與變量線性相關，與的樣本相關系數為，且由觀測數據算得樣本平均數，，則由該觀測數據算得經驗回歸方程可能是（

）A． B．C． D．7．已知函數，若在處取得極小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．在平面直角坐標系中，直線上有且僅有一點，使，則直線被圓截得的弦長為（

）A．2 B． C．4 D．二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9．已知等差數列的公差，前項和為，若，則下列結論中正確的有（

）A． B．C．當時， D．當時，10．平面內到兩個定點的距離比值為一定值的點的軌跡是一個圓，此圓被稱為阿波羅尼斯圓，俗稱“阿氏圓”．已知平面內點，動點滿足，記點的軌跡為，則下列命題正確的是（

）A．點的軌跡的方程是B．過點的直線被點的軌跡所截得的弦的長度的最小值是C．直線與點的軌跡相離D．已知點是直線上的動點，過點作點的軌跡的兩條切線，切點為，則四邊形面積的最小值是411．已知，則關于事件與事件，下列說法正確的有（

）A．事件與可能相互獨立 B．事件與一定不互斥C． D．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．的展開式中的系數是.（用數字作答）13．已知函數，若對任意恒成立，則實數的取值范圍為.14．已知是圓的直徑，，是圓上兩點，且，則的最小值為.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．(13分)如圖，在中，，，D是BC邊上一點，且，(1)求的長；(2)若，求.16．(15分)已知橢圓，過點，，分別是的左頂點和下頂點，是右焦點，.(1)求的方程；(2)過點的直線與橢圓交于點，，直線，分別與直線交于不同的兩點，.設直線，的斜率分別為，，求證：為定值.17．(15分)在四棱錐中，底面是矩形，平面，分別是的中點.(1)求證：平面PAD；(2)求證：；(3)若PD與平面所成的角為，求證：平面.18．(17分)已知函數.(1)求在處的切線方程；(2)當時，若恒成立，求實數的取值范圍.19．(17分)某疫苗生產單位通過驗血的方式檢驗某種疫苗產生抗體情況，現有份血液樣本（數量足夠大），有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，需要檢驗次；方式二：混合檢驗，將其中份血液樣本混合檢驗，若混合血樣無抗體，說明這份血液樣本全無抗體，只需檢驗1次；若混合血樣有抗體，為了明確具體哪份血液樣本有抗體，需要對每份血液樣本再分別化驗一次，檢驗總次數為次．假設每份樣本的檢驗結果相互獨立，每份樣本有抗體的概率均為．(1)現有5份不同的血液樣本，其中只有2份血液樣本有抗體，采用逐份檢驗方式，求恰好經過3次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率；(2)現取其中份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為；采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為．①若，求關于的函數關系式；②已知，以檢驗總次數的期望為依據，討論采用何種檢驗方式更好？參考數據：，，，，．

2024年高三數學秋季開學考試（河北專用）注意事項：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，若中有3個元素，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，再利用交集含義即可得到.【詳解】，要使中有3個元素，只需，所以，故選：B．2．已知復數，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復數代數形式的乘法運算化簡，再利用復數的模長公式即可求解.【詳解】因為，所以.故選：B3．若向量，，則在上的投影向量的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據向量的坐標運算可得，再結合投影向量的定義運算求解.【詳解】因為，，則，所以在上的投影向量.故選：B.4．的內角、、的對邊分別為、、，若，，，則（

）A． B．4 C． D．3【答案】A【分析】由已知利用三角形內角和定理，誘導公式可求的值，進而利用余弦定理即可求解的值．【詳解】解：因為，，，所以，則由余弦定理可得．故選：A．5．已知正方體的棱長為2，則該正方體的內切球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據正方體內切球特點即可得到球的半徑，再利用球的體積公式即可.【詳解】由正方體內切球的直徑是正方體的棱長，所以，即，則球的體積，故選：D．6．已知變量與變量線性相關，與的樣本相關系數為，且由觀測數據算得樣本平均數，，則由該觀測數據算得經驗回歸方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據相關系數的性質以及經驗回歸方程過樣本中心點逐項分析判斷.【詳解】因為與的樣本相關系數為，可知與為負相關，故A，B錯誤；又因為經驗回歸方程過樣本中心點，對于，則，故C錯誤；對于，則，故D正確．故選：D.7．已知函數，若在處取得極小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用求導得到導函數的零點和，就參數分類討論，判斷函數的單調性，即可分析判斷，確定參數的范圍.【詳解】由題意得，，由可得，或，①若，即時，，顯然不合題意；②若，即時，當或時，，即在和上單調遞增；當，，在上單調遞減，故在處取得極小值，符合題意；③若，即時，當或時，，即在和上單調遞增；當，，在上單調遞減，故在處取得極大值，不符題意.綜上所述，當時，在處取得極小值，故的取值范圍是.故選：A.8．在平面直角坐標系中，直線上有且僅有一點，使，則直線被圓截得的弦長為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】運用點到直線的距離公式，結合弦長公式求解即可.【詳解】，化為一般式，即，直線上有且僅有一點，使，則圓心到直線的距離,即，圓心..故選：D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9．已知等差數列的公差，前項和為，若，則下列結論中正確的有（

）A． B．C．當時， D．當時，【答案】BC【分析】對于A，由等差數列求和公式結合已知即可驗算；對于B，由等差數列求和公式結合即可驗算；對于CD，由等差數列性質即可驗算.【詳解】對于A，因為，所以，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，當時，，故C正確；對于D，當時，，即，故D錯誤.故選：BC.10．平面內到兩個定點的距離比值為一定值的點的軌跡是一個圓，此圓被稱為阿波羅尼斯圓，俗稱“阿氏圓”．已知平面內點，動點滿足，記點的軌跡為，則下列命題正確的是（

）A．點的軌跡的方程是B．過點的直線被點的軌跡所截得的弦的長度的最小值是C．直線與點的軌跡相離D．已知點是直線上的動點，過點作點的軌跡的兩條切線，切點為，則四邊形面積的最小值是4【答案】ACD【分析】對于A：設點，結合題意分析求解即可；對于B：分析可知點在圓內，結合圓的性質分析求解；對于C：求圓心到直線的距離，即可判斷；對于D：分析可知當時，取到最小值，四邊形面積取最小值，運算求解即可.【詳解】對于選項A：設點，因為，整理可得，故A正確；對于選項B：因點的軌跡方程是，圓心是，半徑是，且，可知點在圓內，過點的直線被圓所截得的弦最短時，點是弦的中點，根據垂徑定理得弦的最小值是，故B錯誤；對于選項C：圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故C正確；對于選項D：因為四邊形面積，由數形分析可知：當時，取到最小值，所以四邊形面積取最小值，故D正確；故選：ACD．【點睛】方法點睛：對于BD：先判斷點、線與圓的位置關系，進而結合圓的性質分析最值.11．已知，則關于事件與事件，下列說法正確的有（

）A．事件與可能相互獨立 B．事件與一定不互斥C． D．【答案】BCD【分析】根據獨立事件概率乘積公式判斷A選項，根據互斥事件定義判斷B選項，根據和的概率公式求解即可判斷C選項，應用對立事件概率和為1判斷D選項.【詳解】由，可知事件與不是相互獨立事件，故A不正確；由，可知事件與一定不互斥，故B正確；，故C正確；，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．的展開式中的系數是.（用數字作答）【答案】40【分析】利用通項中的指數確定，然后可得.【詳解】因為展開式的通項，所以含的項為第3項，即，所以的系數是.故答案為：4013．已知函數，若對任意恒成立，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】運用絕對值不等式解法求解，然后參變分離，結合導數和二次函數求最值即可.【詳解】函數，若對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立．當時，，顯然成立；當時，化為恒成立.令，則,由于，則，則在上單調遞增，則.令，則時，單調遞增，則.因此對于任意時恒成立，則.故答案為：.14．已知是圓的直徑，，是圓上兩點，且，則的最小值為.【答案】【分析】設，分析可知點為線段靠近的三等分點，，再結合數量積的定義分析求解.【詳解】由題意可知：圓的半徑為，

設的中點為，因為，，則，，，設，則，即，可知點為線段靠近的三等分點，則，，設向量與的夾角為，可得，且，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．(13分)如圖，在中，，，D是BC邊上一點，且，(1)求的長；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解；（2）在中，先利用余弦定理求得，再利用正弦定理即可得解.【詳解】（1）在中，，則，在中，，即，得.（2）因為在中，，所以，則，又，即，解得，所以.16．(15分)已知橢圓，過點，，分別是的左頂點和下頂點，是右焦點，.(1)求的方程；(2)過點的直線與橢圓交于點，，直線，分別與直線交于不同的兩點，.設直線，的斜率分別為，，求證：為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據給定條件，求出即可得的方程.（2）設出直線的方程，與橢圓方程聯立，由直線求出的坐標，利用韋達定理結合斜率的坐標表示計算即得.【詳解】（1）由橢圓過點，得，由，得橢圓半焦距，則長半軸長，所以的方程為.（2）顯然直線不垂直于y軸，設直線的方程為，，由消去x得，顯然，，直線的方程為，令，得點的縱坐標，同理點的縱坐標，因此為定值，所以為定值.17．(15分)在四棱錐中，底面是矩形，平面，分別是的中點.(1)求證：平面PAD；(2)求證：；(3)若PD與平面所成的角為，求證：平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）取中點，連接，，由線面平行的判定定理即可得證；（2）先由線面垂直的判定定理證明平面，得到，再由（1）即可得證；（3）先由題意得到，，由線面垂直的判定定理證明平面，從而得證.【詳解】（1）取中點，連接，，為的中點，，，是的中點，底面是矩形，，，且，四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，平面.（2）平面，平面，，又底面是矩形，，又平面，平面，平面，，由（1）可知，.（3）平面，所以為與平面所成的角，，又，，即為等腰三角形，為中點，，又由（2）可得，平面，平面，由（1）可知：，平面.18．(17分)已知函數.(1)求在處的切線方程；(2)當時，若恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用導數的幾何意義求解即可；（2）根據題意將問題轉仳為在恒成立，構造函數，利用導數求出其最小值即可.【詳解】（1）由，得，對求導得，，在處的切線方程為；（2）當時，恒成立，即時，恒成立，在恒成立，令，則，令，則，恒成立當時，單調遞增，，當時，.當時，單調遞增，，.【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數的綜合問題，考查導數的幾何意義，考查利用導數解決不等式恒成立問題，第（2）問解題的關鍵是分離參數，然后構造函數，將問題轉化為利用導數求函數的最值，考查數學轉化思想和計算能力，屬于中檔題.19．(17分)某疫苗生產單位通過驗血的方式檢驗某種疫苗產生抗體情況，現有份血液樣本（數量足夠大），有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，需要檢驗次；方式二：混合檢驗，將其中份血液樣本混合檢驗，若混合血樣無抗體，說明這份血液樣本全無抗體，只需檢驗1次；若混合血樣有抗體，為了明確具體哪份血液樣本有抗體，需要對每份血液樣本再分別化驗一次，檢驗總次數為次．假設每份樣本的檢驗結果相互獨立，每份樣本有抗體的概率均為．(1)現有5份不同的血液樣本，其中只有2份血液樣本有抗