高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省鹽城市2022-2023學年高一下學期期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.M，N關系不確定〖答案〗B〖解析〗，，則.故選：B.2.在中，已知，，，則角的度數為（）A. B. C.或 D.〖答案〗B〖解析〗由，得，于是，由正弦定理得，∴.故選：B.3.已知一組樣本數據，，…，的均值和方差分別為2和0.25，則，，…，的均值和方差分別為（）A.6和0.75 B.8和0.75 C.8和2.25 D.6和2.25〖答案〗C〖解析〗由題意得，故，則，即，，…，的均值為，又，故，解得，故，故，，…，的方差為.故選：C.4.函數的零點為，且，，則k的值為（）A.1 B.2 C.0 D.3〖答案〗A〖解析〗因為在上單調遞增，又，所以.故選：A.5.已知中，點M是線段的中點，N是線段的中點，則向量為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗中，點M是線段的中點，N是線段的中點，則.故選：D.6.歐拉公式（為自然對數的底數，為虛數單位）由瑞士數學家（歐拉）首先發現.它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，被稱為“數學中的天橋”，則下列運算一定正確的是（）A.B.C.D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.7.已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，又余弦函數在上單調遞減，則，即；又正切函數在上單調遞增，則，綜上.故選：C.8.柯西不等式是數學家柯西（Cauchy）在研究數學分析中的“流數”問題時得到的一個重要不等式，而柯西不等式的二維形式是同學們可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，當且僅當時取等號.現已知，，，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，令，又，，，所以，當且僅當即時等號成立，即，故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在4件產品中，有一等品2件，二等品1件（一等品和二等品都是正品)，次品1件，現從中取出2件產品.記事件A為：“2件都是一等品”，事件B為：“1件一等品1件二等品”，事件C為：“1件次品1件正品”，事件D為：“至少有1件是一等品”，則下列結論中不成立的是（）A.事件為互斥事件 B.事件為相互獨立事件C. D.〖答案〗BCD〖解析〗一等品2件記為，二等品1件記為，次品1件記為，則從這4件產品中抽2件的基本事件有：共6件，事件A的基本事件有共1件，故，事件B的基本事件有共2件，故，事件C的基本事件有共3件，故，事件D的基本事件有共5件，故，A.事件A與事件B沒有交事件，故為互斥事件，故A正確；B.由選項A可知，顯然，所以事件A，B不為相互獨立事件，故B錯誤；C.由上述分析易知，故C錯誤；D，，所以，故D錯誤.故選：BCD.10.聲音中包含著正弦函數，聲音是由于物體的振動產生的能引起聽覺的波.每個音都是由純音合成的，純音的數學模型是.其中響度與振幅有關，振幅越大，響度越大.音調與頻率有關，頻率低的聲音低沉，頻率高的聲音尖銳，我們平時聽到的音樂函數是，某聲音函數，下列說法正確的是（）A.函數在區間單調遞增B.函數的最小正周期為2πC.函數的聲音比純音的尖銳D.函數的響度比純音的響度大〖答案〗ABD〖解析〗選項A：當時，均單調遞增，則當時，單調遞增，判斷正確；選項B：的最小正周期分別為，則函數的最小正周期為2π，判斷正確；選項C：函數的周期為2π，頻率為；函數的周期為π，頻率為，由，可得函數的聲音比純音的低沉，判斷錯誤；選項D：振幅為1，，則函數的振幅大于的振幅，則函數的響度比純音的響度大，判斷正確.故選：ABD.11.若復數z滿足（i為虛數單位），則下列說法正確的是（）A.z的虛部為B.C.若復數w滿足，則的最小值為D.若z在復平面內對應的點為，則在向量的投影向量為〖答案〗BCD〖解析〗A選項，，故虛部為，A錯誤；B選項，，B正確；C選項，設，，則，所以，可將看作圓心為，半徑為3的圓上和內部的點，其中幾何意義是點到原點的距離，顯然最小距離為到原點的距離減去半徑，即最小值為，C正確；D選項，若z在復平面內對應的點為，則，故在向量投影向量為.故選：BCD.12.已知正三棱臺，，，下列說法正確的是（）A.正三棱臺體積為B.側棱與底面所成角的余弦值為C.點A到面的距離為2D.三棱臺的外接球的表面積為〖答案〗BCD〖解析〗設中心為，中心為O，連接，則，在四邊形中，過作于D，則，則，取中點N，過點N作，交于H，交直線于M，則點M為三棱臺的外接球的球心，由，可得，則，，由，可得，選項A：正三棱臺體積為，判斷錯誤；選項B：設側棱與底面所成角為，則，又，則，則側棱與底面所成角的余弦值為，判斷正確；選項C：設點A到面的距離為h，由，可得，又等腰梯形中，，則，則，解之得，則點A到面的距離為，判斷正確；選項D：三棱臺的外接球的半徑為，則三棱臺的外接球的表面積為，判斷正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.高一某班10名學生的英語口語測試成績（單位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.這組數據的上四分位數是_______.〖答案〗86〖解析〗成績從小到大排序為：76，81，82，82，83，84，85，86，87，90，則，所以這組數據的上四分位數是86.故〖答案〗為：86.14.已知向量，的夾角為，，，則______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.15.在中，內角，，所對的邊，，滿足，則_______，三角形為銳角三角形，則的取值范圍是_______.〖答案〗〖解析〗由余弦定理，又，所以，所以，由正弦定理可得，所以，所以，所以，又，則，所以或，若，則，顯然不符合題意，故舍去，所以，即，所以，因為為銳角三角形，所以，解得，則，所以，因為，所以，令，則，令，，因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以，又，所以，即的取值范圍是.故〖答案〗為：.16.已知正四面體的棱長為4，三棱柱內接于正四面體（如圖），其中E，F，G分別在側棱，，上，M，N，H在平面內，則該三棱柱的體積最大值為_______.（均值不等式的n維形式為：≤()，當且僅當時取等號）〖答案〗〖解析〗如圖所示，分別取和的中心和，連接，則平面，因為正四面體的棱長為，則底面是邊長為的等邊三角形，可得，所以，由四面體為正四面體，可得三棱柱為正三棱柱，設等邊的邊長為，因為四面體為正四面體，所以四面體也為正四面體，同理可得，所以，所以，該三棱柱的體積為，當且僅當時，即時，等號成立，所以四棱柱體積的最大值為.故〖答案〗為：..四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.某學校為增強學生自主學習意識，現向全校學生進行中午學習時長的調查，得到一個樣本，按時長分成，，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知時長在內的人數為5.（1）若用分層抽樣的方法從時長在，內的學生中抽取6名參加座談，再從這6名學生中隨機抽取2名發言，求這2名發言學生中至少有1名時長在內的概率；（2）在（1）的條件下，記抽取的2名發言者分別為甲、乙，學校給甲、乙各隨機派發價值50元，80元，100元的圖書一本，求甲獲得的圖書價值不比乙獲得圖書價值高的概率.解：（1）由于，內的學生比例為，故抽取的人數分別為4人和2人，若分別記為，，，，和，，從這6名學生中隨機抽取2名學生，這樣的樣本點為共有15種情況，其中2名發言學生都不在中的情況只有一種，故事件的概率為.（2）給甲、乙各隨機派發價值50元，80元，100元的圖書一本，記為，則這樣的樣本點共有9個：，其中甲比乙高的分別是：甲80元乙50元；甲100元乙50元；甲100元乙80元這樣三種情況，所以甲獲得的圖書價值不比乙獲得圖書價值高的概率為.18.已知函數的最大值為.（1）求常數m的值；（2）求函數的單調遞增區間及圖象的對稱中心.解：（1），由函數的最大值為，可得，解得.（2）由（1）可得，由，可得，則函數的單調遞增區間為；由，可得，則函數的對稱中心為，.19.如圖，AB是圓O的直徑，點P在圓O所在平面上的射影恰是圓O上的點C，且，點D是PA的中點，點F為PC的中點.（1）求異面直線和所成角的大小；（2）求二面角的大小.解：（1）取AC中點M，連接BM，FM，因為F，M分別為PC，AC的中點，所以，所以（或其補角）為異面直線BF和PA所成角，因為，C為以AB為直徑的圓上的點，所以在直角三角形BCM中，，，可得，因為點P在圓O所在平面上的射影恰是圓O上的點C，所以面，又因為BC，BA在平面ABC內，所以，，在直角中，可得，在直角中，可得，所以，所以，即異面直線和所成角為.（2）由（1）知，，且，平面，所以面，因為面，所以，又因為，所以為二面角的平面角，又由平面，平面，所以，因，所以為等腰三角形，又因為為的中點，所以且，所以，所以二面角為.20.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，.（1）求；（2）若D在邊BC上且，，求AD的長.解：（1）因為，，所以，所以，得即.（2）因為，所以，解得，因為，且為三角形的內角，所以，，又因為，所以，因為，所以，所以，所以，所以.21.《九章算術》是中國古代的一部數學專著，是《算經十書》中最重要的一部，是當時世界上最簡練有效的應用數學，它的出現標志著中國古代數學形成了完整的體系.《九章算術》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，已知四面體是“鱉臑”，PA=AC=2，AB=，M，N分別為PC，AC的中點，Q在線段PB上，且PQ=2QB.（1）求證：平面；（2）求四面體內切球的表面積.解：（1）連接與相交于點，連接、，因為，分別為，的中點，則且，所以，所以，又，所以，所以，則，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）由題意四面體是“鱉臑”，，，顯然可得，，，平面，所以平面，又平面，所以，又，，若，則，此時，則不是直角三角形，不符合題意，又，所以，，平面，所以平面，平面，所以，符合題意，則，所以，，，，又，設內切球的半徑為，所以，即，解得，所以.22.對于定義域為的函數，如果同時滿足以下三個條件：①對任意的，總有；②；③若，，，都有≥成立，則稱函數為理想函數.（1）判斷函數()是否為理想函數，并予以證明；（2）若函數為理想函數且，求的值；（3）已知函數為理想函數，若，使得，求的值.解：（1）不妨取，則，，與矛盾，故該函數不是理想函數.（2）由，，，都有成立，知，又，所以，綜上，.（3）由（2）知，當時，有與矛盾，同理當時，有與矛盾，故，即為方程在區間上的根，易知或者.江蘇省鹽城市2022-2023學年高一下學期期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.M，N關系不確定〖答案〗B〖解析〗，，則.故選：B.2.在中，已知，，，則角的度數為（）A. B. C.或 D.〖答案〗B〖解析〗由，得，于是，由正弦定理得，∴.故選：B.3.已知一組樣本數據，，…，的均值和方差分別為2和0.25，則，，…，的均值和方差分別為（）A.6和0.75 B.8和0.75 C.8和2.25 D.6和2.25〖答案〗C〖解析〗由題意得，故，則，即，，…，的均值為，又，故，解得，故，故，，…，的方差為.故選：C.4.函數的零點為，且，，則k的值為（）A.1 B.2 C.0 D.3〖答案〗A〖解析〗因為在上單調遞增，又，所以.故選：A.5.已知中，點M是線段的中點，N是線段的中點，則向量為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗中，點M是線段的中點，N是線段的中點，則.故選：D.6.歐拉公式（為自然對數的底數，為虛數單位）由瑞士數學家（歐拉）首先發現.它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，被稱為“數學中的天橋”，則下列運算一定正確的是（）A.B.C.D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.7.已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，又余弦函數在上單調遞減，則，即；又正切函數在上單調遞增，則，綜上.故選：C.8.柯西不等式是數學家柯西（Cauchy）在研究數學分析中的“流數”問題時得到的一個重要不等式，而柯西不等式的二維形式是同學們可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，當且僅當時取等號.現已知，，，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，令，又，，，所以，當且僅當即時等號成立，即，故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在4件產品中，有一等品2件，二等品1件（一等品和二等品都是正品)，次品1件，現從中取出2件產品.記事件A為：“2件都是一等品”，事件B為：“1件一等品1件二等品”，事件C為：“1件次品1件正品”，事件D為：“至少有1件是一等品”，則下列結論中不成立的是（）A.事件為互斥事件 B.事件為相互獨立事件C. D.〖答案〗BCD〖解析〗一等品2件記為，二等品1件記為，次品1件記為，則從這4件產品中抽2件的基本事件有：共6件，事件A的基本事件有共1件，故，事件B的基本事件有共2件，故，事件C的基本事件有共3件，故，事件D的基本事件有共5件，故，A.事件A與事件B沒有交事件，故為互斥事件，故A正確；B.由選項A可知，顯然，所以事件A，B不為相互獨立事件，故B錯誤；C.由上述分析易知，故C錯誤；D，，所以，故D錯誤.故選：BCD.10.聲音中包含著正弦函數，聲音是由于物體的振動產生的能引起聽覺的波.每個音都是由純音合成的，純音的數學模型是.其中響度與振幅有關，振幅越大，響度越大.音調與頻率有關，頻率低的聲音低沉，頻率高的聲音尖銳，我們平時聽到的音樂函數是，某聲音函數，下列說法正確的是（）A.函數在區間單調遞增B.函數的最小正周期為2πC.函數的聲音比純音的尖銳D.函數的響度比純音的響度大〖答案〗ABD〖解析〗選項A：當時，均單調遞增，則當時，單調遞增，判斷正確；選項B：的最小正周期分別為，則函數的最小正周期為2π，判斷正確；選項C：函數的周期為2π，頻率為；函數的周期為π，頻率為，由，可得函數的聲音比純音的低沉，判斷錯誤；選項D：振幅為1，，則函數的振幅大于的振幅，則函數的響度比純音的響度大，判斷正確.故選：ABD.11.若復數z滿足（i為虛數單位），則下列說法正確的是（）A.z的虛部為B.C.若復數w滿足，則的最小值為D.若z在復平面內對應的點為，則在向量的投影向量為〖答案〗BCD〖解析〗A選項，，故虛部為，A錯誤；B選項，，B正確；C選項，設，，則，所以，可將看作圓心為，半徑為3的圓上和內部的點，其中幾何意義是點到原點的距離，顯然最小距離為到原點的距離減去半徑，即最小值為，C正確；D選項，若z在復平面內對應的點為，則，故在向量投影向量為.故選：BCD.12.已知正三棱臺，，，下列說法正確的是（）A.正三棱臺體積為B.側棱與底面所成角的余弦值為C.點A到面的距離為2D.三棱臺的外接球的表面積為〖答案〗BCD〖解析〗設中心為，中心為O，連接，則，在四邊形中，過作于D，則，則，取中點N，過點N作，交于H，交直線于M，則點M為三棱臺的外接球的球心，由，可得，則，，由，可得，選項A：正三棱臺體積為，判斷錯誤；選項B：設側棱與底面所成角為，則，又，則，則側棱與底面所成角的余弦值為，判斷正確；選項C：設點A到面的距離為h，由，可得，又等腰梯形中，，則，則，解之得，則點A到面的距離為，判斷正確；選項D：三棱臺的外接球的半徑為，則三棱臺的外接球的表面積為，判斷正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.高一某班10名學生的英語口語測試成績（單位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.這組數據的上四分位數是_______.〖答案〗86〖解析〗成績從小到大排序為：76，81，82，82，83，84，85，86，87，90，則，所以這組數據的上四分位數是86.故〖答案〗為：86.14.已知向量，的夾角為，，，則______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.15.在中，內角，，所對的邊，，滿足，則_______，三角形為銳角三角形，則的取值范圍是_______.〖答案〗〖解析〗由余弦定理，又，所以，所以，由正弦定理可得，所以，所以，所以，又，則，所以或，若，則，顯然不符合題意，故舍去，所以，即，所以，因為為銳角三角形，所以，解得，則，所以，因為，所以，令，則，令，，因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以，又，所以，即的取值范圍是.故〖答案〗為：.16.已知正四面體的棱長為4，三棱柱內接于正四面體（如圖），其中E，F，G分別在側棱，，上，M，N，H在平面內，則該三棱柱的體積最大值為_______.（均值不等式的n維形式為：≤()，當且僅當時取等號）〖答案〗〖解析〗如圖所示，分別取和的中心和，連接，則平面，因為正四面體的棱長為，則底面是邊長為的等邊三角形，可得，所以，由四面體為正四面體，可得三棱柱為正三棱柱，設等邊的邊長為，因為四面體為正四面體，所以四面體也為正四面體，同理可得，所以，所以，該三棱柱的體積為，當且僅當時，即時，等號成立，所以四棱柱體積的最大值為.故〖答案〗為：..四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.某學校為增強學生自主學習意識，現向全校學生進行中午學習時長的調查，得到一個樣本，按時長分成，，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知時長在內的人數為5.（1）若用分層抽樣的方法從時長在，內的學生中抽取6名參加座談，再從這6名學生中隨機抽取2名發言，求這2名發言學生中至少有1名時長在內的概率；（2）在（1）的條件下，記抽取的2名發言者分別為甲、乙，學校給甲、乙各隨機派發價值50元，80元，100元的圖書一本，求甲獲得的圖書價值不比乙獲得圖書價值高的概率.解：（1）由于，內的學生比例為，故抽取的人數分別為4人和2人，若分別記為，，，，和，，從這6名學生中隨機抽取2名學生，這樣的樣本點為共有15種情況，其中2名發言學生都不在中的情況只有一種，故事件的概率為.（2）給甲、乙各隨機派發價值50元，80元，100元的圖書一本，記為，則這樣的樣本點共有9個：，其中甲比乙高的分別是：甲80元乙50元；甲100元乙50元；甲100元乙80元這樣三種情況，所以甲獲得的圖書價值不比乙獲得圖書價值高的概率為.18.已知函數的最大值為.（1）求常數m的值；（2）求函數的單調遞增區間及圖象的對稱中心.解：（1），由函數的最大值為，可得，解得.（2）由（1）可得，由，可得，則函數的單調遞增區間為；由，可得，則函數的對稱中心為，.19.如圖，AB是圓O的直徑，點P在圓O所在平面上的射影恰是圓O上的點C，且，點D是PA的中點，點F為PC的中點.（1）求異面直線和所成角的大小；（2）求二面角的大小.解：（1）取AC中點M，連接BM，FM，因為F，M分別為PC，AC的中點