專題9直線與圓的位置關系問題目錄一、熱點題型歸納【題型一】證明直線是圓的切線【題型二】切線性質定理的應用【題型三】圓的弧長和面積的計算【題型四】多邊形與圓二、最新模考題組練【題型一】證明直線是圓的切線【典例分析】（2022·江蘇徐州·統考中考真題）如圖，如圖，點A、B、C在圓O上，，直線，，點O在BD上．(1)判斷直線AD與圓O的位置關系，并說明理由；(2)若圓的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．【提分秘籍】基本規律證明直線與圓相切有如下三知途徑：(1)證直線和圓有唯一公共點(運用定義)；(2)證直線過半徑外端且垂直于這條半徑(運用判定定理)；(3)證圓心到直線的距離等于圓的半徑(證d=r)。當題目已知直線與圓的公共點時，一般用方法(2)，當題目未知直線與圓的公共點時，一般用方法(3)，方法(1)運用較少。【變式演練】1．（2022·江蘇蘇州·統考中考真題）如圖，AB是的直徑，AC是弦，D是的中點，CD與AB交于點E．F是AB延長線上的一點，且．(1)求證：為的切線；(2)連接BD，取BD的中點G，連接AG．若，，求AG的長．2．（2022·江蘇揚州·統考中考真題）如圖，為的弦，交于點，交過點的直線于點，且．(1)試判斷直線與的位置關系，并說明理由；(2)若，求的長．【題型二】切線性質定理的應用【典例分析】（2021·江蘇無錫·統考中考真題）如圖，四邊形內接于，是的直徑，與交于點E，切于點B．（1）求證：；（2）若，，求證：．【提分秘籍】基本規律切線的性質定理1.切線的性質定理:圓的切線垂直于過切點的半徑；2.有圓的切線時，常常連接圓心和切點得切線垂直于半徑，這是圓中常用到的作輔助線的方法。【變式演練】1．如圖，分別是半的直徑和弦，于點，過點作半的切線與的延長線交于點．連接并延長與的延長線交于點．（1）求證：是半的切線；（2）若，求線段的長．2.（2020·江蘇無錫·統考中考真題）如圖，過的圓心，交于點、，是的切線，點是切點，已知，．（1）求證：；（2）求的周長．【題型三】圓的弧長和面積的計算【典例分析】（2022·江蘇淮安·統考中考真題）如圖，是的內接三角形，，經過圓心交于點，連接，．(1)判斷直線與的位置關系，并說明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．【提分秘籍】基本規律1．弧長和扇形面積的計算：扇形的弧長l=；扇形的面積S==．2．圓錐與側面展開圖1）圓錐側面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長．2）若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，圓錐的側面積為S圓錐側=．圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側+S圓錐底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不規則圖形的面積時，注意利用割補法與等積變化方法歸為規則圖形，再利用規則圖形的公式求解．【變式演練】1．（2022·江蘇宿遷·統考中考真題）如圖，在中，∠=45°，，以為直徑的⊙與邊交于點．(1)判斷直線與⊙的位置關系，并說明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．2.（2021·江蘇南通·統考中考真題）如圖，為的直徑，C為上一點，弦的延長線與過點C的切線互相垂直，垂足為D，，連接．（1）求的度數；（2）若，求的長．【題型三】多邊形與圓【典例分析】如圖，在正六邊形中，以為對角線作正方形，、與分別交于、．(1)(2)若，求的長．（參考數據：，結果精確到，可以直接利用（1）的結論）【提分秘籍】基本規律1．三角形的外接圓相關概念經過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內接三角形．外心是三角形三條垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離相等．2．三角形的內切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．內心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形的三條邊的距離相等．八、正多邊形的有關概念正多邊形中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．正多邊形半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形半徑．正多邊形中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形中心角．正多邊形邊心距：正多邊形中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．【變式演練】1．如圖，正方形ABCD內接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．(1)求∠CPD的度數；(2)當點P為的中點時，CP是⊙O的內接正n邊形的一邊，求n的值．2．（2022秋·江蘇·九年級期中）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．(2)設⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結果保留π）．1．（2023·江蘇無錫·模擬預測）如圖，內接于，AB是直徑，的平分線交于點D，交于點E，連接，作，交的延長線于點F(1)試判斷直線與的位置關系，并說明理由；(2)若，，求的半徑和的長．2．（2023·江蘇宿遷·統考二模）如圖，在中，，是角平分線，以D為圓心，為半徑作，交于點E．(1)直線與相切嗎？為什么？(2)若，，求的長．3．（2023·江蘇徐州·校考一模）如圖，是的弦，C是外一點，，交于點P，交于點D，且．(1)判斷直線與的位置關系，并說明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．4．（2023·江蘇常州·校考二模）如圖，在中，，，．延長至點C，使，連接，以O為圓心，長為半徑作，延長，與交于點E，作弦，連接，與的延長線交于點D．(1)求證：是的切線；(2)求的長．5．（2023·江蘇揚州·統考一模）如圖，已知中，，，是的外接圓，點在的延長線上，于點，交于點，是的切線，交于點．(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)若，求的長度．6．（2023·江蘇蘇州·統考一模）已知：為的直徑，為圓心，點為圓上一點，過點作的切線交的延長線于點，點為上一點，且，連接交于點．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點為內部一點，連接．若的半徑為，求的長．7．（2023·江蘇蘇州·統考一模）已知：為的直徑，為圓心，點為圓上一點，過點作的切線交的延長線于點，點為上一點，且，連接交于點．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點為內部點，連接，．若，的半徑為，，求的長．8．（2023·江蘇揚州·模擬預測）如圖，在中，，為上一點，作，與交于點，經過點、、的與相切于點，連接．(1)求證：平分；(2)若，，求的長．9．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，中，，為上的一點，以為直徑的交于，連接交于，交于，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．10．（2023·江蘇徐州·校聯考一模）如圖，是的直徑，點C在上，點D在的延長線上．連接、．滿足．求證：(1)是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．11．（2023·江蘇揚州·一模）如圖，已知：以的邊為直徑作的外接圓，的平分線交于，交于，過作交的延長線于．，(1)求證：是切線；(2)求的半徑長；(3)求的值．12．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學校考模擬預測）如圖，四邊形是的內接四邊形，為的直徑，點B是弧的中點，在線段的延長線上取一點E，使.(1)求證：為的切線；(2)若，，求線段的長．13．（2023·江蘇南通·校考一模）如圖，為的直徑，弦于點P，連接，過點D作，交于點連接，F是延長線上一點，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．14．（2022·江蘇鹽城·校聯考一模）如圖，是的直徑，是的弦，點是外一點，．(1)求證：是的切線；(2)連接，若OP∥BC，且，的半徑為，求的長．15．（2023·江蘇宿遷·沭陽縣懷文中學統考一模）如圖，是的直徑，點B在上，連接，過圓心O作，連接并延長，交延長線于點A，滿足．(1)求證：是的切線；(2)若F是的中點，的半徑為3，求陰影部分的面積．專題9直線與圓的位置關系問題目錄一、熱點題型歸納【題型一】證明直線是圓的切線【題型二】切線性質定理的應用【題型三】圓的弧長和面積的計算【題型四】多邊形與圓二、最新模考題組練【題型一】證明直線是圓的切線【典例分析】（2022·江蘇徐州·統考中考真題）如圖，如圖，點A、B、C在圓O上，，直線，，點O在BD上．(1)判斷直線AD與圓O的位置關系，并說明理由；(2)若圓的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)直線AD與圓O相切，理由見解析(2)【分析】（1）連接OA，根據和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，從而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，從而得到∠OAD=90°，即可求解；（2）連接OC，作OH⊥BC于H，根據垂徑定理可得，進而得到，再根據陰影部分的面積為，即可求解．【詳解】（1）解：直線AD與圓O相切，理由如下：如圖，連接OA，∵，∴∠D=∠DBC，∵AB=AD，∴∠D=∠ABD，∵，∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，∴∠BAD=120°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABD=30°，∴∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∵OA是圓的半徑，∴直線AD與園O相切，（2）解：如圖，連接OC，作OH⊥BC于H，∵OB=OC=6，∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠BOC=120°，∴，∴，∴，∴扇形BOC的面積為，∵，∴陰影部分的面積為．【提分秘籍】基本規律證明直線與圓相切有如下三知途徑：(1)證直線和圓有唯一公共點(運用定義)；(2)證直線過半徑外端且垂直于這條半徑(運用判定定理)；(3)證圓心到直線的距離等于圓的半徑(證d=r)。當題目已知直線與圓的公共點時，一般用方法(2)，當題目未知直線與圓的公共點時，一般用方法(3)，方法(1)運用較少。【變式演練】1．（2022·江蘇蘇州·統考中考真題）如圖，AB是的直徑，AC是弦，D是的中點，CD與AB交于點E．F是AB延長線上的一點，且．(1)求證：為的切線；(2)連接BD，取BD的中點G，連接AG．若，，求AG的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）方法一：如圖1，連接OC，OD．由，，可得，由是的直徑，D是的中點，，進而可得，即可證明CF為的切線；方法二：如圖2，連接OC，BC．設．同方法一證明，即可證明CF為的切線；（2）方法一：如圖3，過G作，垂足為H．設的半徑為r，則．在Rt△OCF中，勾股定理求得，證明，得出，根據，求得，進而求得，根據勾股定理即可求得；方法二：如圖4，連接AD．由方法一，得．，D是的中點，可得，根據勾股定理即可求得．【詳解】（1）（1）方法一：如圖1，連接OC，OD．∵，∴．∵，∴．

∵，∴．∵是的直徑，D是的中點，∴．∴．∴，即．∴．∴CF為的切線．方法二：如圖2，連接OC，BC．設．∵AB是的直徑，D是的中點，∴．∴．∵，∴．

∴．∵，∴．∴．∵AB是的直徑，∴．∴．∴，即．∴．∴CF為的切線．（2）解：方法一：如圖3，過G作，垂足為H．設的半徑為r，則．在Rt△OCF中，，解之得．∵，∴．

∵，∴．∴．∴．∵G為BD中點，∴．∴，．∴．∴．方法二：如圖4，連接AD．由方法一，得．∵AB是的直徑，∴．∵，D是的中點，∴．∵G為BD中點，∴．∴．2．（2022·江蘇揚州·統考中考真題）如圖，為的弦，交于點，交過點的直線于點，且．(1)試判斷直線與的位置關系，并說明理由；(2)若，求的長．【答案】(1)相切，證明見詳解(2)6【分析】（1）連接OB，根據等腰三角形的性質得出，，從而求出，再根據切線的判定得出結論；（2）分別作交AB于點M，交AB于N，根據求出OP，AP的長，利用垂徑定理求出AB的長，進而求出BP的長，然后在等腰三角形CPB中求解CB即可．【詳解】（1）證明：連接OB，如圖所示：，，，，，，即，，，為半徑，經過點O，直線與的位置關系是相切．（2）分別作交AB于點M，交AB于N，如圖所示：，，，，，，，，，，．【題型二】切線性質定理的應用【典例分析】（2021·江蘇無錫·統考中考真題）如圖，四邊形內接于，是的直徑，與交于點E，切于點B．（1）求證：；（2）若，，求證：．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）由圓周角定理的推論，可知∠ABC=90°，由切線的性質可知∠OBP=90°，進而即可得到結論；（2）先推出，從而得∠AOB=40°，繼而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，進而即可得到結論．【詳解】證明：（1）∵是的直徑，∴∠ABC=90°，∵切于點B，∴∠OBP=90°，∴，∴；（2）∵，，∴，∵OB=OC，∴，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=∠AOB=20°，∵是的直徑，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB，∵，∴，∴．【提分秘籍】基本規律切線的性質定理1.切線的性質定理:圓的切線垂直于過切點的半徑；2.有圓的切線時，常常連接圓心和切點得切線垂直于半徑，這是圓中常用到的作輔助線的方法。【變式演練】1．如圖，分別是半的直徑和弦，于點，過點作半的切線與的延長線交于點．連接并延長與的延長線交于點．（1）求證：是半的切線；（2）若，求線段的長．【答案】（1）見解析；（2）5．【分析】（1）連接OC，可以證得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的對應角相等，以及切線的性質定理可得∠OCP＝90°，即可證得結論；（2）依據切線的性質定理可知OC⊥PF，由可得，再利用直角三角形兩銳角互余求得，根據直角三角形的性質可求OF的值，再減去圓的半徑即可．【詳解】（1）證明：如解圖，連接，∵，經過圓心，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，即，∴是的切線．（2）解：∵是半圓的直徑，，∴，，∵，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∴，∴．2.（2020·江蘇無錫·統考中考真題）如圖，過的圓心，交于點、，是的切線，點是切點，已知，．（1）求證：；（2）求的周長．【答案】（1）見解析；（2）的周長為【分析】（1）由切線的性質可得，由外角的性質可得，由等腰三角形的性質，可得，可得結論；（2）由直角三角形的性質可得，，即可求解．【詳解】證明：（1）是的切線，，，，，，，；（2），，，，，，，，，的周長．【題型三】圓的弧長和面積的計算【典例分析】（2022·江蘇淮安·統考中考真題）如圖，是的內接三角形，，經過圓心交于點，連接，．(1)判斷直線與的位置關系，并說明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)直線與相切，理由見解析(2)圖中陰影部分的面積【分析】（1）連接，根據圓周角定理得到，連接，根據等邊三角形的性質得到，根據切線的判定定理即可得到結論；（2）根據圓周角定理得到，解直角三角形得到，根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】（1）解：直線與相切，理由：如圖，連接，∵，∴，連接，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵是的半徑，∴直線與相切；（2）解：如（1）中圖，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴圖中陰影部分的面積．【提分秘籍】基本規律1．弧長和扇形面積的計算：扇形的弧長l=；扇形的面積S==．2．圓錐與側面展開圖1）圓錐側面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長．2）若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，圓錐的側面積為S圓錐側=．圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側+S圓錐底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不規則圖形的面積時，注意利用割補法與等積變化方法歸為規則圖形，再利用規則圖形的公式求解．【變式演練】1．（2022·江蘇宿遷·統考中考真題）如圖，在中，∠=45°，，以為直徑的⊙與邊交于點．(1)判斷直線與⊙的位置關系，并說明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用等腰三角形的性質與三角形的內角和定理證明從而可得結論；（2）如圖，連接OD，先證明再利用陰影部分的面積等于三角形ABC的面積減去三角形BOD的面積，減去扇形AOD的面積即可．【詳解】（1）證明：∠=45°，，即在上，為的切線．（2）如圖，連接OD，，，，，，，．2.（2021·江蘇南通·統考中考真題）如圖，為的直徑，C為上一點，弦的延長線與過點C的切線互相垂直，垂足為D，，連接．（1）求的度數；（2）若，求的長．【答案】（1）55°；（2）．【分析】（1）連接OC，如圖，利用切線的性質得到OC⊥CD，則判斷OC∥AE，所以∠DAC=∠OCA，然后利用∠OCA=∠OAC得到∠OAB的度數，即可求解；（2）利用（1）的結論先求得∠AEO∠EAO70°，再平行線的性質求得∠COE=70°，然后利用弧長公式求解即可．【詳解】解：（1）連接OC，如圖，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∵AE⊥CD，∴OC∥AE，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∠CAD=35°，∴∠OAC=∠OCA=∠CAD=35°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠OAC=55°；（2）連接OE，OC，如圖，由（1）得∠EAO=∠OAC+∠CAD=70°，∵OA=OE，∴∠AEO∠EAO70°，∵OC∥AE，∴∠COE=∠AEO=70°，∴AB=2，則OC=OE=1，∴的長為．【題型三】多邊形與圓【典例分析】如圖，在正六邊形中，以為對角線作正方形，、與分別交于、．(1)(2)若，求的長．（參考數據：，結果精確到，可以直接利用（1）的結論）【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正六邊形的性質和正方形的性質分別求出，即可．（2）連接交于點，連接交于．證明是等邊三角形，然后解直角三角形可求出，，再求出、，利用等腰直角三角形的性質可得結論．【詳解】（1）解：∵是正六邊形和正方形的對角線，∴，，∴，故答案為：．（2）解：連接交于點，連接交于．在正六邊形中，，，、分別平分、，，∴，∴是等邊三角形，，∴，，∴，在正方形中，，，∵，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴．【提分秘籍】基本規律1．三角形的外接圓相關概念經過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內接三角形．外心是三角形三條垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離相等．2．三角形的內切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．內心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形的三條邊的距離相等．八、正多邊形的有關概念正多邊形中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．正多邊形半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形半徑．正多邊形中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形中心角．正多邊形邊心距：正多邊形中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．【變式演練】1．如圖，正方形ABCD內接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．(1)求∠CPD的度數；(2)當點P為的中點時，CP是⊙O的內接正n邊形的一邊，求n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接OD，OC，根據正方形ABCD內接于⊙O，結合圓周角定理可得∠CPD；（2）結合正多邊形的性質以及圓周角定理得出∠COP的度數，進而得出答案．【詳解】（1）解：連接OD，OC，∵正方形ABCD內接于⊙O，∴∠DOC＝90°，∴．（2）解：連接PO，OB，如圖所示：∵正方形ABCD內接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵點P為的中點，∴，∴，∴n＝360÷45＝8．2．（2022秋·江蘇·九年級期中）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．(2)設⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結果保留π）．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）如圖，連接AE，AD，AC，根據正六邊形的性質得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到結論；（2）如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設⊙O的半徑為r，推出△ODE是等邊三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根據勾股定理得到OGr，根據三角形和圓的面積公式即可得到結論．【詳解】（1）證明：如圖，連接AE，AD，AC，∵六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，∴EF＝ED＝CD＝BC，∴，∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，∴過頂點A的三條對角線四等分∠BAF；（2）解：如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設⊙O的半徑為r，∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，∴△ODE是等邊三角形，∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，∴∠EOG＝30°，∴EGr，∴OGr，∴正六邊形ABCDEF的面積＝6rrr2，∵⊙O的面積＝πr2，∴．1．（2023·江蘇無錫·模擬預測）如圖，內接于，AB是直徑，的平分線交于點D，交于點E，連接，作，交的延長線于點F(1)試判斷直線與的位置關系，并說明理由；(2)若，，求的半徑和的長．【答案】(1)相切，理由見解析(2)的半徑為3.5，【分析】（1）如圖：連接OE，OC，根據角平分線的定義可得，即，則；再根據等腰三角形三線合一的性質可得，然后根據平行線的性質可得，再由是的半徑即可證明結論；（2）設的半徑為x，則，，再在中運用勾股定理求得x，即可求得半徑；由AB是的直徑可得、結合可得，進而說明，再結合可得，運用相似三角形的性質列式可求得；在中運用勾股定理可得，即；最后運用平行線等分線段定理即可解答．【詳解】（1）證明：如圖：連接OE，OC∵平分，∴∴，∴∵∴∵，∴∵是的半徑∴是的切線．（2）解：設的半徑為x，則，，在中，由勾股定理可得，∴，解得：，∴的半徑為3.5∵AB是的直徑，∴，∵∴∵∴∴∵，∴，∴，∴，在中，，即，解得，∴∵，∴，即，∴．2．（2023·江蘇宿遷·統考二模）如圖，在中，，是角平分線，以D為圓心，為半徑作，交于點E．(1)直線與相切嗎？為什么？(2)若，，求的長．【答案】(1)直線與相切，理由見解析(2)【分析】（1）過點作，垂足為，根據角平分線性質求出，根據切線的判定得出即可；（2）由，，可得，，，由勾股定理可得，可得，由，可得，進而求得．【詳解】（1）解：直線與相切，理由如下：過點作，垂足為，∵平分，，，∴，又∵為半徑，∴點在上，又∵，∴直線與相切；（2）∵，，∴，，，∵，由勾股定理可得，∴，又∵，∴，∴．3．（2023·江蘇徐州·校考一模）如圖，是的弦，C是外一點，，交于點P，交于點D，且．(1)判斷直線與的位置關系，并說明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)直線與的位置關系是相切，理由見解析(2)【分析】（1）連接，根據等腰三角形的性質得出，求出，再根據切線的判定得出即可；（2）根據含角的直角三角形的性質求出，求出，求出，根據含角的直角三角形的性質求出，求出，再求出答案即可．【詳解】（1）直線與的位置關系是相切，理由是：連接，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵過點O，∴直線與的位置關系是相切；（2）∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，由勾股定理得：，即，解得：，∴陰影部分的面積．4．（2023·江蘇常州·校考二模）如圖，在中，，，．延長至點C，使，連接，以O為圓心，長為半徑作，延長，與交于點E，作弦，連接，與的延長線交于點D．(1)求證：是的切線；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據題意可得，，以此推出，根據相似三角形的性質可得，以此得到，即可證明；（2）過點O作于點G，根據題意可證明，以此得到平分，則，，再根據，以此即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∵，∴，∴，；∴，∵，∴，即，∵為半徑，∴是的切線；（2）解：如圖，過點O作于點G，如圖所示，∵，，弦，∴，∵，∴，∴，∵，即為等腰三角形，∴，，∵，，∴，在中，，在中，，∴，∴．5．（2023·江蘇揚州·統考一模）如圖，已知中，，，是的外接圓，點在的延長線上，于點，交于點，是的切線，交于點．(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)若，求的長度．【答案】(1)等邊三角形，見解析(2)【分析】（1）如圖：連接，先說明是的直徑，則，即；根據是的切線可得，即；再根據結合直角三角形的性質和對頂角的性質可得，進而得到即可；（2）根據直角三角形的性質可得，再根據勾股定理求得，根據是等邊三角形和可得，然后解直角三角形可得，最后根據即可解答．【詳解】（1）解：是等邊三角形，理由如下：如圖：連接，∵，，是的外接圓，∴是的直徑，∴,∴，∵是的切線，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴是等邊三角形；（2）解：∵，，，∴，∴，∵是等邊三角形，，∴，∴，∵，，∴，∴．6．（2023·江蘇蘇州·統考一模）已知：為的直徑，為圓心，點為圓上一點，過點作的切線交的延長線于點，點為上一點，且，連接交于點．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點為內部一點，連接．若的半徑為，求的長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）由為的直徑，得出，由是的切線，得出，則，根據，得出，根據等弧所對的圓周角得出，等量代換即可求解；（2）連接，證明，，根據相似三角形的性質得出，，進而根據勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：為的直徑，，，是的切線，，，，，，，；（2）如圖，連接，，，，，，，即，，，，，，的半徑為，，，．7．（2023·江蘇蘇州·統考一模）已知：為的直徑，為圓心，點為圓上一點，過點作的切線交的延長線于點，點為上一點，且，連接交于點．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點為內部點，連接，．若，的半徑為，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由為的直徑，得出，由是的切線，得出，則，根據，得出，根據等弧所對的圓周角得出，等量代換即可求解；（2）連接，證明，，根據相似三角形的性質得出，，進而根據勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：為的直徑，，，是的切線，，，，，，，；（2）如圖，連接，，，，，，，即，，，，，；，，，的半徑為，，，．8．（2023·江蘇揚州·模擬預測）如圖，在中，，為上一點，作，與交于點，經過點、、的與相切于點，連接．(1)求證：平分；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，與相切于點，推出，已知，得到，推出，進而得到，得證平分；（2）連接，已知，得到，結合，得到，已知，得到，可求得，得到，進一步證明，得到，即，已知，即可求得的長，進而可得的長．【詳解】（1）證明：連接，與相切于點，，，，，，平分；（2）解：連接，，，又，，又，，，，，，，，又，，，，，，，，．9．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，中，，為上的一點，以為直徑的交于，連接交于，交于，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）根據圓周角定理得到，由等量代換得到，由得到，則，即可得到，即可得到結論；（2）連接，，，再證明，則，設，則，，即可得到答案．【詳解】（1），，，，，，，，即，∴與相切；（2）連接，，，是的直徑，，，，，，，，設，，，．10．（2023·江蘇徐州·校聯考一模）如圖，是的直徑，點C在上，點D在的延長線上．連接、．滿足．求證：(1)是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）連接，則可得出．由，得出，結合，可證，得出，從而推出．由直徑所對圓周角為直角可得出，進而可求出，即，即證明是的切線；（2）設，則，，．根據勾股定理可得出，代入數據，可求出x的值，即得到，，從而可求出．根據銳角三角函數可求出，即說明，可求出，最后由求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．∵為直徑，∴，即，∴，∴，即．∵為半徑，∴是的切線；（2）解：設，則．∵，∴，∴．在中，，∴，解得：（舍去負值），∴，，∴．∵，∴，∴，∴．11．（2023·江蘇揚州·一模）如圖，已知：以的邊為直徑作的外接圓，的平分線交于，交于，過作交的延長線于．，(1)求證：是切線；