模塊終結性評價

（120分鐘150分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

1.編號為1,2,3,4,5,6,7的七盞路燈，晚上某個時段只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈

不相鄰，則不同的開燈方案有（）

A.60種B.20種C.10種D.8種

【解析】選C.四盞熄滅的燈產生的5個空當中放入3盞亮燈，即C：=10.

2.如圖，4個散點圖中，不適合用線性回歸模擬擬合其中兩個變量的是（）

【解析】選A.題圖A中的點不成線性排列，故兩個變量不適合線性回歸模型.

3.（2019?浙江高考）設0<a<l,隨機變量X的分布列是

X0a1

111

p

333

則當a在(0,1)內增大時()

A.D(X)增大B.D(X)減小

C.D(X)先增大后減小D.D(X)先減小后增大

【解析】選D.由表可以求得E(X)=0X：+ax1+ix1+4a,

OOuO

/2、1,1,11,12

E(X)=0X-+a2X-+1X-=§+§a,

22

11rz11

----

所以由D(X)=E(X>—[E(X)J33<33

222221

+

9-9-9-9-6_

所以當a在（0,1）內增大時，D（X）先減小后增大.

4.。2+孑5的展開式中x4的系數為（）

A.10B.20C.40D.80

【解析】選C.由題可得Tf=C；（x2）5-'^r

=C；?2r?x10-3r.令10-3r=4,

則r=2,所以C；-2r=ClX22=40.

教師

專用【補償訓練】

（六+/一2）3展開式中的常數項為（）

A.-8B.-12C.-20D.20

【解析】選C.因為（X2+"—2）=（x—?

所以L+i=C；x6—,?(一B=C；(―l)rx6-2r,令6—2r=0,得r=3,

所以常數項為C；(—1M=-20

5.設隨機變量C服從正態分布N（2,9）,若P（&<2m+l）=P（W〉m—l）,則實數m的值是

)

245

A.-B.-C.D.2

3

【解析】選B.依題意P=2,因為P(&<2m+l)=P(&〉m-l),

(2m+l)+(m—1)4

所以?=2,解得m=§.

2

6.如圖所示，A,B,C表示3種開關，若在某段時間內它們正常工作的概率分別為0.9,0.8,

0.7,那么此系統的可靠性為（）

A.0.504B.0.994C.0.496D.0.06

【解析】選B.A、B、C三個開關相互獨立，三個中只要至少有一個正常工作即可，由間接法

知P=1—(1—0.9)X(1-0.8)(1-0.7)=1-0.1X0.2X0.3=0.994.

7.學校選派5位同學參加北京大學、上海交通大學、浙江大學這3所大學的自主招生考試,

每所大學至少有一人參加，則不同的選派方法共有()

A.540種B.240種C.180種D.150種

dc2c2

【解析】選D.不同的選派方法共有C；A：+?！笰,=150(種).

111

---

8.已知隨機變量8的分布列為€=-1,0,1,對應263

則n的期望為()

1229

A.――B.TC.-D.1

6336

【解析】選B.E(&)=—1X:+0x1+1X(=-1,所以E(n)=E(2W+1)

2636

12

=2E(C)+1=-TX2+l=-.

b3

9.(2018?全國卷III)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為P，各成員的支付方式

相互獨立，設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數，D(X)=2.4,P(X=4)

<P(X=6),則p=()

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

【解析】選B.由題意可知X?B(10,p),

故DX=10p(l—p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4,

予X26q4*24

462

當p=0.6時，P(X=4)=C：°X0.6X0.4=C!0X2,

6444

,、$643X23X2

P(X=6)=CX0.66X0.44=CsX—=C4X—X32,

101O0100

滿足P(X=4)〈P(X=6),所以p=0.6；

同理可驗證p=0.4時不滿足P(X=4)<P(X=6).

10.為了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關系，某研究機構隨機抽取了60名高中生,

通過問卷調查，得到以下數據：

作文成績優秀作文成績一般總計

課外閱讀量較大221032

課外閱讀量一般82028

總計303060

由以上數據，計算得到K，的觀測值k-9.643,根據臨界值表，以下說法正確的是()

A.沒有充足的理由認為課外閱讀量大與作文成績優秀有關

B.在犯錯誤的概率不超過0.5的前提下認為課外閱讀量大與作文成績優秀有關

C.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為課外閱讀量大與作文成績優秀有關

D.在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為課外閱讀量大與作文成績優秀有關

【解析】選D.根據臨界值表，9.643>7,879,在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為

課外閱讀量大與作文成績優秀有關.

11.把一枚硬幣任意拋擲兩次，記第一次出現正面為事件A,第二次出現正面為事件B,則

P(B|A)等于()

111

--Q-

A.4B.32

【解析】選C.在第一次出現正面后，第二次可出現正面或反面，故基本事件有(正，正)，(正,

反)，而第一次出現正面，第二次也出現正面的只有(正，正)，因此P(B|A)=g.

教師

專用

某道數學試題含有兩問，當第一問做對時，才能做第二問，為了解該題的難度，調查了100

名學生的做題情況，做對第一問的學生有80人，既做對第一問又做對第二問的學生有72

人，以做對試題的頻率近似作為做對試題的概率，已知某個學生已經做對第一問，則該學生

做對第二問的概率為()

A.0.9B.0.8C.0.72D.0.576

【解析】選A.做對第一問的學生有80人，則做對第一問的概率為瑞=0.8.既做對第一問

72

又做對第二問的學生有72人,則兩問都做對的概率為荻=0.72.設“做對第一問”為事件

A,“做對第二問”為事件B,則P(A)=0.8,P(AB)=0.72,某個學生已經做對第一問，則

p(AR)072

該學生做對第二問的概率P(B|A)=￡TU=干==0-9,

rIAJU.o

12.若n是正奇數，則7"+C：7"T+d7"T+…+C：T7被9除的余數為()

A.2B.5C.7D.8

【解析】選C.由題可知：原式=C：7"+C：r-'+C2?7"T+…+c「7=(c：7"-1°+C：7--1?1

+C：7n-2?12H----HC："17-r-1+C°7°?ln)—C：7°?ln=(7+l)--l=8n-l=(9-l)"-l=

[C：9n?(—1)°+C：9“T.(—1)+C：911T.(-1)2+-+6：-19?(-l)n-1+C：9°?(-1)"]-

1,

因為n為正奇數，所以上式可化簡為C：9n+C；(-1)+C：911r.(-1)2+-+6^

9?(一1廠一2

=C"9"+C；9n-1?(―1)+C：9T.(-1)2+-+6：-19?(—I)"，一9+7,

所以該式除以9,余數為：7.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)

13(2018?全國卷I)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選,

則不同的選法共有種.(用數字填寫答案)

【解析】方法一：根據題意，沒有女生入選有C：=4種選法，從6名學生中任意選3人有

C；=20種選法，故至少有1位女生入選的選法共有20—4=16種.

方法二：恰有1位女生，有CC；=12種，

恰有2位女生，有C；C；=4種，

所以不同的選法共有12+4=16種.

答案：16

(1\n

14.(2020?長沙高二檢測)3的展開式中各項系數之和為729,則該展開式中x?

項的系數為.

(2x+--1-\6n

6

【解析】依題意得3n=729,n=6,二項式3的展開式的通項是T』=C；?(2x)

(1、6-匕

-Lr34r

'?3=C；?26T?x.令6——=2,得r=3.因此，在該二項式的展開式中x2

項的系數是C?2-3=160.

答案：160

教師

專用【補償訓練】

的展開式中Y的系數為A,二項式系數為B,則9等于

D

3k

令6—5=3,即k=2,

所以T3=C；(―2)2X3=60X)所以X15的系數為A=60,二項式系數為B=C；=15,所以］=黑

D10

=4.

答案：4

15.①回歸分析中，相關指數R2的值越大，說明殘差平方和越大；

②對于相關系數r,1r1越接近1,相關程度越大，|r1越接近0,相關程度越??；

③由一組樣本數據(xi,y),(xz,yj,…，(x?,y)得到的回歸直線方程為，=6x+A,

那么直線g=6x+魚必經過點(x,y)；

④K?是用來判斷兩個分類變量是否有關系的隨機變量，只對于兩個分類變量適合.

以上幾種說法正確的序號是.

【解析】回歸分析中，相關指數V的值越大，說明殘差平方和越小，擬合效果越好，所以

①不正確.其余均正確.

答案：②③④

16.同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則

在2次試驗中成功次數X的均值是.

13

【解析】由題意可知每次試驗不成功的概率為W，成功的概率為W，在2次試驗中成功次數

]133§2

X的可能取值為0,1,2,則P(X=0)=m-2X]x-=-,P(X=2)

9

16,

所以在2次試驗中成功次數X的分布列為

X012

139

p

16816

i3Q3

則在2次試驗中成功次數X的均值為E(X)=OXy^+1X-+2X—=-.

168162

答案：I

教師專用4【一題多解】解答本題還可以用如下的方法解決:

33

此試驗滿足二項分布,其中p=1,所以在2次試驗中成功次數X的均值為E(X)=np=2X-

3

=2,

上.3

答案：5

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(10分)為了調查某生產線上質量監督員甲是否在現場對產品質量好壞有無影響，現統

計數據如下：質量監督員甲在現場時，1000件產品中合格品有990件，次品有10件，甲

不在現場時，500件產品中有合格品490件，次品有10件.

(1)補充下面列聯表，并初步判斷甲在不在現場與產品質量是否有關：

合格品數/件次品數/件總數/件

甲在現場990

甲不在現場10

總數/件

(2)用獨立性檢驗的方法判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為“甲在不在現

場與產品質量有關”？

2____________n(ad-be)____________

*(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【解析】(1)

合格品數/件次品數/件總數/件

甲在現場990101000

甲不在現場49010500

總數/件1480201500

由列聯表可知lad—be=|990X10—490X101=5000,相差較大，可在某種程度上認為“甲

在不在現場與產品質量有關”.

（2）由（1）中2X2列聯表中數據，得

21500X(990X10—490X10)?

K=1480X20X1000X500-一?2.53>2,072,

又P（k》2.072）的臨界值為0.15,

所以，能在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為“甲在不在現場與產品質量有關”.

18.（12分）某城市選用某種植物進行綠化，設其中一株幼苗從觀察之日起，第x天的高度

為ycm,測得一些數據圖如下表所示:

第X/p>

高度y/cm0479111213

作出這組數的散點圖如下

⑴請根據散點圖判斷，丫=0*+1）與丫=6^+d中哪一個更適宜作為幼苗高度y關于時間

x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程，并預測第144天這株幼苗的

高度（結果保留1位小數）.附：

XxiYi-nxy

人i=：1人—八—

b=------------------，a=y—bx參考數據:

n___

-

VL'x2i一nx2

i=l

777

口,E(?yJ

i=li=li=li=l

1402856283

【解析】（1）根據散點圖，y=c<+d更適宜作為幼苗高度y關于時間x的回歸方程類型;

⑵令N=#，則y=c市+d構造新的成對數據，如下表所示：

/p>

1234567

y0479111213

容易計算，U=4,y=8.通過上表計算可得:

ZdyLnuy

283-7X4X8_59

因此二三------------------------

6二140—7X16=28,

n_______

十2-nu2

i=l

因為回歸直線g=cu+d過點(u,y),

人-...3

所以d=y—CU=~~,

故y關于口的回歸直線方程為y=j|市從而可得：y關于X的回歸方程為y

人…174

令x=144,則丫二〒仁24.9,

所以預測第144天幼苗的高度大約為24.9cm.

教師

專用【補償訓練】

某5名學生的總成績與數學成績如表:

學生ABCDE

總成績(X)482383421364362

數學成績(y)7865716461

(1)畫出散點圖.

(2)求數學成績對總成績的回歸方程.

(3)如果一個學生的總成績為450分，試預測這個學生的數學成績(參考數據：4822+3832+

4212+3642+3622=819794,482X78+383X65+421X71+364X64+362X61=137760).

【解析】(1)散點圖如圖

數學成績

100-

80-.

60-?

40■

20-

0----------------1----------------1----------------1----------------1-----------?x

150300450600總成績

(2)設回歸方程為x+A,

3392012

13776?！?X丁X

人5

b=^0.132,

819794-5Xm2

人—￡—3392012

a=y-bX---0.132X-=14.6832.

所以回歸方程為g=14.6832+0.132x.

(3)當x=450時，y=14.6832+0.132X450=74.0832心74,

即數學成績大約為74分.

19.(12分)帶有編號1,2,3,4,5的五個球.

(1)全部投入4個不同的盒子里.

(2)放進4個不同的盒子里，每盒一個.

(3)將其中的4個球投入4個盒子里的一個(另一個球不投入).

各有多少種不同的放法？

【解析】(1)由分步乘法計數原理知，五個球全部投入4個不同的盒子里共有4,種放法.

(2)由排列數公式知，五個不同的球放進4個不同的盒子里(每盒一個)共有A：種放法.

(3)將其中的4個球投入一個盒子里(另一個球不投入)共有C：C：種放法.

20.(12分)為了研究某學科成績是否與學生性別有關，采用分層抽樣的方法，從高三年級

抽取了30名男生和20名女生的該學科成績,得到如圖所示男生成績的頻率分布直方圖和女

生成績的莖葉圖，規定80分以上為優分(含80分).

⑴①請將2X2列聯表補充完整:

優分非優分總計

男生

女生

總計

②根據此列聯表判斷，能否在犯錯誤概率不超過10%的前提下認為“該學科成績與性別有

關”？

(2)將頻率視作概率，從高三年級該學科成績中任意抽取3名學生的成績，求至少2名學生

的成績為優分的概率.

下面的臨界值表供參考:

2

P(K^k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考公式：■=(a+b)(《I::;c)(b+d)'其中n=a+b+c+d.

【解析】(1)①將2義2列聯表補充完整如表:

優分非優分總計

男生92130

女生11920

總計203050

②由題意得K?的觀測值

____________n(ad—be)2___________________

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)兒1=),

因為3.125>2.706,所以能在犯錯誤概率不超過10%的前提下認為該學科成績與性別有關.

(2)由于有較大的把握認為該學科成績與性別有關，因此需要將男女生成績的優分頻率f=

0.4視作概率；設從高三年級中任意抽取3名學生的該學科成績中，優分人數為X,則X服

從二項分布B(3,0.4),所求概率P=P(X=2)+P(X=3)=C'X0.42X0.6+C3X0.43=

0.352.

21.(12分)某工廠在試驗階段大量生產一種零件.這種零件有A,B兩項技術指標需要檢測,

設各項技術指標達標與否互不影響.若A項技術指標達標的概率為I,有且僅有一項技術指

5

標達標的概率為正.按質量檢驗規定：兩項技術指標都達標的零件為合格品.

(1)求一個零件經過檢測為合格品的概率.

(2)任意依次抽出5個零件進行檢測，求其中至多3個零件是合格品的概率.

⑶任意依次抽取該種零件4個，設1表示其中合格品的個數，求E(&)與D(&).

【解析】(1)設A、B兩項技術指標達標的概率分別為R、P2.

「3

一P'F

由題意得，

5

Pl(l-p)+(1-P1)p=—,

、22LN

9

解得P2=W.

Q91

所以一個零件經過檢測為合格品的概率P=PR=/X?=3.

4J%

(2)任意抽出5個零件進行檢查，其中至多3個零件是合格品的概率為

13

16'

⑶依題意知&?B4,E(C)=4X-=2,D(C