廣東高考理科數學解答題之六：函數綜合題

一、高考真題再現

1.(廣東理)設函數/(幻在(-，,”)上滿足f(2—x)=f(2+x)J(7—x)=/(7+x),

且在閉區間［0,7］上，只有/(1)=/(3)=0.

(I)試判斷函數y=/(X)奇偶性；

(II)試求方程/(x)=0在閉區間［一，］上根個數，并證明你結論.

2。(廣東理)人是定義在[2,4]上且滿足如下條件函數以幻構成集合：①對任意xw[l,2],

均有以2X)￡(1,2)；②存在常數L(O<Lvl),使得對任意%,七￡[1,2],均有

|破2菁)一妖2,4)區〃王-91?

⑴設°(2x)=耳1+e[2,4],證明：奴x)wA

(II)設奴x)wA,如果存在$w(l,2),使得%=0(2%),那么這樣與是唯一；

(III)設出第tA,任取(1,2),令%十1=。(2%)，〃=1,2L.，證明：給定正整數k,對

任意正整數〃，成立不等式|七--/區上下|%-％1?

1—L

3.（廣東理汨知。是實數，函數f（x）=2o?+2x—3-。，如果函數）=/3）在區間

上有零點，求〃取值范疇.

4.(廣東理)設左ER,函數/(/)=，匚？大＜1,F*)=/(x)-丘，XER,試討

—yjX—LX21

論函數F(x)單調性.

5.(廣東理)已知二次函數y=g(x)導函數圖像與直線y=2x平行，且)，=g(x)在x=-l

處獲得極小值6一1(相。0).設/(%)=史

x

⑴若曲線y=/(x)上點尸到點Q(0,2)距離最小值為求，〃值；

(2)&(2wR)如何取值時，函數)，=/(/)一日存在零點，并求出零點.

6*.(廣東理)設伏々,必)是平面直角坐標系xOx上兩點，現定義由點4到

點8一種折線距離夕(A,8)為：p(A,B)=1x2-X1|+1y2-|；對于平面x0y上給定不同

兩點A(M，y),B(x2,y2).

(1)若點C(x,y)是平面xOy上點，試證明"(4,。+0(。,3)之夕(4,3);

(2)在平面上。\，上與否存在點C(x,y),同步滿足

①p(A,C)+p(C,B)=p(A.B)②"(AC)=p(C,B)

若存在，祈求出所有符合條件點，請予以證明。

二、模仿試題精選

1.(廣一模第21題)設函數f(x)=e'(e為自然對數底數)，

r2丫3”

g(x)=l+x+—+—+..?+—

2!3!n\

(1)證明：，。)》幽(幻;

(2)當R>0時，比較/")與g“(x)大小，并闡明理由；

(3)證明：l+(|J+(g)+((J+???+(焉)<g"(l)<e(〃eN，).

2.（廣二模第21題）已知函數/卜）定義域為（一1,1）,且/《）=1,對任意x,y?T1）,

均有數列｛〃〃｝滿足4=；，%

（1一盯J21+4

（1）證明函數/（x）是奇函數；

（2）求數列｛/（%）｝通項公式；

（3）令4，+“2+…+/證明:當〃22時，力4一*4＜巴士.

〃/=1/=12

3.(深圳一模第20題)已知函數f(x)=；d+打2+u+d,設曲線y=/(x)在與X軸

交點處切線為y=4x—12,r(x)為導函數，滿足r(2—x)=r(x).

⑴求/(x)；

(2)設g(x)=xjra),m>o,求函數以此在”上最大值；

(3)設〃*)=ln/'"),若對一切R￡[O,1],不等式力*+1-。<力(2x+2)恒成立，

求實數/取值范疇.

4.(深圳二模第21題)已知函數f(x)=x—xlnx,g(x)=/(x)—獷'(。)，其中廣(〃)表

達函數/(X)在工=。處導數，。為正常數.

(1)求g(x)單調區間;

(2)對任意正實數X1,々，且證明：

(W-石)八七)<f(x2)-f(xi)<(x2-xi)f(xl)J

(3)對任意〃wN*,且〃22,證明：-L+-L+…+-L<I-：.

In2ln3InnIn2-Inn

5.（韶關一模第21題）已知函數/（幻=O?+反2+（力一。）上（〃，8是不同步為零常數），

其導函數為尸*）.

（1）當。=；時，若不等式/'（%）＞-；對任意不￡尺恒成立，求〃取值范疇；

（2）求證：函數），=/'（幻在（-1,0）內至少存在一種零點；

（3）若函數/（幻為奇函數，且在x=l處切線垂直于直線1+2y-3=0,關于x方程

在1）上有且只有一種實數根，求實數/取值范疇.

4

6.(茂名二模第21題)已知函數/(x)=f一公；(〃工0),g(%)=]nx,/*)圖象與x軸

異于原點交點M處切線為4，g(x-l)與X軸交點N處切線為4,并且4與平行.

(1)求。2)值;

(2)已知實數t￡R,求函數y=/[xg(x)+H,x?Le]最小值；

(3)令戶(x)=g(x)+g'(x),給定》,工2G(l,+oo),A：)<x2，對于兩個不不大于1正數a,4,

存在實數加滿足：a=mxl+(l-fn)x2,/?=(1-m)xi+nix2,并且使得不等式

I/(a)—尸(夕)|<|F(x,)-F(X2)I恒成立，求實數m取值范疇.

7.(肇慶二模第21題)設函數/(x)=x3+evc2+bx(x>0)圖象與直線y=4相切于M(l,4).

(1)求y=/(x)在區間(0,4］上最大值與最小值；

(2)與否存在兩個不等正數$,/(§＜，)，當sWxW,時，函數/(幻=工3+公2+公值域是

卜,“，若存在，求出所有這樣正數sj；若不存在，請闡明理由；

8.(佛山二模第20題)記函數力(力=(1+力”一1(〃之2,〃￡4)尋函數為工：(%)，函數

g(x)=」(x)-m?

（I）討論函數8（大）單調區間和極值；

（II）若實數/和正數k滿足：干（『）求證:o</<h

f：M以㈤

9.（惠州一模第21題）已知函數/*（幻=上1吧,（％之1）

X

（1）試判斷函數/（X）單調性，并闡明理由；

(2)若/(幻之一L.恒成立，求實數攵取值范疇;

x+l

(3)求證：[(〃+1)!]2>(〃+1)/-2,(〃￡N“)?

10.(廣二模第20題)已知函數f(x)=hix—；o?+x,aeR.

(1)求函數/(x)單調區間;

（2）與否存在實數。，使得函數f（x）極值不不大于0?若存在，，求。取值范疇；若不存

在，闡明理由.

高考真題答案

1.（廣東理）設函數/（幻在（Y03<?）上滿足/（2-幻=/（2+冗）,八7-幻=/（7+1），

且在閉區間［0,7］上，只有f(l)=/(3)=o.

(I)試判斷函數V=f(X)奇偶性；

(II)試求方程/(幻=0在閉區間［一，］上根個數，并證明你結論.

f(2-x)=f(2+x)f(x)=f(4-x)

1.解:=>/(4-x)=/(14-x)

f(7-x)=f(l+x)/(x)=/(14-x)

^/U)=/(x+10),又/(3并W審),

=>/(-3)=/(7)*0=>/(-3)#/(3),f(-3)T(3)

故函數y=/W是非奇非偶函數;

f/(2-x)=/(2+x)^|/W=/(4-x)

=>/(4-X)=/(14-X)

17(7-x)=/(7+x)[f(x)=/(14-x)

=>f(x)=f(%+10),又f(3)=/(I)=0=>/(!!)=/(13)=/(-7)=/(-9)=0

故f(x)在［0,10］和［-10,0］上均有有兩個解，

從而可知函數.V=/(X)在［0,］上有402個解，在卜.0］上有400個解,

因此函數y=f(x)在［-,］上有802個解.

2*,(廣東理)A是定義在［2,4］上且滿足如下條件函數以幻構成集合：①對任意工￡［1,2］,

均有奴2%)金(1,2)；②存在常數L(0<Lvl),使得對任意％,七￡口，2］，均有

|破2菁)一妖2,4)區〃王-91?

⑴設°(2x)=耳1+e［2,4］,證明：奴x)wA

(II)設奴x)wA,如果存在$e(l,2),使得%=0(2%),那么這樣與是唯一；

(III)設出第eA,任取(1,2),令%+［=。(2%)，〃=1,2「.，證明：給定正整數對

r*-l

任意正整數〃，成立不等式I七”-/區三|%-王|?

2.解：(1)對任意工€［1,2］,0(24)=布石,1￡［1,2］,我40(2力《逐，

1<V3<V5<2,因此°(2x)e(1,2),對任意xvx2e[1,2],

2

I(pQx、)-(p(2x)|=|x,-x|---------“…._______，

22y(i+2xj+.(i+2.Xi+電)+ya+%)r2

3<y(l+2芭)+1(1+2V)(1+々)+#(1+%2)，因此

22

0</----，/、/7-----7~<一,

#(1+2%|)2+1(1+2彳])(1+工2)+1(1+X2)3

令________?__________________-=L?

y(l+2xJ2+y(l+2X][1+/)+V。+%2)

O<L<1,|(p(2x1)-(p(2x2)|<￡I-x21>因此e(x)eA

(2)反證法:設存在兩個瓦,其e(l,2),x0工斯使得與=(P(2X0),XQ=尹(2反)則

由|0(2項))一0(2項)/)|<￡|x0—x。/|,得|與-工；區L|與一《因此LN1,

矛盾，故結論成立。

(3)\x3-x2\=\(p(2x2)-奴2占)區4々一再I，因此氏+1-怎區k2T

N+p-S+pJ+N+kl…區+1-xjW乃+k2k2一%|+七—卜2f

/K-l

“廠7k2fl

f2Tk—L

3.（廣東理）己知〃是實數,函數/（幻=2/+2工-3-〃，如果函數》=/。）在區間［-1,1］

上有零點，求。取值范疇.

3.解析1：函數y=/Q）在區間卜1,1］上有零點，即方程〃x）=2蘇+*3-。=0在［-1,1］

上有解，a=0時，不符合題意，因此aHO,方程f（x）=O在［-1,1］上有解<=>

af(-\)>0

好⑴20

〃—1)/(1)40或]A=44-86/(3+6/)>0

-3-J1-3-J1

<=>l￡aW5或-------或a25oa<-------或a'l.

22

-3—\/1

因此實數a取值范疇是〃<二^—或a'l.

解析2：a=0時，不符合題意，因此aWO,又

f(x)=2ax2+2x-3-a=0在[-1,1]上有解，=(2爐一1)〃=3-2x在卜1,1]上有解

=4=至且在[?1,1]上有解，問題轉化為求函數丫二支二卜1,1]上值域；設t=3-2x,x

a3-2x3-2x

(Z3)2

e[-l,1],則2X=3T,te[l/5]/y=----=-(f4---6),

2t2t

7t2—7

設以，)=，+7￡、)=一]，問1,")時，g")vO,此函數g(t)單調遞減，

re(77,5]M,g")>0,此函數g⑴單調遞增，，y取值范疇是而-3,1],

A/(x)=2av2+2x-3-a=04[-l,1]上有解6,e[V7-3,1]

a

—/3+不

。a21或。4-------o

----，x<1

4.(廣東理)設攵￡R,函數/⑶=11-X,F(x)=f{x)-kx,xeR,試討

—yjx—1,X21

論函數/（外單調性.

x<1,

—X<]

4.【解析】F(x)=f(x)-kx=^\-xF\x)=l

-y/x-i-kx,X>1,-1-kx>1,

24^1

對于F(x)=—!---kx(x<1)>

1-x

當ZWO時，函數&x)在(-8,1)上是增函數;

當攵>0時，函數/（力在（-8,1-3）上是減函數，在（1-一%/）上是增函數;

7k7k

對于F()=——/=-^(x>l),

X2yJx-\

當ZNO時，函數/(x)在［1,+0。)上是減函數;

U+*)上是減函數，在上￡田上是增函數。

當ZvO時，函數4X)在

5.(廣東理)已知二次函數y=g(x)導函數圖像與直線y=2x平行，且)，=g(x)在x=-1

處獲得極小值加一1(加工0).設/*)=史

x

(1)若曲線y=/(x)上點P到點。(0,2)距離最小值為及，求〃?值；

<2)4aeR)如何取值時，函數)，=/(%)質存在零點，井求出零點.

5.解：(1)依題可設g(x)=〃(x+l)2+m-l。0),則g'(x)=2a(x+l)=2ox+2a；

又g'(x)圖像與直線y=2x平行「.24=2a=\

g(x)=(x+1)2+m-\=x2+2x+m,=以立=%+絲+2,

XX

設P(Z?)，貝力尸。|2=年+(打一2)2=X：+(/+，)2

=+勺+2m>27^7+2m=2行|m\+2m

%

當且僅當2%=(時，|PQ『獲得最小值，即|P。|獲得最小值收

%

當機〉0時，7(272+2)w=72解得機=&-1

當機<0時，J(—2五+2)制=血解得加=—收―1

(2)由)，=/(x)—履=(1一%)x+生+2=0(xw0),得(1一女)f+2x+m=0(*)

當〃=1時，方程(*)有一解..3，函數y=〃x)-丘有一零點”一修

當攵工1時，方程(*)有二解=4=4一4機(1一女)>0,

若a>0,k>1,

m

函數片〃x)-收有兩個零點片衛意亙，即尸上用亙

若機<0,k<\——t

m

函數尸〃x)-區有兩個零點/抬含亙，即尸上*守

當ZW1時，方程(*)有一解0A=4-4m(1一k)=0,k=\--t

函數y=/("_丘有一零點1=J—=T〃

k-I

綜上，當攵=1時，函數y=/(x)-日有一零點工=一￡；

當火>1一--(/n>0),或(tn<0)時，

mm

皿/、-1土Jl-m(l-A)

函數y=/(x)-依有兩個零點1=-------j----;

當％=1―^時，函數y=f(x)—日有一零點x==-機.

6*.(廣東理)設A(玉,y),8(/,必)是平面直角坐標系MX上兩點，現定義由點A到

點8一種折線距離夕(A,8)為：p(A,B)=|x2-X1|+1y2-y\|；對于平面xOy上給定不同

兩點4%，乂)，B(x2,y2).

(1)若點C(x,y)是平面xQy上點，試證明Q(AC)+Q(C,B)N/9(4,8);

(2)在平面上0)，上與否存在點C(x,y),同步滿足

①P(A,C)+p(C,B)=p(A.B)②p(AC)=p(C,B)

若存在，祈求出所有符合條件點，請予以證明。

解：⑴顯然/Up。,；Po?）在拋物線屋匕y，=gx,故切線斜率*P。，

/.過點A的拋物線L的切線方程為:y-《Po?=gpo（x-Po）,即y=；PoX-；P02,

若Po>0,則線段短的方程功=；。0不一；/702（0?工《Po）；

若Po〈。，則線段^的方程兩二^〃。^-；〃。=〃。<X<0）.

又若p2-4q>0,則方程？_px+q=。的兩根為四號二12,

若Q（p,q）在線SAB上，則q=3Pop_；%2,從而p2_4g=（P_%）2,.?.再,2="

當Po>OB'J\O<p<Po,則Mp,q）=max{|$I」/l}="勺￡_^_=L^J；

當PovOW,P（）?p<0^9（p,q）=max{Lu|,|x2|}J…"J"（4-Po）l

故對線段43上的任一點。81）,夕用退）=0^1*{區|,|工2l}=（

（2）由（1）知拋物線L在（po[p；）處切線方程為＞=3%%一：〃。2,即

Po2-2Pox+4y=°

2

V切線恒過點M（a,b）,則p：—2的0+4Z?=0,?,.pI2=a±yla-4b

①當。＞0時，

2

M（a,b）GXo0＜。＜〃[opK=a+\/a-4b,p2=a-\j^-4bo

同＞向

②當。<0時,

M(a,b)GXop]<avOopi=a-\Ja2-4b,

2

p2=a+\la-4b句閔,閔

綜合①②可得X<=>|Pi|>|p2|

???由⑴可知，若E(p|,；p：),

點M(a,b)在線段E/上，有e(凡。)二煤

??.M(a,b)eX=>(p(a,b)=煤③

由(1)可知，方程％2—av+力=0兩根,J〉="■或。,X])=g-或。—

2222

若?(〃,/?)=同，即max{|xj,國}=同

22

則皿之〃_旦、圓之心、皿乙

222222

,同習詞???9(。力)=煤=>|Pi|>|p?\=>M(a,b)eX④

綜合③④可得￡Xo9(。力)=煤

綜上所述GX<=>|p,|>\p2\<=>(p(a,b)=耳；

y=x-\

(3)由4125,求得兩個交點(0,-1),(2,1)

y=-(X+lY--

44

則0"W2,

過點G(p,q)作拋物線L切線，設切點為N(%,；/2)，切線與y軸交點為H

由(2)知-2pXo+4(7=O,解得通=〃±J〃2_4q,

①若Xo=p+y/p2_4q,則點G(p,g)在線段N”上

由y<x-\,得qVp-1,

，闖=〃+獷=p+2|=2,

由yN』(x+1)2_工，^q>-(p+\)2--=—p2+—p-\

444442

p2-46/<4-2p,；?闖=p+《p2_4qWp+j4-2p

令d4_2p=t,則〃=一,"+2,0</<2

一1,1,55

/.x<——r+r+2=——(r-1)+-<-

1012222

②若$=p_Jp2_4q,則點G(p,g)在線段N4延長線上

方程/一如+4=。兩根為內=歸戶1,9=嚏國

即幾2=5或P—5

以p，4)=max{|x,|,|x2|)=max{〃-自1=P-

=〃_左五三=?五互，同理可得1?夕(〃國)《』

224

綜上所述。min=L^max=|

模仿試題答案

1.(廣一模第21題)設函數fCr)=eYe為自然對數底數)，

r2r3一

g“(x)=l+x+—+——+???+—(/?GN*).

"2!3!n\

(1)證明:/(%)2g1(x)；

(2)當x>0時，比較/*)與g“(x)大小，并闡明理由;

(3)證明：1+|+0+仔)+…+(W'Wg”⑴ve(neN*).

(本小題重要考查函數、導數、不等式、數學歸納法、二項式定理等知識，考查數形結合、

化歸與轉化、分類與討論數學思想辦法，以及運算求解能力)

(1)證明：設0](X)=/(X)-gG)=，T-l,因此例'(%)="-1?..........1分

當x<0時，的'。)<0,當x=0時，/：(x)=0,當x>0時，俗：(%)>0.

即函數例(X)在(-8,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增，在x=0處獲得唯一極小值,

???2分

由于0(0)=0,因此對任意實數x均有口(幻2%(0)=0.即f(x)-gG)N0,

因此/(x)2gi(x)?.................................3分

(2)解：當x>0時，/(x)>^(x)........................4分

用數學歸納法證明如下：

①當"=1時，由(1)知/(x)>g](X).

②假設當〃=左(ZEN')時，對任意x>0均有f(x)>gk(x),....................5分

令%。)=f(x)~g式x),%+|(x)=/(x)-g*i(幻，

f

由于對任意正實數x,(x)=/\x)-gk+](x)=/(x)-gk(x),

由歸納假設知，(pkJ(x)=f(x)-gk(x)>0..............6分

即外+i(幻=/W-gk+l(x)在(0,+oo)上為增函數，亦即%(x)>%.、(0),

由于外+i(0)=0，因此外+G)>0.

從而對任意x>0,有/")一.

即對任意.r>0,有f(x)>&+I(x).

這就是說，當〃=k+1時，對任意工>0,也有/(幻>g*](x).

由①、②知，當元〉0時，均有f(x)>g“(x)?...................8分

(3)證明1：先證對任意正整數叫g〃(l)ve.

由(2)知，當x>0時，對任意正整數〃，均有f(x)>g.(x).

令x=l,得g“(i)</°)=e.

因此..........9分

再證對任意正整數"，

?(2\(2丫(2丫/2丫/小??111

2!3!n\

要證明上式，只需證明對任意正整數〃，不等式1_成立.

+1)~n\

即要證明對任意正整數〃，不等式〃!<［等］(*)

成立.……10分

如下分別用數學歸納法和基本不等式法證明不等式(*)：

辦法1(數學歸納法)：

(1+1、

①當〃=1時，成立，因此不等式(*)成立.

②假設當〃=%(ZwN*)時，不等式(*)成立，

即?....................11分

則(&+l)!=(A+l*V(&+l)(*j=2(學廠,

—+2丫*

代+2丫11丫"0?1-+…+C：：P-『N2,T2分

2f(&+J-k+j

因此(W(容;(等:..........

……13分

這闡明當〃=上+1時，不等式(*)也成立.

由①、②知，對任意正整數%不等式(*)都成立.

綜上可知，對任意正整數〃，不等式i+（|j+（|j+E）；??+（v'

“”⑴^成立.

14分

辦法2（基本不等式法）：

由于\/小10七,........................11分

2

而至嚀,……，同等，

n+l

將以上〃個不等式相乘，得加《13分

~r

因此對任意正整數〃，不等式（*）都成立.

（IM捫5

綜上可知，對任意正整數“，不等式1++.?.+?g”（l）＜e成立?

2.（廣二模第21題）已知函數/（“定義域為（一1,1），且.=1,對任意

均有7.（%）-/（）?=/伍1斗數列｛。〃｝滿足q=；,1=T^T（W€N*）.

11-孫J2\+an

（1）證明函數/（x）是奇函數；

（2）求數列｛/（4）｝通項公式；

（3）令4“二勾+%+（.三N'）,證明:當〃22時，￡4一14

n/=1：=12

（本小題重要考查函數、數列、不等式等知識，考查化歸與轉化、分類與整合數學思想辦法,

以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識）

（1）解：由于對任意均有—=/,

（IfJ

令x=y=O,得/（0）_〃0）=/（"二）=〃0）,解得"0）=0.???1分

\1—vX（J/

令x=0,得〃—v/(o)=o,

,0—/(?=1—>即/(—/=_1>................2分

???函數/(1)是奇函數......3分

(2)解：先用數學歸納法證明0</<1.

①當〃=1時，q=g,得0<q<l,結論成立.

②假設〃=&時，結論成立，即

當〃=&+1時，由于.+[=2/,〉0,

\+a：

即〃=攵+1時，結論也成立.

由①②知對任意HGN,0<4“<1.................4分

求數列｛/(??)｝通項公式提供下面兩種辦法.

法懸(...........5分

???函數/(力是奇函數，

；?/(-4)=-/(吟,二/(%)=2/(4)?..................6分

???數列｛/(q)｝是首項為〃q)==n公比為2等比數列.

???數列｛/（4）｝通項公式為/（凡）=2〃T...............7分

/、

法2：?；/（，）—/（〃〃）=/產”........5分

「斗-凡13

「h1%-=d曰]=/（〃》?.?"/J=2〃4）.………6分

2aXa

1_n\-n）

11+片）

,數列｛/(%)｝是首項為/(4)=公比為2等比數列.

???數列｛/(q)｝通項公式為/(%)=2〃T..............7分

(3)證法1：由(2)知Ov/vl,

................8分

f

A<an<1(?eN,且〃22)

22

0<atl-aniv—(上機eN*,且〃>m).9分

當上N2且攵￡N"時,

!L

4-4=ak--------

k

=3一q)+(4-%)+…+(%-%)

10分

k

iiii

<—=--------<—.

2k22k2

***0<4-<5...............12分

■14-A=0,

二當〃之時＜之弓—三

2,0I13分

/=1?=12

???當〃N2時，一之A<曰.......14分

i=li=l2

證法2：由(2)知0＜。“vl,

???凡+1>〃“?................8分

工q=5,5va“vl(〃wN",且〃N2)

???|。“-。/<5（〃,陽€"）.9分

目成立.

下面用數學歸納法證明不等式%工A

r=l

①當〃=2時，左邊=q+%—（q+4+%

???〃=2時，不等式成立.10分

k-\

②假設〃=KR22,去T）時，不等式成立，即/-ZA<-----

i=\2

則n=k+\時,

A+1M+1

左邊=X。1=_-4+/+…+&+1分

i+a^\XA11

/=!1=1i=l%十1

?（女+1）4+1（ai+a/?..+《）

=

<_。）+（4+~a[+???+（可+~at）|12分

/=）/=lAC?1

〈^^+2Y（|4+IT+l%-aI>…+I&+-⑷）

乙K?1

〈斗一L」+-1k

+-----------X—

2k+112k+\2

k-\11<二+,=此二1=右邊.

------1---------------------13分

222（々+1）222

.,?〃=2+1時，不等式也成立.

,n-\母―

由①②知，當〃22時,<----成立.14分

加12

證法3：由（2）知0<4<1（左=1,2,3,--,〃），故對1KZK〃一1,有

0<V女,0<￡%<n-k.8分

i=2+l

由于對任意工>0,y>0,有限-"<013\｛工,?,其中max｛x,y｝表達x與y較大直

于是對14攵《〃-1,有

9分

I〃k)I=Inj=z

i"jn/|11J\*

<max?—Z4,-------...................10分

St="i,ni=k+\""n)

1

<max\-(n-k)9L+

八n(knJ

11分

故￡生工A=Z?A,-XAT(A-A)+(A「&)+…+(4-AI)|12分

4％一⑷T?+l+d-4

fi-iKpn-1

<13分

kn)\n〃Jn

l+2+3+-佃)1

=(〃T)

n(w-l)

2_/?-1

14分

n2

3.(深圳一模第20題)已知函數/(?=；/+法2+”+1,設曲線),=/(幻在與x軸

交點處切線為y-4x-12,/(工)為/(x)導函數，滿足f(2-x)-f(x).

⑴求/*);

(2)設g(力=xj尸(x),m>0,求函數g(x)在[0,列上最大值；

(3)設〃(x)=In尸(x),若對一切xe[0,1],不等式〃(x+l-f)v/z(2x+2)恒成立，

求實數/取值范疇.

解：(1)f,(x)=x2+2bx+c,.......................1分

???r(2-x)=r(x),.?.函數了=/。)圖像關于直線1=1對稱，則〃=-1.……2分

?/直線y=4x—12與“軸交點為(3,0),

?."3)=0,且/⑶=4,

即9+9/?+3c+d=0,且9+2+。=4,

解得c=l,d=-3..........................4分

貝|」/（人）=工/一爐+工一3?.................................5分

(2)r(x)=x2-2x+l=(x-l)2,

(3)辦法一：/z(x)=ln(x-l)2=21n|x-l|,

h(x+\-t)=2\n\x-t\,/?(2x+2)=21n|2x+l|,

???當x￡[0,l]時，|2x+l|=2x+l,

??.不等式21中-彳<21n|2x+1|恒成立等價于H<2x+1且xwz恒成立,

由上一"v2x+l恒成立，得一x-lviv3x+l恒成立，

???當xw[0,l]時,3x+lG[1,4],-x-le[-2,-l],

/.-1<r<1,................12分

又???當xw[0,l]時，由xwf恒成立，得”[0,1],

因而，實數/取值范疇是-lv，＜0.14分

辦法二：(數形結合法)作出函數y=2x+l,X￡［0,l］圖像，其圖像為線段AN(如圖),

丁y=k一"圖像過點A時，/=一1或，=1,

??.要使不等式卜一“<2x+1對xe［0,1］恒成立,

必要一1<，<1,.............12分

又?.?當函數力(x+1—。故意義時，x^t,

.?.當xe［0,l］時，由xwr恒成立，得，c［0』］,

因而，實數/取值范疇是一..............14分

辦法三：v/z(x)=ln(x-l)2,/i(x)定義域是{%上。1},

要使〃(x+lr)恒故意義，必要恒成立，

VxG[0,1],[0,1],即f<0或，>1..........①.......12分

由h(x+1-/)<h(2x+2)得(x-t)2<(2x+1)2,

即3/+(4+2f)x+l—產>0對XE[0,1]恒成立,

令0(X)=3X2+(4+2f)x+l-r,(p(x)對稱軸為工二一211

2+t八2+，］

---<°，T

則有?3或，等。或.一_，

9(0)>0A=(4+2ri2-4x3x(l-r2)<0碎)>o

解得—Ivfvl.........②

綜合①、②，實數/取值范疇是一lvr<0...........14分

【闡明】本題重要考查函數導數運算法則、導數幾何意義、二次函數和分段函數圖像

及其性質運用、不等式求解與證明等基本知識，考查分類討論思想和數形結合思想，考查

考生計算推理能力及分析問題、解決問題能力和創新意識.

4.(深圳二模第21題)已知函數f(x)=x-xlnx,g{x)=f{x}-xf\a),其中/'(a)表

達函數/(x)在戈=。處導數，。為正常數.

(1)求儀為)單調區間;

（2）對任意正實數再，石，且不＜工2，證明：

（%2一3）-%）＜/（%2）-/（%）＜（%-%）/'（%）；

（3）對任意〃wN字,且〃N2,證明：—+—+—＜1ZZ2L112.

In2ln3InnIn2-InH

解：(1)/'(x)=-lnx,g(x)=x-xlnx+xlna,

gf(x)=fXx)-f\a)=-Inx+In=In—...................2分

x

因此，xw(O,a)時，g'(x)>0,g(x)單調遞增；

x￡（〃，+oo）時，gX/vO,g（x）單調遞減.

囚此，&（?單調遞增區間為（0,0,