專題09一次函數核心知識點精講理解一次函數的概念定義，理解一次函數是線性函數的特殊形式，并能夠識別和判斷一個函數是否為一次函數。掌握一次函數的表達式y=kx+b，其中k和b是常數，且k≠0。要掌握如何確定函數的斜率（k值）和截距（b值）。掌握了解一次函數圖像的特點，掌握如何繪制一次函數的圖像，并能夠根據圖像分析函數的特點、與坐標軸的交點等性質。掌握一次函數的與其他數學知識的聯系：理解一次函數與一元一次方程、一元一次不等式等的關系，并能夠進行相互轉化。能夠利用一次函數解決實際問題，如路程、時間、速度問題，以及與其他數學知識的綜合應用。考點1一次函數的概念1.一次函數概念：一般地，如果（k，b是常數，k0），那么y叫做x的一次函數。2.正比例函數：當一次函數中的b為0時，（k為常數，k0）。這時，y叫做x的正比例函數。考點2一次函數的圖象與性質1.一次函數的圖象：所有一次函數的圖象都是一條直線。2.一次函數的圖象特征：（1）一次函數的圖象是經過點（0，b）的直線；（2）特別的，正比例函數的圖象是經過原點（0，0）和（1，k）的直線。3.一次函數的圖象與性質k的符號b的符號函數圖象圖象特征k>0b>0圖象經過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。b<0圖象經過一、三、四象限，y隨x的增大而增大。K<0b>0圖象經過一、二、四象限，y隨x的增大而減小b<0圖象經過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。注：當b=0時，一次函數變為正比例函數，正比例函數是一次函數的特例。一般地，正比例函數有下列性質：（1）當k>0時，圖象經過第一、三象限，y隨x的增大而增大；（2）當k<0時，圖象經過第二、四象限，y隨x的增大而減小。考點3正比例函數和一次函數解析式的確定1.確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數定義式（k0）中的常數k。確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式（k0）中的常數k和b。解這類問題的一般方法是待定系數法，它的步驟通常是：（1）設一次函數的解析式為：；（2）用圖象上的點A（x1，y1），B（x2，y2）的橫、縱坐標分別去替代函數解析式中的x和y，得到二元一次方程組{（3）解這個方程組，求出k，b的值；（4）求k，b的值帶入所設的解析式中，即可得到索要其的一次函數的解析式。2.一次函數圖象的平移一次函數的平移若一次函數的解析式為y=kx+b，向左平移m個單位后解析式為y=k(x+m)+b，規律為“左加”；向右平移m個單位后解析式為y=k(x-m)+b，規律為“右減”；向上平移m個單位后解析式為y=kx+b+m，規律為“上加”；向下平移m個單位后解析式為y=kx+b-m，規律為“下減”；考點4一次函數與方程（組）、不等式的關系一次函數與方程（組）、不等式的關系與一元一次方程的關系方程kx+b=0的解x=-是一次函數y=kx+b的圖象與x軸的交點橫坐標；與二元一次方程組關系聯立兩個一次函數關系式得出的解是兩個一次函數的交點坐標；與一元一次不等式的關系①從“數”上看：kx+b>0的解集是y=kx+b中，y>0時x的取值范圍；kx+b<0的解集是y=kx+b中，y<0時x的取值范圍；②從“形”上看：kx+b>0的解集是函數y=kx+b的圖象位于x軸上方部分對應點的橫坐標；kx+b<0的解集是函數y=kx+b的圖象位于x軸下方部分對應點的橫坐標；考點5根據實際問題列一次函數關系式根據實際問題確定一次函數關系式關鍵是讀懂題意，建立一次函數的數學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數圖象要根據自變量的取值范圍來確定．①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是一次函數還是其他函數，再利用待定系數法求解相關的問題．②函數與幾何知識的綜合問題，有些是以函數知識為背景考查幾何相關知識，關鍵是掌握數與形的轉化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數關系，關鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．考點6一次函數的實際應用1.解一次函數的實際應用的一般步驟：2.集中常見題型及及其解法（1）文字性應用題：從體感中提取兩組有關量（自變量和因變量）作為一次函數圖像上的兩點，應用待定系數法求出解析式，對于階梯收費問題注意選取的關系量應是同一標準的；（2）表格型應用題：分析表格中數據，從表格中提取兩組量應用待定系數法求函數解析式；（3）圖象型應用題：從函數圖象上找出兩點，找到其坐標帶入解析式；若函數圖象為分段函數，注意要取通斷函數圖像上的兩點，一次方法分別求隔斷函數的解析式，最后記得加上對應自變量的取值范圍。（4）方案選取問題：①根據解析式分類討論，比較兩個發難在不同取值下的最有結果；②根據題意列不等式求出自變量的取值范圍，然后選取符合題意的自變量的取值范圍，分別代入兩個一次函數解析式中比較，設計或選擇最優的方案即可。【題型1：一次函數的概念】【典例1】下列函數中，是一次函數但不是正比例函數的為A． B． C． D．1．（2023?霞山區一模）下列函數中，y是x的正比例函數的是（）A．y＝4x+1 B．y＝2x2 C．y=?5x D．y2．關于函數，都是不等于0的常數），下列說法，正確的是A．與成正比例B．與成正比例 C．與成正比例D．與成正比例【題型2：一次函數的圖象與性質】【典例2】（2023?蓬江區校級一模）一次函數y＝x﹣2的圖象大致是（）A． B． C． D．【典例3】（2023?東莞市校級一模）已知點（﹣1，y1），（3，y2）在一次函數y＝2x+1的圖象上，則y1，y2的大小關系是（）A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能確定1.（2023?惠城區校級開學）已知正比例函數y＝kx（k≠0）的函數值y隨x的增大而減小，則一次函數y＝x+k的圖象大致是（）A． B． C． D．2．（2023?廣東模擬）已知正比例函數y＝kx（k≠0），且y隨x的增大而減小，則直線y＝﹣2x+k的圖象是（）A． B． C． D．3．（2023?茂南區二模）若直線y1＝ax+b經過第一、二、四象限，則直線y2＝bx+a不經過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【題型3：正比例函數和一次函數解析式的確定】【典例3】（2023?潮南區模擬）如圖，已知A（2，3），B（0，2），在x軸上找一點C，使得|AC﹣BC|的值最大，則此時點C的坐標為（﹣4，0）．1．（2022?增城區一模）如圖所示，直線y=23x+2分別與x軸、y軸交于點A、B，以線段AB為邊，在第二象限內作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，則過B、A．y=?13x+2 B．y=?15x+2 C．y=?2．（2023?中山市三模）若正比例函數的圖象經過點（3，6），則該函數的解析式為y＝2x．【題型4：一次函數與方程（組）、不等式的關系】【典例5】（2023?豐順縣一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝ax+b與兩坐標軸的交點分別為（2，0），（0，3），則不等式ax+b＞0的解為（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3【典例6】（2023?東莞市校級三模）已知二元一次方程組x?y=?5x+2y=?2的解為x=?4y=1，則在同一平面直角坐標系中，直線l1：y＝x+5與直線l2：y=?A．（4，1） B．（1，﹣4） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣4，1）1．（2023?海珠區校級二模）已知一次函數y＝ax+2的圖象與x軸的交點坐標為（3，0），則一元一次方程ax+2＝0的解為（）A．x＝3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝a2．（2023?英德市二模）如圖，直線y＝kx+3經過點（2，0），則關于x的不等式kx+3＜0的解集是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≥23．（2023?南山區模擬）如圖，函數y＝﹣2x和y＝kx+5的圖象相交于點A（a，2），則不等式﹣2x≤kx+5的解集為（）A．x≤2 B．x≥﹣1 C．x≤﹣1 D．x＞﹣14．（2023?曲江區校級三模）如圖，直線y＝﹣x+3與y＝mx+n交點的橫坐標為1，則關于x、y的二元一次方程組x+y=3?mx+y=nA．x=1y=3 B．x=3y=1 C．x=1y=25.（2023?金平區二模）如圖，直線y＝x+b與直線y＝kx+4交于點P(23，83)，則關于x的不等式x+b≥kx6．（2023?江門校級三模）如圖，已知函數y＝2x+b與函數y＝kx﹣3的圖象交于點P，則方程組2x?y=?bkx?y=3的解是x=4y=?6【題型5：根據實際問題列一次函數關系式】【典例7】（2023?天河區二模）已知一根彈簧在不掛重物時長6cm，在一定的彈性限度內，每掛1kg重物彈簧伸長0.3cm．則該彈簧總長y（cm）隨所掛物體質量x（kg）變化的函數關系式為y＝0.3x+6．1．（2023?南海區一模）某學校要建一塊矩形菜地供學生參加勞動實踐，菜地的一邊靠墻，另外三邊用木欄圍成，木欄總長為40m．如圖所示，設矩形一邊長為xm，另一邊長為ym，當x在一定范圍內變化時，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數關系是（）A．y＝20x B．y＝40﹣2x C．y=40x D．y＝x（40﹣22．（2023春?澄海區期末）一根蠟燭長25cm，點燃后每小時燃燒5cm，蠟燭燃燒時剩下的高度h（厘米）與燃燒時間t（小時）（0≤t≤5）之間的關系是h＝﹣5t+25．【題型6：一次函數的實際應用】【典例8】（2023?蓬江區校級三模）如圖表示一艘輪船和一艘快艇沿相同的路線，從甲港到乙港行駛過程中路程隨時間變化的圖象（直線）．（1）輪船的速度是20千米/時，快艇的速度是40千米/時；（2）分別求出表示輪船和快艇行駛過程的函數解析式；（3）快艇出發多長時間趕上輪船？1．（2023?龍崗區校級一模）設備每年都需要檢修，該設備使用年數n（單位：年，n為正整數且1≤n≤10）與每年至第n年該設備檢修支出的費用總和y（單位：萬元）滿足關系式y＝1.4n﹣0.5，結論正確的是（）A．從第2年起，每年的檢修費用比上一年增加1.4萬元 B．從第2年起，每年的檢修費用比上一年減少0.5萬元 C．第1年至第5年平均每年的檢修費用為3.7萬元 D．第6年至第10年平均每年的檢修費用為1.4萬元2．（2023?惠州校級模擬）圖1是我國青海湖最深處的某一截面圖，青海湖水面下任意一點A的壓強P（單位：cmHg）與其離水面的深度h（單位：m）的函數解析式為P＝kh+P0，其圖象如圖2所示，其中P0為青海湖水面大氣壓強，k為常數且k≠0（計算結果保留一位小數）．根據圖中信息分析，下列結論正確的是（）A．青海湖水深16.4m處的壓強為189.36cmHg B．青海湖水面大氣壓強為76.0cmHg C．函數解析式P＝kh+P0中自變量h的取值范圍是h≥0 D．P與h的函數解析式為P＝9.8×105h+763．（2023?金平區一模）如圖，甲乙兩人以相同的路線前往距離單位10km的培訓中心參加學習，圖中L甲，L乙分別表示甲乙兩人前往目的地所走的路程S（千米）隨時間t（分）變化的函數圖象，以下說法：①乙比甲提前12分鐘到達；②甲、乙相遇時，乙走了6千米；③乙出發6分鐘后追上甲．其中正確的是①②③．（填序號）4．（2023?龍崗區校級一模）臨近期末，某文具店需要購進一批2B涂卡鉛筆和0.5mm黑色水筆，已知用600元購進鉛筆與用400元購進水筆的數量相同，且每支鉛筆比每支水筆進價高1元．（1）求這兩種筆每支的進價分別是多少元？（2）該商店計劃購進水筆的數量比鉛筆數量的2倍還多60支，且兩種筆的總數量不超過360支，售價見店內海報（如下所示）．該商店應如何安排進貨才能使利潤最大？最大利潤是多少？為期末加油！2B涂卡鉛筆4元/支0.5mm黑色水筆2.5元/支5．（2023?龍川縣三模）春天來了，我校計劃組織師生共1600人坐A、B兩種型號的大巴車外出春游，且A型車每輛租金為580元，B型車每輛租金為700元，為了保證安全，校方要求必須保證人人都有座位．學生南南發現若租2輛A型與3輛B型大巴車恰好能坐下195人，若租3輛A型與2輛B型大巴車恰好能坐下180人．（1）請問1輛A型與1輛B型大巴車各有幾座？（2）現學校決定租兩種型號的大巴車共50輛作為出行交通工具，但政教主任蔣老師發現租車總經費不能超過32000元．他想運用函數的知識進行分析，為學校尋找最節省的租車方案．現蔣老師設學校租了A型大巴車x輛，租車總費用為w元．請你幫蔣老師完成分析過程，確定共有幾種租車方案？哪種租車方案最省錢？并求出最低費用．一．選擇題（共7小題）1．已知點（﹣3，2）在一次函數y＝kx﹣4的圖象上，則k等于（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣32．下列函數中，y是x的一次函數的是（）A．y=x+2 B．y＝5﹣3x C．y=2x D．y3．已知一次函數y＝kx+b的圖象如圖所示，則k，b的取值范圍是（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜04．若直線y＝2x+b與x軸交于點A（﹣3，0），則方程2x+b＝0的解是（）A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝6 D．x=?5．把直線y＝x+2向上平移n個單位后，與直線y＝﹣2x+5的交點在第二象限，則n的取值范圍是（）A．1＜n＜7 B．n＜5 C．2＜n＜5 D．n＞36．下列函數的圖象不經過第一象限，且y隨x的增大而減小的是（）A．y＝﹣x B．y＝x+1 C．y＝﹣2x+1 D．y＝x﹣17．直線y＝x﹣1的圖象與x軸的交點坐標為（）A．（1，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）二．填空題（共5小題）8．如圖，在平面直角坐標系中，Q是直線y=12x+3上的一個動點，將Q繞點P（0，1）順時針旋轉90°，得到點Q'，連接OQ'，則OQ9．在平面直角坐標系中，將直線y＝2x+4沿x軸向右平移2個單位長度后，得到新直線的函數關系式為．10．如果正比例函數y＝（m﹣2）x的圖象y隨x的增大而減小，那么m的取值范圍是．11．如圖，在平面直角坐標系中，線段AB的端點為A（1，0），B（5，8）．（1）直線AB的函數表達式為．（2）某同學設計了一個動畫：在函數y＝﹣2x+b中，輸入b（b＞0）的值，得到直線CD，其中點C在x軸上，點D在y軸上．當直線CD與線段AB有交點時，直線CD就會發紅光，則此時輸入的b的取值范圍是．12．若點P（a，b）在直線y＝2x+3上，則4a﹣2b的值為．三．解答題（共3小題）13．已知一次函數y＝kx+b經過點A（3，0），B（0，3）．（1）求k，b的值．（2）在平面直角坐標系xOy中，畫出函數圖象；（3）結合圖象直接寫出不等式kx+b＞0的解集．14．已知y是2x+3的正比例函數，且當x＝1時，y＝﹣5．（1）求y與x的函數關系式．（2）若點（a，2）在該函數的圖象上，求a的值．15．如圖，函數y＝﹣2x+3與y=?12x+m的圖象交于P（（1）求出m、n的值；（2）直接寫出不等式?12x+m＞﹣2一．選擇題（共5小題）1．一次函數y＝kx+b與y＝x+2的圖象相交于如圖點P（m，4），則關于x，y的二元一次方程組y=kx+by=x+2A．x=2y=4 B．x=1y=4 C．x=2.4y=42．正比例函數y＝kx與一次函數y＝x﹣k在同一坐標系中的圖象大致應為（）A． B． C． D．3．正比例函數y＝ax與一次函數y＝ax﹣2a在同一坐標系中的大致圖象可能是（）A． B． C． D．4．甲、乙兩人在一條長400米的直線跑道上同起點、同終點、同方向勻速跑步，先到終點的人原地休息．已知乙先出發3秒，在跑步過程中，甲、乙兩人間的距離y（米）與甲出發的時間x（秒）之間的函數關系如圖所示，則下列結論中正確的個數是（）①乙的速度為4米/秒；②離開起點后，甲、乙兩人第一次相遇時，距離起點80米；③甲到達終點時，乙距離終點還有80米；④甲、乙兩人之間的距離為60米時，甲出發的時間為72秒和82秒．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．一次函數y＝kx+b的圖象經過A（m，1），B（m+4，0）兩點，若點M（2，y1）和點N（3，y2）恰好也是該函數圖象上的兩點，則y1，y2的大小關系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．無法確定二．填空題（共4小題）6．甲、乙兩人沿同一條直路走步，如果兩人分別從這條直路上的A，B兩處同時出發，都以不變的速度相向而行，圖1是甲離開A處后行走的路程y（單位：m）與行走時間x（單位：min）的函數圖象，圖2是甲、乙兩人之間的距離y（單位：m）與甲行走時間x（單位：min）的函數圖象，則a﹣b＝．7．如圖，直線AB的解析式為y＝﹣x+b分別與x，y軸交于A，B兩點，點A的坐標為（3，0），過點B的直線交x軸負半軸于點C，且OB：OC＝3：1．在x軸上方存在點D，使以點A，B，D為頂點的三角形與△ABC全等，則點D的坐標為．8．將一個直角三角形紙片ABO，放置在平面直角坐標系中，點A（3，0），點B（0，1），點O（0，0），過邊OA上的動點M（點M不與點O，A重合）作MN⊥AB于N，沿著MN折疊該紙片，得頂點A的對應點A'．設OM＝m，折疊后的△A'MN與四邊形OMNB重疊部分的面積為S．（1）如圖，當點A'與頂點B重合時，點M的坐標為．（2）當S=324時，點M的坐標為9．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如圖所示方式放置，點A1，A2，A3，…和C1，C2，C3，…分別在直線y＝x+1和x軸上，則點B4的坐標是，B2020的縱坐標是．三．解答題（共3小題）10．為了鼓勵大家節約用電，某電力公司采取按月用電量分段收費，居民每月應交電費y（元）與用電量x（度）的函數圖象是一條折線（如圖所示），根據圖像解答下列問題：（1）求出y與x的函數關系式；（2）若某用戶某月用電80度，則應繳電費多少元？（3）若某用戶某月應繳電費105元，則該用戶用了多少度電？11．加強勞動教育，落實五育并舉．孝禮中學在政府的支持下，建成了一處勞動實踐基地．2023年計劃將其中1000m2的土地全部種植甲乙兩種蔬菜．經調查發現：甲種蔬菜種植成本y（單位：元/m2）與其種植面積x（單位：m2）的函數關系如圖所示，其中200≤x≤700；乙種蔬菜的種植成本為50元/m2．（1）當200≤x≤600時，y與x的函數關系式為；（2）設2023年甲乙兩種蔬菜總種植成本為w元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使w最小？（3）該校計劃今后每年在這1000m2土地上，均按（2）中方案種植蔬菜，因技術改進預計種植成本逐年下降．若甲種蔬菜種植成本平